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第六章 反比例函数 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024年云南省楚雄彝族自治州中考一模数学试题）若点在反比例函数的图象上，则a的值是（ ）
A． B．1 C． D．3
3．（2024·山东临沂·二模）若点，，，都在反比例函数（k为常数）的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知是反比例函数的图象上的动点，若我们把叫做点P的伴随点，则点Q所在函数的表达式为 （ ）
A． B． C． D．
5．（23-24九年级下·云南·阶段练习）如图，点在反比例函数的图象上，过点分别作轴，轴的垂线段，，若矩形的面积为8，则的值为（ ）
A．8 B． C．4 D．
6．（2024·吉林长春·一模）如图，矩形的边在轴正半轴上，边在第一象限，，．当点在反比例函数的图象上时，的中点也恰好在的图象上．则的值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
7．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，是函数在第一象限的图象上任意一点，点关于原点的对称点为，过作平行于轴，过作平行于轴，与交于点点，则的面积（ ）
A．随点的变化而变化 B．等于8
C．等于4 D．等于6
8．（2024·河南·二模）河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义．其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放在湿敏电阻上，使的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示．观察图象，下列说法不正确的是（ ）
A．当没有粮食放置时，的阻值为
B．的阻值随着粮食水分含量的增大而减小
C．该装置能检测的粮食水分含量的最大值是
D．湿敏电阻与粮食水分含量之间是反比例关系
9．（2024九年级下·安徽·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点恰好落在双曲线，现将正方形向下平移个单位，可以使得顶点落在双曲线上，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．2
10．（2024九年级下·江苏·专题练面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，其中点B在第三象限．设为双曲线上一点（点M异于点B），直线，分别交x轴于C，D两点，则C，D两点横坐标的和为（ ）
A．0 B． C． D．
二、填空题（6小题，每小题2分，共12分）
11．（山西省晋城市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）若反比例函数的图象经过点，则k的值为 ．
12．（2024·四川成都·二模）已知点，都在反比例函数的图象上，则 ．（填“”，“”或“”）
13．（2024·陕西·一模）如图，两点在反比例函数的图象上，分别经过两点向两坐标轴作垂线段，已知，则空白部分的值为 ．
14．（2024年内蒙古包头市初中数学中考一模试题）如图，为反比例函数图象上一点，过点作轴，垂足为，反比例函数的图象交线段于点．若的面积为3，则的值为 ．
15．（23-24九年级下·湖南株洲·期中）如图，点A、C是反比例函数的图象不同的两点，其中点A的横坐标为，点C的纵坐标为，点B为直线与该反比例函数图象的另一交点，连接和，若的面积为11，则m的值为 ．
16．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图①，已知点，，的边与轴交于点，且为的中点，双曲线经过两点．点在双曲线上，点在轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为 ．
三、解答题（8小题，共68分）
17．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）已知y与x成反比例，且其函数图象经过点．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当时，求x的值．
18．（23-24八年级下·全国·课后作业）学校课外生物兴趣小组打算自己动手用旧围栏在一个长为的墙边围出一个面积为10的长方形饲养场，饲养场平行于墙的长为，垂直于墙的长为．求y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．
19．（23-24九年级上·天津北辰·阶段练习）已知反比例（为常数，）的图象经过点
(1)求的值
(2)当时，求函数的取值范围；
(3)点，在这个反比例函数图象上，且，比较、、0的大小．
20．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一，三象限内的，两点，与轴交于点．
(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；
(2)在第三象限的反比例函数图象的一点，使得的面积等于18，求点的坐标．
21．（2024·广东广州·一模）越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，家住东涌的李老师决定用骑行代替开车去天后宫．当路程一定时，李老师骑行的平均速度v（单位：千米/小时）是骑行时间t（单位：小时）的反比例函数．根据以往的骑行两地的经验，v、t的一些对应值如下表：
t（小时） 2 1.5 1.2 1
v（千米/小时） 12 16 20 24
(1)根据表中的数据，求李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式；
(2)安全起见，骑行速度一般不超过30千米/小时．李老师上午8:30从家出发，请判断李老师能否在上午9:10之前到达天后宫，并说明理由；
(3)据统计，汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳．请计算李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量．
22．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，直线与双曲线相交于两点．
(1)求直线和双曲线的解析式；
(2)直接写出当时，的取值范围；
(3)连接，求的面积．
23．（23-24八年级下·山西临汾·期中）综合与探究
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴、轴分别相交于点D，C，连接．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式．
(2)求的面积．
(3)在y轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2024·山东济南·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求反比例函数的表达式及的值．
(2)将沿直线翻折，点落在第一象限内的点处，与反比例函数的图象交于点．
①求点的坐标．
②在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
第六章 反比例函数 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义：一般地，形如（）的函数是反比例函数．进行判断即可．
【详解】解：根据反比例函数的定义，可得是反比例函数．
故选：C
2．（2024年云南省楚雄彝族自治州中考一模数学试题）若点在反比例函数的图象上，则a的值是（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查反比例函数图象的性质，把点代入反比例函数即可求解；
【详解】解：点在反比例函数的图象上，
，
，
故选：C．
3．（2024·山东临沂·二模）若点，，，都在反比例函数（k为常数）的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的特征．由可知，此函数图象在第一、三象限，根据反比例函数的性质即可判定．
【详解】解：∵，
∴反比函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴在第三象限内，在第一象限内，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知是反比例函数的图象上的动点，若我们把叫做点P的伴随点，则点Q所在函数的表达式为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
将代入得，即可得出点Q所在函数的表达式．
【详解】解：将代入得：，
则点Q的横坐标纵坐标相等，
所以点Q所在函数的表达式为．
故选B．
5．（23-24九年级下·云南·阶段练习）如图，点在反比例函数的图象上，过点分别作轴，轴的垂线段，，若矩形的面积为8，则的值为（ ）
A．8 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数解析式的几何定义，理解反比例函数解析式的几何定义是解题关键．根据题意，由反比例函数解析式的几何定义得，即可得出的值．
【详解】解：点在反比例函数的图像上，轴，垂足为A，轴，垂足为B，
，
，
故选：A．
6．（2024·吉林长春·一模）如图，矩形的边在轴正半轴上，边在第一象限，，．当点在反比例函数的图象上时，的中点也恰好在的图象上．则的值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握点的坐标特征是解答本题的关键．设D点坐标为，则，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出即可求解．
【详解】解：设D点坐标为，则，
∵E是的中点，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴．
故选：D．
7．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，是函数在第一象限的图象上任意一点，点关于原点的对称点为，过作平行于轴，过作平行于轴，与交于点点，则的面积（ ）
A．随点的变化而变化 B．等于8
C．等于4 D．等于6
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、关于原点对称的点的坐标，设，则，根据题意得，再根据函数解析式即可求解，解决本题的关键把所求的三角形的面积整理为和反比例函数的比例系数有关的式子．
【详解】解：设，则，
那么的面积，
，
∴的面积为8，
故选B．
8．（2024·河南·二模）河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义．其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放在湿敏电阻上，使的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示．观察图象，下列说法不正确的是（ ）
A．当没有粮食放置时，的阻值为
B．的阻值随着粮食水分含量的增大而减小
C．该装置能检测的粮食水分含量的最大值是
D．湿敏电阻与粮食水分含量之间是反比例关系
【答案】D
【分析】本题考查了物理与数学的跨学科综合，成反比例关系的概念，从函数图象获取信息，是解题的关键．
根据图象对每一个选项逐一判断即可．
【详解】解：A、当没有粮食放置时，即水分含量为0，由图象可知的阻值为，故本选项不符合题意；
B、由图象可知，的阻值随着粮食水分含量的增大而减小，故本选项不符合题意；
C、由图象可知，该装置能检测的粮食水分含量的最大值是，故本选项不符合题意；
D、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于0的常数，那么就说这两个变量成反比例，从图象中得到当水分含量为0时，的阻值为，此时这水分含量的阻值为0，不符合成反比例关系的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
9．（2024九年级下·安徽·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点恰好落在双曲线，现将正方形向下平移个单位，可以使得顶点落在双曲线上，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】B
【分析】先求出点，，过点作轴于；过点作轴于，轴于，可证和全等从而得，，据此可求出点，同理可求出点，据此可求出双曲线的解析式，设与双曲线交于点，则，据此可得点，最后将点代入双曲线的解析式即可求出的值．此题主要考查了反比例函数的图象，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定方法，难点是在解答时，理解与双曲线交点之间的距离就是向下平移的长度单位．
【详解】解：对于，当时，，当时，，
点，点，
，，
过点作轴于；过点作轴于，轴于，
四边形为正方形，
，，
，
又，
，
在和中，
，
，
，，
，
点的坐标为，
同理可证：，
，，
，
点的坐标为，
点在双曲线上，
，
双曲线的解析式为：，
设与双曲线交于点，
将正方形向下平移个单位，使顶点落在双曲线上，
点就落在点处，即平移后点与点重合，
，
，
点的坐标为，
点在双曲线上，
，解得：．
故选：B．
10．（2024九年级下·江苏·专题练面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，其中点B在第三象限．设为双曲线上一点（点M异于点B），直线，分别交x轴于C，D两点，则C，D两点横坐标的和为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，求得直线和的解析式是解题的关键．
依据题意，设，则，分别计算直线和的解析式，令可得和的横坐标，相加可得结论．，其中点在第三象限．设为双曲线上一点（点异于点)，直线分别交轴于两点，则两点横坐标的和为，即可解答；
【详解】解：设，则，
∵为双曲线上一点，
∴，
∴
∴，
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
令，则，
∴点的横坐标为，
同理得：直线的解析式为：，
令，则，
∴点的横坐标为，
，
∴两点横坐标的和为．
故选：D．
二、填空题（6小题，每小题2分，共12分）
11．（山西省晋城市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）若反比例函数的图象经过点，则k的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了反比例函数的性质．把代入，即可求出的值进行作答．
【详解】解：依题意，∵反比例函数的图象经过点，
∴，
故答案为：3．
12．（2024·四川成都·二模）已知点，都在反比例函数的图象上，则 ．（填“”，“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，比较反比例函数的函数值的大小，先求出的值，比较即可得出答案．
【详解】解：点，都在反比例函数的图象上，
，，
，
故答案为：．
13．（2024·陕西·一模）如图，两点在反比例函数的图象上，分别经过两点向两坐标轴作垂线段，已知，则空白部分的值为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了反比例函数的系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．根据反比例函数的系数的几何意义得到，由，得，然后计算．
【详解】解：根据题意得，
而，
所以，
所以．
故答案为：8．
14．（2024年内蒙古包头市初中数学中考一模试题）如图，为反比例函数图象上一点，过点作轴，垂足为，反比例函数的图象交线段于点．若的面积为3，则的值为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，根据即可求出k的值．
【详解】解：根据反比例函数k的几何意义可知：
的面积为：，
∵的面积为3，
∴的面积为：，
即：，
解得：，
故答案为：2．
15．（23-24九年级下·湖南株洲·期中）如图，点A、C是反比例函数的图象不同的两点，其中点A的横坐标为，点C的纵坐标为，点B为直线与该反比例函数图象的另一交点，连接和，若的面积为11，则m的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的中线，解题的关键是得出，建立出m的等式求解．
【详解】解：关于原点对称，
，
，
作轴交于，作轴交于，交轴于，
由题意知：，，
，
，
，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
16．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图①，已知点，，的边与轴交于点，且为的中点，双曲线经过两点．点在双曲线上，点在轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为 ．
【答案】；；
【分析】先求出反比例函数解析式，分类讨论，①当为边时：第一种情况：如图所示，若为平行四边形，过点作轴于点；第二种情况：如图2所示，若为平行四边形；②当为对角线时：如图3所示；根据平行四边形的性质，全等三角形的性质等知识即可求解．
【详解】解：∵，，
∵为中点，且点的横坐标为，设点的横坐标为，
∴，
∴，设，
又∵四边形是平行四边形，且，
如图所示，过点作轴于点，过点作于点，
∴轴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵点，都在双曲线的图像上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在双曲线上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵点在双曲线上，点在轴上，，，
∴设，，
①当为边时：
第一种情况：如图所示，若为平行四边形，过点作轴于点，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点的横坐标为，
∴，，
∴；
第二种情况：如图所示，若为平行四边形，
∵点在轴上，且，
∴轴，
∴点的横坐标相同，即，
此时，
∴，
∵，
∴；
②当为对角线时：如图所示，
∵，且，
∴点的横坐标相同，即，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上所述点Q的坐标为：；；．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形变换的综合，平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，掌握待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识是解题的关键．
三、解答题（8小题，共68分）
17．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）已知y与x成反比例，且其函数图象经过点．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当时，求x的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质：
（1）设y与x的函数关系式为，将代入即可；
（2）将代入（1）中所求解析式，即可求出x的值．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，
将代入，得：，
解得，
y与x的函数关系式为；
（2）解：由（1）得，
将代入，得：，
解得．
18．（23-24八年级下·全国·课后作业）学校课外生物兴趣小组打算自己动手用旧围栏在一个长为的墙边围出一个面积为10的长方形饲养场，饲养场平行于墙的长为，垂直于墙的长为．求y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．
【答案】
【分析】
本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式的知识，属于基础题，熟练掌握矩形的面积公式是关键．根据矩形的面积=长×宽，结合题意即可得出另一边的长y（米）与x的函数关系式．
【详解】解：由长方形的面积公式得，
∴y关于x的函数表达式为．
∵墙的长度为8米，
，即，
∴自变量x的取值范围为．
19．（23-24九年级上·天津北辰·阶段练习）已知反比例（为常数，）的图象经过点
(1)求的值
(2)当时，求函数的取值范围；
(3)点，在这个反比例函数图象上，且，比较、、0的大小．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了反比例函数的解析式求解及其增减性，熟记相关结论是解题关键．
（1）将点代入即可求解；
（2）分别求出当和时的函数值即可求解；
（3）根据反比例函数的增减性即可求解．
【详解】（1）解：将点代入得：
，
∴
（2）解：由（1）得：，
当时，；
当时，；
∴
（3）解：∵，
∴反比例函数在一、三象限，随的增大而减小
∵，
∴
20．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一，三象限内的，两点，与轴交于点．
(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；
(2)在第三象限的反比例函数图象的一点，使得的面积等于18，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)点坐标为
【分析】本题考查了待定系数法求函数表达式，函数与三角形的面积问题；
（1）将代入，即可确定，将点代入可确定点坐标，将，坐标代入，即可确定一次函数表达式；
（2）先求出一次函数与轴交点坐标，可以得到的长度，通过设点坐标为，再利用三角形面积建立等量关系即可确定点坐标；
【详解】（1）解：将代入，得：，
∴反比例函数的表达式为．
将点代入，可得，
∴．
把，代入，得，
解得：
∴一次函数的表达式为．
（2）一次函数的表达式为，
令，则，．
∴点坐标为，
∵点在反比例函数的图象上，
设点坐标为，
∵，
，
解得：或，
又∵点在第三象限，
∴点坐标为．
21．（2024·广东广州·一模）越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，家住东涌的李老师决定用骑行代替开车去天后宫．当路程一定时，李老师骑行的平均速度v（单位：千米/小时）是骑行时间t（单位：小时）的反比例函数．根据以往的骑行两地的经验，v、t的一些对应值如下表：
t（小时） 2 1.5 1.2 1
v（千米/小时） 12 16 20 24
(1)根据表中的数据，求李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式；
(2)安全起见，骑行速度一般不超过30千米/小时．李老师上午8:30从家出发，请判断李老师能否在上午9:10之前到达天后宫，并说明理由；
(3)据统计，汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳．请计算李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量．
【答案】(1)
(2)李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫，理由见解析
(3)千克
【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是求出反比例函数解析式．
（1）由表中数据可得，从而得出结论；
（2）把代入（1）中解析式，求出v，从而得出结论；
（3）根据得到从东涌骑行到天后宫的距离为24千米，根据汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳即可得到答案．
【详解】（1）解：根据表中数据可知，，
，
李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式为；
（2）李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫，理由：
从上午8：30到上午9：10，李老师用时40分钟，即小时，
当时，（千米/时），
骑行速度一般不超过30千米/小时，
李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫；
（3）∵，
∴从东涌骑行到天后宫的距离为24千米，
∴李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量为（千克）．
22．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）如图，直线与双曲线相交于两点．
(1)求直线和双曲线的解析式；
(2)直接写出当时，的取值范围；
(3)连接，求的面积．
【答案】(1)直线的解析式为；双曲线的解析式为
(2)或
(3)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式、函数与不等式的关系，三角形面积以及观察函数图象的能力．
（1）由点的坐标求出，得出双曲线的解析式为，求出的坐标为，由点和的坐标以及待定系数法即可求出直线的解析式为直线；
（2）根据图象即可求得；
（3）设直线与轴交于点，则，由，即可求得答案．
【详解】（1）解：把代入得，，
，
双曲线的解析式为，
点在双曲线上，
，
，
，
把，代入，得，
解得：，
直线的解析式为；
（2）解：的解集为一次函数图像在反比例函数图像下方时对应的交点横坐标的取值范围，
∴由图象可得：的取值范围为或．
（3）设直线与轴交于点，
如图，
当时，得，
∴，
；
23．（23-24八年级下·山西临汾·期中）综合与探究
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴、轴分别相交于点D，C，连接．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式．
(2)求的面积．
(3)在y轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)9
(3)存在，点P的坐标为或或
【分析】（1）先求一次函数解析式，再求反比例函数解析式；
（2）根据求解即可；
（3）先求出，然后分和两种情况求解即可．
【详解】（1）∵，在一次函数的图象上，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴；
（2）对于，
当时，；当时，，
∴，．
∴
；
（3）∵，
∴．
当时，
则或．
当时，作于点H，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法，坐标与图形的性质，等腰三角形的定义，勾股定理，三角形的面积公式，数形结合是解题的关键．
24．（2024·山东济南·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求反比例函数的表达式及的值．
(2)将沿直线翻折，点落在第一象限内的点处，与反比例函数的图象交于点．
①求点的坐标．
②在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数的表达式为，
(2)①②存在，的坐标为或
【分析】（1）把代入得到反比例函数的表达式中求，确定反比例函数的表达式，把代入反比例函数可得到结论；
（2）①设直线的解析式为：，解方程组得到直线的解析式，求得点 ，得到是等腰直角三角形，推出四边形是正方形，得到坐标，把代入反比例函数中即可得到结论；
②设点，根据勾股定理得到即，可求得，即可确定点坐标．
【详解】（1）解：∵的图象过点，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
∵点在反比例函数的图象上，
∴．
（2）①设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为．
当时，；当时，，
∴点，点．
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵将沿直线翻折，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
把代入，得，
∴；
②存在，理由如下；
设点，
则，，，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
即，
解得或．
故在轴上存在点，使得是以为斜边的直角三角形，
此时点的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
