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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题2.6 换元法解一元二次方程阅读题型专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值.
解：设，则原方程变为，整理得，，
∴，∵，∴.
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.
(1)已知实数x，y满足，求的值；
(2)设a，b满足等式，求的值；
(3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数.
【答案】(1)
(2)
(3)这四个连续正整数为1，2，3，4
【详解】（1）解：设，则，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，
（2）解：设，则，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，
（3）解：设最小正整数为x，则，即：，
设，则，
解得：，，
∵x为正整数，
∴，
解得，（舍去），
故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4．
2．阅读下面的例题，回答问题：
例：解方程：
令，原方程化成
解得（不合题意，舍去）
原方程的解是．
请模仿上面的方法解方程：
【答案】
【详解】解：令，则原方程化为，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
解得．
3．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为①，解得．
当时，．
当时，．
原方程的解为．
由原方程得到①的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想．
阅读后解答问题：
(1)利用上述材料中的方法解方程：；
(2)已知一元二次方程的两根分别为，求方程的两根．
【答案】(1)
(2)和
【详解】（1）令，则，
或，
解得或．
当时，，
即，
解得．
当时，，
即，
解得．
综上，原方程的解为．
（2）一元二次方程的两根分别为，
方程中或．
解得：或．
即方程的两根分别是和．
4．阅读下面的材料，回答问题：
解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为①，解得，．
当时，，；
当时，，；
原方程有四个根：，，，．
这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
(1)方程的解为________．
(2)仿照材料中的方法，尝试解方程．
【答案】(1)，
(2)，；
【详解】（1）解：设，则原方程变为，
解得：，，
当时，，解得；
当时，，方程无解；
故原方程的解为：，，
故答案为：，．
（2）解：设，则原方程变为，
解得：，，
当时，，解得：，；
当时，，即，
，
方程无解；
故原方程的解为：，．
5．阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则．
例：，
解：令，原方程化为，解得，，
当时，（无意义，舍去）
当时，，解得，
原方程的解为，．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，，
(2)、
【详解】（1）解：令，原方程化为，
解得，．
当时，，解得．
当时，，解得．
原方程的解为：，，
（2）令，原方程化为，
解得，
当时，（无意义舍去）
当时，，解得、．
原方程的解为、．
6．解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可．
根据上述方法，完成下列问题：
(1)若，则的值为___________；
(2)解方程：．
【答案】(1)2
(2)或或或
【详解】（1）解：设，
原方程为：，即，
，
，
或，
，
，
，
故答案为：2；
（2）解：设，
原方程为：，即，
，
或，
当时，，
，
或；
当时，，
，
或；
综上，或或或．
7．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，解得，．
当时，，．
当时，，，．
原方程的解为，，，．
由原方程得到的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想．
阅读后解答问题：
(1)利用上述材料中的方法解方程：；
(2)已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别是什么？请说明理由．
【答案】(1)原方程的解为，，
(2)方程的两根分别是和，理由见详解
【详解】（1）
解：令，
则，
，
或，
解得或，
当时，，即，
解得，，
当时，，即，
解得，
综上，原方程的解为，，
（2）
一元二次方程的两根分别为，，
方程中或，
解得：或，
即方程的两根分别是和．
8．解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，，
当时，，，∴；
当时，，，∴．
∴原方程的解为，，，．
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
运用上述方法解答下列问题：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【详解】（1）解：，
设，则原方程化为，
∴，
∴或（舍去），
即，
∴，；
（2）解：，
设，则原方程化为，
∴，
∴或，
当时，可有，解得，，
当时，可有，
∵，
∴该方程无解，
∴原方程的解为，．
9．阅读下面的解题过程：
为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为①，解得，．当时，，∴．∴．当时，，∴．∴．∴原方程的解为，，，．
回答下列问题：
(1)由原方程得到方程①的过程中，利用_________法达到了降次的目的，这种方法体现了_______的数学思想；
(2)解方程．
【答案】(1)换元；转化
(2)该方程的解为，
【详解】（1）解：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想，
故答案为：换元；转化．
（2）解：令，原方程化为，
∴，
∴或，
∴或；
当时，，
∴该方程无解；
当时， ，
，
综上，该方程的解为， ．
10．阅读材料：
在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：．
解：设，则原方程可化为：．
解得：．
当时，，∴；
当时，，∴．
∴原方程的解是：．
上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：
(1)解方程：；
(2)解方程：．
(3)解方程：．
【答案】(1)；
(2)；
(3)和．
【详解】（1）解：设，则原方程可化为：．
解得：．
当时，，
∴；
当时，，
∴．
∴原方程的解是：；
（2）解：设，则原方程可化为，
即，
解得：或，
当时，，
∴；
当时，，
∴；
∴原方程的解是：；
（3）解：设，则原方程可化为，
整理得，
∴，
解得：或，
当时，，即，
由知此时方程无解；
当时，，即，
解得：或，
经检验和都是原分式方程的解．
11．【阅读材料】解方程．
解：设,则原方程可变形为．
当时，
当时，,此方程无实数根．
∴原方程的解为．我们将上述解方程的方法叫做换元法．
【问题解决】利用上述方法解方程．
【答案】
【详解】解：设，则原方程可变形为．
解得：，
当时，，解得，
当时，，解得．
∴原方程的解为．
12．解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，．
当时，，，；
当时，，，．
原方程的解为，，，．
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
运用上述方法解答下列问题：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【详解】（1）解：，
，
，
，，
解得：，（不合题意，舍去），
则，．
（2）设，则
，
，
当时，，，，
当时，，无解．
故方程的解为，．
13．请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则所以．
把代入已知方程，得
化简，得
故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
(2)已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数，并写出系数a、c的取值范围．
【答案】(1)
(2)，，
【详解】（1）解：设所求方程的根为y，则所以．
把代入已知方程，得
化简，得
故所求方程为．
（2）设所求方程的非零实根为y，则所以．
把代入已知方程，得
化简，得
故所求方程为；
因为新方程和原方程分别有两个非零实数根，根据一元二次方程一般性质和特点，则有
， ．
14．阅读下面的材料，回答问题：方程一个一元四次方程，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为①，解①得．
当时，，，；
当时，，．
∴原方程的解为，，，．
(1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到 的目的(填“降次”或“消元”)，体现了数学的转化思想；
(2)仿照上面的方法，解方程．
【答案】(1)降次
(2)
【详解】（1）解：利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想，
故答案为：降次．
（2）解：
设，
∴原方程化为：
∴
解得：
当时，，即，
∴
解得：；
当时，，即
∵
∴此方程无解，
∴原方程的根为
15．阅读材料：
为解方程，我们可以将视为一个整体，设，
则原方程可化为，①
解得，．
当时，，∴即．
当时，，∴即．
∴原方程的解为，，，．
根据以上材料，解答下列问题．
(1)填空：在原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了_____的数学思想．
(2)解方程
【答案】(1)转化
(2)，
【详解】（1）解：在原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
故答案为：转化；
（2）设，则原方程可化为，
解得，（不合题意，舍去），
由可得，，
故方程的解是，．
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2023-2024年数学八年级下册重难点专题提升【浙教版】
专题2.6 换元法解一元二次方程阅读题型专练（15道）
综合题（本卷共15道，总分60分）
1．阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值.
解：设，则原方程变为，整理得，，
∴，∵，∴.
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.
(1)已知实数x，y满足，求的值；
(2)设a，b满足等式，求的值；
(3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数.
2．阅读下面的例题，回答问题：
例：解方程：
令，原方程化成
解得（不合题意，舍去）
原方程的解是．
请模仿上面的方法解方程：
3．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为①，解得．
当时，．
当时，．
原方程的解为．
由原方程得到①的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想．
阅读后解答问题：
(1)利用上述材料中的方法解方程：；
(2)已知一元二次方程的两根分别为，求方程的两根．
4．阅读下面的材料，回答问题：
解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为①，解得，．
当时，，；
当时，，；
原方程有四个根：，，，．
这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
(1)方程的解为________．
(2)仿照材料中的方法，尝试解方程．
5．阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则．
例：，
解：令，原方程化为，解得，，
当时，（无意义，舍去）
当时，，解得，
原方程的解为，．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
6．解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可．
根据上述方法，完成下列问题：
(1)若，则的值为___________；
(2)解方程：．
7．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，解得，．
当时，，．
当时，，，．
原方程的解为，，，．
由原方程得到的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想．
阅读后解答问题：
(1)利用上述材料中的方法解方程：；
(2)已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别是什么？请说明理由．
8．解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，，
当时，，，∴；
当时，，，∴．
∴原方程的解为，，，．
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
运用上述方法解答下列问题：
(1)；
(2)．
9．阅读下面的解题过程：
为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为①，解得，．当时，，∴．∴．当时，，∴．∴．∴原方程的解为，，，．
回答下列问题：
(1)由原方程得到方程①的过程中，利用_________法达到了降次的目的，这种方法体现了_______的数学思想；
(2)解方程．
10．阅读材料：
在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：．
解：设，则原方程可化为：．
解得：．
当时，，∴；
当时，，∴．
∴原方程的解是：．
上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：
(1)解方程：；
(2)解方程：．
(3)解方程：．
11．【阅读材料】解方程．
解：设,则原方程可变形为．
当时，
当时，,此方程无实数根．
∴原方程的解为．我们将上述解方程的方法叫做换元法．
【问题解决】利用上述方法解方程．
12．解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，．
当时，，，；
当时，，，．
原方程的解为，，，．
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
运用上述方法解答下列问题：
(1)；
(2)．
13．请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则所以．
把代入已知方程，得
化简，得
故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
(2)已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数，并写出系数a、c的取值范围．
14．阅读下面的材料，回答问题：方程一个一元四次方程，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为①，解①得．
当时，，，；
当时，，．
∴原方程的解为，，，．
(1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到 的目的(填“降次”或“消元”)，体现了数学的转化思想；
(2)仿照上面的方法，解方程．
15．阅读材料：
为解方程，我们可以将视为一个整体，设，
则原方程可化为，①
解得，．
当时，，∴即．
当时，，∴即．
∴原方程的解为，，，．
根据以上材料，解答下列问题．
(1)填空：在原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了_____的数学思想．
(2)解方程
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