中小学教育资源及组卷应用平台
专题6-1 反比例函数
模块1：学习目标
1.理解反比例函数的概念和意义；
2.掌握待定系数法求反比例的解析式。
模块2：知识梳理
1.反比例函数的概念
反比例函数：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数。k是比例系数。
反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
2）反比例函数（k是常数，k0）中x，y的取值范围；
反比例函数（k是常数，k≠0）的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范围也是非零实数．
2.反比例函数解析式的确定
1．待定系数：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：1）设反比例函数解析式为（k≠0）；2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解这个方程求出待定系数k； 4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
模块3：核心考点与典例
考点1、反比例函数的辨别
例1．（23-24八年级下·浙江·课后作业）下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨，其中y是x的反比例函数的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，熟练掌握形如的函数关系，称为y是x的反比例函数是解题的关键．根据反比例的三种形式判断即可．
【详解】①x的次数是1，所以y是x的一次函数；②y是x的反比例函数；
③，所以y是x的反比例函数；④分母是，不是x，所以y不是x的反比例函数；
⑤是反比例函数变形的的形式，所以y是x的反比例函数；
⑥没有说明，所以y不是x的反比例函数；⑦分母中x的次数是2，所以y不是x的反比例函数；⑧x的次数是1，所以y是x的一次函数；⑨y不是x的反比例函数．
综上，y是x的反比例函数的有②③⑤，共3个．故选：D．
变式1.（23-24九年级下·河南南阳·阶段练习）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如，其中k是常数的函数叫做反比例函数，据此逐一判断即可．
【详解】解：根据反比例函数的定义可知，只有C选项中的函数是反比例函数，故选：C．
变式2.（2024·天津红桥·一模）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的识别，形如（k为常数且）的函数叫做反比例函数，由此判断即可．
【详解】解：A，是一次函数，不是反比例函数，不合题意；
B，是一次函数，不是反比例函数，不合题意；
C，是二次函数，不是反比例函数，不合题意；
D，是反比例函数，符合题意；故选D．
考点2、根据反比函数的定义求参数
例1．（23-24九年级上·河南平顶山·阶段练习）若是反比例函数，则m的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是将一般式转化为的形式．根据反比例函数的定义．即，只需令，即可．
【详解】解：由题意得：且，；解得，又；．故答案为：
变式1.（23-24九年级上·河南商丘·期末）已知函数是反比例函数，则 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数的定义，一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数，根据和即可得到答案．
【详解】解：∵函数是反比例函数，
∴，且，解得，故答案为：．
变式2.（23-24八年级·浙江·期中）已知是关于x的反比例函数，求的值．
【答案】0
【分析】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．根据反比例函数的定义：形如（k为常数，）的函数称为反比例函数，得到，求出，然后代入求解即可．
【详解】解：因为是关于x的反比例函数，
所以，解得，所以，所以．
考点3、用反比例函数描述数量关系
例1．（2023·北京·统考一模）下面的三个问题中都有两个变量：
①正方形的周长与边长；②一个三角形的面积为5，其底边上的高与底边长；
③小赵骑行到公司上班，他骑行的平均速度与骑行时间；
其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】B
【分析】分别求出三个问题中变量与变量之间的函数关系式即可得到答案．
【详解】解：①∵正方形的周长为，边长为，∴，不符合题意；
②∵一个三角形的面积为5，其底边上的高为，底边长为，∴，即，符合题意；
③小赵骑行到公司上班，他骑行的平均速度为，骑行时间为，
∴，即，符合题意；
综上分析可知，变量 y与变量x之间的函数关系可以用该图象表示的是②③，故B正确．故选：B．
【点睛】本题考查列函数关系式，反比例函数的识别，正确列出三个问题中的函数关系式是解题关键．
变式1.（2023九年级·浙江·专题练习）如果一个三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x 的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的意义，根据三角形面积公式得到x、y的关系式是解题关键．根据三角形面积公式得到x、y关系式，变形即可求解．
【详解】解：∵底边长为x，底边上的高为y的三角形面积为10，
∴，∴．故选：C
变式2.（2023·浙江·八年级专题练习）若一个圆柱的侧面展开图是一个面积为10的矩形，则这个圆柱的高h与这个圆柱的底面半径r之间的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．其他函数
【答案】B
【分析】根据“矩形的面积底面周长母线长”，列出函数表达式再判断它们的关系则可得到答案．
【详解】解：，，，
圆柱的高h与圆柱的底面半径r之间的函数关系是反比例函数，故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义和圆柱侧面积的求法，熟记圆柱侧面积公式是解题关键．
考点4、求反比例函数求值
例1．（2024·云南昆明·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图像经过点和，则m的值为 ．
【答案】1
【分析】根据反比例函数图像上的点的两个坐标的积等于定值k，得，解答即可．本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质，并列出等式是解题的关键．
【详解】∵函数的图像经过点和，
，，故答案为：1．
变式1. （23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知点在反比例函数的图象上， ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征；
直接把点代入反比例函数解析式计算即可．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，∴，故答案为：．
变式2. （2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质，并列出等式是解题的关键．把，代入，解答即可，
【详解】解：∵反比例函数的图象过点，∴，解得：，故答案为：．
变式3．（2024九年级下·浙江·专题练习）已知是的反比例函数，且当时，．
(1)写出y关于x的函数解析式；(2)当时，求y的值．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查反比例函数的解析式及函数值，解题的关键是掌握待定系数法，题目较容易．
（1）设，把，代入即得关于的函数解析式；
（2）把代入函数解析式，求出的值即可．
【详解】（1）解： 是的反比例函数，∴设，
当时，，，解得，关于的函数解析式为；
（2）解：∵∴把代入得：．
考点5、由反比例函数求自变量
例1．（2024·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，若点和在反比例函数的图象上，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先把代入求出再把代入，求出．
【详解】解：把代入得：，解得，∴反比例函数解析式为，
把代入，得：，解得，，故答案为：
变式1. （2024·云南·模拟预测）点在反比例函数的图象上，则a的值是（ ）
A．4 B． C． D．1
【答案】B
【分析】本题考查了函数图象上的点需满足函数解析式的特征，要求的值，只需将点坐标代入函数解析式求解即可．
【详解】解： 点在反比例函数的图象上， ， ．故选：B．
变式2.（23-24九年级上·吉林·期末）已知是的反比例函数，并且时，．
(1)求这个反比例函数的解析式．(2)若此反比例函数的图象经过点，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据函数值求自变量的方法是解题的关键．（1）运用待定系数法即可求解；（2）将点代入解析式求解即可．
【详解】（1）解：设这个反比例函数的解析式为
把代入，得，解得，∴．
（2）解：把代入，得，解得．
考点6、反比函数图象上的点的特征
例1．（2023·江苏无锡·模拟预测）下列函数中，图象过点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征，图象上的点一定满足函数解析式是解题的关键；将分别代入各选项中的解析式求解即可；
【详解】解：、当时，，即该函数关系式的图象不经过点，故本选项不符合题意；、当时，，即该函数关系式的图象不经过点，故本选项不符合题意；
、当时，，即该函数关系式的图象经过点，故本选项符合题意；
、当时，，即该函数关系式的图象不经过点，故本选项不符题意；故选：．
变式1. （2024·天津和平·一模）下列四个点，不在反比例函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，要明确，反比例函数图象上的点符合函数解析式．
由于反比例函数的，故A、B、C、D中，积为12的点为反比例函数图象上的点，否则，不是图象上的点．
【详解】解：A、，点在反比例函数图象上，故本选项不合题意；
B、，点在反比例函数图象上，故本选项不合题意；
C、，点不在反比例函数图象上，故本选项符合题意；
D、，点在反比例函数图象上，故本选项不合题意；故选：C．
变式2. （23-24九年级下·安徽池州·开学考试）已知点是双曲线上的点，则代数式 ．
【答案】
【分析】本题主要考查反比例函数图象的运用，根据点在反比例函数图象上可得，代入计算即可求解，掌握反比例函数中关于点坐标计算比例系数的方法是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，，∴，∴代数式，故答案为：．
变式3．（2024·北京·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，先将点和代入函数解析式得出，，结合题意可得，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和，∴，，
又∵，∴，即；即的值为．故答案为：．
考点7、求反比例函数的解析式
例1．（23-24八年级上·上海宝山·期末）已知，并且与成正比例，与x成反比例，当时，；当时，．(1)求y关于x的函数解析式；(2)求时的函数值．
【答案】(1)；(2)3．
【分析】（1）根据正比例和反比例函数的定义设表达式，再根据给出的自变量和函数的对应值求出待定的系数则可；（2）将代入（1）中求值即可．此题主要考查了待定系数法求函数解析式，设出解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：设，，则，
根据题意，得：， 解得：，∴；
（2）解：当时，．
变式1.（2024·上海金山·二模）反比例函数的图像经过点，则这个反比例函数的解析式是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
设反比例函数解析式为，把点代入即可求得的值．
【详解】解：设反比例函数解析式为，
函数经过点，，解得．反比例函数解析式为．故答案为：．
变式2．（2024·湖南株洲·一模）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，若反比例函数的图象恰好经过线段的中点，则k的值是（ ）
A． B．9 C． D．6
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，先计算出的中点C的坐标，再利用待定系数法即可求出答案．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为，，C为的中点时，
∴点C的坐标为，即，∴，∴，故选：B．
变式3．（2024·广东肇庆·一模）小明在研究某反比例函数的图象时，先选取了8个x的值，再分别计算出对应的y的值，列表如下：
x 1 2 3 4
2 1
经同桌小强检查，发现有一个y的值计算出现了错误，那么小明所研究的反比例函数中， ．
【答案】2
【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，根据表格中的数据一一算出，可得到k的值，正确计算是解题的关键．
【详解】解：根据表格的第一列可得：，解得：，
根据表格的第二列可得：，解得：，根据表格的第三列可得：，解得：，
根据表格的第四列可得：，解得：，根据表格的第五列可得：，解得：，
根据表格的第六列可得：，解得：，根据表格的第七列可得：，解得：，
根据表格的第八列可得：，解得：，由此可得第一列的y值计算错误，∴，
故答案为：2．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024·重庆·一模）反比例函数 的图象一定经过的点是（ ）
A．() B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意将各项的坐标代入反比例函数即可解答．
【详解】解：A将代入反比例函数得到，故A项不符合题意；
B项将代入反比例函数得到，故B项符合题意；
C项将代入反比例函数得到，故C项不符合题意；
D项将代入反比例函数得到，故D项不符合题意；故选B．
2．（2023·浙江·模拟预测）已知反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则n是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式，反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．根据建立等式解答即可．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，也经过点，
，解得，故选：B．
3．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）下列函数中，是关于的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的定义．熟练掌握：形如（为常数且）的函数是反比例函数是解题的关键．根据反比例函数的定义，进行判断作答即可．
【详解】解：A. 是正比例函数，A错误，故不符合要求；
B. 是反比例函数，B正确，故符合要求；
C. 不是反比例函数，C错误，故不符合要求；
D. 不是反比例函数，D错误，故不符合要求；故选：B．
4．（23-24九年级·广东佛山·期中）计划修建铁路1200km，则铺轨天数与平均每天铺轨量之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数的应用．铺轨天数铁路长每日铺轨量，把相关数值代入即可得到与之间的函数关系式．
【详解】解：铺轨天数铁路长每天铺轨量，，故选：B．
5．（23-24八年级·浙江杭州·期中）如图，平面直角坐标系中有以下四个点：，，，.若函数的图象经过其中一点，其中k的值最大为（ ）
A． B．1 C．6 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式．把个点分别代入，求得的值即可判断．
【详解】解：当函数的图象经过点时，；
当函数的图象经过点时，；
当函数的图象经过点时，；
当函数的图象经过点时，；所以的最大值为6，故选：C．
6．（2023·宁夏银川·二模）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同．观察图中数据，你发现（ ）
A．图中曲线是反比例函数的图象 B．海拔越高，大气压越大
C．海拔为4千米时，大气压约为50千帕
D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系
【答案】D
【分析】本题考查了函数的图象，根据图中数据，进行分析确定答案即可，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
【详解】解：A、代值图中点和，由横、纵坐标之积不同，说明图中曲线不是反比例函数的图象，故选项不符合题意；
B、海拔越高，大气压越低， 故选项不符合题意；
C、海拔为千米时，图中读数可知大气压应该是千帕左右，故选项不符合题意；
D、图中曲线表达的是大气压与海拔两个量之间的变化关系，故选项符合题意，故选：D．
7．（2024·辽宁大连·一模）已知：三点，反比例函数的图像经过，三点中的两个点，则（ ）
A．12 B．24 C．20 D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，明确反比例函数图象上点的横坐标与纵坐标的积等于是解题的关键．
根据反比例函数的系数即可得到结论．
【详解】解：，，三点，反比例函数的图象经过，，三点中的两个点，，反比例函数的图象经过，两点，．故选：B．
8．（23-24八年级下·山西临汾·期中）若反比例函数的图象经过点，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】题目主要考查反比例函数的基本性质，将点代入求解即可得出结果
【详解】解：根据题意得：，解得：，故选：C
9．（2024·北京·九年级期中）下列两个变量之间的关系为反比例关系的是（ ）
A．圆的周长与其半径的关系
B．平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高的关系
C．销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系
D．汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间的关系
【答案】B
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【详解】A. 圆的周长与其半径是正比例关系，不符合题意，
B. 平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高成反比例关系，符合题意，
C. 销售单价一定时，销售总价与销售数量成正比例关系，不符合题意，
D. 汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间成正比例关系，不符合题意，故选B．
【点睛】本题主要考查成反比例函数关系的量，关键就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
10．（23-24八年级·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，我们规定对于不在坐标轴上的任意一点，把点称为点的“倒影点”，直线上有两点，，它们的倒影点,均在反比例函数的图象上，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
设点设点，，则，，再代入反比例函数式子进行解答即可．
【详解】解：设点，，则，，
∵，∴，即，
∵均在反比例函数图象上，∴，
∴，解得，∴，故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2024·湖南株洲·一模）若函数是y关于x的反比例函数，则 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查反比例函数的定义，根据定义列出且，求出的值即可．
【详解】解：∵函数是y关于x的反比例函数，
∴且，解得，．故答案为：5．
12．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则的值为 ．
【答案】0
【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．将点和代入之中得，，由此可得的值．
【详解】解：函数的图象经过点和，
，，，，．故答案为：0．
13．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）点在反比例函数的图像上，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，把点代入，进行计算，即可作答．
【详解】解：∵点在反比例函数的图像上
∴把点代入得解得故答案为：
14．（23-24九年级下·陕西渭南·阶段练习）已知点，都在反比例函数的图象上，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征求解即可，熟知反比例函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．
【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上，
∴，解得：或（舍去），
∴，，∴，解得：，故答案为：．
15．（22-23八年级下·江苏淮安·阶段练习）若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为 ．
【答案】5
【分析】由点A在反比例函数图象上，可得出，将其代入代数式中即可得出结论．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，∴，即，
∴．故答案为：5．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出．解决该题型题目时，由点在反比例函数图象上可以得出点的横纵坐标之积为定值，将其代入代数式即可．
16．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）已知正比例函数和反比例函数的比例系数和互为倒数，且正比例函数的图象经过点．如果，那么当时，的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，求反比例函数值和求正比例函数值，利用待定系数法求出，进而求出，则，再把代入中求出y的值即可．
【详解】解：∵正比例函数图象经过点，∴，∴，∴
∵正比例函数和反比例函数的比例系数和互为倒数，∴，∴
∵，∴，∴当时，，故答案为：．
17．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，矩形的边与y轴平行，顶点A的坐标为，顶点C的坐标为，若反比例函数的图像与矩形有公共点，则k的值可以是______．（写出一个即可）
【答案】2（答案不唯一）
【分析】根据矩形写出B，D两点坐标，然后利用双曲线经过点B，D时对应的k值，从而得到k的取值范围．
【详解】解：∵矩形的顶点，，∴,,
当双曲线经过点B时，k的值最小，此时，
当双曲线经过点D时，k的值最大，此时，
∴k的取值范围为．∴k可以取2故答案为：2（答案不唯一）．
【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，熟记点的横纵坐标的积是定值k是解题的关键．
18．（23-24八年级下·福建漳州·期中）已知点在一个反比例函数（，）的图象上，点与点A关于y轴对称，若点在正比例函数的图象上，则这个反比例函数的解析式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，坐标与图形变化—轴对称，先根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同得到，再把代入函数中求出，则，据此利用待定系数法求出反比例函数解析式即可．
【详解】解：∵点点A关于y轴对称，，∴，
∵在正比例函数的图象上，∴，∴，
设反比例函数解析式为，∴，∴，
∴反比例函数解析式为，故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）已知反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数表达式；(2)若点在该函数图象上，求m的值．
【答案】(1)；(2)或．
【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数图像上点的特征．（1）将点代入求解即可；
（2）将点代入（1）求出的表达式中即可求出的值．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过，
∴将代入，得，∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵点在这个函数图像上，
∴把代入得，解得：或，∴的值为或．
20．（2023九年级下·浙江·专题练习）已知y与成反比例函数关系，且当时，．
(1)求y与x之间的函数表达式；(2)当时，求y的值．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查了函数．熟练掌握待定系数法求函数解析式，求函数值，是解决问题的关键．
（1）设该函数的解析式为根据时，，求得，即得；
（2）把代入（1）中所得解析式即得．
【详解】（1）∵y与成反比例函数关系，∴设该函数的解析式为，
∵时，，∴，∴，∴y与x之间的函数表达式为：；
（2）∵，∴当时，．
21．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知，若与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．(1)求y与x的函数关系式；(2)求当时，y的值．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查的是正比例与反比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，掌握待定系数法是解本题的关键；（1）由题意可设设，，再利用待定系数法求解即可；
（2）把代入（1）中所求函数解析式即可得到答案．
【详解】（1）解：设，，则
当时，；当时，．
解得：
（2）当时，．
22．（23-24八年级下·浙江·课后作业）已知函数．
(1)当m为何值时，y是x的正比例函数？(2)当m为何值时，y是x的反比例函数？
【答案】(1)1(2)0
【分析】本题考查了正比例函数、反比例函数的定义．熟记定义是解题的关键．
（1）根据正比例函数的定义得到，且；
（2）根据正比例函数的定义得到，且；
【详解】（1）解：∵函数是正比例函数，
∴，且，解得．
（2）解：∵函数是反比例函数，
∴，且，解得．即当时，y是x的反比例函数．
23．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）已知反比例函数的图象经过点．
(1)求这个反比例函数的解析式；(2)判断点是否在这个反比例函数的图象上．
【答案】(1)(2)在这个反比例函数的图象上
【分析】此题主要考查了利用待定系数法求反比例函数解析式，判断点是否在函数图象上．
（1）首先设这个反比例函数的解析式为，再把点的坐标代入函数关系式，即可算出的值，进而可得函数关系式；（2）只要把点代入（1）中求的函数关系式，满足关系式，就是函数图象上的点，反之则不在．
【详解】（1）解：设这个反比例函数的解析式为，依题意得：，
，这个反比例函数解析式为；
（2）由（1）求得，当时，，在这个反比例函数的图象上．
24．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知反比例函数过点，且．(1)当时，求的值；(2)若，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，解答此题的关键是理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的解析式；满足反比例函数解析式的点都在反比例函数的图象上．
（1）由反比例函数过点，得，再由，即可求出的值；（2）由反比例函数过点，，，得，再根据可得，结合可解出的值；
【详解】（1）解：反比例函数过点，，，，，；
（2）解：反比例函数过点，，，，，
，，，又，，．
25．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）已知是的反比例函数，且当时，．
(1)直接写出函数与之间的关系式为 ；(2)借助函数图像，求当时，的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像与性质．
（1）设函数与之间的关系式为，根据当时，，求出，即可求解；
（2）画出反比例函数得到图像，结合图像分析即可求解．
【详解】（1）解：设函数与之间的关系式为，
设函数与之间的关系式为，，
函数与之间的关系式为，故答案为：；
（2）当时，，当时，，
根据函数图像可得：当时，随的增大而增大，
当时，的取值范围为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题6-1 反比例函数
模块1：学习目标
1.理解反比例函数的概念和意义；
2.掌握待定系数法求反比例的解析式。
模块2：知识梳理
1.反比例函数的概念
反比例函数：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数。k是比例系数。
反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
2）反比例函数（k是常数，k0）中x，y的取值范围；
反比例函数（k是常数，k≠0）的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范围也是非零实数．
2.反比例函数解析式的确定
1．待定系数：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：1）设反比例函数解析式为（k≠0）；2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解这个方程求出待定系数k； 4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．
模块3：核心考点与典例
考点1、反比例函数的辨别
例1．（23-24八年级下·浙江·课后作业）下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨，其中y是x的反比例函数的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
变式1.（23-24九年级下·河南南阳·阶段练习）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2024·天津红桥·一模）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
考点2、根据反比函数的定义求参数
例1．（23-24九年级上·河南平顶山·阶段练习）若是反比例函数，则m的值为 ．
变式1.（23-24九年级上·河南商丘·期末）已知函数是反比例函数，则 ．
变式2.（23-24八年级·浙江·期中）已知是关于x的反比例函数，求的值．
考点3、用反比例函数描述数量关系
例1．（2023·北京·统考一模）下面的三个问题中都有两个变量：
①正方形的周长与边长；②一个三角形的面积为5，其底边上的高与底边长；
③小赵骑行到公司上班，他骑行的平均速度与骑行时间；
其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
变式1.（2023九年级·浙江·专题练习）如果一个三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x 的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2023·浙江·八年级专题练习）若一个圆柱的侧面展开图是一个面积为10的矩形，则这个圆柱的高h与这个圆柱的底面半径r之间的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．其他函数
考点4、求反比例函数求值
例1．（2024·云南昆明·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图像经过点和，则m的值为 ．
变式1. （23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知点在反比例函数的图象上， ．
变式2. （2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点，则的值为 ．
变式3．（2024九年级下·浙江·专题练习）已知是的反比例函数，且当时，．
(1)写出y关于x的函数解析式；(2)当时，求y的值．
考点5、由反比例函数求自变量
例1．（2024·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，若点和在反比例函数的图象上，则的值为 ．
变式1. （2024·云南·模拟预测）点在反比例函数的图象上，则a的值是（ ）
A．4 B． C． D．1
变式2.（23-24九年级上·吉林·期末）已知是的反比例函数，并且时，．
(1)求这个反比例函数的解析式．(2)若此反比例函数的图象经过点，求的值．
考点6、反比函数图象上的点的特征
例1．（2023·江苏无锡·模拟预测）下列函数中，图象过点的是（ ）
A． B． C． D．
变式1. （2024·天津和平·一模）下列四个点，不在反比例函数图象上的是（ ）
A． B． C． D．
变式2. （23-24九年级下·安徽池州·开学考试）已知点是双曲线上的点，则代数式 ．
变式3．（2024·北京·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和，若，则的值为 ．
考点7、求反比例函数的解析式
例1．（23-24八年级上·上海宝山·期末）已知，并且与成正比例，与x成反比例，当时，；当时，．(1)求y关于x的函数解析式；(2)求时的函数值．
变式1.（2024·上海金山·二模）反比例函数的图像经过点，则这个反比例函数的解析式是 ．
变式2．（2024·湖南株洲·一模）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，若反比例函数的图象恰好经过线段的中点，则k的值是（ ）
A． B．9 C． D．6
变式3．（2024·广东肇庆·一模）小明在研究某反比例函数的图象时，先选取了8个x的值，再分别计算出对应的y的值，列表如下：
x 1 2 3 4
2 1
经同桌小强检查，发现有一个y的值计算出现了错误，那么小明所研究的反比例函数中， ．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024·重庆·一模）反比例函数 的图象一定经过的点是（ ）
A．() B． C． D．
2．（2023·浙江·模拟预测）已知反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则n是（ ）
A．3 B． C． D．
3．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）下列函数中，是关于的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24九年级·广东佛山·期中）计划修建铁路1200km，则铺轨天数与平均每天铺轨量之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24八年级·浙江杭州·期中）如图，平面直角坐标系中有以下四个点：，，，.若函数的图象经过其中一点，其中k的值最大为（ ）
A． B．1 C．6 D．8
6．（2023·宁夏银川·二模）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同．观察图中数据，你发现（ ）
A．图中曲线是反比例函数的图象 B．海拔越高，大气压越大
C．海拔为4千米时，大气压约为50千帕 D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系
7．（2024·辽宁大连·一模）已知：三点，反比例函数的图像经过，三点中的两个点，则（ ）
A．12 B．24 C．20 D．
8．（23-24八年级下·山西临汾·期中）若反比例函数的图象经过点，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
9．（2024·北京·九年级期中）下列两个变量之间的关系为反比例关系的是（ ）
A．圆的周长与其半径的关系
B．平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高的关系
C．销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系
D．汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间的关系
10．（23-24八年级·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，我们规定对于不在坐标轴上的任意一点，把点称为点的“倒影点”，直线上有两点，，它们的倒影点,均在反比例函数的图象上，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2024·湖南株洲·一模）若函数是y关于x的反比例函数，则 ．
12．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则的值为 ．
13．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）点在反比例函数的图像上，则的值为 ．
14．（23-24九年级下·陕西渭南·阶段练习）已知点，都在反比例函数的图象上，则的值是 ．
15．（22-23八年级下·江苏淮安·阶段练习）若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为 ．
16．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）已知正比例函数和反比例函数的比例系数和互为倒数，且正比例函数的图象经过点．如果，那么当时，的值是 ．
17．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，矩形的边与y轴平行，顶点A的坐标为，顶点C的坐标为，若反比例函数的图像与矩形有公共点，则k的值可以是______．（写出一个即可）
18．（23-24八年级下·福建漳州·期中）已知点在一个反比例函数（，）的图象上，点与点A关于y轴对称，若点在正比例函数的图象上，则这个反比例函数的解析式为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）已知反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数表达式；(2)若点在该函数图象上，求m的值．
20．（2023九年级下·浙江·专题练习）已知y与成反比例函数关系，且当时，．
(1)求y与x之间的函数表达式；(2)当时，求y的值．
21．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知，若与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．(1)求y与x的函数关系式；(2)求当时，y的值．
22．（23-24八年级下·浙江·课后作业）已知函数．
(1)当m为何值时，y是x的正比例函数？(2)当m为何值时，y是x的反比例函数？
23．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）已知反比例函数的图象经过点．
(1)求这个反比例函数的解析式；(2)判断点是否在这个反比例函数的图象上．
24．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知反比例函数过点，且．(1)当时，求的值；(2)若，求的值．
25．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）已知是的反比例函数，且当时，．
(1)直接写出函数与之间的关系式为 ；(2)借助函数图像，求当时，的取值范围．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
