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专题6-4 反比例函数与几何综合选填题（参数法）
模块1：模型简介
“参数法”是一种解数学题的方法，它指在解决问题的过程中，通过适当引入与题目研究的问题发生联系的新变量（即为参数），然后以此作为媒介，再进行分析和综合，进而解决问题.运用参数解题有化繁为简之功效，因此，适当地引入参数，对提高解题能力，进一步学好数学，都会产生积极的作用。“参数法”解决反比例函数问题基本思路：①设参数；②用参数表示点的坐标；③用参数表示线段的长；④用参数表标图形的面积（周长）；⑤利用等量关系建立方程或不等式；⑥解方程（或化简）；⑦解答。
模块2：核心模型点与典例
模型1、单参问题
例1.（2023·山东·九年级期末）如图，点B为反比例函数上的一点，点A为x轴负半轴上一点．连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转90°，点B的对应点为点C．若点C恰好也在反比例函数的图象上，已知B、C的纵坐标分别为4、1，则k＝___．
【答案】
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，先证出，再根据全等三角形的性质可得，设，则，从而可得点的坐标，然后代入反比例函数的解析式即可得出答案．
解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
则，，，
由旋转的性质得：，，，，
在和中，，
，，
设，则，，
将点代入反比例函数得：，
解得，则，故答案为：．
【点拨】本题考查了反比例函数的几何应用、旋转的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
变式1．（2023·江苏靖江市·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数的图像与正方形的两边，分别交于点M，N，连接，，，若，，则k的值为________．
【答案】
【分析】由反比例函数的图象与正方形的两边、分别交于点、，易证得，即可得，可得，然后作于点，易得为等腰直角三角形，设，则，由勾股定理可求得的值，继而可设正方形的边长为，则，，则可得到点的坐标，继而求得答案．
【详解】解：点、都在反比例函数的图象上，
，即，
四边形为正方形，，，，
在和中，，；，
作于点，如图，，为等腰直角三角形，，
设，则，，，在中，，
，即，，，
，，，为等腰直角三角形，，
设正方形的边长为，则，，
在中，，，
解得，（舍去），，，
，点坐标为，，
将点代入反比例函数，得：，故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算．
变式2．（2023·成都九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴，，∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y＝的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为时，k的值为_____．
【答案】14．
【分析】设OA=3a，则OB=4a，直线AB的解析式是y=kx+b，根据题意得： ，可得直线AB的解析式是y=﹣x+4a，由直线CD是∠AOB的平分线，可知OD的解析式是y=x，联立解方程组，可得D的坐标是（，），由OA的中垂线的解析式是x= ，可得C的坐标是（，），可得k=，由以CD为边的正方形的面积为，可得2（﹣）2=，求出2即可
【详解】解：设OA=3a，则OB=4a，设直线AB的解析式是y=kx+b，
根据题意得： ，解得： ，则直线AB的解析式是y=﹣x+4a，
直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y=x，
根据题意得： ，解得： ，则D的坐标是（，），
OA的中垂线的解析式是x= ，则C的坐标是（，），则k=，
∵以CD为边的正方形的面积为，∴2（﹣）2=，则2= ，∴k==14，答案：14．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数、正方形的面积等，据题意表示出C、D的坐标是解题关键．
例2．（2023·浙江宁波·中考模拟预测）如图，平面直角坐标系xOy中，在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上取点A，连接OA，与的图象交于点B，过点B作BC∥x轴交函数的图象于点C，过点C作CE∥y轴交函数的图象于点E，连接AC，OC，BE，OC与BE交于点F，则＝____．
【答案】
【分析】设点C的坐标为（，）则求出E，B，的坐标，从而得出BC，CE的长度，得出直线OC，直线OB的解析式，进而求出直线BE的解析式，然后求出点F的坐标，将直线OB的解析式与反比例函数y= 联立方程组，求出点A的坐标，从而计算SΔCEF，SΔABC ，即可计算出比值．
【详解】设C的坐标为(，)由CE∥ y轴，可知点C，点E的横坐标相等，
则点E的坐标为（，），B的坐标为（，）∴BC=，CE=，
设直线OC的解析式为y=k2x，将点C(，)代入得，k2=
所以直线OC的解析式为①，
设直线OB的解析式为y=k3x，将点B( ， )代入得，k3=所以直线OB的解析式为③，
设直线BE的坐标为y=k1x+b1，将B，E的坐标代入得，
，解得 ,∴，
联立①②，得 ，，SΔABC=，
将③与联立得，，解得：，，所以A（，）
所以ΔABC以BC为边的高为：所以，故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，以及求三角形的面积，解题的关键是通过假设未知数表示点的坐标，再将点的坐标代入解析式当中，联立方程组，求出其它一些相关点的坐标，再求出一些相关的线段的长度，根据三角形的面积公式求面积，再计算比值．
变式1．（2024·成都·中考模拟预测）设双曲线与直线交于，两点（点在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，将双曲线在第三象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于点，两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，为双曲线的“眸径”.当双曲线的眸径为6时，的值为__________.
【答案】
【详解】以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，联立直线AB及双曲线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，由PQ的长度可得出点P的坐标（点P在直线y=-x上找出点P的坐标），由图形的对称性结合点A、B和P的坐标可得出点P′的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．
详解：以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，如图所示．
联立直线AB及双曲线解析式成方程组，，解得：，，
∴点A的坐标为（-，-），点B的坐标为（，）．
∵PQ=6，∴OP=3，点P的坐标为（-，）．
根据图形的对称性可知：AB=OO′=PP′，∴点P′的坐标为（-+2，+2）．
又∵点P′在双曲线y=上，∴（-+2） （+2）=k，解得：k=．故答案为．
点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及解一元一次方程，利用矩形的性质结合函数图象找出点P′的坐标是解题的关键．
变式2．（2023·广西九年级期中）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点A，另有一次函数与、图像分别交于B、C两点（点C在直线的上方），且，则__________．
【答案】
【分析】设直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作于点，易得是等腰三角形，是含的直角三角形，设，则可表达点的坐标，根据题干条件，建立方程，再根据点在反比例函数上，可得出结论．
【详解】解：如图，设直线与轴交于点，过点作轴于点，
令，则，∴，令，∴，
∴，∴，∴是等腰三角形，∵，，∴，
∴，∴，过点作于点，
∴，设，则，，∴，
∵，∴，则，即：，
∵点在反比例函数上，
∴；故答案为：．
【点睛】本题属于反比例函数与一次函数交点问题，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形等相关知识，设出参数，得出方程是解题关键．
变式3．（2023.浙江 八年级期中）如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中如图所示位置，边CD在轴的正半轴，点B在轴的负半轴．双曲线过边AB边上的点N和AD边上的点M．若AN：NB=1：2，点M为AD的中点，点P是OB上一点，且满足OP：BP=1：2．连接MP、DP，若S△MDP=3，则的值为（ ）
A．-6 B． C． D．
【答案】D
【分析】先设出B点和C点的坐标，并分别表示出其余各点坐标，再利用点N在图像上得到一个关系等式和S△MDP=3建立相等关系后联立求出k即可．
【详解】解：设B（a，0），C（0，c）∴N（a，）
∵AN：NB=1：2，OP：BP=1：2，∴A（a, ），P（，0）
∴D（0，）
∵M是AD中点，∴M（，），作ME⊥y轴，垂足为E，
∴E（0，）∴DE=，ME=，OE=，∴，
，
，∴
∴∴，因为N点在反比例函数的图像上，
∴∴∴，∴，故选：D．
【点拨】本题综合考查了平行四边形的性质、反比例函数图像上的点和解析式的关系，三角形及其他多边形的面积等内同，要求学生理解掌握相关性质，能找出图中的相等关系，能通过列等式进行计算求解等，蕴含了数形结合的思想方法．
模型2、双参问题
例1．（2020·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，已知直线（）与双曲线交于，两点（点在第一象限），直线（）与双曲线交于，两点．当这两条直线互相垂直，且四边形的周长为时，点的坐标为_________．
【答案】或
【分析】首先根据题意求出点A坐标为(，)，从而得出，然后分两种情况：①当点B在第二象限时求出点B坐标为(，)，从而得出，由此可知，再利用平面直角坐标系任意两点之间的距离公式可知：，所以，据此求出，由此进一步通过证明四边形ABCD是菱形加以分析求解即可得出答案；②当点B在第四象限时，方法与前者一样，具体加以分析即可.
【详解】∵直线()与双曲线交于，两点（点在第一象限），
∴联立二者解析式可得：，由此得出点A坐标为(，)，∴，
①当点B在第二象限时，如图所示：
∵直线（）与双曲线交于，两点，
∴联立二者解析式可得：，由此得出点B坐标为(，)，∴，
∵AC⊥BD，∴，
根据平面直角坐标系任意两点之间的距离公式可知：
，
∴，解得：，∴，
根据反比例函数图象的对称性可知：OC=OA，OB=OD，
∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴，
∴，解得：或2，∴A点坐标为(，)或(，)，
②当点B在第四象限时，如图所示：
∵直线（）与双曲线交于，两点，
∴联立二者解析式可得：，由此得出点B坐标为(，)，∴，
∵AC⊥BD，∴，
根据平面直角坐标系任意两点之间的距离公式可知：
，
∴，解得：，∴，
根据反比例函数图象的对称性可知：OC=OA，OB=OD，
∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴，∴，
解得：或2，∴A点坐标为(，)或(，)，
综上所述，点A坐标为：(，)或(，)，故答案为：(，)或(，).
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数图象及性质和菱形性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.
变式1．（2023·重庆九年级期中）如图，菱形OABC的两个顶点A、C在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上，已知菱形OABC面积为6，点B坐标为（3，3），则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．8
【答案】B
【分析】连接OB，AC，交点为Q，作AD⊥y轴于D，AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E，根据菱形的性质得出OB平分∠AOC，OA＝OC，AC⊥BD，Q是AC、OB的中点，进而求得Q的坐标，△AOC的面积，即可得出m＋n＝3，由点B在直线y＝x上，即可得出∠AOD＝∠COE，通过证得△AOD≌△COE得到A（m，n），则C（n，m），根据S△OAC＝S梯形ACEF+S△AOF﹣S△COE＝S梯形ACEF，求得n m＝，与m＋n＝3组成方程组，解方程组求得m、n的值，即可求得k的值．
【详解】证明：如图连接OB，AC，交点为Q，作AD⊥y轴于D，AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E，
∵B坐标为（3，3），∴点B在直线y＝x上，∵四边形OABC是菱形，
∴OB平分∠AOC，OA＝OC，AC⊥BD，Q是AC、OB的中点，∴∠AOD＝∠COE，
在△AOD和△COE中， ，∴△AOD≌△COE（AAS），
∴AD＝CE，OD＝OE，∴设A（m，n），则C（n，m），
∵Q是AC、OB的中点，∴ ，∴m+n＝3，
∵菱形OABC面积为6，∴S△AOC＝3，∵S△OAC＝S梯形ACEF+S△AOF﹣S△COE＝S梯形ACEF，
∴（m+n）（n﹣m）＝3，∴3（n﹣m）＝6，∴n﹣m＝，∴ ，解得 ，
∵点A、C在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上，∴k＝mn＝4，故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数系数k的几何意义，三角形全等的判定和性质，三角形的面积，求得A或C的坐标是解题的关键．
变式2．（2024.浙江中考模拟预测）如图，点、为反比例函数上的动点，点、为反比例函数上的动点，若四边形为菱形，则该菱形边长的最小值为___________．
【答案】4
【分析】连接AC、BD，则．设，，则．根据两点的距离公式可分别求出AD、AB、OA、OD的长．再根据菱形的性质即得出，即可求出a和m的关系．最后在中，利用勾股定理即可求出AD的最小值．
【详解】如图，连接AC、BD，则．根据题意可设，，则．
∴
∵，∴．整理得：，即
在中，，即，
整理得：，将代入上式得：．
∵，∴．∴该菱形边长的最小值为4．故答案为4．
【点拨】本题考查反比例函数图象和性质，菱形的性质，两点的距离公式以及勾股定理，数据处理难度大，较难．作出辅助线是解答本题的关键．
例2．（2024·湖南望城·中考模拟预测）如图，反比例函数的图象与直线交于，两点（点在点右侧），过点作轴的垂线，垂足为点，连接，，图中阴影部分的面积为12，则的值为________．
【答案】．
【分析】先设出A点和B点的坐标，利用反比例函数的性质，得到，再由阴影面积也是12，得出；分别表示出点E、D的坐标后，将和表示出来，建立关于和的方程，联立与得到关于x的一元二次方程后，利用求根公式法得到和的含b的表达式，代入方程求解即可．
【详解】解：如下图所示，设，，直线与x轴交点记为点G，AC与OB的交点记为点E，作BD⊥x轴，垂足为点D；∴，OD=，BD=；
∴，；∴；
又因为阴影部分面积为12，∴
∴∴
因为直线解析式为，令y=0，则x=，∴，
∴；∴；
设直线OB的解析式为：代入B点坐标后得：，
∴，∴OC=，CE=，∴；
∴=2∴∴∴
由可得：，其中，
∵，∴；；∴，
化简得：, 平方后得：
将代入可得：
∴由，解得：；∴b的值为．故答案为．
【点睛】本题属于反比例函数与一次函数的综合题，考查了反比例函数的图像与性质、一次函数的图像与性质、三角形面积公式、用坐标表示距离、解一元二次方程等知识；要求学生熟记相关概念、性质以及公式，能在不同的三角形之间进行面积的转换，找出其中包含的关系，并通过建立方程求解，对学生的综合能力由一定的要求，蕴含了数形结合的思想方法等．
变式1.（2024.浙江九年级期中）如图，A，B两点在反比例函数的图象上，轴于点C，轴于点D，连接交于点E，若的面积是5，则四边形的面积是__________．
【答案】5
【分析】设A(a， )，B(b， )，C（a，0），D（b，0）且0＜a＜b，再求出直线OB的解析式，确定E的坐标，进而确定AE、CE的长度，再根据的面积是5可得，最后运用梯形的面积公式解答即可．
解：设A(a， )，B(b， )，C（a，0），D（b，0）且0＜a＜b
设直线OB的解析式为y=mx，将b点坐标代入可得：=mb，即m=∴直线OB的解析式为y=x
当x=a时，y=，即点E的坐标为（a，）∴AE=-,CE=
∵的面积是5 ∴（-）a=5，化简得：
∴四边形的面积为（CE+BD）CD=（+）(b-a)=（）=5．故答案是5．
【点拨】本题主要考查了反比例函数的性质、求一次函数解析式以及图形的面积，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
变式2．（2023·浙江苍南·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，延长交反比例函数的图象于点．若反比例函数的图象经过的中点，且，则的值为______．
【答案】-8
【分析】设B（a，b），先证明△CEO≌△CBO得到CE=BC，求出E（-a，b），再根据D为OB的中点，得到，从而求出，再由进行求解即可．
【详解】解：设B（a，b），∵四边形ABCO是矩形，∴∠BCO=∠ECO=90°，BC∥AO，
∵OB=OE，CO=CO，∴△CEO≌△CBO（HL）∴CE=BC，∴E（-a，b），
∵D为OB的中点，∴，又∵D在上，∴，∴，
∵，∴，∴k=-8，故答案为：-8．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，反比例函数上点的坐标特点，坐标与图形等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
模型3、设参求值综合题
例1、（2024.浙江八年级月考）如图，矩形的边长为8，点的坐标为，点的坐标为，点是的中点.反比例函数的图像经过点，与边交于点．(1)求的值；(2)求点坐标；
(3)连接矩形两对边与的中点、．设线段与反比例函数图像交于点，将线段沿轴向右平移个单位，若，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)．
【分析】（1）根据矩形的性质可得，将其代入反比例函数表达式中即可求出k；
（2）因为F在AB上所以其横坐标已知，将横坐标代入反比例函数即可求出F坐标；
（3）找出平移后，，假设，因为，可知，再利用P在上即可求出n的范围．
(1) 解：∵矩形ABCD的AB边长为8，点C的坐标为∴，
∵E点是DC的中点，∴，
∵反比例函数的图像经过点E，∴，∴ ．
解：∵点F在AB上，∴，
∵在上，∴，∴．
解：∵矩形ABCD的AB边长为8，点B的坐标为，∴，
∵M、N是AD、BC的中点，∴点M的坐标为，点N的坐标为，
∴平移后的点M的坐标为，平移后点N的坐标为，设点P的坐标为，
∵点P在MN上，且，∴，即：
∵点P在反比例函数的图象上且在第二象限内，∴且
∴，即：，解得：．
【点拨】本题考查矩形，反比例函数以及平移，利用矩形性质和已知条件求出点E的坐标是求k的关键；利用矩形的性质找到F的横坐标是求其坐标的关键；找出平移后M、N、P点的坐标，利用的性质得到是求n的范围的关键．
变式1．（2023.浙江八年级期中）如图，直线AC与函数y＝（×＜0）的图像相交于点A（﹣1，6），与x轴交于点C，且∠ACO＝45°，点D是线段AC上一点．（1）求k的值；（2）若△DOC与△OAC的面积比为2：3，求点D的坐标；（3）若将OD绕点O逆时针旋转90°得到OD′，点D′恰好落在函数y＝（x＜0）的图像上，则点D的坐标为___．
【答案】（1） k=-6 （2）（1，4） （3）（3，2）或（2，3）
【分析】（1）将点A( 1，6)代入反比例函数解析式中即可求出k的值；（2）过点D作DM⊥x轴于M，过点A作AN⊥x轴于N，根据三角形的面积比可得，再根据点A的坐标即可求出DM，然后证出△ACN和△DCM都是等腰直角三角形，即可求出OM，从而求出结论；
（3）过点D作DM⊥x轴于M，过点A作AN⊥x轴于N，过点D′作D′G⊥x轴于G，设点D的纵坐标为a（a＞0），即DM=a，然后用a表示出OM，利用AAS证出△GD′O≌△MOD，即可用a表示出点D′的坐标，将D′的坐标反比例函数解析式中即可求出a的值，从而求出点D的坐标．
【详解】解：（1）将点A( 1，6)代入y=kx中，得6=，解得k=-6；
（2）过点D作DM⊥x轴于M，过点A作AN⊥x轴于N，
∵△DOC与△OAC的面积比为2∶3，∴， ∴ ，
∵A( 1，6)∴AN=6，ON=1，∴DM=4，
∵∠ACO=45°，∴△ACN和△DCM都是等腰直角三角形，
∴CN=AN=6，CM=DM=4，∴OM=CN－CM－ON=1，∴点D的坐标为（1，4）；
（3）过点D作DM⊥x轴于M，过点A作AN⊥x轴于N，过点D′作D′G⊥x轴于G，
设点D的纵坐标为a（a＞0），即DM=a
∵△ACN和△DCM都是等腰直角三角形，∴CN=AN=6，CM=DM=a，
∴OM=CN－CM－ON=5－a，∴点D的坐标为（5－a，a）
∵∠D′GO=∠OMD=∠D′OD=90°∴∠GD′O＋∠D′OG=90°，∠MOD＋∠D′OG=90°，
∴∠GD′O=∠MOD由旋转的性质可得D′O=OD∴△GD′O≌△MOD
∴GD′=OM=5－a，OG=DM=a∴D′的坐标为（-a，5－a）由（1）知，反比例函数解析式为y= (x<0)
将D′的坐标代入，得5 a= ，解得：a1=2，a2=3∴点D的坐标为（3，2）或（2，3）．
【点拨】此题考查的是反比例函数与几何图形的综合大题，掌握利用待定系数法求反比例函数解析式、等腰直角三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和旋转的性质是解题关键．
模块3：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·山东八年级课时练习）与交于A、B两点，交y轴于点C，延长线交双曲线于点D，若，则为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】根据题意设，则，即可得到反比例为，再求得的坐标，根据待定系数法求得直线的解析式，将解析式联立，解方程组求得的坐标，然后根据平行线分线段成比例定理即可求得结论．
【详解】∵与交于A、B两点，∴设，则，∴，
∴反比例函数解析式为，由题意得：，，
∴，即，设直线的解析式为，
把代入得：，解得：，∴直线的解析式为，
，解得，，∴，
过点作轴，过点作轴，则，
∴，∴，∴，∴，
∴，，
解得：，∴（负值舍去），故选：A．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，求得交点的坐标是解题的关键．
2．（2024·吉林九年级月考）如图，点和点分别是反比例函数和的图像上的点，轴，点为轴上一点，若，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】连接MO，NO，将△MNP面积转化为△MON的面积，后结合反比例函数系数k的几何意义求解．
【详解】解：连接MO，NO，
∵MN∥x轴，∴S△MNP＝S△MNO＝，
∵点M和点N分别是反比例的数和的图象上的点，
∴a＜0，b＞0，∴，∴S△MNP＝2，故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
3．（2023.杭州.九年级期中）如图，平行四边形ABOC中，对角线交于点E，双曲线y＝经过C、E两点，若平行四边形ABOC的面积为18，则k的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6
【答案】D
【分析】设，，根据平行四边形的性质求得的坐标，进而求得的坐标，根据平行四边形的面积求得的关系，进而求得的值
【详解】设，，
四边形是平行四边形，双曲线y＝经过C、E两点，
则，，
平行四边形ABOC的面积为18，
即解得故选D
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，中点坐标公式，反比例函数的几何意义，设点的坐标代入计算是解题的关键．
4．（2024.浙江.八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为36，则k的值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．24
【解析】D
【分析】连接BD，由矩形的性质可得出．由角平分线的性质可得出，即可推出，从而证明，进而证明．设A点坐标为，由F点为AE的中点，即可用t表示出F点坐标，进而可用t表示出E点坐标．最后根据，即可求出k的值．
【详解】如图，连接BD，∵四边形ABCD是矩形，AC、BD为对角线，且交于点O，∴．
∵AD平分， ∴，∴，∴，
∴．根据题意可设A点坐标为，
∵AF=EF，即F为点AE的中点，且E点纵坐标为0，∴F点纵坐标为，
∵F点在反比例函数上，∴．∴．
∵，∴，解得：．故选D
【点拨】本题考查矩形的性质，角平分线的性质，平行线的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征以及中点坐标公式，综合性强，较难．正确的连接辅助线是解答本题的关键．
5．（2023.杭州.中考模拟预测）如图，已知矩形的边在轴上，，，双曲线与矩形相交于点，，沿折叠，点恰好落在上的点处，则的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【解析】C
【分析】根据折叠求出EC=1.5，再设A点坐标为（m，4），则E点坐标为（m+5，1.5），根据反比例函数的性质列出方程即可．
【详解】解：由翻折可知，AF=AD=5，DE=EF，
∵四边形是矩形，∴，CF=5-3=2，
设EC为x，则DE=EF=4-x，，解得，x=1.5，
设A点坐标为（m，4），则E点坐标为（m+5，1.5），则4m=1.5(m+5)，解得m=3，
把（3，4）代入得，，解得；故选：C．
【点拨】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、反比例函数的性质，解题关键是求出EC长，设出点的坐标，根据反比例函数的性质列出方程．
6．（2024·重庆九年级月考）如图，点D是平行四边形OABC内一点，AD与轴平行，BD与轴平行，，，．若反比例函数的图象经过C、D两点，则的值是（ ）
A． B． C．-12 D．-24
【答案】B
【分析】过点C作CE⊥y轴，延长BD交CE于点F，易证△COE≌△ABD，求得OE=2，根据S△BDC=6，求得CF=6，得到点D的纵坐标为4，设C（m，），则D（m+6，4），由反比例函数y=（x＜0）的图象经过C、D两点，从而求出m，进而可得k的值．
【详解】解：过点C作CE⊥y轴，延长BD交CE于点F，
∵AD与x轴平行，BD与y轴平行，∴∠ADB=90°，∠1=∠ABD，
∵四边形OABC为平行四边形， ∴AB∥OC，AB=OC， ∴∠COE=∠1=∠ABD，
在△COE和△ABD中，，∴△COE≌△ABD（AAS），
∴OE=BD=，CE=AD，∵S△BDC=BD CF=6，∴CF=6，
∵∠BDC=120°，∴∠CDF=60°，∴DF＝2，点D的纵坐标为4，
设C（m，2），则D（m+6，4），∵反比例函数y=（x＜0）的图象经过C、D两点，
∴k=2m=4（m+6），∴m=-12，∴C（-12，2），∴k=-24，故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何的综合，掌握平行四边形的性质和反比例函数图像的坐标特征是解题的关键．
7．（2023.山东.九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点和顶点若菱形的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，可以设出点和点A的坐标，然后利用反比例函数的性质和菱形的性质即可求得的值，本题得以解决．
【详解】解：设点A的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
菱形的面积为，，
点在反比例函数的图象上，，解得，，故选：．
【点拨】本题考查反比例函数系数的几何意义、反比例函数的性质、菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（2024.成都.中考一模）如图，点A在直线y＝x上，AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上，以AC为边做正方形ACDE，点D恰好在反比例函数的图像上，连接AD，若，则k的值为（ ）
A．10 B．8 C．9 D．
【答案】A
【分析】设正方形的边长为a，A（t，t），则OB=AB=t，AC=CD=a，于是可表示出C（t，t-a），D（t+a，t-a），再利用等腰直角三角形的性质可得OA=t，AD=a；由OA2-AD2=20可得t2-a2=10，最后根据反比例函数图象的性质即可解答．
【详解】设设正方形的边长为a，A（t，t），则OB=AB=t，AC=CD=a，∴C（t，t-a），D（t+a，t-a）
∵等腰直角三角OAB和正方形ACDE∴OA=t，AD=a
∵OA2-AD2=20∴（t）2-（a）2=20，即t2-a2=10
∵点D在反比例函数的图象上，∴k=（t+a）（t-a）=t2-a2=10．故选A．
【点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合问题、正方形的性质、反比例函数的性质等知识点，求正确设出未知数、根据题意表示出所需的量和等式是解答本题的关键．
9．（2024.成都一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的两边OA，OC落在坐标轴上，反比例函数y＝的图象分别交BC，OB于点D，点E，且，若S△AOE＝3，则k的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣ C．﹣8 D．﹣2
【答案】D
【分析】设点B的坐标为（a，b），则点D的坐标为（，b），点A的坐标为（a，0），分别求出BD、CD、AB，找到a，b，k之间的关系，设点E坐标为（m，n），利用三角形的面积表示出点E的坐标，再利用割补法求出abk=576，进而可得k值．
【详解】解：设点B的坐标为（a，b），则点D的坐标为（，b），点A的坐标为（a，0），
∴BD=，BC=a，CD=，AB=b，∵，∴5×（）=4×（），∴，
设点E坐标为（m，n），∵S△AOE=3，即，∴，
∵点E在反比例函数上，∴E（，），
∵S△AOE=S矩形OABCS△OBCS△ABE=，∴abk=36，
把abk=36代入得，，解得：由图象可知，k＜0，∴．故选：D．
【点拨】本题考查反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质等，解题的关键是利用割补法表示出△AOE的面积．
10．（2024·重庆九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴上，，的角平分线与的垂直平分线交于点C，与交于点D，反比例函数的图象过点C，当面积为1时，k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据 ，得到OB=2OA，设OA=a，则OB=2a，设直线AB的解析式是y=kx+b，利用待定系数法求出直线AB的解析式是y=﹣2x+2a，根据题意可得OD的解析式是y=x，由此求出D的坐标，再根据求解即可．
【详解】解：∵ ，∴OB=2OA，设OA=a，则OB=2a，
设直线AB的解析式是y=kx+b，根据题意得： ，解得： ，
则直线AB的解析式是y=﹣2x+2a，∵∠AOB=90°，OC平分∠AOB，
∴∠BOC=∠AOC=45°，CE=OE=，∴OD的解析式是y=x，
根据题意得： ，解得： ，则D的坐标是（，），
∴CE=OE=，∴C的坐标是（，），∴，
∴，∴，∴，故选C．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求两直线的交点，反比例函数比例系数的几何意义，三角形面积公式等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
11．（2024.北京中考一模）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数与在第一象限的图象分别为曲线，，点P为曲线上的任意一点，过点P作y轴的垂线交于点A，交y轴于点M，作x轴的垂线交于点B，则的面积是（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【分析】如图，记轴的交点为： 可得四边形为矩形， 设 则 再求解的面积即可.
【详解】解：如图，记轴的交点为：
四边形为矩形，
设 则
故选A
【点拨】本题考查的是反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数图象的性质，矩形的判定与性质，掌握“中的的几何意义”是解本题的关键.
12．（2024.广东中考二模）如图，已知反比例函数的图象上有一点，轴于点，点在轴上，的面积为3，则的值为（ ）
A．6 B．12 C． D．
【答案】D
【分析】先过P点作PC⊥y轴，设P点坐标为(m，n)，通过S△PAB= S梯形APCB一S△PCB ，求出mn的值，可得答案．
【详解】解：如下图，过P点作PC⊥y轴，
设P点坐标为(m，n)，则AP=-n，CP=m，
S△PAB= S梯形APCB一S△PCB = (AP+ BC) ×CP-×CP×BC
= ==
∵△PAB的面积为3，∴3=∴mn=-6，
∵P点在反比例函数的图象上，∴ ∴k=mn∴k=-6故选：D．
【点拨】本题考查了反比例函数的图象和性质、三角形面积的问题，做题的关键是求出mn的值．
13．（2024.重庆中考一模）如图，点是反比例函数图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为，．反比例函数的图象经过的中点，与，分别相交于点，．连接并延长交轴于点，连接．则的面积为（ ）
A．4 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】先求出，再由的面积的面积，即可求解．
【详解】解：设点，则，
是的中点，点，，则，连接，如图所示：
轴，，
根据同底等高，三角形面积相等及反比例系数的绝对值的几何意义为三角形的面积，
的面积的面积，故答案为：．
【点拨】本题考查的是反比例函数的性质、面积的计算等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．
14．（2024.山西中考一模）如图，的顶点A在x轴的正半轴上，顶点D在反比例函数的图象上，顶点B和C在反比例函数的图象上，且对角线轴，若的面积等于10，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【分析】解答本题的关键是证明△ABD≌△CDB，进而根据S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD求解．
【详解】∵点D在反比例函数的图象上，∴设D点坐标为，
∵BDx轴，∴设B点坐标为，∵点B在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上，
∴=，解得m=，∴B为，∵A在x轴上，∴S△ABD=，
∵△ABD≌△CDB（SSS）,∴，∴∴
解得k=8或-12（舍去），故选：C．
【点拨】本题主要考查了反比例函数的定义，全等三角形的判断和平面直角坐标系中图形面积的求法．
15．（2024.浙江中考一模）如图，在反比例函数y＝（x＞0）的图象上有动点A，连接OA，y＝（x＞0）的图象经过OA的中点B，过点B作BC∥x轴交函数y＝的图象于点C，过点C作CE∥y轴交函数y＝的图象于点D，交x轴点E，连接AC，OC，BD，OC与BD交于点F．下列结论：①k＝1；②S△BOC＝；③S△CDF＝S△AOC；④若BD＝AO，则∠AOC＝2∠COE．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】设，则的中点为，，即可求得，即可判断①；表示出的坐标，即可表示出，求得，即可判断②；计算出，，即可求得，即可判断③；先证是的中点，然后根据直角三角形斜边直线的性质和平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，从而得到，即可判断④．
【详解】解：动点在反比例函数的图象上，设，的中点为，，
的图象经过点，，故①正确；
过点作轴交函数的图象于点，的纵坐标，
把代入得，，，，
，故②正确；如图，过点作轴于．
，，，，过点作轴交函数的图象于点，交轴点，
，直线的解析式为，直线的解析式为，
由，解得，，，，
，，，故③正确；
，，，，，是的中点，，，
轴，，，
若，则，，．故④正确；故选：D．
【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的综合，反比例函数系数的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式，直角三角形斜边上中线的性质，平行线的性质，解题的关键是利用参数解决问题，学会构建一次函数确定交点坐标．
二、填空题（本大题共13小题，每小题4分，共52分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
16．（2023·福建中考三模）如图，平行四边形中，点A，C在反比例函数第一象限的图象上，点B在反比例函数第一象限的图象上，连接并延长交x轴于点D，若，则的值是_______．
【答案】
【分析】作轴于，轴于，由，即可得出，即，设，，则，，据平行四边形的性质得出，，代入即可证得结论．
【详解】解：作轴于，轴于，，，
，，，设，，则，，
四边形是平行四边形，且原点向右平移个单位，向上平移个单位得到，
点向右平移个单位，向上平移个单位得到，，，
点在反比例函数第一象限的图象上，，，故答案为．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，解题的关键是表示出、、的坐标．
17.（2023.杭州.一模）平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点与点关于点对称，直线的解析式为，将直线绕点顺时针旋转，与反比例函数图象交与点，直线的解析式为，若的面积为，则的值为______．
【答案】
【分析】设点，根据对称性以及直线上点的坐标特点分别用含有的代数式表示出点、的坐标，然后根据三角形的面积公式解答即可．
解：∵设点∵和点关于原点对称，∴点的坐标为，
∵点在的图象上，∴点的坐标为，∴，，
把A′坐标代入得：∴，
∵直线绕点顺时针旋转，与反比例函数图像交与点B，
∴，解得：x=2a，x=-a（舍去），∴点B的坐标为，
过A作轴于点C，过B作轴于点D，连接，
∵为的中点，∴，
∵点A、B在反比例函数图像上，∴，∴四边形，
∵，，∴解得．故答案为：
【点拨】本题综合考查反比例函数、一次函数图象及其性质，解答过程中，涉及到了面积转化方法、待定系数法．
18. （2023·南京市·八年级月考）如图，直线与双曲线交于A，B两点，过点B作y轴的平行线，交双曲线于点C，连接AC，则△ABC的面积为______．
【答案】5
【分析】过点作轴于点，设与轴的交点为，根据与都是中心对称图形，设，则，，进而证明，根据求解即可．
解：如图，过点作轴于点，设与轴的交点为，
直线与双曲线交于A，B两点，且与都是中心对称图形，
设，则 点C在上，轴，
则，
又
故答案为：5
【点拨】本题考查了反比例函数与正比例函数图象的性质，全等三角形的性质与判定，掌握反比例函数与正比例函数图象是中心对称图形是解题的关键．
19. （2024·江苏南京八年级月考）如图，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴和y轴上，与反比例函数的图象恰好交于BC的中点E，若OB＝2OA，则S△ABO的值为_______．
【答案】12
【分析】如图，过点B作x轴的平行线，过点A，C分别作y轴的平行线，两线相交于M，N，设OA＝a，OB＝2a，通过证明可得BN＝AM＝2a，CN＝BM＝a，再根据中点的性质可得E(a，1.5a),把点E代入双曲线得解得，即．
解：如图，过点B作x轴的平行线，过点A，C分别作y轴的平行线，两线相交于M，N，
,
∵四边形ABCD为正方形，
，在和中
∴设OA＝a，OB＝2a，则BN＝AM＝2a，CN＝BM＝a，∴点C坐标为（2a，a），
∵E为BC的中点，B（0，2a），∴E(a,1.5a),
把点E代入双曲线得故答案为：12．
【点拨】此题考查了反比例函数的图形问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的性质以及判定定理、中点的性质、反比例函数的解析式、三角形面积公式．
20．（2023·江苏·八年级期中）如图，直线y＝﹣x+b与x、y轴的正半轴交于点A，B，与双曲线y＝﹣交于点C（点C在第二象限内），点D，过点C作CE⊥x轴于点E，记四边形OBCE的面积为S1，△OBD的面积为S2，若＝，则b的值为_____．
【答案】3
【分析】根据双曲线的对称性得到BC＝AD，设BC＝AD＝a，用a表示出点C和得D的坐标，根据梯形面积公式、三角形面积公式求出a、b的关系，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出方程，解方程求出b．
【详解】解：由题意点B的坐标为（0，b），点A的坐标为（b，0），∴OA＝OB＝b，
∵直线y＝﹣x+b关于直线y＝x对称，反比例函数y＝﹣关于y＝x对称，∴BC＝AD，
设BC＝AD＝a，则C（﹣a，b+a），D（b+a，﹣a），
∵=,∴＝，整理得，12a2+17ab﹣14b2＝0，
解得，a1＝b，a2＝﹣b（舍去），则D（b，﹣b），
∴b×（﹣b）＝﹣4，解得，b1＝3，b2＝﹣3（舍去），∴b＝3，故答案为：3．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会利用轴对称的性质解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
21．（2024 浙江一模）如图， ABCD的顶点A、B的坐标分别是A（﹣1，0），B（0，﹣3），顶点C、D在双曲线y＝上，边AD交y轴于点E，且 ABCD的面积是△ABE面积的8倍，则k＝ ．
【点睛】过D点作x轴的垂线，垂足为G，过C点作y轴的垂线，垂足为F，交DG于H点，先证△CDH≌△ABO，则CH＝AO＝1，DH＝OB＝3，根据S四边形ABCD＝8S△ABE得出S△ABD＝4S△ABE，证得AD＝4AE，即可证得AG＝4OA，设D（3，m），则点C（4，m﹣3），根据k＝xy即可求得．
【解析】解：如图，过D点作x轴的垂线，垂足为G，
过C点作y轴的垂线，垂足为F，交DG于H点，连接BD，
∵ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，∵BO∥DG，∴∠OBC＝∠GDE，∴∠HDC＝∠ABO，∴△CDH≌△ABO（AAS），∴CH＝AO＝1，DH＝OB＝3，∵ ABCD的面积是△ABE面积的8倍，∴S△ABD＝4S△ABE，∴AD＝4AE，∴AG＝4OA，∵A（﹣1，0），B（0，﹣3），设D（3，m），则点C（4，m﹣3），∵点C和点D均在双曲线上，则有：3m＝4（m﹣3），解得m＝12，
∴k＝3m＝36．
22.（2024.广东中考一模）平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点与点关于点对称，直线的解析式为，将直线绕点顺时针旋转，与反比例函数图象交与点，直线的解析式为，若的面积为，则的值为______．
【答案】
【分析】设点，根据对称性以及直线上点的坐标特点分别用含有的代数式表示出点、的坐标，然后根据三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：∵设点∵和点关于原点对称，∴点的坐标为，
∵点在的图象上，∴点的坐标为，∴，，
把A′坐标代入得：∴，
∵直线绕点顺时针旋转，与反比例函数图像交与点B，
∴，解得：x=2a，x=-a（舍去），∴点B的坐标为，
过A作轴于点C，过B作轴于点D，连接，
∵为的中点，∴，
∵点A、B在反比例函数图像上，∴，∴四边形，
∵，，∴解得．故答案为：
【点拨】本题综合考查反比例函数、一次函数图象及其性质，解答过程中，涉及到了面积转化方法、待定系数法．
23．如图，△ABC的顶点A，B都在反比例函数y＝﹣，点C（0，3），且AC＝BC，,则线段AB的长为 _____．
【解析】
【分析】过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，过点A作AF⊥BE，证明△ACD≌△CBE；再设点B的坐标为（m，），由三角形全等得点A的坐标，将点A的坐标代入到反比例函数解析式中求出m的值，将m的值代入A，B点坐标即可得出点A，B的坐标，并结合点A，B的坐标求出点F的坐标，利用勾股定理即可得出结论．
【详解】过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，过点A作AF⊥BE轴于点F，如图所示．
∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，又∵AD⊥y轴，BE⊥y轴，
∴∠ACD+∠CAD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，∠BCE=∠CAD．
在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（ASA）．
设点B的坐标为（m＜0），则E，点D，点A，
∵点A在反比例函数y=上， ，解得：m=﹣3，m=2（舍去）．
∴点A的坐标为（﹣1，6），点B的坐标为（﹣3，2），点F的坐标为（﹣1，2），
∴BF=2，AF=4， 故答案为．
【点拨】本题考查了反比例函数的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理求两点距离，求得的坐标是解题的关键．
24．如图，菱形OABC在直角坐标系中，点A的坐标为，对角线，反比例函数经过点C．则k的值为______．
【解析】3
【分析】根据菱形的性质可知菱形的四条边都相等，点的坐标为，，对角线，反比例函数经过点，可设点的坐标为，从而可以表示出点的坐标，然后列出相应的方程组，即可得、的值，从而可以得到的值．
【详解】四边形是菱形，，设点的坐标为，
点的坐标为，，对角线，点的坐标为，，，
∵,，解得，，，
反比例函数经过点，点的坐标为，，．故答案为：3．
【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解题的关键是根据数形结合的思想找到各边之间的关系，与点的坐标的关系．
26．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，点D在AC上，若反比例函数在第一象限的图象经过点B，则△BAD与△OAC的面积之差为_______．
【答案】
【分析】设OC＝a，BD＝b，则点A的坐标为（a，a），点B的坐标为（a+b，a﹣b），利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出a2﹣b2＝，再由，此题得解．
【详解】解：设OC＝a，BD＝b，∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形∴
∴点A的坐标为（a，a），点B的坐标为（a+b，a﹣b）．
又∵∠ACO＝∠ADB＝90°
∵反比例函数在第一象限的图象经过点B，∴（a+b）（a﹣b）＝，即a2﹣b2＝，
∴=．则△BAD与△OAC的面积之差为-故答案为：．
【点拨】本题主要考查反比例函数与几何综合，掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，平方差公式是解题的关键．
28．如图，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，以AC为边作平行四边形ACDE，E点在CB的延长线上，反比例函数过B点且与CD交于F点，，，则的值为_____________．
【答案】28
【分析】分别过点D，点F作BC的垂线，垂足分别为点N，点M，设OA=a，OC=b，则可以表达点E，点D的纵坐标，进而可表达点F的坐标，根据S△ABF=6可求出k的值．
【详解】解：如图，分别过点D，点F作BC的垂线，垂足分别为点N，点M，
∴DN∥FM，∴CF：CD=FM：DN，设OA=a，OC=b，∴A（a，0），C（0，b），B（a，b），
∵点E在CB的延长线上，∴点E的纵坐标为b，
∵反比例函数（x＞0）过B点，∴k=ab，
∵四边形ACDE是平行四边形，∴AC∥DE，∴点D的纵坐标为2b，∴DN=b，
∵FM=，∴点F的纵坐标为，
∵点F在反比例函数（x＞0）上，∴F（，），∴BM=，
∵S△ABF=6，∴，解得，即k=28．故答案为：28．
【点拨】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，平行四边形的性质，设出关键点的坐标，并根据几何关系消去参数的值是本题解题关键．
三、解答题（本大题共1小题，共8分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
29．如图，已知一次函数图象y=x+b与y轴交于点C（0，1），与反比例函数图象y=交于点A（a，2）和点B两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求点B的坐标和△AOB的面积；
(3)若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，请求出M点坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为y=x+1，反比例函数为y=；(2)B（-2，-1），(3)△AOB的面积为；满足条件的M点的坐标为（0，3）或（0，-3）或（0，）或（0，）．
【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式，再求出A点坐标即可确定反比例函数的解析式；
（2）联立一次函数和反比例函数即可得出B点坐标，设直线AB与x轴交于点D，则D（-1，0），根据S△AOB=OD yA+OD yB计算面积即可；
（3）分∠BAM=90°、∠ABM=90°、∠AMB=90°三种情况讨论求值即可．
【解析】 (1)解：∵一次函数图象y=x+b与y轴交于点C（0，1），∴b=1，∴一次函数的解析式为y=x+1，
∵点A（a，2）在直线y=x+1上∴a=1，即A（1，2），
又∵反比例函数y=过A点，∴k=2，∴反比例函数为y=；
(2)解：∵反比例函数与一次函数交于点A和点B，
联立两解析式得，解得或，∴B（-2，-1），
设直线AB与x轴交于点D，则D（-1，0），
∴OD=1，∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=OD yA+OD yB=×1×1+×1×2=，即△AOB的面积为；
(3)解：分三种情况讨论：①当∠BAM=90°时，
设M1（0，y），则AM2+AB2=BM2，
∴12+（2-y）2+（1+2）2+（2+1）2=4+（y+1）2，解得y=3，∴M（0，3）；
②当∠ABM=90°时，
同理可得：M（0，-3），
③当∠AMB=90°时，设M（0，m），设AB的中点为J，
则J（-，），∵AB=，∴AJ=BJ=JM=，
∴（-）2+（-m）2=（）2，解得m=，∴M3（0，），M4（0，），
综上，满足条件的M点的坐标为（0，3）或（0，-3）或（0，）或（0，）．
【点拨】本题主要考查了反比例函数的综合题型，熟练掌握待定系数法求解析式，一次函数的性质，反比例函数的图像和性质，矩形的性质等知识是解题的关键．
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专题6-4 反比例函数与几何综合选填题（参数法）
模块1：模型简介
“参数法”是一种解数学题的方法，它指在解决问题的过程中，通过适当引入与题目研究的问题发生联系的新变量（即为参数），然后以此作为媒介，再进行分析和综合，进而解决问题.运用参数解题有化繁为简之功效，因此，适当地引入参数，对提高解题能力，进一步学好数学，都会产生积极的作用。“参数法”解决反比例函数问题基本思路：①设参数；②用参数表示点的坐标；③用参数表示线段的长；④用参数表标图形的面积（周长）；⑤利用等量关系建立方程或不等式；⑥解方程（或化简）；⑦解答。
模块2：核心模型点与典例
模型1、单参问题
例1.（2023·山东·九年级期末）如图，点B为反比例函数上的一点，点A为x轴负半轴上一点．连接AB，将线段AB绕点A逆时针旋转90°，点B的对应点为点C．若点C恰好也在反比例函数的图象上，已知B、C的纵坐标分别为4、1，则k＝___．
变式1．（2023·江苏靖江市·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数的图像与正方形的两边，分别交于点M，N，连接，，，若，，则k的值为________．
变式2．（2023·成都九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴，，∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y＝的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为时，k的值为_____．
例2．（2023·浙江宁波·中考模拟预测）如图，平面直角坐标系xOy中，在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上取点A，连接OA，与的图象交于点B，过点B作BC∥x轴交函数的图象于点C，过点C作CE∥y轴交函数的图象于点E，连接AC，OC，BE，OC与BE交于点F，则＝____．
变式1．（2024·成都·中考模拟预测）设双曲线与直线交于，两点（点在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，将双曲线在第三象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于点，两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，为双曲线的“眸径”.当双曲线的眸径为6时，的值为__________.
变式2．（2023·广西九年级期中）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点A，另有一次函数与、图像分别交于B、C两点（点C在直线的上方），且，则__________．
变式3．（2023.浙江 八年级期中）如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中如图所示位置，边CD在轴的正半轴，点B在轴的负半轴．双曲线过边AB边上的点N和AD边上的点M．若AN：NB=1：2，点M为AD的中点，点P是OB上一点，且满足OP：BP=1：2．连接MP、DP，若S△MDP=3，则的值为（ ）
A．-6 B． C． D．
模型2、双参问题
例1．（2020·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，已知直线（）与双曲线交于，两点（点在第一象限），直线（）与双曲线交于，两点．当这两条直线互相垂直，且四边形的周长为时，点的坐标为_________．
变式1．（2023·重庆九年级期中）如图，菱形OABC的两个顶点A、C在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上，已知菱形OABC面积为6，点B坐标为（3，3），则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．8
变式2．（2024.浙江中考模拟预测）如图，点、为反比例函数上的动点，点、为反比例函数上的动点，若四边形为菱形，则该菱形边长的最小值为___________．
例2．（2024·湖南望城·中考模拟预测）如图，反比例函数的图象与直线交于，两点（点在点右侧），过点作轴的垂线，垂足为点，连接，，图中阴影部分的面积为12，则的值为________．
变式1.（2024.浙江九年级期中）如图，A，B两点在反比例函数的图象上，轴于点C，轴于点D，连接交于点E，若的面积是5，则四边形的面积是____．
变式2．（2023·浙江苍南·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，延长交反比例函数的图象于点．若反比例函数的图象经过的中点，且，则的值为______．
模型3、设参求值综合题
例1、（2024.浙江八年级月考）如图，矩形的边长为8，点的坐标为，点的坐标为，点是的中点.反比例函数的图像经过点，与边交于点．(1)求的值；(2)求点坐标；(3)连接矩形两对边与的中点、．设线段与反比例函数图像交于点，将线段沿轴向右平移个单位，若，求的取值范围．
变式1．（2023.浙江八年级期中）如图，直线AC与函数y＝（×＜0）的图像相交于点A（﹣1，6），与x轴交于点C，且∠ACO＝45°，点D是线段AC上一点．（1）求k的值；（2）若△DOC与△OAC的面积比为2：3，求点D的坐标；（3）若将OD绕点O逆时针旋转90°得到OD′，点D′恰好落在函数y＝（x＜0）的图像上，则点D的坐标为___．
模块3：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·山东八年级课时练习）与交于A、B两点，交y轴于点C，延长线交双曲线于点D，若，则为（ ）
A．2 B．3 C． D．
2．（2024·吉林九年级月考）如图，点和点分别是反比例函数和的图像上的点，轴，点为轴上一点，若，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．（2023.杭州.九年级期中）如图，平行四边形ABOC中，对角线交于点E，双曲线y＝经过C、E两点，若平行四边形ABOC的面积为18，则k的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6
4．（2024.浙江.八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为36，则k的值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．24
5．（2023.杭州.中考模拟预测）如图，已知矩形的边在轴上，，，双曲线与矩形相交于点，，沿折叠，点恰好落在上的点处，则的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
6．（2024·重庆九年级月考）如图，点D是平行四边形OABC内一点，AD与轴平行，BD与轴平行，，，．若反比例函数的图象经过C、D两点，则的值是（ ）
A． B． C．-12 D．-24
7．（2023.山东.九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点和顶点若菱形的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024.成都.中考一模）如图，点A在直线y＝x上，AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上，以AC为边做正方形ACDE，点D恰好在反比例函数的图像上，连接AD，若，则k的值为（ ）
A．10 B．8 C．9 D．
9．（2024.成都一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的两边OA，OC落在坐标轴上，反比例函数y＝的图象分别交BC，OB于点D，点E，且，若S△AOE＝3，则k的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣ C．﹣8 D．﹣2
10．（2024·重庆九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴和y轴上，，的角平分线与的垂直平分线交于点C，与交于点D，反比例函数的图象过点C，当面积为1时，k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2024.北京中考一模）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，函数与在第一象限的图象分别为曲线，，点P为曲线上的任意一点，过点P作y轴的垂线交于点A，交y轴于点M，作x轴的垂线交于点B，则的面积是（ ）
A． B．3 C． D．4
12．（2024.广东中考二模）如图，已知反比例函数的图象上有一点，轴于点，点在轴上，的面积为3，则的值为（ ）
A．6 B．12 C． D．
13．（2024.重庆中考一模）如图，点是反比例函数图象上一点，过点分别向坐标轴作垂线，垂足为，．反比例函数的图象经过的中点，与，分别相交于点，．连接并延长交轴于点，连接．则的面积为（ ）
A．4 B．1 C．2 D．3
14．（2024.山西中考一模）如图，的顶点A在x轴的正半轴上，顶点D在反比例函数的图象上，顶点B和C在反比例函数的图象上，且对角线轴，若的面积等于10，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
15．（2024.浙江中考一模）如图，在反比例函数y＝（x＞0）的图象上有动点A，连接OA，y＝（x＞0）的图象经过OA的中点B，过点B作BC∥x轴交函数y＝的图象于点C，过点C作CE∥y轴交函数y＝的图象于点D，交x轴点E，连接AC，OC，BD，OC与BD交于点F．下列结论：①k＝1；②S△BOC＝；③S△CDF＝S△AOC；④若BD＝AO，则∠AOC＝2∠COE．其中正确的是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（本大题共13小题，每小题4分，共52分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
16．（2023·福建中考三模）如图，平行四边形中，点A，C在反比例函数第一象限的图象上，点B在反比例函数第一象限的图象上，连接并延长交x轴于点D，若，则的值是_______．
17.（2023.杭州.一模）平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点与点关于点对称，直线的解析式为，将直线绕点顺时针旋转，与反比例函数图象交与点，直线的解析式为，若的面积为，则的值为______．18. （2023·南京市·八年级月考）如图，直线与双曲线交于A，B两点，过点B作y轴的平行线，交双曲线于点C，连接AC，则△ABC的面积为______．
19. （2024·江苏南京八年级月考）如图，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴和y轴上，与反比例函数的图象恰好交于BC的中点E，若OB＝2OA，则S△ABO的值为_______．
20．（2023·江苏·八年级期中）如图，直线y＝﹣x+b与x、y轴的正半轴交于点A，B，与双曲线y＝﹣交于点C（点C在第二象限内），点D，过点C作CE⊥x轴于点E，记四边形OBCE的面积为S1，△OBD的面积为S2，若＝，则b的值为_____．
21．（2024 浙江一模）如图， ABCD的顶点A、B的坐标分别是A（﹣1，0），B（0，﹣3），顶点C、D在双曲线y＝上，边AD交y轴于点E，且 ABCD的面积是△ABE面积的8倍，则k＝ ．
22.（2024.广东中考一模）平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点与点关于点对称，直线的解析式为，将直线绕点顺时针旋转，与反比例函数图象交与点，直线的解析式为，若的面积为，则的值为______．
23．如图，△ABC的顶点A，B都在反比例函数y＝﹣，点C（0，3），且AC＝BC，,则线段AB的长为 _____．
24．如图，菱形OABC在直角坐标系中，点A的坐标为，对角线，反比例函数经过点C．则k的值为______．
26．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，点D在AC上，若反比例函数在第一象限的图象经过点B，则△BAD与△OAC的面积之差为_______．
28．如图，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，以AC为边作平行四边形ACDE，E点在CB的延长线上，反比例函数过B点且与CD交于F点，，，则的值为_____________．
三、解答题（本大题共1小题，共8分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
29．如图，已知一次函数图象y=x+b与y轴交于点C（0，1），与反比例函数图象y=交于点A（a，2）和点B两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求点B的坐标和△AOB的面积；
(3)若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，请求出M点坐标．
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