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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题2.4 根据判别式判断一元二次方程根的情况专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)对于m取一个适当的值，并求出一元二次方程的根．
【答案】(1)，且；
(2)时，；
【详解】（1）解： 是关于x的一元二次方程，
，即，
关于x的一元二次方程有实数根，
，即，
，
的取值范围为，且．
（2）当时，方程为，
因式分解得，，
解得：
2．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：不论m为何值，方程总有两个实数根．
(2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值；
(3)若等腰三角形的其中一边为4，列两边是这个方程的两根，求m的值．
【答案】(1)见解析(2)1或2或3(3)8
【详解】（1）证明：∵
，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：，
∴，
∵方程有一个根是负整数，
∴，
∴正整数m的值为1或2或3．
（3）解：由（2）知，，
①当4为底边时，，
∵，
∴等腰三角形不存在，舍去；
②当4为腰时，，即，
∵，
∴等腰三角形存在，
综上所述，m的值为8．
3．已知关于的方程.
(1)当时，求方程的解；
(2)证明：无论为何值，此方程总有解.
【答案】(1)；(2)证明见解析．
【详解】（1）当时，原方程为，解得；
（2）当时，原方程为一元一次方程，有实数解；
当时，原方程为一元二次方程，且，
∴无论为何值，此方程总有解．
4．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程一定有两个实数根；
(2)如果a为整数且方程的两个根均为整数，求a的值．
【答案】(1)见解析(2)或0
【详解】（1）证明：∵关于x的一元二次方程．
∴，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：，
，
解得：或，
方程的两个根均为整数，
为整数，
，即，
a为整数，，
或0．
5．已知关于的一元二次方程．
(1)求证： 不论取何值， 该方程都有两个不相等的实数根．
(2)若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根．
【答案】(1)见解析
(2)另一个根为2
【详解】（1）证明：
∵，
∴，
∴不论取何值， 该方程都有两个不相等的实数根．
（2）∵此方程的一个根为，
∴
解得
∴当时,一元二次方程为： ，
解得：
即方程的另一个根为2．
6．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程有一个根大于0且小于1，求k的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：由题意得，
，
∵，
∴，
∴此方程总有两个实数根；
（2）解：∵，
∴，
解得或，
∵此方程有一个根大于0且小于1，
∴，
∴．
7．已知关于的方程
(1)求证：无论取何值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的底边长为5，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长
【答案】(1)见解析；
(2)；
【详解】（1）证明：由题意可得，
，
∵，
∴无论取何值，方程总有实数根；
（2）解：∵等腰三角形的底边长为5，另两边的长恰好是这个方程的两个根，
∴由两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴原方程变形为：，
解得：，
∴．
8．已知：关于x的一元二次方程，
(1)把这个方程化成一元二次方程的一般形式；
(2)求证：无论m取何值，这个方程总有两个不相等的实数根．
【答案】(1)
(2)见解析
【详解】（1）解：∵，
∴，
即关于x的一元二次方程的一般形式为；
（2）对于来说，
，
∵，
∴，
∴无论m取何值，这个方程总有两个不相等的实数根
9．已知关于x的方程
(1)不解方程，判别方程根的情况；
(2)若方程有一个根为，求m的值．
【答案】(1)此方程有两个不相等的实数根
(2)解得或
【详解】（1）解：∵，
∴此方程有两个不相等的实数根：
（2）解：将代入方程，得：，
整理得：，
解得或
10．关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根大于0，求的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵在方程中，
，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵，
∴
∴，，
∵方程有一根大于0，
∴，
解得：，
∴k的取值范围为．
11．如图，我们规定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
(1)求整式；
(2)请将整式分解因式；
(3)小红说，无论实数取何值，的值都不可能等于．请问小红的说法是否正确？并说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)小红的说法不正确，理由见解析．
【详解】（1）由题意得：，
，
；
（2）由题意得：
；
（3）小红的说法不正确，理由：
由题意得： ，
，
若时，即，
整理得：，
∵，
∴有两个不相等的实数根，
∴的值可能等于，
故小红的说法是不正确．
12．已知关于的方程．
(1)当方程的一个根为时，求的值．
(2)求证：无论取何值，这个方程总有实数根．
(3)若等腰的一腰长，另两边恰好是这个方程的两个根，求的面积．
【答案】(1)4(2)见解析(3)
【详解】（1）解：把代入，得
解得：，
（2）证明：，
无论取何值，这个方程总有实数根；
（3）解：将代入原方程，得：，
解得：，
原方程为，
解得：，．
、6、6能组成三角形，
该等腰三角形的三边长为、6、6，
如图，在等腰中，设，，
过点A作于D，
∵，，
∴，，
在中，由勾股定理，得，
∴的面积．
13．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若是此方程的一个根，求代数式的值．
【答案】(1)见解析
(2)2023
【详解】（1）证明：∵关于的一元二次方程．
∴，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵是此方程的一个根，
∴把代入方程中得到，
∴，
∴，
∴．
14．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个实数根；
(2)若方程的两个根都是负根，求k的取值范围．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程，
∴，，，
∴，
∵不论为何值，
∴方程有两个实数根．
（2）解：∵关于的一元二次方程中，，
∴，
∴，，
∵方程的两个根都是负根，
∴，
∴．
15．已知关于的方程．
(1)求证：对于任何实数，该方程总有两个实数根；
(2)若三角形的一边长为1，另外两边长为该方程的两个实数根，求的取值范围．
【答案】(1)见详解
(2)
【详解】（1）解：
∵
∴对于任何实数，该方程总有两个实数根.
（2）解：
，
∴.
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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题2.4 根据判别式判断一元二次方程根的情况专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)对于m取一个适当的值，并求出一元二次方程的根．
2．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：不论m为何值，方程总有两个实数根．
(2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值；
(3)若等腰三角形的其中一边为4，列两边是这个方程的两根，求m的值．
3．已知关于的方程.
(1)当时，求方程的解；
(2)证明：无论为何值，此方程总有解.
4．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程一定有两个实数根；
(2)如果a为整数且方程的两个根均为整数，求a的值．
5．已知关于的一元二次方程．
(1)求证： 不论取何值， 该方程都有两个不相等的实数根．
(2)若方程的一个根为，求的值和方程的另一个根．
6．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程有一个根大于0且小于1，求k的取值范围．
7．已知关于的方程
(1)求证：无论取何值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的底边长为5，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长
8．已知：关于x的一元二次方程，
(1)把这个方程化成一元二次方程的一般形式；
(2)求证：无论m取何值，这个方程总有两个不相等的实数根．
9．已知关于x的方程
(1)不解方程，判别方程根的情况；
(2)若方程有一个根为，求m的值．
10．关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根大于0，求的取值范围．
11．如图，我们规定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
(1)求整式；
(2)请将整式分解因式；
(3)小红说，无论实数取何值，的值都不可能等于．请问小红的说法是否正确？并说明理由．
12．已知关于的方程．
(1)当方程的一个根为时，求的值．
(2)求证：无论取何值，这个方程总有实数根．
(3)若等腰的一腰长，另两边恰好是这个方程的两个根，求的面积．
13．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若是此方程的一个根，求代数式的值．
14．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：方程有两个实数根；
(2)若方程的两个根都是负根，求k的取值范围．
15．已知关于的方程．
(1)求证：对于任何实数，该方程总有两个实数根；
(2)若三角形的一边长为1，另外两边长为该方程的两个实数根，求的取值范围．
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