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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题2.5 一元二次方程根与系数的关系专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．已知
(1)求的值；
(2)若恰好是一元二次方程的两个根，求p，q的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，
，
解得：，
故；
（2）是一元二次方程的两个根，
，
．
2．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论为何实数，方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根为和，且满足，求此时实数的取值．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：由题可知：，
所以无论为何实数，方程总有两个实数根．
（2）解：由根与系数的关系得：，，
故
∴
解得．
3．关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若方程有两个不相等的实数根，，且，求的值．
【答案】(1)；
(2)；
【详解】（1）解： 关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：．
的取值范围为：．
（2）解： 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，
，
解得：．
，即，
，
或，又，
．
4．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：方程为：，
方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由（1）得，
解得：，
实数的值为．
5．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若是该方程的两个实数根，且，求a的值．
【答案】(1)详见解析(2)0
【详解】（1）解：由题意得，
，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：∵是该方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
6．已知一元二次方程
(1)若方程有两个实数根，求m的取值范围；
(2)若方程的两个实数根为， 且求m的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：在方程中，，
当方程有两个实数根时，，
∴
解得：；
（2）解：由根与系数的关系得：，
∵ ，
∴，
解得：，
由（1）可知 ，
∴．
7．已知关于x的一元二次方程．
(1)若该方程有实数根，求m的取值范围．
(2)若时，求的值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根，
则，
即，
，
的取值范围；
（2）当时，，
设，是方程的两根，
，，
，
．
8．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若此方程的两个实数根，满足，求k的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)故k的值为1或．
【详解】（1）证明：∵，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：根据根与系数的关系得，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得．
故k的值为1或．
9．已知一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求的取值范围；
(2)若方程的两个实数根为，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根，
∴，
解得：；
即方程有实数根时，；
（2）解：由根与系数的关系得：，
∵，
∴②-①得：，
∴；
把代入中，得，
∴．
10．已知是关于x的一元二次方程的两实数根．
(1)求m的取值范围．
(2)若，求m的值．
(3)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)最小值为
【详解】（1）解：∵是关于x的一元二次方程的两实数根，
∴，
∴
解得：；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得（舍去），，
∴；
（3）解：
∵
∴当时，最小等于32
∴的最小值为．
11．已知关于x的方程．
(1)求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．
(2)是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)存在，
【详解】（1）解：①当时，
方程变形为，方程有实数根；
②当时，
，
∵，
∴，
∴当时，方程有实数根，
∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）解：存在，
设方程两根为、，
则，，
∵，
∴
解得：．
故存在实数k使方程两根的倒数和为2．
12．已知关于的方程
(1)求证：无论取任何实数，该方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的三边长分别为，其中，并且恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)7
【详解】（1）证明：∵，
无论取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：当时，，方程为，
解得：，
此时三边长为，周长为；
当或时，把代入方程得：，
解得：，此时方程为：，
解得：，
此时三边长为不能组成三角形，
综上所述，的周长为
13．已知关于的方程；
(1)求证：方程总有实数根；
(2)若方程的两根为直角三角形的两边长，且，求的值及该直角三角形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)或 ，周长为
【详解】（1）由 得到，
，
，
∴不论为任何实数，方程总有实数根.
（2）解：根据题意得 ，
，
解得或 ，
直角三角形的斜边为：
所以直角三角形的周长为：．
14．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
(1)若，求m的值；
(2)已知的斜边长为，而且，恰好是另外两条直角边的长，求这个的周长．
【答案】(1)9
(2)
【详解】（1），是关于x的一元二次方程的两个实数根，
，即
，，
，
整理得：，
代入得：，即，
，
解得：，，
，
不符合题意，舍去，
m的值为9；
（2）的斜边长为，而且，恰好是另外两条直角边的长，
，
，，且，
，
整理得：，
解得：或，
，
不符合题意，舍去，
此时已知方程为即
解得：，，
，
故这个的周长为．
15．已知关于的一元二次方程．
(1)证明：无论取何值，此方程必有实数根；
(2)若的两直角边，的长恰好是该方程的两个实数根，且斜边的长为5，求的值；
(3)若等腰三角形的一边长为6，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)的周长为14或16
【详解】（1）证明：，
，，，
，
∴方程必有实数根．
（2）解：设，，由根与系数的关系得：
，．
由斜边的长为5，结合勾股定理得：，
∴
，
∴，
∴，．
当时，，；当时，，．
∵，，
∴．
（3）解：①若为底边，则，即方程由两个相等的实数根，
即，解得：，
把代入方程得：，
解得：，即．
∴．
②若为腰，则或，
把代入方程得：，解得：，
当时，方程为：，解得：，．
∴．
综上：的周长为或．
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专题2.5 一元二次方程根与系数的关系专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．已知
(1)求的值；
(2)若恰好是一元二次方程的两个根，求p，q的值．
2．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论为何实数，方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根为和，且满足，求此时实数的取值．
3．关于的一元二次方程有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若方程有两个不相等的实数根，，且，求的值．
4．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两实数根为，且满足，试求出的值．
5．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若是该方程的两个实数根，且，求a的值．
6．已知一元二次方程
(1)若方程有两个实数根，求m的取值范围；
(2)若方程的两个实数根为， 且求m的值．
7．已知关于x的一元二次方程．
(1)若该方程有实数根，求m的取值范围．
(2)若时，求的值．
8．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若此方程的两个实数根，满足，求k的值．
9．已知一元二次方程．
(1)若方程有实数根，求的取值范围；
(2)若方程的两个实数根为，且，求的值．
10．已知是关于x的一元二次方程的两实数根．
(1)求m的取值范围．
(2)若，求m的值．
(3)求的最小值．
11．已知关于x的方程．
(1)求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根．
(2)是否存在实数k使方程两根的倒数和为2？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
12．已知关于的方程
(1)求证：无论取任何实数，该方程总有实数根；
(2)若等腰三角形的三边长分别为，其中，并且恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．
13．已知关于的方程；
(1)求证：方程总有实数根；
(2)若方程的两根为直角三角形的两边长，且，求的值及该直角三角形的周长．
14．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
(1)若，求m的值；
(2)已知的斜边长为，而且，恰好是另外两条直角边的长，求这个的周长．
15．已知关于的一元二次方程．
(1)证明：无论取何值，此方程必有实数根；
(2)若的两直角边，的长恰好是该方程的两个实数根，且斜边的长为5，求的值；
(3)若等腰三角形的一边长为6，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长．
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