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专题6-3 反比例函数与一次函数综合及实际应用
模块1：学习目标
1.掌握反比例函数与一次函数的综合运用；
2.能灵活利用反比例函数的知识分析、解决实际问题；
3.渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力。
模块2：知识梳理
1、反比例函数与一次函数的综合
1）求一次函数与反比例函数的交点坐标
（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定：①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；
（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
2）涉及自变量取值范围型：当一次函数与反比例函数相交时，联立两解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．
3）涉及三角形的面积型
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
2、反比例函数的实际应用:解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．
模块3：核心考点与典例
考点1、反比例函数与一次函数的交点
例1．（2023·广东广州·校考一模）已知：一次函数（）的图像与反比例函数的图像交于点和． (1)求一次函数的表达式；(2)将直线沿轴负方向平移个单位，平移后的直线与反比例函数图像恰好只有一个交点，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）将点 和 代入反比例函数的解析式，求得的值，确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）根据题意，写出一次函数变化后的新的图像的解析式，然后根据方程的根的判别式即可求得 值．
【详解】（1）解：∵点和是反比例函数的图像上的点，
∴，，解得，，∴，，
∵，在一次函数（）的图像上，
∴，解得，所以，一次函数的表达式是；
（2）将直线沿轴负方向平移个单位，可得，
联立，消去y可得，整理可得，
因为只有一个交点，所以，解得，
所以，将直线沿轴负方向平移个单位长度，平移后的直线与反比例函数图像恰好只有一个交点．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题、用待定系数法求一次函数解析式，一次函数平移问题、一元二次方程的应用等知识，综合运用相关知识是解此题的关键．
变式1. （23-24八年级·河南周口·期中）如图，直线与双曲线相交于，两点．
(1)求与的值；(2)直接写出点的坐标；(3)直线经过点吗？请说明理由．
【答案】(1)，(2)(3)经过，理由见解析
【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，熟练掌握待定系数法是解答的关键．
（1）利用待定系数法，将已知点代入函数表达式中求解即可；（2）两函数表达式联立方程组求解即可；（3）将点B坐标代入直线判断即可．
【详解】（1）解：∵直线与双曲线相交于，
∴，，则；
（2）解：由（1）知，直线，双曲线，
联立方程组，解得或，∴点B坐标为；
（3）解：直线经过点B，理由为：
∵，∴直线，当时，，∴直线经过点B．
变式2．（23-24九年级下·江西九江·期中）如图，为等边三角形，点B的坐标为，C为中点．反比例函数图像过点C．(1)若将能向左平移，使得点A落在反比例函数的图像上，求平移的距离．(2)若反比例函数图像与交于点D；求点D的坐标．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，中点坐标公式以及反比例函数与一次函数的综合运用：
（1）过点作轴于点，求出点的坐标，点的坐标以及反比便函数解析式，设点平移的距离为，则平移后的点的坐标为代入反比例函数解析式，求出的值即可；
（2）求出的解析式，联立方程，求出的值即可解决问题
【详解】（1）解：过点作轴于点，如图，∵点B的坐标为，∴
∵是等边三角形，∴∴
∴∴，∵为的中点，∴，即
∵反比例函数图像过点C∴，∴反比例函数的解析式为；
设点平移的距离为，则平移后的点的坐标为，代入得：，
解得，，即点平移的距离为；
（2）解：设直线的解析式为，把代入得，
，解得，，∴直线的解析式为，
联立方程得：，解得，（不符合题意，舍去）
当时，，∴点坐标为
考点2、反比例函数与一次函数的函数值大小比较
例1．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是( )
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
【分析】根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案．
【详解】解：由图可知，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，
当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方，
即当时，的取值范围是或，故选：B．
【点睛】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．
变式1.（2023年内蒙古中考数学真题）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】利用数形相结合，借助图象求出不等式的解集即可．
【详解】解：∵把 ，直线与双曲线交于点和点，∴当时，直线在双曲线的下方且直线在x轴的上方，
∴不等式的解集是：，故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形相结合的思想是解此题的关键．
变式2．（2023·广东广州·校考一模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A、B两点，点A的坐标为，点B的坐标为．
(1)求反比例函数与一次函数表达式；(2)结合图象，直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，；(2)或．
【分析】本题为一次函数与反比例函数的综合题．（1）把代入，可求得m的值，得到反比例函数的解析式，再把代入反比例函数的解析式，得n的值，把点A、B的坐标代入直线得出k，b的值，即可得出一次函数的解析式；
（2）观察图象，写出反比例函数图象在一次函数图象下方时所对应的自变量的范围即可．
【详解】（1）解：把代入得，
∴反比例函数解析式为，把代入得，则，
把，代入得，解得，∴一次函数解析式为；
（2）解：求不等式的解集，即求函数的图象在函数的图象下方时，x的取值范围即可．
根据两函数图象交点可知，当或时，函数的图象在函数的图象下方，
∴不等式的解集为：或．
考点3、反比例函数的面积综合问题
例1．（2024·四川广元·二模）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于，B两点， 过点 B 作 轴于点 D， ，过点 A 作轴于点C．(1)求b的值及点B 的坐标；(2)观察图象，当反比例函数的值小于一次函数的值时，直接写出x的取值范围；(3)点 P 在线段 上，连接，，若 ，求点 P 的坐标．
【答案】(1)，(2)(3)
【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合问题，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键．
（1）根据已知条件把代入一次函数和反比例函数中，即可得出b和m 的值，再根据题意得出B点的横坐标代入反比例函数中即可得解；（2）根据反比例函数的值小于一次函数的值，得出反比例函数的图象应在一次函数的图象下方，观察图象即可得x的取值范围；
（3）根据题意和（1）得出的长，设 ，求出和，再根据，得出关于t的方程，解出t的值，代入即可得出答案．
【详解】（1）解：一次函数 与反比例函数 的图象交于，
把代入一次函数和反比例函数中，得，，
一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，
过点 B 作 轴于点 D， ，点B的横坐标，代入中，得：，；
（2）解：反比例函数的值小于一次函数的值，
反比例函数的图象应在一次函数的图象下方，观察图象可得x的取值范围为；
（3）解：轴于点C，轴于点 D，，，，，，
P是线段上的一点，设，，，
，，，
，，．
变式1. （2024·山东聊城·一模）如图，将直线向上平移5个单位长度后得到直线，直线与反比例函数在第一象限的图象交于点和点B．直线与x轴交于点M
(1)求点B的坐标；(2)在x轴上取一点N，当的面积为6时，求点N的坐标；
【答案】(1)(2)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：（1）先根据平移方式得到直线解析式为，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再利用直线解析式和反比例函数解析式求出点B的坐标即可；（2）先求出点M的坐标，设，则，再根据三角形面积计算公式列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵将直线向上平移5个单位长度后得到直线，∴直线解析式为，
把代入中，，∴反比例函数解析式为，
联立，解得或，∴点B的坐标为；
（2）解：在中，当时，，∴，
设，则，∵的面积为6∴，
∴，∴或1∴或．
变式2．（23-24八年级下·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与正比例函数图象交于第一象限内的点，点也在这个反比例函数图象上，过点B作y轴的平行线，交x轴于点N，交直线与点D．(1)求点D的坐标及的面积；(2)过反比例函数图象上一点P作直线于点E，过点E作轴点F，过点P作于点G，记的面积为，的面积为，求的值．
【答案】(1)，；(2)．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合题目，涉及求函数解析式，两函数交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）将点A，B代入反比例函数，求出n的值，进而得出A点坐标，利用待定系数法即可求函数解析式，再根据过点B作y轴的平行线，可得点B、D的横坐标相同，代入正比例函数解析式；过点作轴于点，过点作于点，根据求解即可；（2）设，则，进而证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，设，则，将其代入反比例函数，可得，进而求解即可．
【详解】（1）解：点反比例函数图象上，
，解得，，，
将代入，得，正比例函数解析式为，
轴，当时，，．过点作轴于点，过点作于点，
∴；
（2）解：如图，设，则， 是等腰直角三角形，，
，，，是等腰直角三角形．
设，则，将其代入反比例函数，得，即，
．
考点4、反比例函数与特殊图形综合问题
例1．（2024·山东临沂·一模）如图，已知三点，直线与反比例函数上在第一象限的图象交于点，连接．(1)求直线和反比例函数的表达式．(2)点P在反比例函数的图象上，点Q在直线上，若以D，C，P，Q为顶点的四边形是以为一边的平行四边形，请直接写出所有符合条件的Q点坐标．
【答案】(1)，
(2)或或或
【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式；平行四边形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．（1）先求出一次函数解析式，再求出，即可求出反比例函数表达式；
（2）设点，由平行四边形的性质列出等式即可求解．
【详解】（1）设直线的解析式为，
把点代入得，，解得：，
故直线的解析式为，将点代入得，解得，
故点，将代入得，故反比例函数的表达式为．
（2）设点，∵以D，C，P，Q为顶点的四边形是以为一边的平行四边形，
故或，
解得或或或，
∴或或或．
变式1.（2024·山西·模拟预测）一次函数 与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，其中．(1)求反比例函数表达式；(2)结合图象，直接写出时，x的取值范围；(3)若点P在x轴上，且是直角三角形，求点P的坐标．
【答案】(1)(2)(3)或
【分析】(1)把代入求出，再把代入求出k的值即可；
(2)联立方程组求出B点坐标，结合图象即可得时，x的取值范围；
(3)当时，得到；当时，过点A作轴于点D，得到，根据直线的表达式为和，推出，推出， 得到，推出，得到，得到．
【详解】（1）将代入，得，，∴, ∴，
将代入，得，，∴，∴反比例函数表达式为；
（2）联立，解得，，或，∴，观察图象可得:当时，；
（3）①当时，轴，∴；
②当时，如图，过点A作轴于点D，则，
∵，∴，，
∵直线的表达式为，∴当时，，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴， ∴，∴，
∴，∴，∴或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，函数与方程与不等式，等腰直角三角形性质，分类讨论，是解题的关键．
变式2. （23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，直线经过点，交反比例函数的图象于点，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．
(1)求反比例函数表达式；(2)过点作轴交直线于点，连接，若的面积是面积的2倍，请求出点坐标．(3)在反比例函数图象上是否存在点，使，若存在，请求出点横坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)点坐标为或(3)存在，的横坐标为
【分析】（1）本题将点代入求得的值，得到直线的解析式，将代入直线的解析式，算出的值，得到的坐标，将的坐标代入反比例函数中求解，即可解题．
（2）本题根据点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点，过点作轴交直线于点，分以下两种情况讨论，①当点在下方时，②当点在上方时，根据以上两种情况，结合“若的面积是面积的2倍”分析得到点纵坐标，将点纵坐标代入反比例函数解析式求解，即可解题．（3）本课过点作垂直交延长线于点过点作轴，，，利用等腰直角三角形性质证明，根据全等三角形性质得到点坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，联立直线的解析式和反比例函数解析式求解，即可解题．
【详解】（1）解：过点，，，，
点在上，，即，，；
（2）解：①当点在下方时，，，作轴，轴，
，，，，把代入中，；
②当点在上方时，，，为中点，
，，，把代入中，；
综上所述：点坐标为或．
（3）解：过点作垂直交延长线于点过点作轴，，，
，，
三角形为等腰直角三角形，在和中，
，所以，，，
设直线的解析式为，过，，
，解得，直线的解析式为，
，整理得，解得，（不合题意，舍去），
，的横坐标为．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的几何综合、用待定系数法求函数解析式、坐标与图形、等腰三角形性质、全等三角形的性质和判定、熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题．
变式3．（2024·山东济南·一模）直线分别与轴，轴交于点、，与反比例函数的图象交于点、．
(1)求的值及直线的解析式；(2)连接，若在射线上存在点，使，求点的坐标；(3)如图2，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线与此封闭图形有交点，请直接写出满足条件的的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)．
【分析】（1）将点坐标代入反比例函数，可得，进一步利用反比例函数的解析式求得点，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）依据题意，画出图形，根据面积可以得解；（3）根据题意分析出是平行于的动直线，求出与切于点，再借助于、关于点对称，得到，求出过点、点时的的值，即可得解．
【详解】（1）解： 点在反比例函数，将点的坐标代入，得，
，反比例函数为，又在反比例函数，，即，
点，在直线上，直线的解析式为；
（2）解：直线为，．
，，
设，如图，在射线上，此时可得必在轴负半轴，，
．，．∴；
（3）解：依据题意，直线平行于直线，且与轴交于点E，则
与封闭图形有交点，下端与相切于点，上端相切于翻折后的曲线于点，
由题意，，．
相切，判别式．（负数舍去）．
此时．与轴的交点为，，
，，，，
此时．与轴的交点为，．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质的应用，平行线的性质，公式法解一元二次方程，解题时需要熟练掌握并能灵活运用．
考点5、反比例函数与新定义综合
例1．（2024·广东揭阳·一模）如图，定义：若双曲线与它的其中一条对称轴相交于两点，则线段的长度为双曲线的对径．
(1)求双曲线的对径；(2)若双曲线的对径是，求k的值；
(3)仿照上述定义，定义双曲线的对径．
【答案】(1)；(2)25；(3)若双曲线 与它的其中一条对称轴相交于两点，则线段的长称为双曲线 的对径．
【分析】本题考查了反比例函数综合题，解题的关键是知晓，点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；等腰直角三角形的斜边是直角边的倍；强化理解能力．
(1)过A点作轴于C，解方程组，可得到A点坐标为，B点坐标为，即，由勾股定理可求，于是得到双曲线的对径．
(2)根据双曲线的对径的定义得到当双曲线的对径为，即，
，根据，则，得到点A坐标为，把代入双曲线 即可得到k的值；(3)双曲线 的一条对称轴与双曲线有两个交点，根据题目中的定义易得到双曲线的对径．
【详解】（1）解：如图，过A点作轴于C，
解方程组，得∴A点坐标为，B点坐标为．
∴，∴．∴，∴双曲线的对径是．
（2）∵双曲线的对径为，即，．
∴，∴．∴点A坐标为．
把代入双曲线 得，即k的值为25．
（3）若双曲线与它的其中一条对称轴相交于两点，则线段的长称为双曲线 的对径．
变式1.（2023·重庆初三开学考试）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“相等点”，例如点(1，1)，(0．5，0．5)，(-2，-2)， 都是“相等点”，显然“相等点”有无数个． （1）若点P（3，m） 是反比例函数 （ n为常数， ）的图象上的“相等点”，求这个反比 例函数的解析式． （2）一次函数（ k为常数，）的图象上存在“相等点”吗？若存在，请用含k的式子表示出“相等点”的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，（，）
【分析】（1）根据相等点的定义求得m的值，再用待定系数法求得解析式；（2）设（m，m）是一次函数y=kx-1（k为常数，k≠0）的图象上的“相等点”，代入解析式求得m即可．
【解析】解：（1）∵点P（3，m）是反比例函数（n为常数，n≠0）的图象上的“相等点”，
∴m=3，∴P（3，3），把P（3，3）代入中，得n=3×3=9，∴反比例的解析式为；
（2）设（m，m）是一次函数y=kx-1（k为常数，k≠0）的图象上的“相等点”，则mk-1=m，（k-1）m=1，
当k-1=0，即k=1时，方程无解，则此时一次函数y=kx-1（k为常数，k≠0）的图象上不存在“相等点”，
当k-1≠0，即k≠1时，得m=，
则此时一次函数y=kx-1（k为常数，k≠0）的图象上的“相等点”是（，），
故当k=1时，一次函数y=kx-1（k为常数，k≠0）的图象上不存在“相等点”；当k≠1时，一次函数y=kx-1（k为常数，k≠0）的图象上的“相等点”是（，）．
【点睛】本题是新定义与一次函数、反比例函数结合的一个综合题，关键是把新定义知识转化为常规知识进行解答，有一定的难度．
变式2．（2023·怀柔区月考）当值相同时，我们把正比例函数与反比例函数叫做“关联函数"，可以通过图象研究“关联函数”的性质．小明根据学习函数的经验，先以与为例对“关联函数”进行了探究．下面是小明的探究过程，请你将它补充完整；
（1）如图，在同一坐标系中画出这两个函数的图象．设这两个函数图象的交点分别为A，B，则点A的坐标为(-2，-1)，点B的坐标为_______．
（2）点是函数在第一象限内的图象上一个动点（点不与点重合)，设点的坐标为，其中且．
①结论1：作直线分别与轴交于点，则在点运动的过程中，总有．
证明：设直线的解析式为，将点和点的坐标代入，得，解得 则直线的解析式为，令，可得，则点的坐标为，同理可求，直线的解析式为，点的坐标为_________．
请你继续完成证明的后续过程：
②结论2：设的面积为，则是的函数．请你直接写出与的函数表达式．
【答案】（1）；（2）①，；证明见解析；②．
【分析】（1）联立直线与反比例函数，然后求解即可；
（2）①设直线的解析式为，将点和点的坐标代入，然后可得直线的解析式，进而可得点C坐标，同理可得点D坐标，如图，过点作 轴于点，则点的坐标为，则有，进而可进行求解；
②根据题意可分两种情况进行分类求解，即当时和当时，则的面积为与t的函数关系式可求解．
【解析】解：（1）∵①与②，联立①②解得，（是的纵横坐标），
故答案为：；
①设直线的解析式为，将点和点的坐标代入，
得，解得，
则直线的解析式为，令，，则点的坐标为，
同理．直线的解析式为；
令，，，点的坐标为，
如图，过点作 轴于点，则点的坐标为，
；，，
为的中点，垂直平分，，故答案为；
②当时，，
当时，．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解题关键．
考点6、反比例函数的实际应用
例1．（23-24八年级下·山西临汾·期中）已知某蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．当电阻为时，电流为 B．电流随电阻的增大而减小
C．当电阻大于时，电流大于 D．点在图象上
【答案】B
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，关键是掌握函数图象上点的坐标必能满足解析式．根据函数图象可设，再将代入即可得出函数关系式，从而解决问题．
【详解】解：设，∵图象过，∴，∴，
∴当时，，故A错误；
根据图象得，电流随电阻的增大而减小，故B正确；
根据图象得，当电阻大于时，电流小于，故C错误；
根据图象得，，故点不在图象上，故D错误，故选：B．
变式1. （2024·湖北武汉·一模）某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小康通过改变动力臂，测量出相应的动力数据如表．请根据表中数据规律探求，当动力臂长度为时，所需动力最接近（ ）
动力臂 动力
0.5 600
1.0 302
1.5 200
2.0
2.5 120
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的应用，由表格可知动力臂与动力成反比的关系，设，将代入得出，再令，计算即可得解，解题的关键是从表格中得出动力臂与动力成反比的关系．
【详解】解：由表格可知动力臂与动力成反比的关系，
设，将代入得：，解得：，，
把代入得：，解得：，故选：C．
变式2.（2023九年级·浙江·专题练习）驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于200微克即为酒驾，某研究所经实验测得：成人饮用某品牌38度白酒后血液中酒精浓度y（微克/毫升）与饮酒时间x（小时）之间函数关系如图所示（当时，y与x成反比例）．下列说法不正确的是（ ）
A．饮酒时间4小时以内，饮酒时间x越长，血液中酒精浓度y越大
B．当时，血液中酒精浓度y的值为320
C．当时，该驾驶员为非酒驾状态
D．血液中酒精浓度不低于200微克/毫升的持续时间7小时
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数与正比例函数的实际应用，先利用待定系数法求解两个函数解析式，再利用函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：当时，设直线解析式为（正比例函数）：，
将代入得：，解得：，故直线解析式为：，
因此饮酒时间4小时以内，饮酒时间x越长，血液中酒精浓度y越大，故A正确，不符合题意；
当时，设反比例函数解析式为：，将代入得：，
解得：，故反比例函数解析式为：；
当时，，故B正确，不符合题意；当时，，
∵，∴该驾驶员为非酒驾状态，故C正确，不符合题意；
当，则，解得：，当，则，解得：，
∵（小时），∴血液中药物浓度不低于200微克/毫升的持续时间6小时，
故D错误，符合题意．故选：D．
考点7、反比例函数的实际应用（综合类）
例1．（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）电子体重秤度数直观又便于携带，为人们带来了方便，某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图①所示；图②的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的度数为，该度数可以换算为人的质量．
注：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式．
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压，即：可变电阻两端的电压+定值电阻两端的电压=总电压．
(1)求出关于的函数解析式；(2)当伏时，______欧；
(3)若电压表量程为0-6伏，为保护电压表，请求出该电子体重秤可称的最大质量．
【答案】(1)关于的函数解析式是；(2)130；(3)电子体重秤可称的最大质量是115千克．
【分析】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．（1）根据图①可知：函数的图象经过点，，然后即可求得关于的函数解析式；（2）根据伏和题目中的数据，可以计算出此时的值；
（3）根据反比例函数的性质和电压表量程为0-6伏，可以得到该电子体重秤可称的最大质量．
【详解】（1）由图①可知：函数的图象经过点，，
∴，解得，即关于的函数解析式是；
（2）∵，伏，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，
∴，解得，即当伏时，欧，故答案为：130；
（3）∵，∴随的增大而减小，
∵，∴当取得最大值时，取得最小值，
∵电压表量程为0-6伏，∴当时，取得最小值10，
∴当取得最小值10时，取得最大值115即该电子体重秤可称的最大质量是115千克．
变式1．（2023·山西·九年级月考）函数是刻画事物运动变化过程和发展规律的数学模型，应用非常广泛．用图象的方法研究函数，形象直观．在现实生活中，我们常用图象的方法研究函数，例如，气温随着时间的变化、股票随着时间变化等，就常用图象法把函数关系表示出来，然后利用图象进一步分析它们的变化情况．小明根据相关数据和学习函数的经验，对成人喝250毫升低度白酒后，其血液中酒精含量（毫克/百毫升）随时间变化的规律进行了探究，发现血液中酒精含量y是时间x的函数，其中y表示血液中酒精含量（毫克/百毫升），x表示饮酒后的时间（小时），下表记录了6小时以内11个时间点血液中酒精含量y（毫克/百毫升）随饮酒后的时间x（小时）（x＞0）的变化情况：
饮酒后的时间x（小时） … 1 2 3 4 5 6 …
血液中酒精含量y（毫克/百毫升） … 150 200 150 45 …
下面是小明的探究过程请补充完整
（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中以各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出血液中酒精含量y随时间x变化的函数图象；（2）观察函数图象，写出一条该函数的性质：______．（3）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完250毫升低度白酒，第二天早上7：30能否驾车去上班？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）当x＞1时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；（3）第二天早上7：30可以驾车去上班；理由见解析．
【分析】（1）利用描点法画出函数图象即可；（2）根据图象写出一条性质即可；
（3）把y＝20代入反比例函数得x＝11.25．喝完酒经过11.25小时为早上7：15，即早上7：15以后血液中的酒精含量小于或等于20毫克/百毫升．由此即可判断．
【详解】解：（1）图象如图所示：
（2）当0＜x＜1时，y随x的增大而增大；
当x＝1时，y有最大值，最大值为200；当x＞1时，y随x的增大而减小，
故答案为：当x＞1时，y随x的增大而减小（答案不唯一）；
（3）由图象可知1.5时后（包括1.5时）y与x可近似地用反比例函数（k＞0）刻画，
∵当x＝5时，y＝45，且（5，45）在反比例函数（k＞0）图象上，
∴把（5，45）代入得，解得k＝225，∴，
把y＝20代入反比例函数得x＝11.25．
∴喝完酒经过11.25时（即11：15时）为早上7：15．
∴第二天早上7：30可以驾车去上班．
【点睛】本题考查反比例函数的性质、待定系数法，解题的关键是理解反比例函数的定义，学会利用图象解决实际问题，属于中考常考题型．
变式2．（23-24九年级下·广东深圳·期末）【项目式学习】
项目主题：守护生命，“数”说安全．
项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，'数'说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究．
任务一：考察测量
（1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为，则 ；
任务二：模拟探究：如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过．
（2）创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现：
①当时（如图1），线段能通过直角弯道；
②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是 ；③当时，线段不能通过直角弯道．
（3）如图3，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，且矩形能通过该直角弯道，求a的最大整数值．
任务三：成果迁移（4）如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线上，两边分别与x轴，y轴平行， ．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为，宽为的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为 ．（参考数据：）
【答案】（1）；（2）；（3）a的最大整数值为7；（4）10
【分析】（1）延长内侧交外侧于点，则，根据勾股定理，即可求解；（2）根据等腰直角三角形的性质，即可求解；（3）解法一：设与相交于点G，根据题意得：，证明，可得到，即可求解；解法二：设直线分别与直线相交于点I，H，根据等腰直角三角形的性质，以及勾股定理可得，即可求解；（4）过点A作轴于点，求出反比例函数的解析式，设直线与的交点为P，则，过点P作轴于点，延长交x轴于点K，求出，，可求出直线的解析式，从而得到的长，即可求解．
【详解】解：（1）如图1，延长内侧交外侧于点，则，
∴，∴，故答案为：；
（2）由图形可知是等腰直角三角形，则，故答案为：；
（3）解法一、如图3（1），设与相交于点G，根据题意得：，
∴，又∵，∴，
∴，，又∵，∴，
∴根据实际情况得：a的最大整数值为7．
解法二：如图3（2），设直线分别与直线相交于点I，H，
∵四边形为矩形，∴，，
又∵，∴，
∴，∴根据实际情况得：a的最大整数值为7．
（4）如图4，过点A作轴于点，
由勾股定理可得，∴，把代入，得：，
∴反比例函数的解析式为；设直线与的交点为P，则，
过点P作轴于点，延长交x轴于点K，则，是等腰直角三角形，∴，，∴，，
设直线的解析式为：，∴，解得：，
∴直线的解析式为：，
令，解得：，，
∴，
∵，∴的最大整数值为10．故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数与一次函数的图象和性质，勾股定理等知识，利用类比思想和数形结合思想解答是解题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（2023年山东省潍坊市中考数学真题）如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．当时， C．当时， D．当时，
【答案】B
【分析】结合一次函数与反比例函数的图象，逐项判断即可得．
【详解】解：A、当时，，则此项错误，不符合题意；
B、当时，，则此项正确，符合题意；
C、当时，，则此项错误，不符合题意；
D、当时，，则此项错误，不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象，熟练掌握函数图象法是解题关键．
2．（2024·湖南长沙·一模）伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”．已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂（单位：需满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的应用，根据题意和图象中的数据，可以计算出阻力和阻力臂的函数关系式，然后根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得到动力臂的取值范围．
【详解】解：阻力和阻力臂的函数关系式为，
点在该函数图象上，，解得，
阻力和阻力臂的函数关系式为，，
，当时，，
小明想使动力不超过，则动力臂（单位：需满足，故选：D．
3．（23-24九年级下·湖南永州·期中）如图，直线与反比例函数的图象交于点，点的横坐标分别为，则（ ）
A．3 B．4 C．2 D．8
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题， 根据题意和函数解析式，可以求得点和点的坐标，得到一次函数和反比例函数的解析式，过点作轴于点，直线与轴交于点，求出点的坐标，从而可以求得的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：把点的横坐标，分别代入函数中，得
，解得：，∴直线的解析式为：，
反比例函数的解析式为：，∴点，，
过点作轴于点，直线与轴交于点，如图：
当时，，∴点，∴
，故选：B．
4．（2024·江苏扬州·一模）平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点，其中点在第三象限．设为双曲线上一点（点异于点），直线，分别交轴于，两点，则，两点横坐标的和为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用，确定直线，的解析式是解题的关键．设，，三点坐标，根据题意可得，易得，即，分别表示出直线，的解析式，令可计算出点和的横坐标，相加即可得到结论．
【详解】解：∵直线与双曲线相交于，两点，
设，则，∴，
∵为双曲线上一点，∴，
∴，∴，设直线的解析式为，
将点，代入，可得，解得，
∴直线的解析式为，
令，可得，解得，∴，
设直线的解析式为，将点，代入，
可得，解得，∴直线的解析式为，
令，可得，解得，∴，
∵，∴，两点横坐标的和为．故选：D．
5．（2024·河北石家庄·一模）如图，直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不包括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则的取值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】若直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不位括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则取，此时反比例函数过整点，，，则这5个整点是，，，，，从而得到当的值是4，满足题意，即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
直线一定过点，，
把代入得，，此时反比例函数过整点，，，
阴影部分（不位括边界）有，，，，，5个整点，
的取值可能是4，故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征，利用图象确定的值是解题的关键．
6．（2024·天津和平·一模）如图，取一根长100的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数不超过7，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题关键．根据题意确定弹簧秤的示数关于的函数解析式，再结合图像即可获得答案．
【详解】解：根据题意，，
∴弹簧秤的示数关于的函数解析式为，且该函数图像在第一象限，随的增大而减小，
当时，可有，越大，弹簧秤的示数越小，而的最大值，
∴若弹簧秤的示数不超过7，则的取值范围是．故选：D．
6．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，点，B均为双曲线在第一象限上的点，且，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了待定系数法，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，图象交点坐标；过作交的延长线于，过作轴交于，过作交的延长线于，由可判定，由全等三角形的性质得，，可求，待定系数法可求直线为，联立两个函数关系式即可求解；掌握相关的性质，能根据作出适当的辅助线，构建三角形全等是解题的关键．
【详解】解：过作交的延长线于，过作轴交于，过作交的延长线于，，，
∵，，，，
在和中，，（），，，
，，，，，
，解得：，，，，
设直线为，则有，解得，直线为，
联立，解得：，（舍去），，故选：D．
7．（2024·山西太原·一模）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．当液体密度时，浸在液体中的高度
B．当液体密度时，浸在液体中的高度
C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度
D．当液体的密度时，浸在液体中的高度
【答案】C
【分析】此题考查了反比例函数的应用，由题意可得，设，把，代入解析式，进而结合函数图象，逐项分析判断，求解即可．
【详解】解：设h关于的函数解析式为，
把，代入解析式，得．∴h关于的函数解析式为．
A. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意；
B. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意；
C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度，故该选项正确，符合题意；
D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
8．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，直线与双曲线在第一象限相交于点，，直线与轴交于点，则下列结论错误的是（ ）
A． B．， C．当时， D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，反比例函数与不等式和两点间的距离，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：、由在第一象限相交于点，，则，
解得，故此选项正确，不符合题意；
、由，则，∵在图象上，∴，解得，
∴点，，由过，，
∴，解得，故此选项正确，不符合题意；
、由，，再根据图象可知当时，，
故此选项正确，不符合题意；
、由上可知，，∴直线的解析式为，
当时，，∴，∵，，
∴，，
∴，故此选项不正确，符合题意，故选：．
9.（2023·河南南阳·模拟预测）很多家庭都用燃气热水器，为了防止一氧化碳泄漏带来的危害，一般会安装燃气报警器，其中一种燃气报警器核心部件是气敏传感器（图1中的），的阻值随空气中一氧化碳质量浓度的变化而变化（如图2），空气中一氧化碳体积浓度与一氧化碳质量浓度的关系见图3．下列说法正确的是（ ）
A．空气中一氧化碳质量浓度越大，的阻值越大
B．当时，的阻值为
C．当空气中一氧化碳体积浓度是时，燃气报警器为报警状态
D．当时，燃气报警器为报警状态
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，数形结合是解题的关键．根据题意结合函数图象，类比反比例函数图像，逐项分析判断即可即可求解．
【详解】解：A、由图2可知，的阻值随空气中一氧化碳质量浓度的增大而减小，
空气中一氧化碳质量浓度越大，的阻值越小，故A错误，不符合题意；
B、由图2可知，当时，的阻值小于，故B错误，不符合题意；
C、由图3可知，时，燃气报警器为报警状态，
当空气中一氧化碳体积浓度大于时，燃气报警器为报警状态，故C正确，符合题意；D、由图2可知，时，，而时，燃气报警器报警，故D错误，不符合题意；故选：C．
10．（23-24八年级下·山西临汾·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点均在反比例函数的图象上，连接，，，过点作轴于点，过点作轴于点，则下列结论中正确的有（ ）
①；②；③直线与轴的交点坐标为；
④的值随．的增大而增大．
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的性质，全等三角形的性质与判定，待定系数法求一次函数解析式，根据题意图形即可判断①正确，根据证明，先求得直线的函数表达式为，进而即可判断③，分，两种情形讨论，即可求解．
【详解】提示：①点P，Q都在第一象限，，①正确；
①，②正确；
③设直线的函数表达式为,则，解得
∴直线的函数表达式为，
当时，直线与轴的交点坐标为，③正确；
④直线的函数表达式为，直线的函数表达式为
当时，的值随的增大而减小，
当时，的值随的增大而增大，④错误．故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2024·河南信阳·一模）在温度不变的条件下，气体所产生的压强与气体的体积成反比例，如图是某种气体压缩后，气体产生的压强P关于气体的体积V的函数图象．若压强由减压到，则气体体积增加了 ．
【答案】15
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用．设这个反比例函数的解析式为，求得，当时，求得，当时求得，，于是得到结论．
【详解】解：设这个反比例函数的解析式为，
时，，，，
当时，，当时，，
，气体体积增大了，故答案为：15．
12．（2024·浙江·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．当时，x的取值范围是 ．
【答案】或/或
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，正确求出n的值是解题的关键．先求出n的值，再观察图象，写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方时对应的自变量的取值范围即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过，∴，∴，
又反比例函数的图象经过，∴，∴，
观察图象可知：当时，图中一次函数的函数值大于反比例函数的函数值，则x的取值范围为：或．故答案为：或．
13．（2024·河北·一模）嘉淇做动态电路中滑动变阻器的电学实验，电源电压恒定不变，电流与电阻的关系如图所示．（1）电源电压为 V；（2）该滑动变阻器的铭牌上标有“”字样，“”表示滑动变阻器连入电路的最大电阻是，“”表示滑动变阻器允许通过的最大电流是，则该滑动变阻器连入电路的最小电阻是 Ω．
【答案】 3
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是会利用函数图象求函数解析式．
（1）由图象可知：成反比例函数，当时，，代入公式可得电源电压；
（2）得出函数解析式为，令求得的取值范围即可．
【详解】解：（1）由图象可知：成反比例函数，
当时，，∴，故答案为：3；
（2）∵限制电流不超过，，根据图象解得，
∵最大电阻为的滑动变阻器，∴电阻在之间．故最小电阻为：，故答案为：3；．
14．（2024·安徽亳州·一模）如图，一次函数的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点A．
（1）若点A坐标为，则 ；（2）若，则的面积为 ．
【答案】 3
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合问题，正确熟练掌握函数性质是解题的关键．（1）先将点A代入一次函数解析式，求出点A的坐标，再带入反比例函数解析式求解即可．（2）先联立两个函数解析式，求出交点A的坐标，再用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）∵点在一次函数的图象上，
，解得：，点A坐标为．
点在反比例函数（，）的图象上，，故答案为：．
（2）联立方程组，解得（舍去）或，点A坐标为，
当时，，点坐标为，△OAB的面积为．故答案：3．
15．（2024·湖南衡阳·模拟预测）定义新运算：，即的取值为，，的中位数，例如：，，已知函数与直线有个交点时，则的取值范围为 ．
【答案】或
【分析】本题考查中位数，函数的图像等知识，解题的关键画出函数的图像，观察图像，利用图像法解决问题即可．也考查了函数图像之间的交点坐标．
【详解】解：由题意：函数的图像如图所示（图中实线）．
由，解得：或，∴，，
由，解得：或，∴，，
由，解得：，∴，由，当时，得，
即函数图像与轴的交点坐标为，
∵函数与直线有个交点，且，
观察图像可知：符合条件的的取值范围是：或．
故答案为：或．
16．（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）某段高架桥上车辆的行驶速度y（千米/时）与高架桥上每百米行驶车的数量x辆（x为正整数）的关系如图所示，当时，y与x成反比例，当车辆的行驶速度低于21千米/时，交通就会拥堵．为避免出现交通拥堵，高架桥上每百米行驶车的数应该满足的范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，设反比例函数的解析式为∶，根据图象将代入，求出k的值，得出反比例函数的解析式，然后再代入y值，即可求出对应的x值，然后根据x为正整数即可求出x的范围．
【详解】解：设反比例函数的解析式为∶，则将，代入得∶，解得：，
故反比例函数的解析式为∶，故当车速度为21千米/时，则，解得∶，
故高架桥上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是∶，
故答案为∶ ．
17．（2023·四川眉山·三模）如图所示，四边形是菱形，边在x轴上，点，点，双曲线与直线交于点D，点E，则的面积为 ．
【答案】35
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，菱形的性质，先利用勾股定理求出，再由菱形的性质得到，则，利用待定系数法求出反比例函数解析式为，直线的解析式为，然后联立两函数解析式求出，再根据，进行求解即可．
【详解】解：∵点，点，∴，∴，
∵四边形是菱形，∴，∴，
把代入中得，∴反比例函数解析式为，
设直线的解析式为，
∴，∴，∴直线的解析式为，
联立，解得或，∴，
∴，故答案为：35．
18．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，直线与反比例函数交于点，与轴交于点，过双曲线上的一点作轴的垂线，垂足为点，交直线于点．若将四边形分成两个面积相等的三角形，则点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查反比例函数的图形和性质，一次函数的图象和性质．先求得直线，反比例函数解析式，设，根据将四边形分成两个面积相等的三角形，得到，据此列出关于n的方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵反比例函数经过点，直线经过点，
∴，，∴∴，，令，则，
即．设，且，∴．
∵将四边形分成两个面积相等的三角形，∴，
∴，∴，解得或（不符合题意，舍去），
经检验是原方程的解，∴点的坐标为．故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2024·浙江温州·一模）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？
素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码．
素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长时，天平平衡．
链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量．（不计托盘与横梁重量）
任务1：设右侧托盘放置物体，长，求关于的函数表达式，并求出的取值范围．
任务2：求这个空矿泉水瓶的重量．
【答案】任务1：，；任务2：空矿泉水瓶的重量为
【分析】本题考查了反比例函数的应用，二元一次方程组的应用，熟练掌握反比例函数的应用，二元一次方程组的应用是解题的关键
任务1：由题意，得，即，由题意知，，，则，即，进而可求的取值范围．
任务2：设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为，依题意得，，计算求解，然后作答即可．
【详解】任务1：解：由题意，得，
∴，由题意知，，，∴，∴，∴．
任务2：解：设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为，
依题意得，，解得，空矿泉水瓶的重量为．
20．（22-23九年级下·江西吉安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴的正半轴相交于A、B两点，与反比例函数的图像相交于第一象限内的C、D两点，点C、D是的三等分点；(1)用含n的代数式表示点B的坐标；(2)若，求反比例函数的解析式．
【答案】(1)(2)
【分析】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数图像上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，求得点D的坐标是解题的关键．
（1）令，即可求解；（2）根据题意可求得点D的坐标，然后由待定系数法即可求解．
【详解】（1）解：∵直线与坐标轴的正半轴相交于A，B两点，
∴令，则，∴，∴；
（2）解：作轴于E，因，则，∴，∴，
∵点C，D是的三等分点，∴，把代入得，，∴，
∵点D在反比例函数的图象上，∴，∴反比例函数解析式为．
21．（2023·江苏新吴·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，、两点在轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点在正比例函数的图像上，反比例函数的图像经过点，且与边相交于点．
（1）若，求点的坐标；（2）连接，．①若的面积为24，求的值；
②是否存在某一位置使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点的坐标为；（2）①；（3）②不存在．理由见解析．
【分析】（1）先求出A点的坐标，然后代入反比例函数中求出k，再求出，代入反比例函数解析式即可；（2）①设，则可推出，然后由得到，即可求出，从而求解；②当，可证，得到，则由①可知，，则点则，，得，由此求解即可．
【详解】（1）∵在正方形中，，∴A点的纵坐标为4，
∵A在直线上，∴，∴，∴，∴OB=2，
∵在的图像上，∴，∴，∴反比例函数解析式为，
∵，∴，∴将代入中，得：，∴点的坐标为；
（2）①设，∴，，
∴，，∴，∴，∴，
∵，，∴，∴
解得，∴；
②不存在，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，
∵，∴，∵，∴
∴，∴，由①可知，，则点
∴，∴得∴，∵，∴不符合题意，不存在．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，一次函数，反比例函数，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
22．（2023·内蒙古包头·模拟预测）通过实验研究发现，初中生在课堂中的专注度随着上课时间的变化而变化，刚上课时，学生兴趣激增，10分钟后保持平稳一段时间，20分钟后注意力开始分散．若学生的专注度y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题：
(1)______．(2)当时，求y与x的函数关系式．(3)数学老师讲一道函数综合题需要25分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60？请说明理由．
【答案】(1)20(2)(3)能，理由见解析
【分析】本题考查一次函数、反比例函数、不等式组的实际应用：（1）根据描述可直接得出答案；
（2）设双曲线解析式为，将C点坐标代入求出k值，进而求出点D、点A坐标，再利用待定系数法求y与x的函数关系式；
（3）根据一次函数、反比例函数解析式列出不等式组，求出不等式组的解集，即可判断．
【详解】（1）解：20分钟后注意力开始分散，，故答案为：20；
（2）解：由（1）可知，点C的坐标为，设双曲线解析式为，
将代入，得：，解得，将代入，得，
点A的坐标为，由图可得点B的坐标为，
设时，求y与x的函数关系式为，
将，代入，得，解得， y与x的函数关系式为；
（3）解：经过适当的安排，能使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60．
理由如下：
由题意得：，解得，
，经过适当的安排，能使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60．
23．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于第二、四象限内的点和点．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4．(1)分别求出a和b的值；(2)结合图像直接写出的解集；
(3)在x轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标．
【答案】(1)，；(2)或；(3)
【分析】本题考查一次函数和反比例函数的综合应用．正确的求出函数解析式，是解题的关键．
（1）利用的几何意义，求出反比例函数解析式，再求出两点坐标，待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）根据图象，找到双曲线在直线上方时，的取值范围即可；（3）作关于轴的对称点，连接，交轴与点，求出直线的解析式，再求出点坐标即可．
【详解】（1）解：∵点，∴，∵，即，∴，
∵点在第二象限，∴，将代入得：，
∴反比例函数的关系式为：，把代入得：，∴，∴，；
（2）由图像可以看出的解集为：或；
（3）如图，作点B关于x轴的对称点，直线与x轴交于P，
此时最大（，共线时差最大）
∵，∴，设直线的关系式为，将，代入得：
，解得：，直线的关系式为，
当时，即，解得，∴．
24．（2023·四川成都·模拟预测）如图1，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接，．
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；(2)若的面积为12，求点P的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，若点E为直线上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函为，一次函数表达式为(2)
(3)存在，点E的坐标为或或
【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质等，解题关键是运用分类讨论思想解决问题，（1）将点的坐标代入反比例函数解析式可求得，进而可得，再利用待定系数法即可求得一次函数解析式;（2）如图，设直线交x轴于H，过点M作轴于D，过点N作轴于E，设，根据三角形的面积，建立方程求解即可，得出答案;（3）利用待定系数法可直线PM的解析式为，设，分三种情况∶ 当、为平行四边形对角线时； 当、为平行四边形对角线时，当、为平行四边形对角线时；分别建立方程求解即可得出答案．
【详解】（1）∵反比例函数 的图象经过、两点，
，解得：，，
由点M、N的坐标得，直线的表达式为：；
反比例函数表达式为，一次函数表达式为；
（2）如图，设直线交x轴于H，过点M作轴于D，过点N作轴于E，
设，，，，
直线的表达式为：，则，，
，
解得：，；
（3）存在，点E的坐标为或或．
由点P、M的坐标得，直线PM的解析式为，设，
，，当、为平行四边形对角线时，与的中点重合，
则，解得：，，；
当、为平行四边形对角线时，与的中点重合，
则，解得：，，；
当、为平行四边形对角线时，与的中点重合，
则，解得：，，；
综上所述，点E的坐标为或或．
25．（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．
(1)求函数与函数的表达式；(2)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．
【答案】(1)，(2)见解析
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．（1）根据函数与函数的图象交于点和点．将点的横坐标代入中，求出其纵坐标，利用点的坐标求出，利用反比例函数得到点的坐标，进而得到即可解题；（2）首先根据题意画出图形，得到、坐标，设所在直线的表达式为，利用待定系数法求出直线表达式，再利用解析式判断即可解题．
【详解】（1）解：点的横坐标是2，将代入．．
将代入得：．．点的纵坐标是，将代入，得．
．将代入得：．解得：．
．
（2）证明：如图所示，由题意可得：，． 设所在直线的表达式为，
．解得：．所在直线的表达式为．
当时，．直线经过原点．
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专题6-3 反比例函数与一次函数综合及实际应用
模块1：学习目标
1.掌握反比例函数与一次函数的综合运用；
2.能灵活利用反比例函数的知识分析、解决实际问题；
3.渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力。
模块2：知识梳理
1、反比例函数与一次函数的综合
1）求一次函数与反比例函数的交点坐标
（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定：①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；
（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
2）涉及自变量取值范围型：当一次函数与反比例函数相交时，联立两解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．
3）涉及三角形的面积型
当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．
（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
2、反比例函数的实际应用:解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．
模块3：核心考点与典例
考点1、反比例函数与一次函数的交点
例1．（2023·广东广州·校考一模）已知：一次函数（）的图像与反比例函数的图像交于点和． (1)求一次函数的表达式；(2)将直线沿轴负方向平移个单位，平移后的直线与反比例函数图像恰好只有一个交点，求的值．
变式1. （23-24八年级·河南周口·期中）如图，直线与双曲线相交于，两点．
(1)求与的值；(2)直接写出点的坐标；(3)直线经过点吗？请说明理由．
变式2．（23-24九年级下·江西九江·期中）如图，为等边三角形，点B的坐标为，C为中点．反比例函数图像过点C．(1)若将能向左平移，使得点A落在反比例函数的图像上，求平移的距离．(2)若反比例函数图像与交于点D；求点D的坐标．
考点2、反比例函数与一次函数的函数值大小比较
例1．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是( )
A．或 B．或 C．或 D．或
变式1.（2023年内蒙古中考数学真题）如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（ ）
A． B． C．或 D．或
变式2．（2023·广东广州·校考一模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A、B两点，点A的坐标为，点B的坐标为．
(1)求反比例函数与一次函数表达式；(2)结合图象，直接写出不等式的解集．
考点3、反比例函数的面积综合问题
例1．（2024·四川广元·二模）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于，B两点， 过点 B 作 轴于点 D， ，过点 A 作轴于点C．(1)求b的值及点B 的坐标；(2)观察图象，当反比例函数的值小于一次函数的值时，直接写出x的取值范围；(3)点 P 在线段 上，连接，，若 ，求点 P 的坐标．
变式1. （2024·山东聊城·一模）如图，将直线向上平移5个单位长度后得到直线，直线与反比例函数在第一象限的图象交于点和点B．直线与x轴交于点M
(1)求点B的坐标；(2)在x轴上取一点N，当的面积为6时，求点N的坐标；
变式2．（23-24八年级下·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与正比例函数图象交于第一象限内的点，点也在这个反比例函数图象上，过点B作y轴的平行线，交x轴于点N，交直线与点D．(1)求点D的坐标及的面积；(2)过反比例函数图象上一点P作直线于点E，过点E作轴点F，过点P作于点G，记的面积为，的面积为，求的值．
考点4、反比例函数与特殊图形综合问题
例1．（2024·山东临沂·一模）如图，已知三点，直线与反比例函数上在第一象限的图象交于点，连接．(1)求直线和反比例函数的表达式．(2)点P在反比例函数的图象上，点Q在直线上，若以D，C，P，Q为顶点的四边形是以为一边的平行四边形，请直接写出所有符合条件的Q点坐标．
变式1.（2024·山西·模拟预测）一次函数 与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，其中．(1)求反比例函数表达式；(2)结合图象，直接写出时，x的取值范围；(3)若点P在x轴上，且是直角三角形，求点P的坐标．
变式2. （23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，直线经过点，交反比例函数的图象于点，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．
(1)求反比例函数表达式；(2)过点作轴交直线于点，连接，若的面积是面积的2倍，请求出点坐标．(3)在反比例函数图象上是否存在点，使，若存在，请求出点横坐标，若不存在，请说明理由．
变式3．（2024·山东济南·一模）直线分别与轴，轴交于点、，与反比例函数的图象交于点、．(1)求的值及直线的解析式；(2)连接，若在射线上存在点，使，求点的坐标；(3)如图2，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线与此封闭图形有交点，请直接写出满足条件的的取值范围．
考点5、反比例函数与新定义综合
例1．（2024·广东揭阳·一模）如图，定义：若双曲线与它的其中一条对称轴相交于两点，则线段的长度为双曲线的对径．
(1)求双曲线的对径；(2)若双曲线的对径是，求k的值；
(3)仿照上述定义，定义双曲线的对径．
变式1.（2023·重庆初三开学考试）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“相等点”，例如点(1，1)，(0．5，0．5)，(-2，-2)， 都是“相等点”，显然“相等点”有无数个． （1）若点P（3，m） 是反比例函数 （ n为常数， ）的图象上的“相等点”，求这个反比 例函数的解析式． （2）一次函数（ k为常数，）的图象上存在“相等点”吗？若存在，请用含k的式子表示出“相等点”的坐标，若不存在，说明理由．
变式2．（2023·怀柔区月考）当值相同时，我们把正比例函数与反比例函数叫做“关联函数"，可以通过图象研究“关联函数”的性质．小明根据学习函数的经验，先以与为例对“关联函数”进行了探究．下面是小明的探究过程，请你将它补充完整；
（1）如图，在同一坐标系中画出这两个函数的图象．设这两个函数图象的交点分别为A，B，则点A的坐标为(-2，-1)，点B的坐标为_______．
（2）点是函数在第一象限内的图象上一个动点（点不与点重合)，设点的坐标为，其中且．
①结论1：作直线分别与轴交于点，则在点运动的过程中，总有．
证明：设直线的解析式为，将点和点的坐标代入，得，解得 则直线的解析式为，令，可得，则点的坐标为，同理可求，直线的解析式为，点的坐标为_________．
请你继续完成证明的后续过程：
②结论2：设的面积为，则是的函数．请你直接写出与的函数表达式．
考点6、反比例函数的实际应用
例1．（23-24八年级下·山西临汾·期中）已知某蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．当电阻为时，电流为 B．电流随电阻的增大而减小
C．当电阻大于时，电流大于 D．点在图象上
变式1. （2024·湖北武汉·一模）某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小康通过改变动力臂，测量出相应的动力数据如表．请根据表中数据规律探求，当动力臂长度为时，所需动力最接近（ ）
动力臂 动力
0.5 600
1.0 302
1.5 200
2.0
2.5 120
A． B． C． D．
变式2.（2023九年级·浙江·专题练习）驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于200微克即为酒驾，某研究所经实验测得：成人饮用某品牌38度白酒后血液中酒精浓度y（微克/毫升）与饮酒时间x（小时）之间函数关系如图所示（当时，y与x成反比例）．下列说法不正确的是（ ）
A．饮酒时间4小时以内，饮酒时间x越长，血液中酒精浓度y越大
B．当时，血液中酒精浓度y的值为320
C．当时，该驾驶员为非酒驾状态
D．血液中酒精浓度不低于200微克/毫升的持续时间7小时
考点7、反比例函数的实际应用（综合类）
例1．（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）电子体重秤度数直观又便于携带，为人们带来了方便，某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图①所示；图②的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的度数为，该度数可以换算为人的质量．
注：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式．
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压，即：可变电阻两端的电压+定值电阻两端的电压=总电压．
(1)求出关于的函数解析式；(2)当伏时，______欧；
(3)若电压表量程为0-6伏，为保护电压表，请求出该电子体重秤可称的最大质量．
变式1．（2023·山西·九年级月考）函数是刻画事物运动变化过程和发展规律的数学模型，应用非常广泛．用图象的方法研究函数，形象直观．在现实生活中，我们常用图象的方法研究函数，例如，气温随着时间的变化、股票随着时间变化等，就常用图象法把函数关系表示出来，然后利用图象进一步分析它们的变化情况．小明根据相关数据和学习函数的经验，对成人喝250毫升低度白酒后，其血液中酒精含量（毫克/百毫升）随时间变化的规律进行了探究，发现血液中酒精含量y是时间x的函数，其中y表示血液中酒精含量（毫克/百毫升），x表示饮酒后的时间（小时），下表记录了6小时以内11个时间点血液中酒精含量y（毫克/百毫升）随饮酒后的时间x（小时）（x＞0）的变化情况：
饮酒后的时间x（小时） … 1 2 3 4 5 6 …
血液中酒精含量y（毫克/百毫升） … 150 200 150 45 …
下面是小明的探究过程请补充完整
（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中以各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出血液中酒精含量y随时间x变化的函数图象；（2）观察函数图象，写出一条该函数的性质：______．（3）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完250毫升低度白酒，第二天早上7：30能否驾车去上班？请说明理由．
变式2．（23-24九年级下·广东深圳·期末）【项目式学习】
项目主题：守护生命，“数”说安全．
项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，'数'说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究．
任务一：考察测量
（1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为，则 ；
任务二：模拟探究：如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过．
（2）创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现：
①当时（如图1），线段能通过直角弯道；
②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是 ；③当时，线段不能通过直角弯道．
（3）如图3，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，且矩形能通过该直角弯道，求a的最大整数值．
任务三：成果迁移（4）如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线上，两边分别与x轴，y轴平行， ．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为，宽为的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为 ．（参考数据：）
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（2023年山东省潍坊市中考数学真题）如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．当时， C．当时， D．当时，
2．（2024·湖南长沙·一模）伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家阿基米德有句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”这句名言道出了“杠杆原理”的意义和价值．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用．比如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”．已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂（单位：需满足（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24九年级下·湖南永州·期中）如图，直线与反比例函数的图象交于点，点的横坐标分别为，则（ ）
A．3 B．4 C．2 D．8
4．（2024·江苏扬州·一模）平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点，其中点在第三象限．设为双曲线上一点（点异于点），直线，分别交轴于，两点，则，两点横坐标的和为（ ）
A．0 B． C． D．
5．（2024·河北石家庄·一模）如图，直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不包括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则的取值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2024·天津和平·一模）如图，取一根长100的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数不超过7，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，点，B均为双曲线在第一象限上的点，且，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·山西太原·一模）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．当液体密度时，浸在液体中的高度
B．当液体密度时，浸在液体中的高度
C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度
D．当液体的密度时，浸在液体中的高度
8．（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，直线与双曲线在第一象限相交于点，，直线与轴交于点，则下列结论错误的是（ ）
A． B．， C．当时， D．
9.（2023·河南南阳·模拟预测）很多家庭都用燃气热水器，为了防止一氧化碳泄漏带来的危害，一般会安装燃气报警器，其中一种燃气报警器核心部件是气敏传感器（图1中的），的阻值随空气中一氧化碳质量浓度的变化而变化（如图2），空气中一氧化碳体积浓度与一氧化碳质量浓度的关系见图3．下列说法正确的是（ ）
A．空气中一氧化碳质量浓度越大，的阻值越大
B．当时，的阻值为
C．当空气中一氧化碳体积浓度是时，燃气报警器为报警状态
D．当时，燃气报警器为报警状态
10．（23-24八年级下·山西临汾·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点均在反比例函数的图象上，连接，，，过点作轴于点，过点作轴于点，则下列结论中正确的有（ ）
①；②；③直线与轴的交点坐标为；
④的值随．的增大而增大．
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2024·河南信阳·一模）在温度不变的条件下，气体所产生的压强与气体的体积成反比例，如图是某种气体压缩后，气体产生的压强P关于气体的体积V的函数图象．若压强由减压到，则气体体积增加了 ．
12．（2024·浙江·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．当时，x的取值范围是 ．
13．（2024·河北·一模）嘉淇做动态电路中滑动变阻器的电学实验，电源电压恒定不变，电流与电阻的关系如图所示．（1）电源电压为 V；（2）该滑动变阻器的铭牌上标有“”字样，“”表示滑动变阻器连入电路的最大电阻是，“”表示滑动变阻器允许通过的最大电流是，则该滑动变阻器连入电路的最小电阻是 Ω．
14．（2024·安徽亳州·一模）如图，一次函数的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点A．
（1）若点A坐标为，则 ；（2）若，则的面积为 ．
15．（2024·湖南衡阳·模拟预测）定义新运算：，即的取值为，，的中位数，例如：，，已知函数与直线有个交点时，则的取值范围为 ．
16．（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）某段高架桥上车辆的行驶速度y（千米/时）与高架桥上每百米行驶车的数量x辆（x为正整数）的关系如图所示，当时，y与x成反比例，当车辆的行驶速度低于21千米/时，交通就会拥堵．为避免出现交通拥堵，高架桥上每百米行驶车的数应该满足的范围是 ．
17．（2023·四川眉山·三模）如图所示，四边形是菱形，边在x轴上，点，点，双曲线与直线交于点D，点E，则的面积为 ．
18．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，直线与反比例函数交于点，与轴交于点，过双曲线上的一点作轴的垂线，垂足为点，交直线于点．若将四边形分成两个面积相等的三角形，则点坐标为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2024·浙江温州·一模）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？
素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码．
素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长时，天平平衡．
链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量．（不计托盘与横梁重量）
任务1：设右侧托盘放置物体，长，求关于的函数表达式，并求出的取值范围．
任务2：求这个空矿泉水瓶的重量．
20．（22-23九年级下·江西吉安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴的正半轴相交于A、B两点，与反比例函数的图像相交于第一象限内的C、D两点，点C、D是的三等分点；(1)用含n的代数式表示点B的坐标；(2)若，求反比例函数的解析式．
21．（2023·江苏新吴·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，、两点在轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点在正比例函数的图像上，反比例函数的图像经过点，且与边相交于点．（1）若，求点的坐标；（2）连接，．①若的面积为24，求的值；②是否存在某一位置使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
22．（2023·内蒙古包头·模拟预测）通过实验研究发现，初中生在课堂中的专注度随着上课时间的变化而变化，刚上课时，学生兴趣激增，10分钟后保持平稳一段时间，20分钟后注意力开始分散．若学生的专注度y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题：
(1)______．(2)当时，求y与x的函数关系式．(3)数学老师讲一道函数综合题需要25分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时，专注度不低于60？请说明理由．
23．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于第二、四象限内的点和点．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为4．(1)分别求出a和b的值；(2)结合图像直接写出的解集；
(3)在x轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标．
24．（2023·四川成都·模拟预测）如图1，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接，．
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；(2)若的面积为12，求点P的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，若点E为直线上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．
(1)求函数与函数的表达式；(2)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．
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