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专题6-2 反比例函数的图象和性质
模块1：学习目标
1. 能根据解析式画出反比例函数的图象，
2. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．
3. 理解反比例函数K的几何意义．
模块2：知识梳理
1、反比例函数的图象和性质
1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
2）性质：
表达式 （k是常数，k≠0）
k k>0 k<0
大致图象
所在象限 第一、三象限 第二、四象限
增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
3）反比例函数图象的对称性:反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．
注：反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
2、反比例函数中|k|的几何意义
模块3：核心考点与典例
考点1、判断（画）反比例函数图象
例1．（2024九年级下·浙江·专题练习）反比例函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】考查了反比例函数的图象，反比例函数的图象是双曲线，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限．据此解答即可．
【详解】解：，则函数在第二、四象限．故选：B
变式1.（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）如图所示，该函数表达式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象．熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键，由图象可知，反比例函数，然后对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：由图象可知，反比例函数，A中不是反比例函数，故不符合要求；
B中是反比例函数，但不经过第二、第四象限，故不符合要求；
C中是反比例函数，经过第二、第四象限，故符合要求；
D中不是反比例函数，故不符合要求；故选：C．
变式2.（23-24九年级上·福建三明·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，点不在该反比例函数的图象上，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数上的点的特征．根据点的坐标求出横纵坐标的乘积，进而得到值的取值范围，即可得出结果．
【详解】解：由图象可知：，，
∴，即：，∴的值可以为；故选C．
考点2、根据函数的对称性求点的坐标
例1．（2024·安徽滁州·一模）在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，已知点A的坐标为，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【详解】解：由题意可知点与关于原点对称，点A的坐标为，
点的坐标为．故选：．
变式1.（23-24九年级下·上海·阶段练习）已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正比例函数图象、反比例函数图象的对称性，熟记才能灵活运用．根据反比例函数的图象与正比例函数图象的两个交点一定关于原点对称即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数图象的两个交点一定关于原点对称，
另一个交点的坐标与点关于原点对称，即该点的坐标为．故答案为：．
变式2.（23-24九年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，据此求解即可．
【详解】解：根据题意，知点A与B关于原点对称，
∵点A的坐标是，∴B点的坐标为．故答案为：．
考点3、反比函数的图象与性质
例1．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．在每个象限内，y的值随x的值增大而增大
B．是轴对称图形，也是中心对称图形
C．过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点
D．图象分别位于第二、四象限内
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A、，，在每个象限内，y的值随x的值增大而增大，故A选项正确；
B、反比例函数图象，是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项正确；
C、过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点，故C选项错误；
D、图象分别位于第二、四象限内，故D选项正确 故选：C．
变式1.（2024·湖南株洲·一模）关于反比例函数的图像及性质说法正确的是（ ）
A．函数图像分别位于第二、四象限 B．函数图像经过点
C．当时，随的增大而增大 D．当时，
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的图像和性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像和性质．据此依次对各选项逐一分析即可作出判断．
【详解】解：A．，则该函数图像位于第一、三象限，故此选项不符合题意；
B．当时，，则该函数图像经过点，故此选项不符合题意；
C．当时，函数图像在第一象限，随的增大而减小，故此选项不符合题意；
D．当时，函数图像在第三象限，随的增大而减小，
∵当时，，当时，，
∴当时，，故此选项符合题意．故选：D．
变式2.（2024·湖北孝感·一模）反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（ ）
A． B．函数图象分布在第二、四象限
C．函数图象关于原点中心对称 D．当时，y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：反比例函数的图象经过点，
，故选项正确，不合题意；
，此函数图象的两个分支位于二四象限，故选选项正确，不合题意；
反比例函数的图象关于原点对称，故选项正确，不合题意；
反比例函数图象的两个分支位于二四象限，
当时，随着的增大而增大，故选项错误，符合题意．故选：D
考点4、根据反比例函数的分布象限求参数范围
例1．（23-24九年级上·河南信阳·期末）已知反比例函数图象的两支分布在第二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，对于反比例函数，当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，据此求解即可．
【详解】解：∵反比例函数图象的两支分布在第二、四象限，
∴，∴，故选：D．
变式1.（23-24九年级下·河北邯郸·期中）已知反比例函数的图象经过第一、三象限，写出一个符合条件的的负整数值： ．
【答案】（答案不唯一，写或）
【分析】此题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质及其应用．根据反比例函数的图象经过第一、三象限，则有，求出即可．
【详解】解：反比例函数的图象经过第一、三象限，，
解得：，则只要满足条件即可，故答案为：（答案不唯一，写或）．
变式2. （23-24八年级下·江苏苏州·期中）双曲线的一支位于第一象限，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质．由位于第一象限，可得，即可求解．
【详解】解：双曲线的一支位于第一象限，，
，解得：，故答案为：．
考点5、根据反比例函数的增减性求参数范围
例1．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）已知反比例函数，在它图像的每个分支上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A．0 B．3 C．6 D．9
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，根据反比例函数的增减性得到，求出k的取值范围，进而求出答案．
【详解】解：反比例函数，在它图像的每个分支上，y都随x的增大而增大，
，，则k的值可能为0，故选：A．
变式1. （2024·湖北襄阳·一模）若反比例函数的图象所在的每一个象限内，随的增大而减小，请写出一个符合条件的的值 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查反比例函数图象的性质，先根据反比例函数图象的性质确定的正负情况，然后写出即可．
【详解】解：在每个象限内随着的增大而减小，．
符合条件的的值可以是 故答案为：（答案不唯一）．
变式2.（2024·北京顺义·一模）已知点，在反比例函数的图象上．若，写出一个满足条件的m的值 ．
【答案】4（答案不唯一）
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
根据题意得在每个象限内，随的增大而减小，即可求解．
【详解】解：反比例函数，∵，∴在每个象限内y随x的增大而减小，
∵，，，∴或，
∴满足条件的m的值可以为4，故答案为：4（答案不唯一）．
考点6、比较函数值的大小
例1．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）已知点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征；根据反比例函数的图象与性质进行判断即可．
【详解】解：∵，∴反比例函数的图象经过第二、四象限，
∴在每一个象限中，y随x的增大而增大，∵，点，在第四象限，∴，
∵点在第二象限，∴，∴，故选：D．
变式1.（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知反比例函数的图象与函数的图象没有交点．若点、、在这个反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数和正比例函数的图形与性质，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先根据两个函数没有交点，确定k的符号，再根据函数的增减性，进行判断即可．
【详解】函数经过一、三象限，反比例函数的图象与函数的图象没有交点，
反比例函数的图象在二、四象限，
、、在这个反比例函数的图象上，
点、在第二象限，点在第四象限，
，，，，，故选：B．
变式2．（2024·天津·一模）若点，，都在反比例函数的图象上， 则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数 （是常数，）的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．据此求解即可．
【详解】解：∵，∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小．∵，∴．故选：A．
考点7、反比例函数与一次函数图象共存
例1．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）一次函数与反比例函数）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握根据待定系数判断图象在坐标系中的位置是解题的关键．分别根据和讨论直线和双曲线在坐标系中的位置即可得．
【详解】解：当时，直线经过第一、三、四象限，双曲线经过第一、三象限，故A符合题意；当时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第二、四象限，没有符合题意的．故选：A．
变式1.（23-24八年级下·山西临汾·期中）一次函数与反比例函数（，为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．根据一次函数图象判定、的符号，根据的符号判定反比例函数图象所在的象限．
【详解】解：A、一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，所以，则反比例应该位于第二、四象限，故本选项不符合题意；
B、一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，所以，则反比例应该位于第一、三象限，故本选项不符合题意；
C、一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，所以，则反比例应该位于第二、四象限，故本选项不符合题意；
D、一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，所以，则反比例应该位于第二、四象限，故本选项符合题意；故选：D．
变式2.（23-24八年级下·浙江杭州·期中）函数和在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题关键；根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点，可以解答本题；
【详解】解：，
函数的图象在第一、三象限，函数经过第一、二、三象限，故选：C．
考点8、反比函数K的几何意义
例1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则的面积是 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，延长交轴于C，则轴，根据反比例函数比例系数的几何意义可得，则．
【详解】解：如图所示，延长交轴于C，∵轴，∴轴，
∵点A在双曲线上，点B在双曲线上，∴，
∴，故答案为：．
变式1.（2024·湖南株洲·一模）如图，点在反比例函数的图像上，轴于点，为的中点，连接，若的面积为，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数值的几何意义（过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得的矩形的面积为），熟练掌握反比例函数值的几何意义是解题的关键．
【详解】解：∵的面积为，为的中点，∴，
∵轴，∴，∵反比例函数图像在第二象限，∴．故答案为：．
变式2.（23-24八年级下·山西临汾·期中）如图，的顶点在轴上，顶点，在的图像上，顶点在反比例函数的图像上，且轴，若的面积等于11，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查平行四边形的性质及反比例函数的几何意义，在反比例图像上任意一点分别向、轴做垂线，所围成的四边形的面积等于，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题关键．如图，连接、，设交轴于，根据平行四边形的性质可得，根据反比例函数的几何意义得出，，根据的面积等于11，列方程求出，根据图像所在象限即可得答案．
【详解】解：如图，连接、，设交轴于，
∵轴，顶点在轴上，∴，轴，
∵在的图象上，顶点在反比例函数的图象上，
∴，，∵的面积等于，
∴，∴，解得：，
∵反比例函数的图象在第一象限，∴．故答案为：
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·江苏苏州·八年级统考期中）已知反比例函数，在它图像的每个分支上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
【答案】D
【分析】根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出k的取值范围，再结合四个选项即可得出结论．
【详解】解：∵在反比例函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，
∴，∴，故D正确．故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及解一元一次不等式，根据反比例函数的增减性结合反比例函数的性质找出关于k的不等式是关键．
2．（2023·广东广州·统考一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数的图象和性质，结合点、、纵坐标的数值，即可解答．
【详解】解：在反比例函数中，，
函数图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
点、在第一象限，且，，
点在第三象限，，，故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题关键．
3．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）对于反比例函数，若当时有最大值，则当时，有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
【答案】C
【分析】根据自变量的取值范围、函数的最大值，可得图象位于第二象限，根据第二象限内反比例函数随的增大而增大，可得最大值时的自变量，根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据自变量的取值范围，可得函数值的取值范围．
【详解】解：由当时有最大值，得
时，．，反比例函数解析式为，
当时，图象位于第四象限，随的增大而增大，
当时，最小值，故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，利用当时有最大值得出函数图象位于第二象限是解题关键．
4．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）已知反比例函数表达式为，则下列说法正确的是（ ）
A．函数图象位于第一、三象限 B．点在该函数图象
C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．,根据反比例函数的图象与性质判断作答即可．
【详解】解：∵，∴函数图象位于第二、四象限，A错误，故不符合要求；
当时，，∴点不在该函数图象，B错误，故不符合要求；
当时，y随x的增大而增大, C正确，故符合要求；
当时，，D错误，故不符合要求；故选：C．
5．（2023春·江苏常州·八年级校考期中）已知反比例函数 的图像上两点，，当时，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数图像上点的特征得到图像位于一、三象限，所以，即可求出的取值范围为．
【详解】解：时，，反比例函数图像位于一、三象限，
，．故选：．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，根据题意判断出函数图像位于的象限是解答本题的关键．
6．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）点在反比例函数的图象上，若，则此函数图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第二、三象限
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的变化趋势即可求出k与0的大小关系，从而可判断经过哪些象限．
【详解】∵，即同一象限内，随的增大而增大，
∴，∴反比例函数经过二、四象限，故选：B．
7．（2023春·江苏苏州·八年级校考期中）如图所示，满足函数和的大致图像是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【答案】B
【分析】先根据反比例函数的图象所在的象限判断出k的符号，然后再根据k符号、一次函数的性质判断出一次函数所在的象限，二者一致的即为正确答案．
【详解】解：一次函数．
∵反比例函数的图象经过第二、四象限，
∴，∴，∴一次函数位于第一、二、四象限；故图①错误，图②正确；
∵反比例函数的图象经过第一、三象限，∴；∴，
∴一次函数位于第一、三、四象限；故图③正确，图④错误，故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
8．（2023·江苏无锡·模拟预测）已知双曲线与双曲线与直线从左到右依次交于四点，若（为坐标原点），则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，不妨设，，由双曲线的对称关系可知，，则，从而，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，作出图像，如图所示：
，设，，
由双曲线的对称关系可知，，
，，故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数图像与性质，根据题意，作出图像，由图像与性质求出线段长度是解决问题的关键．
9．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，已知在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数，的图象于点C和点D，过点C作轴于点E，连结，若的面积与的面积相等，则k的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的图象与性质，由反比例k的几何意义可得，设，所以，再由已知可得，求得，再将点D代入即可求k的值．
【详解】解：由题意可求，∵直线与交于点C，∴，
设，∴，∵的面积与的面积相等，
∴，∴，∴，
∵D点在直线上，∴，∴，故选：A．
10．（2023·黑龙江佳木斯·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，点C在x轴的正半轴上，平行四边形的面积是3，则的值是（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】延长交y轴于点D，连接，由反比例的几何意义得到，，代入计算解题即可．
【详解】如图，延长交y轴于点D，连接，
∵四边形为平行四边形，∴轴，即轴
由反比例的几何意义得，，，
∵平行四边形的面积是3，∴的面积为，
∴，∴，∴，故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·北京丰台·统考一模）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，若，则k_____0（填“>”或“<”）．
【答案】
【分析】时，反比例函数的图象在第一、三象限，时，反比例函数的图象在第二、四象限，再利用确定点，的位置即可求解．
【详解】∵点，在反比例函数的图象上，且，
∴点在第二象限，点在第四象限，
∴反比例函数的图象在第二、四象限，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象及性质，掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．
12．（2023春·安徽蚌埠·九年级校联考期中）若点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系为________．
【答案】
【分析】先判断出函数图象位于第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，判断出，，的大小关系，然后即可选取答案．
【详解】解：∵反比例函数，
∴函数图象位于第一三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，
∵，∴，，
∴；故答案为：；
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
13．（2023·北京延庆·统考一模）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，请你写出一个符合要求的k的值_______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由题可知，在两个象限，根据得到图象位于二、四象限，即给出符合题意的k值即可．
【详解】由题可知，在两个象限，
∵，∴反比例函数的图象位于二、四象限，
∴，即，故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
14．（23-24九年级下·福建莆田·期中）若双曲线的图象在第二、四象限内，则的值可以是 ．（写出一个满足条件的的值即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了反比例函数图像的性质，熟练掌握反比例函数的性质是本题的解题关键．根据双曲线的图象在第二、四象限内，得出，然后写出符合题意的数值即可．
【详解】解∶∵双曲线的图象在第二、四象限内，∴，故答案为∶（答案不唯一）．
15．（2023·浙江·九年级专题练习）反比例函数的自变量的取值范围是_____；当时，y的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件，确定自变量取值范围，利用反比例函数的增减性，却其其取值范围．
【详解】解：在反比例函数中，根据分式有意义的条件，自变量x的取值范围是．
当时，；当时，，
∵反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴当时，y的取值范围是．故答案为：；．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，反比例函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键．
16．（23-24九年级下·甘肃武威·阶段练习）如图所示，点是反比例函数图象与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则 ．
【答案】12
【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性．此题是一道综合题，既要能熟练正确求出圆的面积，又要会用待定系数法求函数的解析式．根据和勾股定理，求出圆的半径，进而表示出圆的面积，再根据圆的面积等于阴影部分面积的四倍，求出圆的面积，建立等式即可求出的值，从而得出反比例函数的解析式．
【详解】解：由于函数图象关于原点对称，所以阴影部分面积为圆面积，则圆的面积为．
因为在第一象限，则，，根据勾股定理，．
于是，，（负值舍去），故．点坐标为．
将代入，得：．故答案为：12．
17．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，中，，点为中点，的延长线交轴于点，轴，过点作，垂足为点，反比例函数的图象经过点，若阴影部分面积为，则的值为______ ．
【答案】8
【分析】根据等腰三角形的性质得出点是的中点，进而得出，再根据全等三角形的判定可得，即，进而得出阴影部分的面积等于即可．
【详解】解：是的中点，，
又，，，，，
在和中，，，，
，，
阴影部分的面积为，即，，
，，故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数系数的几何意义、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质是正确解答的前提．
18．（2023·浙江宁波·统考一模）在平面直角坐标系中，对于任意一个不在坐标轴上的点，我们把点称为点P的“和差点”．若直线上有两个点A和B，它们的和差点和均在反比例函数上，则的面积为______．
【答案】/
【分析】设，则，，由和均在反比例函数上，可得，，从而求出或，或，即可求出结果．
【详解】解：设点A的坐标为：，点B的坐标为：，则，，∵和均在反比例函数上，∴，，
解得：、，、，
当时，；当时，，
∴点A的坐标为：或，点B的坐标为：或，设一次函数与x的轴相交于点C，
当时，，即，∴点C的坐标为：，∴，
如图所示：，故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数和一次函数图象的点的坐标特征及解一元二次方程，熟练掌握反比函数上的点的横坐标与纵坐标的积等于反比例的比例系数是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2024·湖南株洲·一模）已知反比例函数，且当时，．
(1)求a的值；(2)在图中画出该函数图象．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】本题主要考查待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象的画法：
（1）将，代入解析式求解．（2）根据函数解析式及表格作图．
【详解】（1）解：把，代入得，，解得；
（2）解：由（1）知反比例函数的解析式为，∴当时，，
描点，连线，则该函数图象如图所示．
20．（2024年江西省上饶市中考一模数学试题）如图，平面直角坐标系中，的边在轴上，对角线交于点，函数的图象经过点和点．
(1)求的值和点的坐标；(2)求的周长．
【答案】(1)，(2)
【分析】本题主要考查反比例函数上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，灵活运用所学知识是解题的关键．（1）利用待定系数法求出，再推出，即可得到答案；
（2）求出点的坐标，求出的长即可解决问题．
【详解】（1）解：点在上，，
四边形是平行四边形，，点的纵坐标为3，
点在的图象上，．
（2）解：，，
平行四边形的周长为．
21．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知反比例函数
(1)直接写出自变量x的取值范围．
(2)在所给的直角坐标系中按照“列表、描点、连线”的步骤画出这个函数的图像；
x … …
y … …
(3)观察图像，思考：在每一个象限y随x的变化是如何变化的？
【答案】(1)(2)见解析(3)y随x的增大而增大
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，会运用描点法画函数图象是解题的关键．
（1）根据分母不为零即可得解；（2）根据自变量的取值范围，给定x的值，并求出相应的y的值，并描点连线即可；（3）根据画出的图象回答即可．
【详解】（1）解：分母不为零可知：自变量x的取值范围是；
（2）解：列表格如下：
x … 1 2 3 4 …
y … 1.5 2 3 6 …
描点并连线如下：
（3）由图象可知：在每一个象限y随x的变化是y随x的增大而增大．
22．（2024·贵州·模拟预测）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点
(1)求反比例函数的表达式；(2)已知点都在反比例函数的图象上，若，比较，的大小．
【答案】(1)(2)在同一象限内，；两点不在同一象限内，
【分析】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质；（1）待定系数法求解析式，即可求解；（2）分在同一象限内，两点不在同一象限内，根据反比例函数图象，即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点
∴∴反比例函数的表达式为：
（2）∵∴反比例函数的图象在每一个象限内，的值随的增大而增大，
分以下两种情形：①在同一象限内，当时， 当时，，
②两点不在同一象限内， 当时，即
综上所述，在同一象限内，；两点不在同一象限内，
23．（23-24八年级下·河北承德·期中）已知一个矩形的面积为6，长为，宽为．
(1)与之间的函数表达式为___________________；(2)在图中画出该函数的图象：
列表：
1 2 3 4 6
6 3 1
上面表格中的值是__________；
描点：在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点；
连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到该函数的图象．
(3)判断是否在这个函数图象上？
(4)若点与点是该函数图象上的两点，试比较和的大小．
【答案】(1)(2)，图见解析(3)点在这个函数图象上(4)
【分析】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数的图象与性质等知识．熟练掌握反比例函数的应用，反比例函数的图象与性质是解题的关键．（1）由题意得，，进而可得与之间的函数表达式；（2）当时，，然后在坐标系中画图象即可；
（3）当时，，进而可得点在这个函数图象上；
（4）由图象可知，在第一象限内随着的增大而减小，然后求解作答即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
∴与之间的函数表达式为，故答案为：；
（2）解：当时，，画图象如下；
（3）解：当时，，∴点在这个函数图象上；
（4）解：由图象可知，在第一象限内随着的增大而减小，，．
24．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，的顶点在轴上，反比例函数的图象经过点、．
(1)填空：的值为 ；的值为 ；点的坐标为 ．(2)求的面积．
【答案】(1)；；(2)
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，平行四边形的性质，三角形的面积等知识点，灵活求出各点的坐标是解题的关键．（1）把点代入即可得到的值；求出点的坐标后代入即可求；设点，则，把点代入反比例函数中即可求出的值得到点的坐标；（2）延长交轴于点，利用待定系数法求出直线的解析式，即可求出点的坐标，再利用三角形的面积差求解即可．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴把，代入得：，解得：，∴，
∵点在反比例函数上，把，代入得：，解得：，∴，
∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴把和分别代入可得：，解得：，∴，，
∵，四边形是平行四边形，∴点向上平移个单位，向右平移个单位可得到，
设点，则，把代入可得：，解得：，∴，；
（2）延长交轴于点，如图所示：设直线的解析式为，
把和的坐标代入可得：，解得：，∴，
把代入可得：，解得：，∴，
，，，
∴．
25．（2023·山东济南·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过、两点，为直角三角形，轴，轴，，．
(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；(2)点是轴正半轴上的动点，连接、；
①求的最小值；②点是反比例函数的图象上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标．
【答案】(1)，的坐标为
(2)①；②的坐标为或
【分析】求出，用待定系数法可得反比例函数的表达式为，令得的坐标为；
作关于轴的对称点，连接交轴于，此时最小，由，，可得，，即可得到答案；
设，，分两种情况：当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，由的等腰直角三角形，证明≌，可得，即可解得；当为直角顶点时，过作轴于，过作于，同理可得，解得．
【详解】（1）解：，，，将代入得：，解得，
反比例函数的表达式为，在中，令得，的坐标为；
（2）作关于轴的对称点，连接交轴于，此时最小，如图：
，关于轴对称，，
当，，共线时，最小，即最小，最小值为的长度，
由（1）知，，，
，的最小值是；
设，，当为直角顶点时，过作轴，过作于，过作于，如图：
的等腰直角三角形，，，
，≌，，，
，解得，；
当为直角顶点时，过作轴于，过作于，如图：
同理可得，，
，解得或舍去，；
综上所述，的坐标为或．
【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，全等三角形的判定与性质，对称变换等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
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专题6-2 反比例函数的图象和性质
模块1：学习目标
1. 能根据解析式画出反比例函数的图象，
2. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．
3. 理解反比例函数K的几何意义．
模块2：知识梳理
1、反比例函数的图象和性质
1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
2）性质：
表达式 （k是常数，k≠0）
k k>0 k<0
大致图象
所在象限 第一、三象限 第二、四象限
增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
3）反比例函数图象的对称性:反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．
注：反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
2、反比例函数中|k|的几何意义
模块3：核心考点与典例
考点1、判断（画）反比例函数图象
例1．（2024九年级下·浙江·专题练习）反比例函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
变式1.（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）如图所示，该函数表达式可能是（ ）
A． B． C． D．
变式2.（23-24九年级上·福建三明·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，点不在该反比例函数的图象上，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
考点2、根据函数的对称性求点的坐标
例1．（2024·安徽滁州·一模）在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，已知点A的坐标为，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式1.（23-24九年级下·上海·阶段练习）已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ．
变式2.（23-24九年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为 ．
考点3、反比函数的图象与性质
例1．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知反比例函数，下列说法错误的是（ ）
A．在每个象限内，y的值随x的值增大而增大
B．是轴对称图形，也是中心对称图形
C．过原点的直线与交于点，则该直线与一定还交于点
D．图象分别位于第二、四象限内
变式1.（2024·湖南株洲·一模）关于反比例函数的图像及性质说法正确的是（ ）
A．函数图像分别位于第二、四象限 B．函数图像经过点
C．当时，随的增大而增大 D．当时，
变式2.（2024·湖北孝感·一模）反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是（ ）
A． B．函数图象分布在第二、四象限
C．函数图象关于原点中心对称 D．当时，y随x的增大而减小
考点4、根据反比例函数的分布象限求参数范围
例1．（23-24九年级上·河南信阳·期末）已知反比例函数图象的两支分布在第二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式1.（23-24九年级下·河北邯郸·期中）已知反比例函数的图象经过第一、三象限，写出一个符合条件的的负整数值： ．
变式2. （23-24八年级下·江苏苏州·期中）双曲线的一支位于第一象限，则的取值范围是 ．
考点5、根据反比例函数的增减性求参数范围
例1．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）已知反比例函数，在它图像的每个分支上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A．0 B．3 C．6 D．9
变式1. （2024·湖北襄阳·一模）若反比例函数的图象所在的每一个象限内，随的增大而减小，请写出一个符合条件的的值 ．
变式2.（2024·北京顺义·一模）已知点，在反比例函数的图象上．若，写出一个满足条件的m的值 ．
考点6、比较函数值的大小
例1．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）已知点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
变式1.（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知反比例函数的图象与函数的图象没有交点．若点、、在这个反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024·天津·一模）若点，，都在反比例函数的图象上， 则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
考点7、反比例函数与一次函数图象共存
例1．（23-24八年级下·湖南衡阳·期中）一次函数与反比例函数）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
变式1.（23-24八年级下·山西临汾·期中）一次函数与反比例函数（，为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
变式2.（23-24八年级下·浙江杭州·期中）函数和在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
考点8、反比函数K的几何意义
例1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，则的面积是 ．
变式1.（2024·湖南株洲·一模）如图，点在反比例函数的图像上，轴于点，为的中点，连接，若的面积为，则的值为 ．
变式2.（23-24八年级下·山西临汾·期中）如图，的顶点在轴上，顶点，在的图像上，顶点在反比例函数的图像上，且轴，若的面积等于11，则的值为 ．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·江苏苏州·八年级统考期中）已知反比例函数，在它图像的每个分支上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
2．（2023·广东广州·统考一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）对于反比例函数，若当时有最大值，则当时，有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
4．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）已知反比例函数表达式为，则下列说法正确的是（ ）
A．函数图象位于第一、三象限 B．点在该函数图象
C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，
5．（2023春·江苏常州·八年级校考期中）已知反比例函数 的图像上两点，，当时，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）点在反比例函数的图象上，若，则此函数图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第二、三象限
7．（2023春·江苏苏州·八年级校考期中）如图所示，满足函数和的大致图像是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
8．（2023·江苏无锡·模拟预测）已知双曲线与双曲线与直线从左到右依次交于四点，若（为坐标原点），则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，已知在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数，的图象于点C和点D，过点C作轴于点E，连结，若的面积与的面积相等，则k的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
10．（2023·黑龙江佳木斯·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，点C在x轴的正半轴上，平行四边形的面积是3，则的值是（ ）
A．3 B． C．5 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·北京丰台·统考一模）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，若，则k_____0（填“>”或“<”）．
12．（2023春·安徽蚌埠·九年级校联考期中）若点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系为________．
13．（2023·北京延庆·统考一模）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，请你写出一个符合要求的k的值_______．
14．（23-24九年级下·福建莆田·期中）若双曲线的图象在第二、四象限内，则的值可以是 ．（写出一个满足条件的的值即可）
15．（2023·浙江·九年级专题练习）反比例函数的自变量的取值范围是_____；当时，y的取值范围是_____．
16．（23-24九年级下·甘肃武威·阶段练习）如图所示，点是反比例函数图象与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则 ．
17．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，中，，点为中点，的延长线交轴于点，轴，过点作，垂足为点，反比例函数的图象经过点，若阴影部分面积为，则的值为______ ．
18．（2023·浙江宁波·统考一模）在平面直角坐标系中，对于任意一个不在坐标轴上的点，我们把点称为点P的“和差点”．若直线上有两个点A和B，它们的和差点和均在反比例函数上，则的面积为______．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2024·湖南株洲·一模）已知反比例函数，且当时，．
(1)求a的值；(2)在图中画出该函数图象．
20．（2024年江西省上饶市中考一模数学试题）如图，平面直角坐标系中，的边在轴上，对角线交于点，函数的图象经过点和点．
(1)求的值和点的坐标；(2)求的周长．
21．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知反比例函数
(1)直接写出自变量x的取值范围．
(2)在所给的直角坐标系中按照“列表、描点、连线”的步骤画出这个函数的图像；
x … …
y … …
(3)观察图像，思考：在每一个象限y随x的变化是如何变化的？
22．（2024·贵州·模拟预测）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点
(1)求反比例函数的表达式；(2)已知点都在反比例函数的图象上，若，比较，的大小．
23．（23-24八年级下·河北承德·期中）已知一个矩形的面积为6，长为，宽为．
(1)与之间的函数表达式为___________________；(2)在图中画出该函数的图象：
列表：
1 2 3 4 6
6 3 1
上面表格中的值是__________；
描点：在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点；
连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得到该函数的图象．
(3)判断是否在这个函数图象上？
(4)若点与点是该函数图象上的两点，试比较和的大小．
24．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，的顶点在轴上，反比例函数的图象经过点、．
(1)填空：的值为 ；的值为 ；点的坐标为 ．(2)求的面积．
25．（2023·山东济南·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过、两点，为直角三角形，轴，轴，，．
(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；(2)点是轴正半轴上的动点，连接、；
①求的最小值；②点是反比例函数的图象上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标．
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