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专题6-5 反比例函数与特殊三角形、四边形及新定义图形综合模型
模块1：模型简介
反比例函数与特殊三角形的、特殊四边形、新定义图形的综合问题，浙江各类考试的热点，常见于压轴题中，其融合了特殊平行四边形、特殊三角形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理等数学核心知识，考查学生的分类讨论、数形结合、转化化归等数学思想、综合分析和应用知识的能力。
模块2：核心模型点与典例
反比例函数与特殊三角形的、特殊四边形的综合、新定义图形解题步骤为：先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图像用含未知数的式子表示出几何图形与图像的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的当成（组），解方程（组）即可得所求几何图形的未知量或函数解析式中待定字母的值。
特殊几何图形的存在性问题解题思想：（1）找点构成等腰三角形、直角三角形、（特殊）平行四边形等问题；（2）找点构成三角形全等问题；（3）求点的坐标。
虽然部分特殊几何的存在性问题有一定“套路”可循，但大多题目试题命题灵活，并无单一模式，对学生提出了相当大的挑战。然而万变不离其宗，从特殊三角形、四边形本身的性质入手，结合边、角的相互转化，就能拨开迷雾、追寻真迹。
模型1.反比例函数与特殊三角形的综合问题
例1．（2023年四川省眉山市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．
(1)求反比例函数的表达式：(2)当时，直接写出x的取值范围；(3)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)或(3)或
【分析】（1）将，代入,求得一次函数表达式，进而可得点C的坐标，再将点C的坐标代入反比例函数即可；（2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果；（3）过点A作交y轴于点M，勾股定理得出点M的坐标，在求出直线AP的表达式，与反比例函数联立方程组即可．
【详解】（1）解：把，代入中得：，∴，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，∴，
把代入中得：，∴，∴反比例函数的表达式；
（2）解：联立，解得或，
∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为，
∴由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴当时，或；
（3）解：如图所示，设直线交y轴于点，
∵，，∴，，，
∵是以点A为直角顶点的直角三角形，∴，
∴，∴，解得，∴，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得或，∴点P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，勾股定理，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．
变式1．（2023·河南周口·模拟预测）如图，在中，，，，反比例函数在第一象限内的图象经过点．(1)点的坐标为 ．(2)求反比例函数的解析式．(3)点是轴上一点，若是直角三角形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)(2)(3)或
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何的综合题：（1）根据平行四边形的性质可得，即可求解；（2）把代入，即可求解；（3）分两种情况，结合勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：在中，，，，
∴，；故答案为：；
（2）解：把代入得：，解得：，∴反比例函数解析式为；
（3）解：分三种情况考虑：过作轴，此时为直角顶点时，的坐标为；
过作，交轴于点，此时为直角顶点，
设点，∵，，∴，，
∵，∴，解得：，即点；
综上所述，点坐标为或．
例2．（2023年四川省广安市中考数学真题）如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数为常数，的图象在第一象限交于点，与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式．(2)点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为(2)或或
【分析】（1）根据待定系数法，把已知点代入再解方程即可得出答案；
（2）首先利用勾股定理求出得的长，再分两种情形讨论即可．
【详解】（1）解：把点代入一次函数得，解得：，
故一次函数的解析式为，把点代入，得，，
把点代入，得，故反比例函数的解析式为；
（2）解：，，，
当时，或，当时，点关于直线对称，，
综上所述：点的坐标为或或．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰三角形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键．
变式1．（2023·广东潮州·一模）已知反比例函数（为常数，）．
(1)其图象与正比例函数的图象的一个交点为，若点的纵坐标是2，的值；
(2)若在其图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围；
(3)若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点，当时，试比较与的大小．(4)在第（1）小题的条件下，在轴上求点，使是等腰三角形．
【答案】(1)(2)(3)(4)点的坐标为或或或
【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数的性质、等腰三角形的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．（1）设点的坐标为，根据点在正比例函数的图象上可得，进而得出点的坐标，再将的坐标代入，进行计算即可得出答案；
（2）由于在反比例函数图象的每一支上，随的增大而减小可得，即可得解；
（3）由反比例函数图象的一支位于第二象限，可得在该函数图象的每一支上，随的增大而增大，由此即可得解；（4）根据等腰三角形的定义分情况讨论即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意，设点的坐标为，
∵点在正比例函数的图象上，，即，∴点的坐标为，
∵点在反比例函数的图象上，，解得：；
（2）解：∵在反比例函数图象的每一支上，随的增大而减小，，解得；
（3）解：∵反比例函数图象的一支位于第二象限，
∴在该函数图象的每一支上，随的增大而增大，
∵点与点在该函数的第二象限的图象上，且，；
（4）解：由（1）知，，，
当时，是等腰三角形，，，
当时，点在的垂直平分线上，此时，，
当时，，，
综上所述，点的坐标为或或或．
例3．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，函数的图象过点和两点．
(1)求和的值；(2)点是双曲线上介于点和点之间的一个动点，若，求点的坐标；
(3)过点作，交轴于点，交轴于点，第二象限内是否存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)和的值分别为，；(2)，(3)点或。
【分析】（1）将、两点的坐标分别代入反比例函数解析式，解方程组得、的值；
（2）设点，过点做轴于点，交于点，以为底，由的面积解出点坐标；（3）先用待定系数法求得进而求出直线的解析式，再分两种情况进行讨论：①以为直角边，为直角顶点；②以为直角边，为直角顶点．再观察图形并利用点的移动特点写出答案．
【详解】（1）解：函数的图像过点和两点，
，解得，故和的值分别为，；
（2）解：，，设直线的解析式为：，
把代入，得，解得，∴直线的解析式为：，
过点作轴于点，交直线于点，
设，，，
，或（不符合题意舍去），
（3）解：，直线的解析式为：，设直线的解析式为：，
点在直线上，，，即，直线的解析式为：；
当时，，∴，当时，，∴，
根据题意，分两种情况进行讨论：①以为直角边，为直角顶点；
如图，过做轴于点，可知：，
，，
又，，又，
，，
故点到点的平移规律是：向左移个单位，向上移个单位得点坐标，
，且在第二象限，即；
②以为直角边，为直角顶点；同①理得，将点向左移个单位，向上移个单位得点坐标，得．综上所述：点或
【点睛】此题考查关于一次函数、反比例函数与动态三角形的综合题，熟练运用待定系数法求函数解析式，准确完整地讨论等腰直角三角形的各种可能的情况是解此题的关键．
变式1．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰的斜边在x轴上，直线经过点A，交y轴于点C，反比例函数的图象也经过点A，连接．
【基础应用】（1）求k的值；（2）求直线的函数表达式；
【拓展应用】（3）若点P为x轴正半轴上一个动点，在点A的右侧的的图象上是否存在一点M，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）过点作轴，易得，设，代入一次函数解析式，求出点坐标，待定系数法求值即可；（2）先求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（3）过点作轴，交双曲线于点，连接，过点作，交轴于点，证明，得到，进一步求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：过点作轴，
∵为等腰直角三角形，∴，∴，设，
∵点在直线上，∴，∴，∴，∵在双曲线上，∴；
（2）由（1）知：，∴，
∵，当时，，∴，设直线的解析式为，
把，代入，得：，∴直线的解析式为：；
（3）存在，过点作轴，交双曲线于点，连接，过点作，交轴于点，
∵，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
又，∴是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，
∵，∴点的横坐标为，∵点在双曲线上，，∴．
【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．掌握相关性质，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
例4．（23-24八年级·上海青浦·期中）已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点A、B，点C是直线上的一点．
(1)请用含m的代数式表示P、A、B三点坐标．(2)在点P的运动过程中，连接，的面积是否变化，若不变，请求出的面积，若改变，请说明理由．(3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的和全等，如果存在，请求出m的值．
【答案】(1)，，；(2)不变，(3)或
【分析】本题考查了反比例函数和正比例函数综合问题，涉及了全等三角形的性质，掌握分类讨论的数学思想是解决第三问的关键．（1）根据题意可得点，由轴，轴，在反比例函数的图像上即可求解；（2）由题意得，分别表示出，即可求解；
（3）由题意分类讨论，，两种情况，求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：∵点是反比例函数图形上的动点，∴，∴点，
∵轴，轴，∴，，
∵在反比例函数的图像上，∴，，即：点，点；
（2）解：的面积不变，为，理由如下：∵轴，轴，∴，
∵，，，∴，，∴；
（3）解：若以为直角边的和全等，
，，如图所示：
此时，即：点，
∵点C是直线上的一点，∴，解得：，（舍），
，，如图所示：此时，即：点，
∵点C是直线上的一点，∴，解得：，（舍），
综上所述：或时，以为直角边的和全等．
模型2.反比例函数与特殊四边形的综合问题
例1．（2023年四川省泸州市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别相交于点A，B，与反比例函数的图象相交于点C，已知，点C的横坐标为2．(1)求，的值；(2)平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
【答案】(1)，；(2)点D的坐标为或
【分析】（1）求得，利用待定系数法即可求得直线的式，再求得，据此即可求解；（2）设点，则点，用平行四边形的性质得到，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵，∴，
∵直线经过点，∴，解得，，∴直线的解析式为，
∵点C的横坐标为2，∴，∴，
∵反比例函数的图象经过点C，∴；
（2）解：由（1）得反比例函数的解析式为，令，则，∴点，
设点，则点，
∵以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，∴，
∴，整理得或，
由得，整理得，解得，
∵，∴，∴点；由得，
整理得，解得，∵，∴，∴点；
综上，点D的坐标为或．
【点睛】此题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，平行四边形的性质，解一元二次方程，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
变式1．（2024·山东济南·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点Q．(1)求a、k的值；(2)直线过点P，与反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，，连接．①求的面积；②点M在反比例函数的图象上，点N在x轴上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点M坐标．
【答案】(1)，(2)①；②，
【分析】（1）将点坐标代入一次函数解析式可求出的值，再将坐标代入反比例函数解析式可求出的值；（2）过点A作轴，交PQ于点H，设B的坐标，点A的坐标为，根据的纵坐标，可以求出的值，进而求出点坐标，求出点坐标，根据可求出点坐标，进而求出的长，，在和中，为底边， 高分别是点、轴到的距离，根据点、点的横坐标即可求得，根据面积公式计算即可；（3）分两种情况，当MN和PQ为对角线时，可根据平行四边形的性质，以及平移来确定点纵坐标，进而求出的坐标；当MQ和NP为对角线时，以及平移来确定点纵坐标，进而求出对应点坐标，从而求解．
【详解】（1）解：（1）把点代入解得，，把代入解得，；
（2）∵，∴反比例函数解析式为．
①设B的坐标，点A的坐标为，
∵，，∴，把代入得：，∴点，
∵一次函数的图象与y轴交于点Q．∴Q的坐标为，
过点A作轴，交PQ于点H．则点H坐标，
∴，∴，
②设点，，∵，，点M、N、P、Q构成平行四边形；
当和为对角线时，如下图：点可看做是将点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
故点也是相应关系，即点向右平移个单位，再向上平移个单位，如下图：
故点的纵坐标为点纵坐标加：，即，M的坐标为；
当和为对角线时， 如下图：
点可看做是将点先再向下平移个单位，向左平移个单位得到，
故点也是相应关系，即点是点再向下平移个单位，再向左平移个单位得到，如下图：
故点的纵坐标为，，，故此时点坐标为：；
综上，点的坐标为：，，
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，以及平行四边形的性质运用．并利用图像的平移找到点与点之间的关系，从而求解．
例2．（23-24九年级·山西晋中·期末）综合与探究:如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．(1)求这个反比例函数的表达式；(2)点是轴上的一个动点，连接，，当线段与之和最小时，求点的坐标；(3)过点作直线轴，交反比例函数的图象于点，若点是直线上的一个动点，点是平面直角系内的一个动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)存在，或或或
【分析】（1）先将点代入一次函数解析式，求出点坐标，再代入反比例函数解析式，求解即可；（2）求出点坐标，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，求出的解析式，进而求出点的坐标即可；（3）分为菱形的边长，以及为菱形的对角线，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：把代入，得：，∴，
∴，∴反比例函数的解析式为：；
（2）∵，当时间，，∴，作点关于轴的对称点，
则：，，∴当三点共线时，的值最小，
连接，与轴的交点即为点，
设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴，∴当时，，∴；
（3）∵过点作直线轴，交反比例函数的图象于点，
∴点的纵坐标为，∴，设，设，
则：，，；
当点，，，为顶点的四边形是菱形，分两种情况：
①当为边时，则：，当时：，，则：，解得：，
当时：，，即：；
当时：，，即：；
当时，，，则：，解得：或（舍掉），
当时，，，即：；
②当为对角线时：则，∴，
此时，即：，解得：，∴，即：；
综上：或或或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与几何的综合应用，涉及求函数解析式，利用轴对称解决线段和最小问题，菱形的性质．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．属于压轴题．
变式1．（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象分别交于A、C两点，已知点B与点D关于坐标原点O成中心对称，且点B的坐标为．其中．
(1)四边形是____．(填写四边形的形状)；(2)当点A的坐标为时，四边形是矩形，求的值．(3)试探究：随着k与m的变化，四边形能不能成为菱形？若能，请直接写出k的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)平行四边形(2)(3)不能，理由见解析
【分析】（1）根据对称性和中心对称图形的性质可得，，由此即可得到结论；（2）先求出点A的坐标，进而利用矩形的性质和勾股定理求出m的值即可得到答案；（3）由于菱形对角线互相垂直，若为菱形，则，则点A在y轴上，这与反比例函数与y轴没有交点矛盾，据此可得答案．
【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数 的图象分别交于A、C两点，
∴由反比例函数的对称性可知点A与点C关于原点对称，
∴，同理可得，∴四边形是平行四边形，故答案为：平行四边形；
（2）解：∵，且A在反比例函数图象上，∴，即，∴．
∵ 四边形是矩形，∴，∴，∴．
（3）解：不能，理由如下：∵当四边形为菱形时，则．
∵在x轴上，∴在y轴上，而反比例函数y=与y轴没有交点，
则随着k与m的变化，四边形不能成为菱形．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理，矩形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
例3．（2024·山东济南·模拟预测）综合与实践：某数学兴趣小组计划设计一款美丽的“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，点和点在反比例函数图象上．以点为顶点，为边构造菱形；轴于点，且是的中点，连接；以点为圆心，为半径作弧．
(1)求反比例函数的表达式；(2)求出图案中阴影部分的面积；(3)若点的坐标为，连接，在反比例函数的图象上找一点，在坐标平面内找一点，使得以为顶点的四边形是以为边的矩形，求出点的坐标．
【答案】(1)(2)(3)点坐标为或
【分析】本题考查反比例函数图象及性质，反比例函数几何问题，矩形判定及性质，菱形性质及面积公式，扇形面积公式，待定系数法求一次函数解析式等．（1）根据题意把代入求出即可；
（2）连接菱形的对角线，交轴于点，则轴，得到，继而求得菱形和扇形面积，继而得到本题答案；（3）设直线的表达式为，分情况讨论，当和时，待定系数法求出直线解析式即可求得本题答案．
【详解】（1）解：把代入得，则反比例函数的表达式为；
（2）解：连接菱形的对角线，交轴于点，则轴，
，，四边形是菱形，，
是等边三角形，，，，
轴于点，且是的中点，，，
；
（3）解：设直线的表达式为，代入点和点，得：，
①当时，设直线的表达式为，代入点得，
联立，得：（舍），，当时，，；
②当时，设直线的表达式为，代入点，
得：，联立，得：（舍），
当时，，，综上所述，点坐标为或．
变式1．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点、点，与正比例函数的图像交于点、点，设点、的横坐标分别为，()．
(1)如图1，若点坐标为．①求，的值；②若点的横坐标为，连接，求的面积．(2)如图2，依次连接，，，，若四边形为矩形，求的值．
【答案】(1)①，；②(2)
【分析】（1）①将点代入解析式，求得； ②根据反比例函数解析式可得，分别过点、作轴的垂线交轴于点、，根据，，，可得；（2）直线，经过原点且与反比例函数分别交于点，，，，反比例函数的图像关于原点中心对称，则点，关于原点对称，点、关于原点对称，则四边形为平行四边形．点的坐标为，点的坐标为，根据，得出，根据在上，得出，，在上，得出，进而即可求解．
【详解】（1）解：①点在上，，；
点在上，，
②点的横坐标为，当时，，；
分别过点、作轴的垂线交轴于点、，
，，
；
（2）解：直线，经过原点且与反比例函数分别交于点，，，，反比例函数的图像关于原点中心对称，点，关于原点对称，点、关于原点对称，
，，四边形为平行四边形．当时，四边形是矩形．
点，的横坐标分别为，，点的坐标为，点的坐标为，
，，，
，
又在上，， ，在上，
，．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合，的几何意义，熟练掌握反比例函数性质是解题关键．
例4．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，直线与轴交于点．(1)求反比例函数的解析式和点的坐标；(2)①直接写出当时，的取值范围；②连接和，求的面积；(3)点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，写出点的坐标．
【答案】(1)(2)①或；②4(3)点的坐标为，或
【分析】（1）利用待定系数可得答案；（2）①根据的横坐标，结合函数图象，即可求解；
②根据一次函数求得的坐标，进而根据，即可求解；（3）将正方形问题转化为等腰直角三角形，再分为斜边和直角边两种情形，分别画图，利用全等三角形来解决问题．
【详解】（1）解：将代入，得，反比例函数的表达式为，
将代入，得解得，一次函数的表达式为，
联立方程组消得，即，解得：，，
由可知点的横坐标为，代入得点的纵坐标为3，点的坐标为
（2）①∵，，根据函数图象可得当时，或；
②由得点为，
即的面积为4；
（3）分两种情况讨论：①当时，如图，过作于，
∵轴，∴，
∵四边形为正方形，∴，，
∴，∴，∴，
∵，而，同理可得：直线的解析式为，
∵，点在直线上，∴点的横坐标为2，当时，，∴；
②当时，如图，过作交于点H，交轴于，交反比例函数图象于，过作轴于，则四边形是矩形，∴，∴，
∵四边形为正方形，∴，，同理可得：，∴，
由①知直线的解析式为，与轴交于点，与轴的交点为，
∴，∴为等腰直角三角形，∴，，∴为等腰直角三角形，
∵，∴，∴，
∵是的中点，∴，设，，∴，
∴（舍去）或，∴，∴，
当时，若点E在左侧时，记与轴的交点为，
同理可得：，，设，则，
∵直线为，∴，，
∴，解得，∴，
当点E在右侧时，同理可得，
设，则，∴，∴，
∵为中点，∴，∴，而在直线上，
∴，解得，且满足分式方程，
∵，∴，∴，
综上，点的坐标为，或．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数图象交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论．
变式1．（2023·湖南娄底·九年级统考期末）如图，四边形为正方形．点A的坐标为，点B的坐标为，反比例函数的图象经过点C，一次函数的图象经过点C和点A．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)写出的解集；(3)点P是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积，求P点坐标．
【答案】(1)，(2)或(3)或
【分析】（1）根据正方形的性质求出点C坐标，然后利用待定系数法分别求出反比例函数与一次函数的解析式即可；（2）联立两函数解析式，求出交点坐标，然后根据函数图象可得答案；（3）设P点的坐标为，根据的面积恰好等于正方形的面积列方程求出x，然后可得对应的P点坐标．
【详解】（1）解：∵正方形，，，∴，∴，
把代入得：，∴，∴反比例函数解析式为；
把，代入一次函数得：，解得，
∴一次函数解析式为；
（2）联立，解得：或，∴，，
由函数图象可得，的解集是：或；
（3）设P点的坐标为，∵，∴，解得：，
当时，；当时，；∴P点的坐标为或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式，三角形的面积计算等知识．运用数形结合思想以及方程思想是解题的关键．
模型3.反比例函数与新定义几何图形综合问题
例1．（2023·四川成都·一模）已知一次函数与反比例函数的图象交于、B两点，交y轴于点C．(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标；(2)过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长；(3)我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”．设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标的值．
【答案】(1)，(2)(3)
【分析】（1）由一次函数解析式求得点，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，两解析式联立成方程组，解方程组即可求得点的坐标；（2）设直线的解析式为设，由，整理得，，根据题意得到，求得，即可得到直线的解析式，从而即可求得点的坐标，然后利用勾股定理即可求得；（3）通过证得，得出，，即可得出点的坐标，进而表示出点的坐标，代入，解方程即可求得点横坐标．
【详解】（1）∵过，∴，∴，则，
又∵过，∴，∴反比例函数的表达式为．
∴，解得：或，∴．
（2）令，则，∴．
设直线的解析式为设，∴，即：，
∵直线与反比例函数图象只有一个交点，
∴，∴，∴，令，则，
∴，∴．
（3）由图可知在第一象限、不可能相等，如图，当，时，点作轴于，轴于，与的交点为，，设点的坐标为，
∵，∴，
∵，，∴，∴，，
∴，∴，∴，设（），∴，
∵点在一次函数图象上，∴，整理得，
解得（负数舍去），∴点的横坐标的值为．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
变式1．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的两倍的凸四边形叫做倍角梯形． 如图1，直线，点、在直线上，点、在直线上，若， 则四边形是倍角梯形．
(1)如图2，点是的边上一点，，，．若四边形是倍角梯形，则的长是___________；(2)如图3，以的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，对角线所在直线为轴，建立平面直角坐标系．点是边上一点，满足．求证：四边形是倍角梯形；(3)在（2）的条件下，当，时，将四边形向左平移个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数的图像上，直接写出的值．
【答案】(1)5(2)见解析(3)或
【分析】（1）根据倍角梯形的定义可得出，进而可得出，由等角对等边可得出，结合即可求出的长，（2）由平行四边形的性质可得出，，进而可得出，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得出，再结合倍角梯形的定义即可证出四边形是倍角梯形；（3）由平行四边形的性质结合，可得出点，，的坐标；四边形向左平移个单位后，用含的代数式表示出平移后点，，的坐标，分点，落在反比例函数图象上及点，落在反比例函数图象上两种情况考虑，根据反比例函数图象上点的坐标特征：横坐标纵坐标，可得出关于的一元一次方程，求出的值，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出的值即可．
【详解】（1）解：点是的边上一点，，，，四边形是倍角梯形，，，
，，，故答案为：5；
（2）证明：四边形为平行四边形，，，
，，又，四边形是倍角梯形；
（3）解：在（2）的条件下，，，
，点的横坐标，点的横坐标，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；四边形向左平移个单位后，点的坐标变为，点的坐标变为，点的坐标变为，
情况一：当四边形向左平移个单位后，点，落在反比例函数的图象上时，，解得：，；
情况二：当四边形向左平移个单位后，点，落在反比例函数的图象上时，，解得：，，
综上所述：的值为为或．
【点睛】本题考查了直角三角形、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及解一元一次方程，熟练运用知识点、数形结合是解题的关键．
例2．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，点P是y轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，与反比例函数的图象交于点A．把直线l上方的反比例函数图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“的l镜像”．
(1)当时；①点________“的l镜像”；（填“在”或“不在”）
②“的l镜像”与x轴交点坐标是_________；
(2)过y轴上的点作y轴垂线，与“的l镜像”交于点B、C，若，求的长．
【答案】(1)①在；②(2)的长为或
【分析】（1）①根据函数“的镜像”定义知：反比函数图象沿着直线翻折前后部分关于直线对称，当时，反比例函数值，则点关于直线对称点为，得出点在“的镜像”；②“ 的镜像”与轴交点纵坐标是0，根据直线对称点在反比例函数图象上纵坐标应为时，“的镜像”与轴交点坐标是．（2）由过轴上的点作轴垂线，与“的镜像”交于点、知：点，纵坐标，点，，故，点坐标为，点关于直线对称点坐标为，．当点，位置交换时，．
【详解】（1）解：①由反比例函数知：当时，．
且过点作轴的垂线．关于直线对称点坐标为．
由“的镜像”定义得：点在“的镜像”上．故答案为：在．
② “的镜像”与轴相交点纵坐标为0．
关于直线对称点在反比例函数上点纵坐标为6．时，．
“的镜像”与轴交点坐标是．故答案为：．
（2）解：如图，①过轴上的点作轴垂线，与“的镜像”交于点、．
点，纵坐标为．点在反比例函数图象上．点坐标．．
．．点坐标为．当时，反比例函数的值．
点与点关于直线对称．
由“的镜像”定义得：．的长为．
②当点，位置交换时，同理得的长为．的长为或．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，轴对称的性质，分类讨论、数形结合是解题的关键．
模块3：同步培优题库
全卷共18题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，正方形ABCD的顶点分别在函数和的图象上，若轴，点C的纵坐标为4，则的值为（ ）
A．26 B．28 C．30 D．32
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，涉及正方形性质，
连接交于，延长交轴于，设，，根据轴，可得，，，即知，从而，，由在反比例函数的图象上，在的图象上，得，，即得．
【详解】解：连接交于，延长交轴于，如图：
四边形是正方形，，设，，
轴，，，，
，都在反比例函数的图象上，，
，，，，
在反比例函数的图象上，在的图象上，
，，；故选：D．
2．（23-24九年级·广东·期末）如图，正方形OABC的边长为4，点D是OA边的中点，连接CD，将△OCD沿着CD折叠得到△ECD，CE与OB交于点F．若反比例函数y＝的图象经过点F，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据折叠的性质得到，，设，利用两点间的距离公式得到，，解关于、的方程组得到点的坐标为，，再利用待定系数法求出直线的解析式为，易得直线的解析式为，解方程组得，，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求的值．
【详解】解：正方形的边长为4，点是边的中点，，，，，
沿着折叠得到，，，
设，，，，，
点的坐标为，，设直线的解析式为，
把，，分别代入得，解得，直线的解析式为，
易得直线的解析式为，解方程组得，，，
点，在反比例函数的图象上，．故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．也考查了正方形的性质和折叠的性质．
3．（2021·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥X轴，AO⊥AD，AO=AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE=4CE．反比例函数的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．若，则k的值为（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】A
【分析】延长EA交x轴于点G，过点F作x轴的垂线，垂足分别为H，则可得△DEA≌△AGO，从而可得DE=AG，AE=OG，若设CE=a，则DE=AG=4a，AD=DC=DE+CE=5a，由勾股定理得AE=OG=3a，故可得点E、A的坐标，由AB与x轴平行，从而也可得点F的坐标，根据 ，即可求得a的值，从而可求得k的值．
【详解】如图，延长EA交x轴于点G，过点F作x轴的垂线，垂足分别为H
∵四边形ABCD是菱形∴CD=AD=AB，CD∥AB ∵AB∥x轴，AE⊥CD∴EG⊥x轴，∠D+∠DAE=90゜
∵OA⊥AD∴∠DAE+∠GAO=90゜∴∠GAO=∠D ∵OA=OD∴△DEA≌△AGO(AAS)∴DE=AG，AE=OG
设CE=a，则DE=AG=4CE=4a，AD=AB=DC=DE+CE=5a
在Rt△AED中，由勾股定理得：AE=3a∴OG=AE=3a，GE=AG+AE=7a∴A（3a,4a），E(3a,7a)
∵AB∥x轴，AG⊥x轴，FH⊥x轴∴四边形AGHF是矩形∴FH=AG=3a，AF=GH
∵E点在双曲线上∴ 即
∵F点在双曲线上，且F点的纵坐标为4a∴ 即∴
∵∴ 解得：
∴ 故选：A．
【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，三角形全等的判定与性质等知识，关键是作辅助线及证明△DEA≌△AGO，从而求得E、A、F三点的坐标．
4．（2023年黑龙江龙东地区中考数学真题）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，根据反比例函数的中心对称性可得，然后过点A作于E，求出，点D的横坐标为，再根据列式求出，进而可得点D的纵坐标，将点D坐标代入反比例函数解析式即可求出的值．
【详解】解：由题意，设，∵过原点，∴，
过点A作于E，∵是等腰三角形，
∴，∴，点D的横坐标为，
∵底边轴，轴，∴，
∴，∴点D的纵坐标为，
∴，∴，解得：，故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，中心对称的性质，等腰三角形的性质等知识，设出点B坐标，正确表示出点D的坐标是解题的关键．
5．（2023·重庆中考模拟预测）如图，点D是平行四边形OABC内一点，AD与轴平行，BD与轴平行，，，．若反比例函数的图象经过C、D两点，则的值是（ ）
A． B． C．-12 D．-24
【答案】B
【分析】过点C作CE⊥y轴，延长BD交CE于点F，易证△COE≌△ABD，求得OE=2，根据S△BDC=6，求得CF=6，得到点D的纵坐标为4，设C（m，），则D（m+6，4），由反比例函数y=（x＜0）的图象经过C、D两点，从而求出m，进而可得k的值．
【详解】解：过点C作CE⊥y轴，延长BD交CE于点F，
∵AD与x轴平行，BD与y轴平行，∴∠ADB=90°，∠1=∠ABD，
∵四边形OABC为平行四边形， ∴AB∥OC，AB=OC， ∴∠COE=∠1=∠ABD，
在△COE和△ABD中，，∴△COE≌△ABD（AAS），∴OE=BD=，CE=AD，
∵S△BDC=BD CF=6，∴CF=6，
∵∠BDC=120°，∴∠CDF=60°，∴DF＝2，点D的纵坐标为4，
设C（m，2），则D（m+6，4），∵反比例函数y=（x＜0）的图象经过C、D两点，
∴k=2m=4（m+6），∴m=-12，∴C（-12，2），∴k=-24，故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何的综合，掌握平行四边形的性质和反比例函数图像的坐标特征是解题的关键．
6．（2023年湖南省张家界市中考数学真题）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】设点的坐标为，根据矩形对称中心的性质得出延长恰好经过点B，，确定，然后结合图形及反比例函数的意义，得出，代入求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，
设点的坐标为， ∵矩形的对称中心M，∴延长恰好经过点B，，
∵点D在上，且，∴，∴，∴
∵在反比例函数的图象上，∴，∵，
∴，解得：，∴，故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
7．（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）如图，矩形的边，，动点在边上（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，直线分别与轴和轴相交于点和．给出下列命题：若，则的面积为；若，则点关于直线的对称点在轴上；满足题设的的取值范围是；若，则；其中正确的命题个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】若则计算故命题正确；如答图所示，若，可证明直线是线段的垂直平分线，故命题正确；因为点不经过点，所以，即可得出的范围；求出直线的解析式，得到点、的坐标，然后求出线段、的长度； 利用算式，求出，故命题正确．
【详解】∵，∴，，∴，，
∴
，故正确；
∵，∴，，∴，，
如答图，过点作轴于点，则，，
在线段上取一点，使得，连接，
在中，由勾股定理得：，∴，
在中，由勾股定理得：，∴，
又∵，∴点与点关于直线对称，故正确；
由题意，点与点不重合， ∴，∴， 故错误；
设， 则，，设直线的解析式为，则有，
，解得，∴，
令，得，∴，令，得，∴，
如上答图， 过点作轴于点，则，，
在中，，，由勾股定理得：，
在中，，，由勾股定理得：，
∴，解得，∴, 故命题正确；
综上所述，正确的命题是：，共个，故选：．
【点睛】本题主要考查了函数的图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k的几何意义、待定系数法、矩形及勾股定理等多个知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
二、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
8．（2023年浙江省绍兴市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，函数（为大于0的常数，）图象上的两点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是 ．
【答案】2
【分析】过点作轴于点，轴于点，于点，利用，，得到，结合梯形的面积公式解得，再由三角形面积公式计算，即可解答．
【详解】解：如图，过点作轴于点，轴于点，于点，
；
故答案为：2．
【点睛】本题考查反比例函数中的几何意义，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
9．（2023.江苏中考模拟预测）在平面直角坐标系中，将一点的横坐标与纵坐标互换后得到的点称为它的“互换点”，点M和A为函数的图象第一象限上的一组互换点（M点在A点的左侧）．直线AM分别交x轴、y轴于C、D两点，连接AO交双曲线另一支于点B，连接BM分别交x轴、y轴于点E，F．则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）
①；②；③若，则；④若，M点的横坐标为1，则
【答案】①③④
【分析】设点A（m，n），则M（n，m），求出直线AM的解析式，得到OC=OD，∠ODC=∠OCD=45°，作AP⊥x轴于P，MQ⊥y轴于Q，证明△OAP≌△OMQ，得到∠AOP=∠MOQ，由此判断①正确；过O作OH⊥MA于H，得到DH=CH，结合，得到MH=AH，但是DM与MH不一定相等，故②错误；作，连接FR，求出直线BM的解析式为，得到OF=OE=m-n，证明△BOE≌△AOR，判定四边形AMFR是矩形，得到AR=MF，AM=FR，设MF=2x，则MB=7x，证明△BOE≌△MOF，求出EF=3x，由DM=AC=2x，故③正确；过H作HG⊥x轴于G，AN⊥HG于N，设AH=a，证明△AOM是等边三角形，得到∠AOH=30°，∠HOG=∠OHG=∠AHN=45°，，，得到，求出a，得到A（，1），故④正确．
【详解】解：设点A（m，n），则M（n，m），∴直线AM的解析式为，
∴D（0，m+n），C（m+n，0），∴OC=OD，∴∠ODC=∠OCD=45°，
作AP⊥x轴于P，MQ⊥y轴于Q，∴∠OQM=∠OPA=90°，QM=AP=n，OQ=OP=m，
∴△OAP≌△OMQ，∴∠AOP=∠MOQ，∴，故①正确；
过O作OH⊥MA于H，∵OC=OD，∴DH=CH，
∵，∴DM=AC，∴MH=AH，但是DM与MH不一定相等，
故不一定成立，故②错误；
如图，作，连接FR，则∠BEO=∠ARO，
∵连接AO交双曲线另一支于点B，点A（m，n），∴B（-m，-n），OA=OB，
∵点M（n，m），∴直线BM的解析式为，
∴F（0，m-n），E（n-m，0），∴OF=OE=m-n，
∵∠BOE=∠AOR，∴△BOE≌△AOR，∴OR=OE=OF， ∴∠OFR=∠ORF=45°，
∵∠ARC=∠MEC=∠ACE=45°，∴∠EFR=∠ARF=∠RAC=90°，∴四边形AMFR是矩形，
∴AR=MF，AM=FR，设MF=2x，则MB=7x，∴AC=AR=2x，BF=5x，
∵OE=OF， OA=OM=OB，∠BOE=∠AOR=∠MOE，∴△BOE≌△MOF，∴BE=MF=2x，∴EF=3x，
∵∠FER=∠FRE=45°，∴FR= EF=3x，∴AM=3x，∵DM=AC=2x，∴，故③正确；
过H作HG⊥x轴于G，AN⊥HG于N，设AH=a，
∵，OA=OM，∴△AOM是等边三角形，∴∠AOM=∠OAM=60°，
∵OH⊥MA，∴∠AOH=30°，∴∠AOC=15°，∴∠HOG=∠OHG=∠AHN=45°，
∵AH=a，∴，∴，
∵M点的横坐标为1，∴QM=AP=GN=1，∴，
得，∴，∴A（，1），∴，故④正确；故答案为：①③④．
【点拨】此题考查了反比例函数与一次函数的综合知识，反比例函数的轴对称性，求一次函数的解析式，全等三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，正确掌握各知识点并熟练应用解决问题是解题的关键．
10．（2023.山东中考模拟预测）如图，点、为反比例函数上的动点，点、为反比例函数上的动点，若四边形为菱形，则该菱形边长的最小值为___________．
【答案】4
【分析】连接AC、BD，则．设，，则．根据两点的距离公式可分别求出AD、AB、OA、OD的长．再根据菱形的性质即得出，即可求出a和m的关系．最后在中，利用勾股定理即可求出AD的最小值．
【详解】如图，连接AC、BD，则．根据题意可设，，则．
∴,,
∴,
∵，∴．整理得：，即
在中，，即，
整理得：，将代入上式得：．
∵，∴．∴该菱形边长的最小值为4．故答案为4．
【点拨】本题考查反比例函数图象和性质，菱形的性质，两点的距离公式以及勾股定理，数据处理难度大，较难．作出辅助线是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共80分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
11．（22-23八年级下·江苏·期末）定义：平面直角坐标系中，若点M绕点N顺时针旋转，恰好落在函数图象W上，则称点M是点N关于函数图象W的“直旋点”．例如，点是原点O关于函数图象的一个“直旋点”．(1)在①，②，③三点中，是原点O关于一次函数图象的“直旋点”的有 _ （填序号）；(2)点是点关于反比例函数图象的“直旋点”，求k的值；
(3)如图1，点在反比例函数图象上，点B是在反比例函数图象上点A右侧的一点，若点B是点A关于函数的“直旋点”，求点B的坐标．
【答案】(1)③(2)(3)点B的坐标为
【分析】（1）根据“直旋点”的定义进行判断即可；（2）设点M绕点N顺时针旋转的对应点为，过点M作轴于点A，过点作轴于点B，证明，得出，，即可得出的坐标为，求出k的值即可；（3）设点B绕点A顺时针旋转的对应点为点C，连接，，过点A作x轴的平行线，过点B作于点E，过点C作于点E，求出反比例函数解析式为，设点B的坐标为，得出，，证明，得出，，求出点C的坐标为：，根据点C在函数图象上，得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：①点绕原点顺时针旋转的对应点为，把代入得：，∴不在函数的图象上，
∴不是原点O关于一次函数图象的“直旋点”；
②绕原点顺时针旋转的对应点为，把代入得：，
∴不在函数的图象上，∴不是原点O关于一次函数图象的“直旋点”；
③绕原点顺时针旋转的对应点为，把代入得：，
∴在函数的图象上，∴是原点O关于一次函数图象的“直旋点”；
综上分析可知，是原点O关于一次函数图象的“直旋点”的有③．故答案为：③．
（2）解：设点M绕点N顺时针旋转的对应点为，过点M作轴于点A，过点作轴于点B，如图所示：
∵，，∴，，，∴，
∵，∴，
∴，根据旋转可知，，∴，
∴，，∴，∴的坐标为，把代入得：．
（3）解：设点B绕点A顺时针旋转的对应点为点C，连接，，过点A作x轴的平行线，过点B作于点E，过点C作于点E，如图所示：
∵点在反比例函数图象上，∴，∴反比例函数解析式为，
∵点B在函数图象上，∴设点B的坐标为，∴，，
∵，∴，
∴，根据旋转可知，，∴，
∴，，∴点C的坐标为：，
∵点C在函数图象上，∴，解得：，（舍去），∴点B的坐标为．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，求反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法．
12．（2023·山东泰安·二模）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于、两点．(1)求反比例函数的解析式和点的坐标．(2)点为第一象限内反比例函数图像上一点，过点作轴的平行线，交直线于点，连接，如果的面积为，求点的坐标．(3)点在轴上，反比例函数图像上是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)，(2)或(3)存在，或或
【分析】（1）将代入，可得点坐标，将代入，可得的值，再根据点、关于原点对称，得出点的坐标；（2）设，则，根据，即可得出的方程；
（3）分或，分别根据型全等，表示出点坐标，从而解决问题．
【详解】（1）解：将代入，得，解得：，∴，
将代入，得，解得：，∴反比例函数的解析式为，
∵点和点关于原点对称，∴．
（2）如图，过点作轴于点，交于，设，则，
∵，∴，
当时，解得：或（负值不符合题意，舍去）
当时，解得：或（负值不符合题意，舍去）∴或，
∴点的坐标为或．
（3）存在，当时，当点在轴正半轴时，
过点作轴，过点作于点，∴，
∵是以为直角边的等腰直角三角形，∴，，，
∵，∴，
在和中，∴，
∴，，设，∵∴，
∴，解得：或（舍去），∴；
当点在轴负半轴时，如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点，
同样可得，∴，，设，
∵∴，∴，解得：或（舍去），∴；
当时，当点在第一象限时，过点作轴，过点作于点，过点作于点，同样可得，∴，，
设，∵∴，解得：，∴；
当点在第三象限时，过点作轴，过点作于点，过点作于点，
同样可得，∴，，设，
∵∴，解得：，∴，
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题反比例函数综合题，考查待定系数法求函数解析式，图形与坐标的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造型全等是解题的关键．
13．（2023·山东济南·三模）如图，已知反比例函数的图象经过点，动点在反比例函数图象上的点和轴之间移动，是轴上一点，连接．
(1)求直线的表达式；(2)过点作轴交直线于点．①求出面积的最大值；
②是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线AB的表达式为
(2)①△MBN面积的最大值为；②存在，点N的坐标为或或．
【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出m，进而求出点A的坐标，利用待定系数法求出直线的表达式；（2）①根据三角形的面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数的性质计算即可；
②分三种情况，根据勾股定理列出一元二次方程，解方程得到答案．
【详解】（1）解：设直线的表达式为，
∵点在反比例函数的图象上，∴，则点A的坐标为，
∴，解得：，∴直线的表达式为；
（2）解：①设点N的坐标为，点M的坐标为，则，
∴，∵，∴面积的最大值为；
②过点N作轴于点H，
当时，点H为的中点．∴点N的纵坐标为，即，解得：，
此时，点N的坐标为；当时，，
整理得：，解得：（舍去），，则，此时，点N的坐标为；
当时，，整理得：，
解得：（舍去），，则，此时，点N的坐标为，
综上所述：为等腰三角形时，点N的坐标为或或．
【点睛】本题考查的是反比例函数知识的综合运用、等腰三角形的性质、二次函数的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
14．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图，的顶点在反比例函数的图象上，轴，，点为的中点，已知点．(1)求反比例函数的解析式；(2)求证：点在反比例函数的图象上；(3)点分别在反比例函数图象的两支上，当四边形是菱形时，请求出点的坐标．
【答案】(1)(2)详见解析(3)点的坐标为或
【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，涉及了反比例函数解析式的求解、菱形的性质等知识点，掌握待定系数法求解解析式是解题关键．
（1）根据轴，可求出点，即可求解；
（2）由点为的中点可推出点与点关于原点对称，即可求解；
（3）根据菱形对角线互相垂直平分可得直线为第一、三象限的角平分线，即可求解；
【详解】（1）解：在中，轴，，点，点．
点在反比例函数的图象上，．反比例函数的解析式为；
（2）证明：四边形是平行四边形，且是的中点，
点与点关于原点对称，由（1）得
当时，，点在反比例函数的图象上；
（3）解：四边形是菱形，与互相平分．
∵点，且是的中点，∴直线为第二、四象限的角平分线，
直线为第一、三象限的角平分线，直线的解析式为．
联立解得或点的坐标为或．
15．（23-24九年级上·山东泰安·期中）综合与探究：如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接．(1)求这个反比例函数的表达式；(2)求出点B的坐标及的面积；(3)在坐标轴y轴上是否存在一点P，使以点B，A，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)，(3)存在，或
【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法求解即可；
（2）解方程组求出点B的坐标，利用割补法求三角形的面积；
（3）设，表示出，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：把，代入，得：，
∴，∴，∴，∴；
（2）联立，解得：或，∴，
∵，当时，，∴，∴；
（3）存在，设点，∵，，
∴，
∵点B，A，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形，
①当为斜边时：，解得：；
②当为斜边时：，解得：；∴或．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标，属于中考常考题型．
16．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，直线经过点，并与反比例函数交于点．(1)求直线和反比例函数的表达式；(2)点M为反比例函数图象第二象限上一点，记点M到直线的距离为d，当d最小时，求出此时点M的坐标；(3)点C是点B关于原点的对称点，Q为线段AC（不含端点）上一动点，过点Q作轴交反比例函数于点P，点D为线段的中点，点E为x轴上一点，点F为平面内一点，当D，C，E，F四点构成的四边形为正方形时，求点Q的坐标．
【答案】(1)，(2)(3)或或
【分析】（1）利用待定系数可得答案；（2）将直线向上平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点M时，此时d最小，设直线l的解析式为，与反比例函数解析式联立，通过，从而解决问题；
（3）将正方形问题转化为等腰直角三角形，再分为斜边和直角边两种情形，分别画图，利用全等三角形来解决问题．
【详解】（1）解：将代入，∴，
∴反比例函数的表达式为，设直线的解析式为，
将与代入可得：，∴，∴直线的解析式为；
（2）将直线向上平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点M时，
设直线l的解析式为，∴方程有两个相等的实数根，
整理得，∴，解得或，
∵直线l与y轴交于正半轴，∴舍去，解方程，得，∴，∴；
（3）分两种情况讨论：①当时，如图，过作于，
∵轴，∴，
∵四边形为正方形，∴，，
∴，∴，∴，
∵C与B关于原点对称，∴，，
∴，而，同理可得：直线的解析式为，
∵，点Q在直线上，∴点Q的横坐标为2，当时，，∴；
②当时，如图，过作交于点H，交轴于，交反比例函数图象于，过作轴于，则四边形是矩形，∴，∴，
∵四边形为正方形，∴，，
同理可得：，∴，
由①知直线的解析式为，与x轴交于点，与轴的交点为，∴，
∴为等腰直角三角形，∴，，∴为等腰直角三角形，
∵，∴，∴，
∵D是的中点，∴，设，，
∴，∴（舍去）或，∴，∴，
当时，若点E在左侧时，记与轴的交点为，
同理可得：，，设，则，
∵直线为，∴，，
∴，解得，∴，
当点E在右侧时，同理可得，
设，则，∴，∴，
∵D为中点，∴，∴，而在直线上，
∴，解得，∵，∴，∴，
综上，Q点的坐标为，或．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数图象交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论．
17．如图，已知一次函数图象y=x+b与y轴交于点C（0，1），与反比例函数图象y=交于点A（a，2）和点B两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求点B的坐标和△AOB的面积；
(3)若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，请求出M点坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为y=x+1，反比例函数为y=；(2)B（-2，-1），(3)△AOB的面积为；满足条件的M点的坐标为（0，3）或（0，-3）或（0，）或（0，）．
【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式，再求出A点坐标即可确定反比例函数的解析式；
（2）联立一次函数和反比例函数即可得出B点坐标，设直线AB与x轴交于点D，则D（-1，0），根据S△AOB=OD yA+OD yB计算面积即可；
（3）分∠BAM=90°、∠ABM=90°、∠AMB=90°三种情况讨论求值即可．
【解析】 (1)解：∵一次函数图象y=x+b与y轴交于点C（0，1），∴b=1，∴一次函数的解析式为y=x+1，
∵点A（a，2）在直线y=x+1上∴a=1，即A（1，2），
又∵反比例函数y=过A点，∴k=2，∴反比例函数为y=；
(2)解：∵反比例函数与一次函数交于点A和点B，
联立两解析式得，解得或，∴B（-2，-1），
设直线AB与x轴交于点D，则D（-1，0），
∴OD=1，∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=OD yA+OD yB=×1×1+×1×2=，即△AOB的面积为；
(3)解：分三种情况讨论：①当∠BAM=90°时，设M1（0，y），则AM2+AB2=BM2，
∴12+（2-y）2+（1+2）2+（2+1）2=4+（y+1）2，解得y=3，∴M（0，3）；
②当∠ABM=90°时， 同理可得：M（0，-3），
③当∠AMB=90°时，设M（0，m），设AB的中点为J，
则J（-，），∵AB=，∴AJ=BJ=JM=，
∴（-）2+（-m）2=（）2，解得m=，∴M3（0，），M4（0，），
综上，满足条件的M点的坐标为（0，3）或（0，-3）或（0，）或（0，）．
【点拨】本题主要考查了反比例函数的综合题型，熟练掌握待定系数法求解析式，一次函数的性质，反比例函数的图像和性质，矩形的性质等知识是解题的关键．
18．（2024·四川达州·二模）如图，一次函数的图象与轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于B，D两点，且．(1)求的值；(2)请直接写出不等式的解集；(3)若P是x轴上一点，轴交一次函数的图象于点M，交反比例函数的图象于点N，当以O、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)(2)或(3)或或或
【分析】（1）令，得到A的横坐标，令，得到C的纵坐标，由可知点为的中点，设，得，，解得：，得的坐标为，代入中即可求得的值；（2）联立两个函数解析式，整理得到一元二次方程，求解即可求出点D的坐标，运用交点的横坐标，根据图像可得，时，的图象在的上方，即可求解；
（3）设，则，点，根据题意，得，解绝对值方程即可．
【详解】（1）令，得到，解得，∴；令，得，∴；
∵，则点为的中点，设，∴，，
解得：，∴的坐标为，∵点在上，∴；
（2）由（1）知，，则，整理，得，解得，，
当时，，∴；根据图像可得，时，的图象在的上方，
∴x的取值范围是或；
（3）设，则，点，，∵轴，∴，
要使得O，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形，则，∴，
当时，整理，得，解得，
当时，整理，得，解得，
∴点P的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，不等式的解集，一元二次方程的解法，平行四边形的判定，熟练掌握待定系数法，灵活运用平行四边形的判定，准确求解一元二次方程的根是解题的关键．
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专题6-5 反比例函数与特殊三角形、四边形及新定义图形综合模型
模块1：模型简介
反比例函数与特殊三角形的、特殊四边形、新定义图形的综合问题，浙江各类考试的热点，常见于压轴题中，其融合了特殊平行四边形、特殊三角形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理等数学核心知识，考查学生的分类讨论、数形结合、转化化归等数学思想、综合分析和应用知识的能力。
模块2：核心模型点与典例
反比例函数与特殊三角形的、特殊四边形的综合、新定义图形解题步骤为：先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图像用含未知数的式子表示出几何图形与图像的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的当成（组），解方程（组）即可得所求几何图形的未知量或函数解析式中待定字母的值。
特殊几何图形的存在性问题解题思想：（1）找点构成等腰三角形、直角三角形、（特殊）平行四边形等问题；（2）找点构成三角形全等问题；（3）求点的坐标。
虽然部分特殊几何的存在性问题有一定“套路”可循，但大多题目试题命题灵活，并无单一模式，对学生提出了相当大的挑战。然而万变不离其宗，从特殊三角形、四边形本身的性质入手，结合边、角的相互转化，就能拨开迷雾、追寻真迹。
模型1.反比例函数与特殊三角形的综合问题
例1．（2023年四川省眉山市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点．
(1)求反比例函数的表达式：(2)当时，直接写出x的取值范围；(3)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
变式1．（2023·河南周口·模拟预测）如图，在中，，，，反比例函数在第一象限内的图象经过点．(1)点的坐标为 ．(2)求反比例函数的解析式．(3)点是轴上一点，若是直角三角形，请直接写出点的坐标．
例2．（2023年四川省广安市中考数学真题）如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数为常数，的图象在第一象限交于点，与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式．(2)点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
变式1．（2023·广东潮州·一模）已知反比例函数（为常数，）．
(1)其图象与正比例函数的图象的一个交点为，若点的纵坐标是2，的值；
(2)若在其图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围；
(3)若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点，当时，试比较与的大小．(4)在第（1）小题的条件下，在轴上求点，使是等腰三角形．
例3．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，函数的图象过点和两点．
(1)求和的值；(2)点是双曲线上介于点和点之间的一个动点，若，求点的坐标；
(3)过点作，交轴于点，交轴于点，第二象限内是否存在点，使得是以为腰的等腰直角三角形 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
变式1．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰的斜边在x轴上，直线经过点A，交y轴于点C，反比例函数的图象也经过点A，连接．
【基础应用】（1）求k的值；（2）求直线的函数表达式；
【拓展应用】（3）若点P为x轴正半轴上一个动点，在点A的右侧的的图象上是否存在一点M，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
例4．（23-24八年级·上海青浦·期中）已知点是反比例函数图形上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图像于点A、B，点C是直线上的一点．
(1)请用含m的代数式表示P、A、B三点坐标．(2)在点P的运动过程中，连接，的面积是否变化，若不变，请求出的面积，若改变，请说明理由．(3)在点P运动过程中，是否存在以为直角边的和全等，如果存在，请求出m的值．
模型2.反比例函数与特殊四边形的综合问题
例1．（2023年四川省泸州市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别相交于点A，B，与反比例函数的图象相交于点C，已知，点C的横坐标为2．(1)求，的值；(2)平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
变式1．（2024·山东济南·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点Q．(1)求a、k的值；(2)直线过点P，与反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，，连接．①求的面积；②点M在反比例函数的图象上，点N在x轴上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点M坐标．
例2．（23-24九年级·山西晋中·期末）综合与探究:如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．(1)求这个反比例函数的表达式；(2)点是轴上的一个动点，连接，，当线段与之和最小时，求点的坐标；(3)过点作直线轴，交反比例函数的图象于点，若点是直线上的一个动点，点是平面直角系内的一个动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
变式1．（2024·辽宁丹东·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象分别交于A、C两点，已知点B与点D关于坐标原点O成中心对称，且点B的坐标为．其中．
(1)四边形是____．(填写四边形的形状)；(2)当点A的坐标为时，四边形是矩形，求的值．(3)试探究：随着k与m的变化，四边形能不能成为菱形？若能，请直接写出k的值；若不能，请说明理由．
例3．（2024·山东济南·模拟预测）综合与实践：某数学兴趣小组计划设计一款美丽的“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，点和点在反比例函数图象上．以点为顶点，为边构造菱形；轴于点，且是的中点，连接；以点为圆心，为半径作弧．
(1)求反比例函数的表达式；(2)求出图案中阴影部分的面积；(3)若点的坐标为，连接，在反比例函数的图象上找一点，在坐标平面内找一点，使得以为顶点的四边形是以为边的矩形，求出点的坐标．
变式1．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点、点，与正比例函数的图像交于点、点，设点、的横坐标分别为，()．
(1)如图1，若点坐标为．①求，的值；②若点的横坐标为，连接，求的面积．(2)如图2，依次连接，，，，若四边形为矩形，求的值．
例4．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，直线与轴交于点．(1)求反比例函数的解析式和点的坐标；(2)①直接写出当时，的取值范围；②连接和，求的面积；(3)点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，写出点的坐标．
变式1．（2023·湖南娄底·九年级统考期末）如图，四边形为正方形．点A的坐标为，点B的坐标为，反比例函数的图象经过点C，一次函数的图象经过点C和点A．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)写出的解集；(3)点P是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积，求P点坐标．
模型3.反比例函数与新定义几何图形综合问题
例1．（2023·四川成都·一模）已知一次函数与反比例函数的图象交于、B两点，交y轴于点C．(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标；(2)过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长；(3)我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”．设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标的值．
变式1．（22-23八年级下·江苏淮安·期末）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的两倍的凸四边形叫做倍角梯形． 如图1，直线，点、在直线上，点、在直线上，若， 则四边形是倍角梯形．(1)如图2，点是的边上一点，，，．若四边形是倍角梯形，则的长是___________；(2)如图3，以的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，对角线所在直线为轴，建立平面直角坐标系．点是边上一点，满足．求证：四边形是倍角梯形；(3)在（2）的条件下，当，时，将四边形向左平移个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数的图像上，直接写出的值．
例2．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，点P是y轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，与反比例函数的图象交于点A．把直线l上方的反比例函数图象沿着直线l翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“的l镜像”．(1)当时；①点________“的l镜像”；（填“在”或“不在”）②“的l镜像”与x轴交点坐标是_________；(2)过y轴上的点作y轴垂线，与“的l镜像”交于点B、C，若，求的长．
模块3：同步培优题库
全卷共18题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，正方形ABCD的顶点分别在函数和的图象上，若轴，点C的纵坐标为4，则的值为（ ）
A．26 B．28 C．30 D．32
2．（23-24九年级·广东·期末）如图，正方形OABC的边长为4，点D是OA边的中点，连接CD，将△OCD沿着CD折叠得到△ECD，CE与OB交于点F．若反比例函数y＝的图象经过点F，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥X轴，AO⊥AD，AO=AD．过点A作AE⊥CD，垂足为E，DE=4CE．反比例函数的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF．若，则k的值为（ ）
A． B． C．7 D．
4．（2023年黑龙江龙东地区中考数学真题）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·重庆中考模拟预测）如图，点D是平行四边形OABC内一点，AD与轴平行，BD与轴平行，，，．若反比例函数的图象经过C、D两点，则的值是（ ）
A． B． C．-12 D．-24
6．（2023年湖南省张家界市中考数学真题）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）如图，矩形的边，，动点在边上（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，直线分别与轴和轴相交于点和．给出下列命题：若，则的面积为；若，则点关于直线的对称点在轴上；满足题设的的取值范围是；若，则；其中正确的命题个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
8．（2023年浙江省绍兴市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，函数（为大于0的常数，）图象上的两点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是 ．
9．（2023.江苏中考模拟预测）在平面直角坐标系中，将一点的横坐标与纵坐标互换后得到的点称为它的“互换点”，点M和A为函数的图象第一象限上的一组互换点（M点在A点的左侧）．直线AM分别交x轴、y轴于C、D两点，连接AO交双曲线另一支于点B，连接BM分别交x轴、y轴于点E，F．则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）
①；②；③若，则；④若，M点的横坐标为1，则
10．（2023.山东中考模拟预测）如图，点、为反比例函数上的动点，点、为反比例函数上的动点，若四边形为菱形，则该菱形边长的最小值为___________．
三、解答题（本大题共8小题，共80分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
11．（22-23八年级下·江苏·期末）定义：平面直角坐标系中，若点M绕点N顺时针旋转，恰好落在函数图象W上，则称点M是点N关于函数图象W的“直旋点”．例如，点是原点O关于函数图象的一个“直旋点”．(1)在①，②，③三点中，是原点O关于一次函数图象的“直旋点”的有 _ （填序号）；(2)点是点关于反比例函数图象的“直旋点”，求k的值；
(3)如图1，点在反比例函数图象上，点B是在反比例函数图象上点A右侧的一点，若点B是点A关于函数的“直旋点”，求点B的坐标．
12．（2023·山东泰安·二模）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于、两点．(1)求反比例函数的解析式和点的坐标．(2)点为第一象限内反比例函数图像上一点，过点作轴的平行线，交直线于点，连接，如果的面积为，求点的坐标．(3)点在轴上，反比例函数图像上是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
13．（2023·山东济南·三模）如图，已知反比例函数的图象经过点，动点在反比例函数图象上的点和轴之间移动，是轴上一点，连接．
(1)求直线的表达式；(2)过点作轴交直线于点．①求出面积的最大值；
②是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图，的顶点在反比例函数的图象上，轴，，点为的中点，已知点．(1)求反比例函数的解析式；(2)求证：点在反比例函数的图象上；(3)点分别在反比例函数图象的两支上，当四边形是菱形时，请求出点的坐标．
15．（23-24九年级上·山东泰安·期中）综合与探究：如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接．(1)求这个反比例函数的表达式；(2)求出点B的坐标及的面积；(3)在坐标轴y轴上是否存在一点P，使以点B，A，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，直线经过点，并与反比例函数交于点．(1)求直线和反比例函数的表达式；(2)点M为反比例函数图象第二象限上一点，记点M到直线的距离为d，当d最小时，求出此时点M的坐标；(3)点C是点B关于原点的对称点，Q为线段AC（不含端点）上一动点，过点Q作轴交反比例函数于点P，点D为线段的中点，点E为x轴上一点，点F为平面内一点，当D，C，E，F四点构成的四边形为正方形时，求点Q的坐标．
17．如图，已知一次函数图象y=x+b与y轴交于点C（0，1），与反比例函数图象y=交于点A（a，2）和点B两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求点B的坐标和△AOB的面积；
(3)若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，请求出M点坐标．
18．（2024·四川达州·二模）如图，一次函数的图象与轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于B，D两点，且．(1)求的值；(2)请直接写出不等式的解集；(3)若P是x轴上一点，轴交一次函数的图象于点M，交反比例函数的图象于点N，当以O、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标．
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