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第5章 特殊平行四边形 （基础过关）
时间：100分钟 总分：120分
选择题（每题3分，共24分）
1．对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是（ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形
【答案】A
【分析】本题考查正方形的判定，掌握正方形判定定理是解题的关键．
【解析】对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是正方形，
故选A．
2．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．邻边相等
【答案】B
【分析】本题考查正方形和菱形的性质，根据对角线相等的菱形是正方形即可得出结果．
【解析】解：∵对角线相等的菱形是正方形，
∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等；
故选B．
3．菱形的对角线长分别为5和8，它的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了求菱形的面积，正确理解菱形的面积求法是解答本题的关键．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.．根据菱形面积的求法，即得答案．
【解析】因为菱形的对角线的长分别是5和8，
所以菱形的面积为．
故选B．
4．已知在四边形中，，下列可以判定四边形是正方形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键．根据题意得到四边形为矩形，再由邻边相等的矩形为正方形即可得证．
【解析】解：∵，
∴四边形为矩形，
能使这个四边形是正方形的是邻边相等，即，
故选D．
5．如图，在平行四边形中，添加下列条件后不能判定平行四边形是菱形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查菱形的判定，根据邻边相等的平行四边形为菱形，对角线垂直的平行四边形为菱形，进行判断即可．
【解析】解：A、，根据邻边相等的平行四边形为菱形，可以得到平行四边形是菱形，不符合题意；
B、，可以得到平行四边形为矩形，符合题意；
C、∵，，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；不符合题意；
D、，根据对角线垂直的平行四边形为菱形，可以得到平行四边形是菱形，不符合题意；
故选B．
6．如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．连接，过作轴于，由矩形的性质得，再由点的坐标得，，然后由勾股定理求出的长，即可解决问题．
【解析】解：如图，连接，过作轴于，
四边形是矩形，
，
点的坐标是，
，，
，
，
故选：C
7．已知，如图，在矩形中，是上的一点，且，于点若，，则矩形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，证得三角形全等是解题的关键．连接，利用矩形的性质，则可证得，进一步可证得，得，，设，则，在中，利用勾股定理，可求得，可求得矩形的面积．
【解析】解：连结，如图，
四边形是矩形，
，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，
在和中，
，
∴．
，，
设，
则，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
．
故选：D．
8．如图，在矩形中，分别为对角线上三点，为上一点，分别沿折叠和，使得点A、C的对应点恰好都落在点上，则的长等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理以及折叠性质，先根据折叠得出，结合矩形性质，得出，再根据勾股定理列式计算，即可作答．
【解析】解：∵折叠
∴
∵四边形是矩形
∴
∴
∵
∴
在中，
即
解得
∴
故选：B
二、填空题（每题3分，共24分）
9．在正方形、长方形、线段、等边三角形和平行四边形这五种图形中，不是中心对称图形的是 ．
【答案】等边三角形
【分析】本题考查了中心对称图形有识别，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的定义判断得出即可．
【解析】解：正方形、长方形、线段、等边三角形和平行四边形这五种图形中、线段和平行四边形和正方形和长方形都是中心对称图形，只有等边三角形是旋转对称图形但不是中心对称图形；
故答案为：等边三角形．
10．矩形的周长为，对角线相交于点，的周长比的周长多，则矩形的各边长分别为 ．
【答案】
【分析】
本题考查矩形的知识，熟知矩形的性质是解题的关键；
本题考查矩形的性质，根据矩形的对角线相等且平分，结合已知条件，列出等式进行计算即可．
【解析】∵矩形的周长为，
∴cm，
∴cm．①
∵的周长比的周长多cm，
∴cm．
∵点是矩形的对角线的交点，
∴，
∴cm．②
联立①②，解得cm， cm．
∴cm， cm．
∴矩形的各边长分别为．
故答案为：
11．如图，将长方形纸片沿其对角线折叠，使点落在点的位置，与交于点． 若，求图中阴影部分的周长 ．
【答案】
【分析】本题考查了图形的折叠问题及矩形的性质．熟记翻折前后两个图形能够重合找出相等的线段是解题的关键．阴影部分的周长为，即矩形的周长计算解题．
【解析】证明：∵四边形为矩形，
∴，，
由翻折可得，
∴阴影部分的周长为
，
故答案为：．
12．如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，．已知，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、勾股定理解直角三角形、正方形的性质，作垂直于，交的延长线于点，可证得，在中，利用勾股定理即可求得答案．
【解析】如图所示，作垂直于，交的延长线于点．
∵，，
∴．
在和中
∴．
∴，．
∴．
∴．
故答案为：
13．已知：如图，在矩形内一些相交线把它分成8个部分，其中的3个部分面积分别为13，35，49，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】97
【分析】本题考查了矩形的性质，将多个不规则的图形补凑成规则图形是解题关键．令其中2个部分的面积分别为、，用两种方式表述出矩形面积的一半，化简即可求出阴影部分的面积．
【解析】解：如图，令其中2个部分的面积分别为、，
矩形面积的一半，矩形面积的一半，
，
，
故答案为：97．
14．如图，矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】连接BF，交交于点O，由折叠可知：，，可得，，再证，得到，在中，利用等面积法求出的长，最后在中，利用勾股定理即可求出答案．
【解析】解：连接，交于点O，如下图：
由折叠可知：
，，
∴，，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，平行线的判定和性质等内容，熟练掌握翻折变换和勾股定理的应用是解题的关键．
15．如图，将边长为的正方形折叠，使得点落在上的点处．若折痕的长为，则 ．
【答案】9
【分析】本题主要考查了正方形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．利用证明，得，再利用勾股定理可得答案．
【解析】解：四边形是正方形，
，，
作于，连接，
则四边形是矩形，
，
由翻折知，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
故答案为：9．
16．如图，正方形的边长为4，点为边的中点，点是边上不与端点重合的一动点，连接．将沿翻折，点的对应点为点，则线段长的最小值为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，根据得到当点、、在同一条直线上时，的长度有最小值，然后结合正方形的性质，折叠的性质，以及勾股定理，即可求出答案．
【解析】解：连接，
∵，
∴当点、、在同一条直线上时，的长度有最小值，
由翻折的性质，，
在正方形中，，，
点为边的中点，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（每题8分，共72分）
17．如图，在平行四边形中，过点作于点点在边上，连接
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若平分求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由在平行四边形中，得到由可得根据矩形的判定即可求证．
（2）根据平行线的性质和角平分线的性质可得由勾股定理可求出即可得出结论．
【解析】（1）∵四边形是平行四边形，
又
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
（2）∵平分
∴矩形BFDE的面积是：
【点睛】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，角平分线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解此题的关键．
18．如图，在菱形中，、分别为边和上的点，且．连接、交于点．求证：．
【答案】证明见解析．
【分析】先证△DAF≌△DCE，再证△AEG≌△CFG，最后证△DGE≌△DGF，根据全等三角形的性质即可得到∠DGE＝∠DGF．
【解析】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC＝AB＝BC，
∵AE＝CF，
∴DE＝DF
在△DAF和△DCE中，
，
∴△DAF≌△DCE（SAS），
∴∠EAG＝∠FCG，
在△AEG和△CFG中，
，
∴△AEG≌△CFG（AAS），
∴EG＝FG，
在△DGE和△DGF中，
，
∴△DGE≌△DGF（SSS），
∴∠DGE＝∠DGF．
【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
19．如图，在中，平分，交于点，平分，交于点．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形是矩形．
【答案】(1)见解析
(2)四边形是矩形
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）由平行四边形的性质得出，由角平分线的定义得出，则，可证出结论；
（2）由等腰三角形的性质得出，则可得出结论．
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，平分，
，，
，
∴，
又，
四边形是平行四边形．
．
（2）证明：，平分，
，
又四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
20．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点在格点上，分别按要求画出图形：
(1)在图1中画出两个以为斜边的直角三角形，且点C在格点上；
(2)在图2中画出一个以为对角线的菱形，且D，E在格点上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质及直角三角形的性质作图；
（2）根据等边三角形的性质及菱形的性质作图．
本题考查了作图的应用与设计，掌握等边三角形的性质、直角三角形的性质及菱形的性质是解题的关键．
【解析】（1）解：点即为所求；
（2）解：菱形即为所求．
21．如图，矩形中，对角线相交于点O．于点M，于点N．求证：．
【答案】证明见解析．
【分析】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定及性质，利用矩形的性质及证得，进而可求证结论，熟练掌握相关判定及性质是解题的关键．
【解析】证明：∵四边形是矩形．
，，，
．
∵，，
．
在和中，
，
，
．
22．如图，在矩形中，对角线相交于点．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)连接，若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)6
【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定：
（1）先证明四边形是平行四边形，再由矩形的性质得到，由此即可证明四边形为菱形；
（2）由菱形的性质得到，进而证明四边形是平行四边形，则．
【解析】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
矩形的对角线相交于点O，
，
四边形是菱形；
（2）解：如图，连接，交于点F，
由（1）知，四边形是菱形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
23．如图，在矩形纸片中，点是边上的任意一点．
(1)如图1，若将沿直线翻折，点恰好落在边上的点处，与的交点为，求证：四边形是菱形；
(2)如图2，若，，将沿直线翻折到处，延长交于点，延长交于点，且，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了矩形的性质，菱形的判定，图形的翻折变换及性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握图形的翻折变换及性质．
（1）首先由翻折的性质得：为的垂直平分线，，，再根据线段垂直平分线的性质，据此可得出结论；
（2）设，，则，由翻折的性质得：，，，进而得，，然后再由勾股定理可求出，进而求出，最后在和由勾股定理列出关于的方程，解方程求出即可．
【解析】（1）证明：由翻折的性质得：为的垂直平分线，，，
∵与的交点为，且，，
∴为的垂直平分线，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形为矩形，且，，
，，，
设，，
，
由翻折的性质得：，，，
，，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：，
，
，
连接，
在中，由勾股定理得：，
即：，
在中，由勾股定理得：，
即：，
，
解得：．
．
24．如图1，在正方形和正方形中，点A，B，E在同一条直线上，连接，且P是线段的中点，连接．
(1)如图1中，与的位置关系是 ，数量关系是 ；
(2)如图2将条件“正方形和正方形”改为“矩形和矩形”其它条件不变，求证：；
(3)如图3，若将条件“正方形和正方形”改为“菱形和菱形”，点A，B，E在同一条直线上，连接DF，P是线段．P是线段的中点，连接，且，求证：．
【答案】(1)，，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）延长交于点H，根据正方形的性质得，则，可得，根据P是线段的中点得，证明，可得，则，可得是等腰直角三角形，根据，即可得；
（2）延长交于点H，根据矩形的性质得，可得，则，根据P是线段的中点得，证明，可得，根据得是直角三角形，可得，即可得；
（3）延长交于点H，根据P是线段的中点得，根据菱形的性质和点A，B，E在同一条直线上得，则，证明，可得，根据得，可得是等腰三角形，则，，根据得，可得，结合含30度角的直角三角形的性质即可证明结论．
【解析】（1）解：，；理由如下：
如图1，延长交于点H，
∵四边形和是正方形，
∴
∴，
∴，
∵P是线段的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴且，
故答案为：，；
（2）解：如图2，延长交于点H，
∵四边形和是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵P是线段的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是直角三角形，
∴，
∴；
（3）解：如图3，延长交于点H，
∵P是线段的中点，
∴，
∵四边形和四边形是菱形，点A，B，E在同一条直线上，
∴，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴是等腰三角形，
∴（等腰三角形三线合一）
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，正确添加辅助线．
25．阅读：顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形．八（1）班的宣传小组A、B、C三名同学在布置班级文化时，他们需要从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形．
A说：我会折，横对折后再竖对折，剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形．
B说：我会画，作一组对边上两点连线的垂直平分线，然后连线也可以得到菱形．
C说：我会叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形，则这个四边形也是菱形．（两两相交：一个矩形的两条长边与另一个矩形的两条长边都相交）
（一）操作与画图．
1．在图1中画出折、剪、展所得的最大内接菱形，它是菱形的依据是_______．
2．在图2中用尺规作出所得的最大内接菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）．
3．在图3中画出重叠后的最大内接菱形，并画出另一矩形的摆放位置．
（二）证明与计算
1．标上必要的字母，证明图2中操作得到的四边形是菱形．
2．已知矩形，结合图1，图2，图3，计算此矩形内接菱彤的面积最大值是________．
（三）拓展与应用
如图，矩形的最大内接菱形的面积是矩形面积的，则________．
【答案】（一）操作与画图：1．折图见解析，四边相等的四边形为菱形或对角线垂直且互相平分的四边形为菱形；2．详见解析；3．详见解析；（二）证明与计算：1．详见解析；2．；（三）拓展与应用：或
【分析】（一）操作与画图：1．利用矩形的轴对称性质可以折出矩形的最大的内接菱形，由对折可得：，从而可得结论；或由对折可得：从而可得答案；2．连接，再作的垂直平分线分别与于，从而可得答案；3．如图，画矩形与矩形，满足一条对角线按图所示重合即可得到答案．
（二）证明与计算：1．先证明，得到结合，，从而可得结论；2．由图1的菱形面积等于矩形面积的一半，从而可得答案；图2,3中，设AF=FC=x，利用勾股定理求解，从而可得菱形的面积；
（三）拓展与应用：如图4中，不妨设AB＜AD，以AC为菱形的对角线，此时菱形的面积最大，由已知可得设CF=5k，BC=9k，则BF=4k，再利用勾股定理表示，从而分＜，＞两种情况求解即可．
【解析】解：（一）操作与画图．
1．如图，由对折可得：，
四边形是菱形．
或：由对折可得：
四边形是菱形．
所以依据是：四边相等的四边形为菱形或对角线垂直且互相平分的四边形为菱形．
故答案为：四边相等的四边形为菱形或对角线垂直且互相平分的四边形为菱形．
2．连接再作的垂直平分线分别与于，
则四边形是所求作的菱形．作图如下：
3．如图所示，让矩形的两条对角线互相重合，重叠部分是所求作的菱形，
（二）证明与计算：1．证明：由题意知：矩形
，
是的垂直平分线，
，
四边形为平行四边形
又
平行四边形为菱形
2．解：如图1中，菱形AECF的面积=．
如图2，3中，设AF=FC=x，
在Rt中，∵∠B=90°，
∴，
∴
解得
∴菱形AECF的面积=
∵＞24，
∴此矩形内接菱形的面积最大值是．
故答案为．
（三）拓展与应用：
解：如图4中，不妨设AB＜AD，以AC为菱形的对角线，此时菱形的面积最大，
由题意：
∴
设CF=5k，BC=9k，则BF=4k，
在Rt中，
∵∠B=90°，AF=CF=5k，BF=4k，
∴
∴
当AB＞AD时，同法可得
故答案为或3：1．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，轴对称的性质，垂直平分线的性质，三角形的全等的判定与性质，勾股定理的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
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整体难度：较易
细 目 表 分 析
题号 难度系数 详细知识点
一、选择题
1 0.94 正方形的判定定理理解；
2 0.94 利用菱形的性质证明；正方形性质理解；
3 0.94 利用菱形的性质求面积；
4 0.94 添一个条件使四边形是正方形；
5 0.85 添一个条件使四边形是菱形；
6 0.85 坐标与图形；用勾股定理解三角形；根据矩形的性质求线段长；
7 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；用HL证全等（HL）；用勾股定理解三角形；根据矩形的性质求线段长；
8 0.65 用勾股定理解三角形；矩形与折叠问题；
二、填空题
9 0.94 等边三角形的性质；正方形性质理解；中心对称图形的识别；
10 0.94 根据矩形的性质求线段长；
11 0.94 矩形与折叠问题；
12 0.85 全等三角形综合问题；用勾股定理解三角形；根据正方形的性质证明；
13 0.85 根据矩形的性质求面积；
14 0.85 根据平行线判定与性质证明；用勾股定理解三角形；矩形与折叠问题；折叠问题；
15 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；用勾股定理解三角形；正方形折叠问题；
16 0.65 用勾股定理解三角形；正方形折叠问题；
三、解答题
17 0.94 用勾股定理解三角形；利用平行四边形的性质证明；证明四边形是矩形；
18 0.94 用SAS直接证明三角形全等；利用菱形的性质证明；
19 0.85 利用平行四边形性质和判定证明；证明四边形是矩形；
20 0.85 等边三角形的性质；在网格中判断直角三角形；利用菱形的性质证明；
21 0.85 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；利用矩形的性质证明；
22 0.85 利用平行四边形的判定与性质求解；矩形性质理解；利用菱形的性质证明；证明四边形是菱形；
23 0.65 勾股定理与折叠问题；矩形与折叠问题；证明四边形是菱形；
24 0.65 全等三角形综合问题；利用矩形的性质证明；利用菱形的性质证明；根据正方形的性质证明；
25 0.65 用勾股定理解三角形；矩形性质理解；证明四边形是菱形；根据成轴对称图形的特征进行求解；
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第5章 特殊平行四边形 （基础过关）
时间：100分钟 总分：120分
选择题（每题3分，共24分）
1．对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是 （ ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形
2．正方形具有而菱形不一定具有的性质是 （ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．邻边相等
3．菱形的对角线长分别为5和8，它的面积为 （ ）
A． B． C． D．
4．已知在四边形中，，下列可以判定四边形是正方形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平行四边形中，添加下列条件后不能判定平行四边形是菱形的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．4
7．已知，如图，在矩形中，是上的一点，且，于点若，，则矩形的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在矩形中，分别为对角线上三点，为上一点，分别沿折叠和，使得点A、C的对应点恰好都落在点上，则的长等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（每题3分，共24分）
9．在正方形、长方形、线段、等边三角形和平行四边形这五种图形中，不是中心对称图形的是 ．
10．矩形的周长为，对角线相交于点，的周长比的周长多，则矩形的各边长分别为 ．
11．如图，将长方形纸片沿其对角线折叠，使点落在点的位置，与交于点． 若，求图中阴影部分的周长 ．
12．如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，．已知，，则的长为 ．
13．已知：如图，在矩形内一些相交线把它分成8个部分，其中的3个部分面积分别为13，35，49，则图中阴影部分的面积是 ．
14．如图，矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长为 ．
15．如图，将边长为的正方形折叠，使得点落在上的点处．若折痕的长为，则 ．
16．如图，正方形的边长为4，点为边的中点，点是边上不与端点重合的一动点，连接．将沿翻折，点的对应点为点，则线段长的最小值为 ．
三、解答题（每题8分，共72分）
17．如图，在平行四边形中，过点作于点点在边上，连接
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若平分求四边形的面积．
18．如图，在菱形中，、分别为边和上的点，且．连接、交于点．求证：．
19．如图，在中，平分，交于点，平分，交于点．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形是矩形．
20．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点在格点上，分别按要求画出图形：
(1)在图1中画出两个以为斜边的直角三角形，且点C在格点上；
(2)在图2中画出一个以为对角线的菱形，且D，E在格点上．
21．如图，矩形中，对角线相交于点O．于点M，于点N．求证：．
22．如图，在矩形中，对角线相交于点．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)连接，若，求的长．
23．如图，在矩形纸片中，点是边上的任意一点．
(1)如图1，若将沿直线翻折，点恰好落在边上的点处，与的交点为，求证：四边形是菱形；
(2)如图2，若，，将沿直线翻折到处，延长交于点，延长交于点，且，求的长．
24．如图1，在正方形和正方形中，点A，B，E在同一条直线上，连接，且P是线段的中点，连接．
(1)如图1中，与的位置关系是 ，数量关系是 ；
(2)如图2将条件“正方形和正方形”改为“矩形和矩形”其它条件不变，求证：；
(3)如图3，若将条件“正方形和正方形”改为“菱形和菱形”，点A，B，E在同一条直线上，连接DF，P是线段．P是线段的中点，连接，且，求证：．
25．阅读：顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形．八（1）班的宣传小组A、B、C三名同学在布置班级文化时，他们需要从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形．
A说：我会折，横对折后再竖对折，剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形．
B说：我会画，作一组对边上两点连线的垂直平分线，然后连线也可以得到菱形．
C说：我会叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形，则这个四边形也是菱形．（两两相交：一个矩形的两条长边与另一个矩形的两条长边都相交）
（一）操作与画图．
1．在图1中画出折、剪、展所得的最大内接菱形，它是菱形的依据是_______．
2．在图2中用尺规作出所得的最大内接菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）．
3．在图3中画出重叠后的最大内接菱形，并画出另一矩形的摆放位置．
（二）证明与计算
1．标上必要的字母，证明图2中操作得到的四边形是菱形．
2．已知矩形，结合图1，图2，图3，计算此矩形内接菱彤的面积最大值是________．
（三）拓展与应用
如图，矩形的最大内接菱形的面积是矩形面积的，则________．
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