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专题6-6 反比例函数中的最值、定值、定点模型
模块1：模型简介
反比例函数与最值、定值、定点问题是近年来浙江各类考试的新增热点。考查了学生的分类讨论、数形结合、转化化归等数学思想、综合分析和应用知识的能力。在考查意图上，突出对数学思想方法和能力，特别是对思维能力、探究能力、创新能力，综合运用知识能力的考查。本专题就反比例函数中的各类定值、最值、定点问题作专题讲解，引导学生完成知识的深度学习，才能真正提升学生的解题效率。
模块2：核心模型点与典例
模型1.反比例函数的最值问题
反比例函数中的最值主要分两类：（1）面积类最值：常将几何图形的面积转化为代数式，利用配方法求出代数式的最值即可，也可运用切线法或均值不等式求解最值（见例1的变式1和变式2）；（2）长度的和差类最值：由于受教学内容限制本学期暂时只考虑将军饮马（遛马、造桥）模型解答。
将军饮马模型：主要利用轴对称变换化归到两点之间，线段最短；或垂线段最短等。
将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造桥）再也不是问题！
例1.（2024·江苏苏州·一模）如图，一次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数图像相交于点．(1)求反比例函数的表达式；(2)点在点的左侧，过点作轴平行线，交反比例函数的图像于点，连接．设点的横坐标为，求当为何值时，的面积最大，这个最大值是多少？
【答案】(1)(2)当时，最大值
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题．（1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）根据三角形面积公式列出关于a的代数式，利用二次函数的最值求法求出最大面积即可．
【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上，∴，解得，∴，
∵点在反比例函数图象上，∴，∴反比例函数解析式为：；
（2）解：∵点C在一次函数的图象上，且点C的横坐标为a，
∴点C的纵坐标为，∴，∴，
∴，
∵，∴有最大值，当时，最大值．
变式1．（23-24九年级下·广东汕头·期中）如图平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点．(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；(2)点P是y轴上一点，若，求点P的坐标；(3)点C是第三象限内的反比例函数图象上一点，当的面积最小时，求的长度．
【答案】(1)，(2)或(3)
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何的综合应用：
（1）将点代入一次函数的解析式，求出的值，再代入反比例函数的解析式，求出反比例函数的解析式，再联立两个函数解析式，求出点坐标即可；（2）设，根据，列出方程进行求解即可；（3）依题意，设经过点C且平行于直线的直线的表达式为．当直线与反比例函数只有一个交点时，点C到直线的距离最短，此时的面积最小．求出，得出，进而求出的长即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点，∴，∴．
将代入， 得∴反比例函数的表达式为
联立，解得或，∴；
（2）设，∵，，∴，，
∵，∴，∴，解得：或，∴点坐标为或；
（3）解：如图，设经过点C且平行于直线的直线的表达式为．
当直线与反比例函数只有一个交点时，点C到直线的距离最短，此时的面积最小．
联立 整理得令解得．
∵直线经过第二、三、四象限，∴，即．
联立， 解得 ∴，∴．
变式2．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）【阅读理解】对于任意正实数a、b，（只有当时，）．
【获得结论】在（a、b均为正实数）中，若为定值p，则，只有当时，有最小值．
【探索应用】根据上述内容，回答下列问题：(1)若，只有当_______时，有最小值_______．
(2)已知点是双曲线上点，过作轴于点，作轴于点．点为双曲线上任意一点，连接，，求四边形的面积的最小值．
【答案】(1)2，4(2)40
【分析】（1）根据阅材料可得，当时，取得最大值，据此即可求解；（2）连接，设，根据四边形的面积的面积的面积，从而利用表示出四边形的面积，利用阅读材料中介绍的不等式的性质即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得当时，，此时．故答案为：2，4；
（2）解：连接，∵点是双曲线上的点，
∴，即，设，
．
四边形的面积最小值为40．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及不等式的性质，正确读懂已知中的不等式的性质，表示出四边形的面积是关键．
例2．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．
(1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，(2)在x轴上存在一点，使周长的值最小,最小值是．
【分析】（1）过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，证明，则，由得到点A的坐标是，由A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上得到，解得，得到点A的坐标是，点B的坐标是，进一步用待定系数法即可得到答案；（2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，利用轴对称的性质得到，，则，由知是定值，此时的周长为最小，利用待定系数法求出直线的解析式，求出点P的坐标，再求出周长最小值即可．
【详解】（1）解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，则，
∵点，，∴，∴，
∵是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，∴点A的坐标是，
∵A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．∴，解得，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，∴，∴反比例函数的解析式是，
设直线所对应的一次函数的表达式为，把点A和点B的坐标代入得，
，解得,∴直线所对应的一次函数的表达式为，
（2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，
∴点A与点关于x轴对称，∴，，
∵，∴的最小值是的长度，
∵，即是定值，∴此时的周长为最小，设直线的解析式是，则，解得，∴直线的解析式是，
当时，，解得，即点P的坐标是，
此时，
综上可知，在x轴上存在一点，使周长的值最小，最小值是．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
变式1．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点B的坐标为，点A在y轴正半轴上，将沿y轴向下平移得到，点B的对应点E恰好在反比例函数的图象上．(1)求m的值；(2)求平移的距离；(3)点P是x轴上的一个动点，当的周长最小时，请直接写出此时点P的坐标及的周长．
【答案】(1)；(2)5个单位长度；(3)，
【分析】（1）过点作轴，易得为等腰直角三角形，即可得解；（2）根据平移规则，点横坐标为，设，根据点E在反比例函数的图象上，求出的值，即可得解；（3）的周长，为定长，则当的值最小时，的周长最小，作点关于轴的对称点，，当且仅当三点共线时，的值最小，连接，与轴的交点即为点，求出的解析式，进而求出点坐标，即可得解．
【详解】（1）解：过点作轴于点，
∵是等腰直角三角形，∴，∴，
∴为等腰直角三角形，∴，∵点B的坐标为，∴，即：；
（2）解：将沿y轴向下平移得到，点B的对应点为E，∴点横坐标为，设，
∵点E在反比例函数的图象上，∴，
∴，∴；∴平移的距离为：；
（3）解：∵的周长，为定长，∴当的值最小时，的周长最小，作点关于轴的对称点，，当且仅当三点共线时，的值最小，连接，与轴的交点即为点，如图，
则：，根据平移规则，可得：，设直线的解析式为：，
则：，解得：，∴，
当时，，∴，∵，，，∴，
∴的周长．
【点睛】本题考查坐标与图形，以及坐标系下的平移，轴对称，同时考查了反比例函数图象上的点的特征，以及一次函数与坐标轴的交点．本题的综合性较强，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
例3．（2023·河南濮阳·三模）如图，一次函数与反比例函数交于A、B两点，交x轴于点C，已知点A的坐标为．(1)求反比例函数解析式；(2)直接写出不等式的解集______．(3)在x轴是否存在点P，使得有最大值，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数解析式为：y＝．(2)．
(3)在x轴上存在点P，使有最大值为此时P点坐标是．
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、三角形的三边关系的应用等知识点，熟练掌握待定系数法和数形结合法是解题关键．（1）先求解A的坐标，再利用待定系数法求解反比例函数的解析式即可；（2）先求解函数的交点坐标，再结合图象可得答案；
（3）先求解一次函数与x轴的交点坐标，再结合三角形的三边关系确定P的位置即可．
【详解】（1）解：∵点A的坐标为在一次函数上，∴，∴，
∵在反比例函数上，∴，∴反比例函数解析式为：．
（2）联立一次函数和反比例函数得析式为：，解得或，∴，，
由图示可知：不等式的解集是．
（3）∵直线的解析式是，令，则，则，
∴，∴当P点坐标是，有最大值理由如下：
在中，根据三边关系，，
当P在点C处时，．即最大值为．
故在x轴上存在点P，使有最大值为此时P点坐标是．
变式1．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，为中点，点关于直线的对称点为点．(1)点是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
(2)连接，若四边形为正方形．①求的值；
②若点在轴上，当最大时，点的坐标为______．
【答案】(1)点在这个反比例函数的图象上，理由见解析(2)①；②．
【分析】（1）设点的坐标为，根据轴对称的性质得到，平分，如图，连接交于，得到，求得，于是得到点在这个反比例函数的图象上；
（2）①根据正方形的性质得到，垂直平分，求得，设点的坐标为，得到（负值舍去），求得，，把，代入得，解方程组即可得到结论；
②延长交轴于，根据已知条件得到点与点关于轴对称，求得，则点即为符合条件的点，求得直线的解析式为，于是得到结论．
【详解】（1）解：点在这个反比例函数的图象上，
理由：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，
设点的坐标为，点关于直线的对称点为点，，平分，
如图．连接交于，，∵为中点，轴于点，∴，
，，，轴于，∴轴，，
，点在这个反比例函数的图象上；
（2）解：①四边形为正方形，，垂直平分，，
设点的坐标为，，，，（负值舍去），，，
把，代入得，；
②延长交轴于，，，点与点关于轴对称，
，则点即为符合条件的点，
由①知，，，，，设直线的解析式为，
，，直线的解析式为，
当时，，．故当最大时，点的坐标为．故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．
模型2.反比例函数的定值问题
例1．（2024·山东济南·二模）如图①，已知点，，的边与轴交于点，且为的中点，双曲线经过、两点．(1)求的值；(2)点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标；(3)以线段为对角线作正方形（如图③，点是边上一动点，是的中点，，交于，当点在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．
【答案】(1)(2)，，(3)结论：的值不发生改变，证明见解析
【分析】（1）设，由，可知，再根据反比例函数的性质求出的值即可；
（2）由（1）知可知反比例函数的解析式为，再由点在双曲线上，点在轴上，设，，再分以为边和以为对角线两种情况求出的值，故可得出、的坐标；
（3）连、、，易证，故，，由此即可得出结论．
【详解】（1）解：，，为中点，，
设，又，，，，；
（2）解：由（1）知，反比例函数的解析式为，
点在双曲线上，点在轴上，设，，
①当为边时：如图1，若为平行四边形，
则，解得，此时，；
如图2，若为平行四边形，则，解得，此时，；
②如图3，当为对角线时，
，且；，解得，，；
故，；，；，；
（3）解：结论：的值不发生改变，理由：如图4，连、、，
是线段的垂直平分线，，四边形是正方形，，
在与中，，，
，，
四边形中，，而，
所以，，所以，四边形内角和为，
所以．，．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.
变式1．（23-24九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知反比例函数，点，都在该反比例函数图象上．(1)求a的值及反比例函数的表达式；
(2)如图1，一次函数的图象与的图象交于E，F两点，点M的横坐标与点E横坐标相同且纵坐标是点E的2倍；点N的横坐标与点F横坐标相同且纵坐标是点F的2倍．连接，，判断和的数量关系，并说明理由；(3)如图2，点A是反比例函数的图象上一动点，与的图象交于点B，作轴交的图象于点C，作交的图象于点D，连接，，在点A运动过程中，的值是否发生变化 若不变，求出其值；若变化，说明理由．
【答案】(1)，(2)，理由见解析(3)的值不变化，且
【分析】（1）由点，都在该反比例函数图象上得，可求得的值，再代入即可求得的值，即可求解；（2）令点、点的横坐标分别为，，则纵坐标分别为，，由题意可知，，且，，为方程的两个根，可得，可知，，可得，进而可得；（3）由题意设，进而可求得，的解析式为：，联立与，可求得，则，由，可求得的解析式为：，联立与，可求得，则，由，可知，进而可知，即可求解．
【详解】（1）解：∵点，都在该反比例函数图象上，
∴，，则，解得：（舍去），
则，∴，则反比例函数的表达式为：；
（2），理由如下：∵一次函数的图象与的图象交于E，F两点，
令点、点的横坐标分别为，，则纵坐标分别为，，由题意可知，
∵点、点为两函数的交点，∴，，为方程的两个根，
变形为：，∴，，
∵，，
则，
又∵，∴，
∴，即：；
（3）的值不变化，且由题意设，
对于，当时，，即：，
设的解析式为：，代入，可得，则，∴的解析式为：，
联立与，可得：，可得：（负值舍去），
当时，，则，则，
∵，∴设的解析式为：，
将，代入可得，解得：，∴的解析式为：，
联立与，可得：，可得：，解得：（负值舍去），
当时，，即：，
∴
，∵，∴，
则，
∴的值不变化，且．
【点睛】本题考查反比例函数的综合，利用待定系数法求函数解析式，反比例函数图象上点的特征，设出点的坐标，表示线段的长度，由，得是解决问题的关键．
例2．（2024·山东济南·一模）【阅读材料】：
解方程：时，先两边同乘以x，得，解之得，，经检验无增根，所以原方程的解为，．
【模仿练习】（1）解方程；
【拓展应用】（2）如图1，等腰直角的直角顶点的坐标为，B，C两点在反比例函数的图象上，点的坐标是，且，求的值；
（3）如图2在双曲线有，两点，如果，，那么是否为定值，若存在请求出，不存在请说明理由．
【答案】（1），；（2）；（3）是定值，
【分析】本题考查阅读理解，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．（1）根据阅读材料，进行计算，即可；（2）过点作轴于点，过点作轴于点，则，根据是等腰直角三角形，则，；根据，，等量代换，全等三角形的判定和性质，则，，，最后根据反比例函数的图象和性质，即可；（3）过点作轴的平行线交轴于点，作轴交直线于点，同理证明，得，；求得，根据点在函数图象上，则∵，在反比例函数图象上，，推出，解得，即可．
【详解】（1）解：先两边同乘以，得，
解得：，，经检验无增根，∴原方程的解为，；
（2）过点作轴于点，过点作轴于点，∴，
∵是等腰直角三角形，∴，；
∵，，∴，∴，
∵点坐标是，∴，，
∵，∴，，∴，
∵点在反比例函数图像上，∴，由（1）可知，，∵，∴．
（3）是定值，理由如下：过点作轴的平行线交轴于点，作轴交直线于点，
∴∵∴
∵∴∵∴
∵，，∴，，∴，，∴，
∵，在反比例函数图象上，∴，
∴，解得，∴．
变式1．（23-24九年级上·辽宁阜新·期末）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．
(1)[尝试初探]点______“美好点”（填“是”或“不是”）；
(2)[深入探究]①若“美好点”在双曲线上，则______；
②在①的条件下，在双曲线，画出，求的值；
(3)[拓展延伸]我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”．
①求y关于x的函数表达式；②对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)不是(2)①18；②画图见解析，
(3)①；②对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为
【分析】本题考查反比例函数与几何综合，三角形的面积公式，待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，审清题意并理解“美好点”的含义是解题的关键．
（1）验证矩形的周长与面积的数值是否相等，即验证横纵坐标的绝对值之和是否等于横纵坐标的绝对值的乘积；（2）①根点E是“美好点”，求出m，再将点E代入双曲线方程就可求出k；②根据“在双曲线上”求出n，再用待定系数法求出直线的方程，从而求出它与x轴的交点，最后利用求即可；（3）①根据点是第一象限内的“美好点”，利用“美好点”的定义即可求出y关于x的函数表达式；②将①中的关系式代入得出定值，从而得解．
【详解】（1）解：∵，∴点不是“美好点”，故答案为：不是；
（2）解：①∵是“美好点”，∴，解得：，∴，
将代入双曲线中，得，故答案为：18；
②∵，∴双曲线的解析式是：．∵在双曲线上，∴，∴，
设直线的解析式为：，
∴，解得，∴直线的解析式为：，
令直线与轴交于点，当时，，解得：，∴，
画出图如图所示：
∴；
（3）解：①∵点是第一象限内的“美好点”，∴，化简得：，
∵第一象限内的点的横坐标为正，∴，解得：，
∴y关于x的函数表达式为：；
②∵，∴，
∴对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为．
15．（2023·四川巴中·模拟预测）如图，点和点是反比例函数图象上的两点，点在反比例函数的图象上，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为点，，连接交轴于点，．(1)求的值；(2)若点的横坐标为，连接，，求四边形的面积；(3)设点的横坐标为，点的纵坐标为，求证：．
【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析．
【分析】（）将点的坐标代入反比例函数解析式中即可得出答案；（）过作轴于点，过作轴于点，连接，则有，， ，，最后由四边形的面积为，即可求解；（）首先表示出，的坐标，再利用证明，得，通过面积的求法即可求证；本题主要考查反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，熟练掌握反比例函数图象上点的特征是解题的关键．
【详解】（1）∵点是反比例函数图象上的点，∴，解得；
（2）如图，过作轴于点，过作轴于点，连接，
由（）得：，∴反比例函数解析式为，
∵点的横坐标为，且在反比例函数图象上，∴，
∴，，同理，，∴，
∴四边形的面积为，，；
（3）在和中，，∴，∴，
∵点坐标为，则可得，∴，，
即，整理得．
模型3.反比例函数的定点问题
例1．（2023年浙江省杭州市中考数学真题）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．
(1)求的值．(2)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．
【答案】(1)，(2)见解析
【分析】（1）首先将点的横坐标代入求出点A的坐标，然后代入求出，然后将点的纵坐标代入求出，然后代入即可求出；（2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出所在直线的表达式，进而求解即可．
【详解】（1）∵点的横坐标是2，∴将代入
∴，∴将代入得，，∴，
∵点的纵坐标是，∴将代入得，，∴，
∴将代入得，，∴解得，∴；
（2）如图所示，
由题意可得，，，∴设所在直线的表达式为，
∴，解得，∴，∴当时，，∴直线经过原点．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
变式1．（22-23八年级·江苏泰州·期中）[定义]平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行于坐标轴；②有两个顶点在同一反比例函数图象上，我们把这个矩形称为该反比例函数的“伴随矩形”．
例如，图1中，矩形的边轴，轴，且顶点在反比例函数的图象上，则矩形是反比例函数的“伴随矩形”．
(1)已知，矩形中，点的坐标分别为：①②；③，其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是 ；（填序号）
(2)如图1，已知点）是反比例函数的“伴随矩形”的顶点，求直线的函数解析式；
(3)若反比例函数的“伴随矩形”如图2所示，试说明有一条对角线所在的直线一定经过原点．
【答案】(1)①③(2)(3)见解析
【分析】（1）根据反比例函数图像上点的坐标的特征可得答案；（2）根据矩形的性质和反比例函数图像上点的坐标的特征可得，，从而得出点D的坐标，再利用待定系数法可得直线BD的解析式；
（3）设，，则，，利用待定系数法求出直线的解析式可得答案．
【详解】（1）解：①∵，∴，∴满足同一个反比例函数，
②∵，∴，∴不满足同一个反比例函数，
③∵，∴，∴满足同一个反比例函数，
∴可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是①③，故答案为：①③；
（2）∵的反比例函数的“伴随矩形”的顶点，
∴，∴，设直线的解析式为，
则，∴，∴；
（3）证明：∵在反比例函数上，设，，则，，
设直线的解析式为，
则，∴，即，∴直线过原点．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图像上点的坐标的特征，矩形的性质，待定系数法求函数解析式等知识，理解“伴随矩形”满足的两个条件是解题的关键．
模块3：同步培优题库
全卷共15题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、解答题（本大题共15小题，共120分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．（22-23八年级下·江苏徐州·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，轴于点D，点C关于直线的对称点为点E，且点E在反比例函数的图像上．(1)求b的值；(2)连接、、，求证四边形为正方形；
(3)若点P在y轴上，当最小时，求点P的坐标．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【分析】（1）设，，根据点C、点E关于对称，得出，将点A和但E的坐标代入得出，即可求解；（2）根据两点之间的距离公式，得出，再根据勾股定理逆定理，得出，即可求证；（3）先求出点，则点B、点D关于y轴对称．连接，交y轴于点P，设直线的表达式为，将点、求出k和c的值，得出的表达式，即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：∵点A、点C在一次函数的图像上，∴设，．
∵点C、点E关于对称，∴．∵点A、点E在反比例函数的图像上，
∴，即，把②代入①得：，∵，∴，∴．
（2）解：由（1）得：∴、、、．
∴，，，，，∴，即四边形为菱形；
∵，∴为直角三角形，则，∴四边形为正方形．
（3）解：把代入得：，解得：，∴点，
∵，∴点B、点D关于y轴对称．连接，交y轴于点P，
设直线的表达式为，将点、代入得，
，解得：，∴直线的表达式为．点P为直线与y轴交点，∴．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合问题，涉及到正方形的性质、勾股定理逆定理，轴对称的性质等，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式，灵活运用所学知识是解题关键．
2．（2023·河南周口·三模）如图，已知矩形的两边，分别在轴、y轴上，点的坐标为，反比例函数的图象与矩形的边，分别交于点，，，直线经过，两点．(1)分别求出直线l和反比例函数的表达式；(2)在第一象限内，请直接写出关于x的不等式 的解集；(3)连接AC，求证：．
【答案】(1)直线l的表达式为；反比例函数的表达式为；
(2)或(3)见解析
【分析】（1）根据矩形的性质，可得，，的横坐标为,设，则，则，根据已知条件得出，则求得的坐标，待定系数法求解析式即可求解；（2）根据的横坐标，结合图象即可求解；（3）求得直线的解析式，根据一次函数比例系数值相等，即可得证．
【详解】（1）解：∵已知矩形的两边，分别在轴、轴上，点的坐标为，
∴，，的横坐标为,设，则，则
∵，∴，解得：∴
∵在上，∴，即反比例函数的表达式为；∴
直线的解析式为
∴解得：∴直线的解析式为，
（2）解：令，则，解得，∴直线与x轴交点的坐标为，
∴根据函数图象可知在第一象限内，关于的不等式的解集为或；
（3）解：∵设直线的解析式为
∴解得：∴直线的解析式为，
∵直线的解析式为∴．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形结合，矩形的性质，待定系数法求一次函数性质，反比例函数与一次函数交点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．
3．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，双曲线与直线相交于点，两点． (1)求双曲线的函数表达式；(2)在双曲线上是否存在一点，使得的面积为6？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；(3)点是轴正半轴上的一点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，直线与轴交于点，求证：．
【答案】(1)(2)存在，点的坐标为或或或(3)证明见解析
【分析】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，解方程组，正确的求出函数的解析式是解题的关键．（1）根据直线经过点，两点，求出，，根据曲线经过点，求得双曲线的函数表达式为．（2）过点作轴，交于点，设点的坐标为，则，根据得出，求出的值即可；（3）设，求得直线的函数表达式为，待定系数法得到直线的函数表达式为：，解方程得到，，设直线的函数表达式为：，得到直线的函数表达式为：，求得，，即可解答．
【详解】（1）解：直线相交于点，两点，，，，，
双曲线经过点，，双曲线的函数表达式为；
（2）解：存在，理由：如图，过点作轴，交于点，
，
设点的坐标为，则，，，
的面积为6，，解得：或或或，
当时，，此时，当时，，此时，
当时，，此时，当时，，此时，
综上所述：点的坐标为或或或；
（3）证明：如图，设，，∴直线的函数表达式为，
∵，直线的函数表达式为：，
联立和，得和，
，，设直线的函数表达式为：，
，，直线的函数表达式为：，
令，则，，，，，．
4．（2024·广东珠海·一模）如图1，已知点，且a、b满足， 的边与y轴交于点E， 且E为的中点，双曲线经过C、D两点．
(1) ， ；(2)求反比例函数解析式；(3)以线段为对角线作正方形（如图2），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当点T在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．
【答案】(1)(2)(3)，不发生改变，理由见解析
【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值即可；（2）设，由，可知，再根据反比例函数的性质求出t的值即可；（3）连接、、，易证，故，推出，根据斜边上的中线得到，由此即可得出结论．
【详解】（1）解：，，解得：，故答案为：；
（2）由（1）可知：，，E为中点，，设，∵∴，
∵点先向右移动1个单位，再向下移动2个单位，得到点，
∴点先向右移动1个单位，再向下移动2个单位，得到点，，
∵双曲线经过C、D两点，，，∴，∴；
（3）的值不发生改变，理由：如图，连接、、，
∵M是的中点，，∴是线段的垂直平分线，，
四边形是正方形，，
在与中，，（），
，，，
四边形中，，而，所以，，
因为，四边形内角和为，所以，
， ∴，即的值不发生改变．
【点睛】本题考查了非负数的性质，待定系数法求反比例函数解析式，平行四边形的性质，正方形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，四边形的内角和，直角三角形的性质等知识点，有一定的难度，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点并能灵活运用．
5．（2023·贵州铜仁·模拟预测）如图，矩形的两边、分别在坐标轴上，且，，连接．反比例函数的图象经过线段的中点，并与、分别交于点、．
(1)求反比例函数的表达式和、两点的坐标；(2)点是轴上一动点，当的值最小时，求点的坐标为________．
【答案】(1)反比例函数表达式为，点和点的坐标为，(2)
【分析】（1）由矩形的性质及中点坐标公式可得，从而可得反比例函数表达式；再求出点、坐标；（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时最小．求出直线的解析式后令，即可得到点坐标．
【详解】（1）解：四边形为矩形，∴，，，
．∴由中点坐标公式可得点坐标为，
反比例函数的图象经过线段的中点，，
∴反比例函数表达式为．在中，令，则；令，则．
∴点和点的坐标为，．
（2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时最小．如图．
由坐标可得对称点，
设直线的解析式为，代入点、坐标，
得：，解得：．∴直线的解析式为，
在中，令，则．点坐标为．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质，反比例函数图象与一次函数图象的交点，中点坐标公式，矩形的性质，待定系数法求函数解析式，最短路径问题（将军饮马）．解题关键在于牢固掌握待定系数法求函数解析式、将军饮马解题模型．
6．（2022·四川成都·统考二模）已知平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点．(1)求反比例函数的表达式和直线的表达式；
(2)若在轴上有一异于原点的点，使为等腰三角形，求点的坐标；(3)若将线段沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线上，当线段与轴有交点时，求的取值的最大值．
【答案】(1)反比例函数的表达式为，直线的解析式为(2)为等腰三角形时，点的坐标为或(3)当线段与轴有交点时，的取值的最大值为
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）设，表示出，，，根据为等腰三角形，则或或，分别建立方程求解即可得出答案；（3）由于点A关于直线的对称点点始终在直线上，因此直线必与直线垂直，当点落到x轴上时，n的取值的最大，根据，求出点的坐标，再将的中点坐标代入，即可求得n的最大值．
【详解】（1）反比例函数的图象经过点和点，
，，，反比例函数的表达式为，设直线的解析式为，
，，，解得：，直线的解析式为；
（2）设，则，
，，
为等腰三角形，或或，
当时，，，解得：，；
当时，，，，此方程无解；
当时，，，解得：，，或（舍去）；
综上所述，为等腰三角形时，点的坐标为或；
（3）当点落到轴上时，的取值的最大，如图，
设直线的解析式为，点的坐标为，，即．直线的解析式为
点始终在直线上，直线与直线垂直．．．，
由于，因此直线可设为．
点的坐标为，，即．直线解析式为．
当时，则有．点的坐标为．
的中点坐标为即，点在直线上，
．解得：．故当线段与轴有交点时，的取值的最大值为．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、用待定系数法求一次函数的解析式、等腰三角形的性质、轴对称的性质、中点坐标公式等知识，分类讨论思想是本题解题的关键．
7．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，B两点，与y轴相交于点C．
(1)求n，k的值；(2)连接，在位于直线下方的双曲线上找一点D，使得的面积为的面积的3倍，求点D的坐标；(3)点E是y轴上使得的值最大的点，点P在线段上运动，过点P的直线与双曲线相交于M，N两点，其中M为线段的中点，求a的取值范围．
【答案】(1)2，2(2)D的坐标为)或(3)
【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；（2）过点D作轴，交直线于E，设，则，根据，建立方程求解即可得出答案；（3）作点A关于y轴的对称点，连接，延长交y轴于点E，此时的值最大，可得直线的解析式为，，设，则，可得，求得，，再利用不等式性质即可求得答案．
【详解】（1）解：把代入，得，
∵双曲线经过点，∴；
（2）如图1，过点D作轴，交直线于E，
设，则，∴，∵，∴，
解得：，∴点D的坐标为)或；
（3）联立方程组得，解得：，，∴，
如图2中，作点A关于y轴的对称点，连接，延长交y轴于点E，此时的值最大．
∵，，∴直线的解析式为，∴，
∵点P在线段上运动，过点P的直线与双曲线相交于M，N两点，且M为线段的中点，
∴，且，设，则，
∴，解得：，，∵，∴，∴
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象和性质，三角形面积，解方程组，不等式性质等．注意点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式．
8．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一搬，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题，新结论的重要方法．在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用上述有关思想，解答下列问题：
如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴负半轴，顶点在轴正半轴，，分别在的中点，反比例函数的图象经过，两点，连接，，四边形的面积为．
(1)__________________．直线的表达式为__________________
(2)如图2，为该反比例函数图象上任意一点，过点作轴交直线于点，请猜想与的数量关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，延长交反比例函数的图象于点，过点作直线于，过点作直线于，试判断的值是否为定值，若是，请直接写出定值；若不是．请说明理由．
【答案】(1) (2)，理由见解析．(3)
【分析】（1）设正方形的边长为，根据可求得的数值，采用待定系数法，即可求得答案．（2）过点作，交（或的延长线）于点，可先用含，的代数式表示出，然后根据勾股定理计算出，即可求得与的数量关系．（3）过点作轴交直线于点，则，可证得为等腰直角三角形，求得，同理可求得．
【详解】（1）设正方形的边长为．根据题意，得：．
解得：，(舍去)．所以，点的坐标为．
因为反比例函数的图象经过点，所以．解得：．
根据题意可知，点的坐标为，点的坐标为．设直线的表达式为．
因为的图象过点，，所以解得
所以直线的表达式为．故答案为： ，；
（2），理由如下：如图所示，过点作，交（或的延长线）于点．
因为反比例函数的图象经过点，所以．∴．
根据题意可知，点的纵坐标为．将代入直线的表达式，得
．解得．所以，点的坐标为．所以，．
所以，．
根据题意可知，．所以，．
所以，．所以，．
（3），理由如下：如图所示，过点作轴交直线于点．
根据（2）的证明过程可知．
∵轴，∴．∴为等腰直角三角形．
∴．∴．∴．
同理可得．∴．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、反比例函数、一次函数、勾股定理、平面直角坐标系等，能根据题意构建辅助线是解题的关键．
9．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）【提出定义】已知y是x的函数，当时，函数值；当时，函数值，若（i为正整数），则称为该函数的i倍区间．如，函数中，当时，，当时，，，所以是函数的3倍区间．
【理解内化】（1）若是函数的i倍区间，则 ；
（2）已知是函数（k≠0）的i倍区间（i为正整数），点、是函数（k≠0）图象上的两点．①试说明：；②当，时，求的面积；
【拓展应用】（3）已知是函数的3倍区间，在此区间内，该函数的最大值与最小值的差为 ，求a、k的值．
【答案】（1）2（2）①见解析②（3），
【分析】（1）根据题目中的定义，进行计算，便可求出i；
（2）①根据题意，表示出，对等式进行变形分析，可得出结论；
②将，代入，确定函数表达式后，结合图象可求出面积；
（3）先根据定义可求出a的值，再对k的正负分类结合反比例函数的性质，列出方程可求出k．
【详解】解：由题意知，当时，；当时，，
又，∴，故答案为：2；
（2）①根据题意得，，，则，
∵，∴，即，又∵i为正整数，∴，
假设，则，这与题中，矛盾，∴；
②当，时，，反比例函数表达式为：，则，，
又，则A，B两点都在第三象限这一支上，如图所示：
分别过A，B两点作x轴垂线，垂足分别为E，F，则，
∵，∴，∵，
且，则，∴；
（3）因为是函数的3倍区间，由（2）知 ，解得 ，
当时，反比例函数位于一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∴，解得，
当时，反比例函数位于二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大；
∴，解得，综上所述 ，．
【点睛】本题是一道代数综合题，考查了反比例函数的性质以及分类讨论的数学思想．
10．（2023·河南濮阳·模拟预测）如图，反比例函数和的图象如图所示，点是轴正半轴上一动点，过点作轴的垂线，分別与和的图象交于点，．
(1)当时，线段，求，两点的坐标及值．(2)小明同学提出了一个猜想：“当值一定时，的面积随值的增大而减小．”你认为他的猜想对吗？请说明理由．
【答案】(1)点为，点 为，的值为．(2)小明猜想不正确，理由见解析
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，三角形面积，一次函数的性质等知识点，其中理解反比例函数的几何意义是解题的关键．（1）由过点作轴的垂线叫解析式为、两点可知：当点为，则点坐标为，点坐标为，再将，代入计算即可求解．
（2）根据题意列出的关系式，再根据公式代入化简即可得出结论．
【详解】（1）由题意可知：点为，则点坐标为，点坐标为．
当时，则点为，点 为，．
．．．．点为，点 为，的值为．
（2）由题意可知：，．．
值一定，的面积一定，小明猜想不正确．
11．（23-24九年级下·山东临沂·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点和点B．(1)写出反比例函数的解析式： ；(2)过点B作轴于C，求；(3)若在y轴上存在一点D，使得的值最小，求出点D的坐标．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题主要考查了反比函数与一次函数的综合题，熟练掌握反比函数与一次函数的图象和性质是解题的关键．（1）把点代入，即可求解；（2）由，可得点，从而得到，再由三角形的面积公式，即可求解；（3）作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则，此时最小，求出直线的关系式，即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数过点，∴，
∴反比例函数的关系式为；故答案为：
（2）解∶由，解得，，又∵，∴点，
又∵轴，∴点，，∴；
（3）解∶作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则，此时最小，
∵，∴，设直线的关系式为，将，代入得，
，解得， ∴一次函数的关系式为，当，，∴点．
12．（2024·山东枣庄·一模）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍？
(1)若该矩形是边长为2的正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都是它的2倍？___（填“存在”或“不存在”）．(2)继续探究，若该矩形长为3，宽为2，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为该矩形的2倍？小明同学有以下思路：设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立得再探究根的情况：小慧同学认为：也可用反比例函数与一次函数图象证明，如图：则是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？请你结合小明和小慧的思路做出判断并说明理由．(3)根据此方法，请你探究是否存在一个新矩形，使其周长和面积都为这个长为3，宽为2的矩形的倍？若存在，用图象表达；(4)是否存在一个新矩形，使其周长和面积为长为3，宽为2的矩形的k倍？请写出当结论成立时k的取值范围．
【答案】(1)不存在(2)存在，见详解(3)不存在(4)存在，
【分析】本题以求矩形的周长和面积为背景，考查了学生对二元方程组的解法掌握情况和一次函数与反比例函数图象的关系．在解方程组的时候选用消元法，借助根的判别式的值可以快速得到结果．
（1）由已知正方形得到周长和面积分别扩大2倍后的正方形边长，两边长不相等，故不存在；
（2）小明同学思路：设新矩形的长和宽，然后列出方程组，通过解方程组判断结果；小慧同学思路：根据图象得出结论；（3）结合（1）中结果，画出图象表达；（4）利用求的取值范围．
【详解】（1）由题意得，给定正方形的周长为8，面积为4，
若存在新正方形满足条件，则新正方形的周长为16，面积为8，
对应的边长为：4和，不符合题意，
∴不存在新正方形的周长和面积是边长为2的正方形的2倍．故答案为：不存在．
（2）小明同学思路：设新矩形长和宽为、，则依题意，
联立，得：，∴
∴此方程有两个不相等的解，∴存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的2倍．
小慧同学思路：从图象看来，函数和函数图象在第一象限有两个交点，
∴存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的2倍．故答案为：存在．
（3）设新矩形长和宽为、，则依题意，
从图象看来，函数和函数图象在第一象限没有交点，
∴不存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的倍．
（4）设新矩形长和宽为、，则依题意，
联立，得：
设方程的两根为，当时，，解得：或(舍)，
∴时，存在新矩形的周长和面积均为原矩形的倍．
13．（2024九年级·广东·培优）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点，且点为反比例图象上的一点，连接，点M为坐标平面上一动点，轴于点N．
(1)写出正比例函数和反比例函数的解析式；(2)当点M在直线上运动时，是否存在点M，使得与的面积相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，当点M在反比例函数图象位于第一象限的一支上运动时，求以为邻边的平行四边形周长的最小值，并求此时点M的坐标．
【答案】(1)，(2)存在，或．(3)
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．（1）待定系数法求函数解析式即可；（2）分割法求出的面积，设点M为，利用面积公式列式计算即可；（3）根据最小时，平行四边形的周长最小，进行求解即可．
【详解】（1）解：设正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为，
∵正比例函数和反比例函数的图象都经过点，∴，∴，
∴正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为．
（2）∵，∴，
设点M为，则：，∴，所以点M的坐标为或．
（3）∵，∴，∴当最短时，平行四边形的周长最小，
设点M为，则：∵
∴平行四边形的周长最小是，此时，点M的坐标为．
14．（2024九年级·山东·期中）如图1，点是反比例函数图像上的一个动点，轴于点，轴于点，直线分别交轴、轴、于点．
(1)求的值；(2)如图2，当直线经过点时，直线交轴于点，交于点，点是的中点，连接，在点运动的过程中，的值是否发生变化？证明你的结论．
【答案】(1)(2)为定值，证明见解析
【分析】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，设，首先证明四边形为矩形、 、和均为等腰直角三角形，进而可得，，然后计算的值即可；（2）连接，证明、为等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质可得，，，进而证明，由全等三角形的性质可得，即可求得．
【详解】（1）解：如下图，过点作轴于点，过点作轴于点，
设，∵轴，轴，∴，，，
∴四边形为矩形，∴，对于直线，
令，则有，即，令，则有，即，∴，
又∵，即，∴为等腰直角三角形，∴，
∴，∴，同理，
即和均为等腰直角三角形，∴，，
∵轴，轴，∴，∴四边形为矩形，
∴，同理，∴，，∴；
（2）为定值，证明如下：连接，如下图，
∵点为的中点，轴，∴，
又∵，轴，∴，
∴，∴，即为等腰直角三角形，
∴，同理可得也为等腰直角三角形，
又∵点为的中点，∴，
∴，∴，∵四边形为矩形，∴，
在和中，，∴，∴，即．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用、一次函数的应用、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，综合性强，熟练掌握相关知识是解题关键．
15．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，动点P在反比例函数的图象上，且点P的横坐标为，过点P分别作x轴和y轴的垂线，交函数的图象于点A、B，连接．
(1)当，时．①直接写出点P、A、B的坐标（用m的代数式表示）；②当时，求m的值．(2)与x轴和y轴相交与点E、F，与有怎么样的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①，；②(2)，理由见解析
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，全等三角形的性质与判定：
（1）①求出点P的坐标，进而求出点A的横坐标和点B的纵坐标，再代入对应的解析式求解即可；②根据①所求表示出，再由建立方程求解即可；（2）设分别与x轴，y轴交于M、N，则，求出，，进而得到直线解析式为，可得，则，证明，即可得到．
【详解】（1）解：在中，当时，，在中，当时，，∴，
在中，当时，∴；
②∵，，∴，，
∵，∴，解得或（舍去）；
（2）解：，理由如下：设分别与x轴，y轴交于M、N，
∴由题意得，∴，，
∴直线解析式为，
在中，当时，，
∴，∴，
∵轴，轴，∴，
∴，∴，∴．
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专题6-6 反比例函数中的最值、定值、定点模型
模块1：模型简介
反比例函数与最值、定值、定点问题是近年来浙江各类考试的新增热点。考查了学生的分类讨论、数形结合、转化化归等数学思想、综合分析和应用知识的能力。在考查意图上，突出对数学思想方法和能力，特别是对思维能力、探究能力、创新能力，综合运用知识能力的考查。本专题就反比例函数中的各类定值、最值、定点问题作专题讲解，引导学生完成知识的深度学习，才能真正提升学生的解题效率。
模块2：核心模型点与典例
模型1.反比例函数的最值问题
反比例函数中的最值主要分两类：（1）面积类最值：常将几何图形的面积转化为代数式，利用配方法求出代数式的最值即可，也可运用切线法或均值不等式求解最值（见例1的变式1和变式2）；（2）长度的和差类最值：由于受教学内容限制本学期暂时只考虑将军饮马（遛马、造桥）模型解答。
将军饮马模型：主要利用轴对称变换化归到两点之间，线段最短；或垂线段最短等。
将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造桥）再也不是问题！
例1.（2024·江苏苏州·一模）如图，一次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数图像相交于点．(1)求反比例函数的表达式；(2)点在点的左侧，过点作轴平行线，交反比例函数的图像于点，连接．设点的横坐标为，求当为何值时，的面积最大，这个最大值是多少？
变式1．（23-24九年级下·广东汕头·期中）如图平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点．(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；(2)点P是y轴上一点，若，求点P的坐标；(3)点C是第三象限内的反比例函数图象上一点，当的面积最小时，求的长度．
变式2．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）【阅读理解】对于任意正实数a、b，（只有当时，）．
【获得结论】在（a、b均为正实数）中，若为定值p，则，只有当时，有最小值．
【探索应用】根据上述内容，回答下列问题：(1)若，只有当_______时，有最小值_______．
(2)已知点是双曲线上点，过作轴于点，作轴于点．点为双曲线上任意一点，连接，，求四边形的面积的最小值．
例2．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．
(1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
变式1．（22-23九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点B的坐标为，点A在y轴正半轴上，将沿y轴向下平移得到，点B的对应点E恰好在反比例函数的图象上．(1)求m的值；(2)求平移的距离；(3)点P是x轴上的一个动点，当的周长最小时，请直接写出此时点P的坐标及的周长．
例3．（2023·河南濮阳·三模）如图，一次函数与反比例函数交于A、B两点，交x轴于点C，已知点A的坐标为．(1)求反比例函数解析式；(2)直接写出不等式的解集______．(3)在x轴是否存在点P，使得有最大值，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
变式1．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，为中点，点关于直线的对称点为点．(1)点是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
(2)连接，若四边形为正方形．①求的值；
②若点在轴上，当最大时，点的坐标为______．
模型2.反比例函数的定值问题
例1．（2024·山东济南·二模）如图①，已知点，，的边与轴交于点，且为的中点，双曲线经过、两点．(1)求的值；(2)点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标；(3)以线段为对角线作正方形（如图③，点是边上一动点，是的中点，，交于，当点在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．
变式1．（23-24九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知反比例函数，点，都在该反比例函数图象上．(1)求a的值及反比例函数的表达式；
(2)如图1，一次函数的图象与的图象交于E，F两点，点M的横坐标与点E横坐标相同且纵坐标是点E的2倍；点N的横坐标与点F横坐标相同且纵坐标是点F的2倍．连接，，判断和的数量关系，并说明理由；(3)如图2，点A是反比例函数的图象上一动点，与的图象交于点B，作轴交的图象于点C，作交的图象于点D，连接，，在点A运动过程中，的值是否发生变化 若不变，求出其值；若变化，说明理由．
例2．（2024·山东济南·一模）【阅读材料】：
解方程：时，先两边同乘以x，得，解之得，，经检验无增根，所以原方程的解为，．
【模仿练习】（1）解方程；
【拓展应用】（2）如图1，等腰直角的直角顶点的坐标为，B，C两点在反比例函数的图象上，点的坐标是，且，求的值；
（3）如图2在双曲线有，两点，如果，，那么是否为定值，若存在请求出，不存在请说明理由．
变式1．（23-24九年级上·辽宁阜新·期末）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．
(1)[尝试初探]点______“美好点”（填“是”或“不是”）；
(2)[深入探究]①若“美好点”在双曲线上，则______；
②在①的条件下，在双曲线，画出，求的值；
(3)[拓展延伸]我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”．
①求y关于x的函数表达式；②对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
变式2．（2023·四川巴中·模拟预测）如图，点和点是反比例函数图象上的两点，点在反比例函数的图象上，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为点，，连接交轴于点，．(1)求的值；(2)若点的横坐标为，连接，，求四边形的面积；(3)设点的横坐标为，点的纵坐标为，求证：．
模型3.反比例函数的定点问题
例1．（2023年浙江省杭州市中考数学真题）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．
(1)求的值．(2)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．
变式1．（22-23八年级·江苏泰州·期中）[定义]平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行于坐标轴；②有两个顶点在同一反比例函数图象上，我们把这个矩形称为该反比例函数的“伴随矩形”．
例如，图1中，矩形的边轴，轴，且顶点在反比例函数的图象上，则矩形是反比例函数的“伴随矩形”．
(1)已知，矩形中，点的坐标分别为：①②；③，其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是 ；（填序号）
(2)如图1，已知点）是反比例函数的“伴随矩形”的顶点，求直线的函数解析式；
(3)若反比例函数的“伴随矩形”如图2所示，试说明有一条对角线所在的直线一定经过原点．
模块3：同步培优题库
全卷共15题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、解答题（本大题共15小题，共120分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．（22-23八年级下·江苏徐州·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，轴于点D，点C关于直线的对称点为点E，且点E在反比例函数的图像上．(1)求b的值；(2)连接、、，求证四边形为正方形；
(3)若点P在y轴上，当最小时，求点P的坐标．
2．（2023·河南周口·三模）如图，已知矩形的两边，分别在轴、y轴上，点的坐标为，反比例函数的图象与矩形的边，分别交于点，，，直线经过，两点．(1)分别求出直线l和反比例函数的表达式；(2)在第一象限内，请直接写出关于x的不等式 的解集；(3)连接AC，求证：．
3．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，双曲线与直线相交于点，两点． (1)求双曲线的函数表达式；(2)在双曲线上是否存在一点，使得的面积为6？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；(3)点是轴正半轴上的一点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，直线与轴交于点，求证：．
4．（2024·广东珠海·一模）如图1，已知点，且a、b满足， 的边与y轴交于点E， 且E为的中点，双曲线经过C、D两点．
(1) ， ；(2)求反比例函数解析式；(3)以线段为对角线作正方形（如图2），点T是边上一动点，M是的中点，，交于N，当点T在上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．
5．（2023·贵州铜仁·模拟预测）如图，矩形的两边、分别在坐标轴上，且，，连接．反比例函数的图象经过线段的中点，并与、分别交于点、．
(1)求反比例函数的表达式和、两点的坐标；(2)点是轴上一动点，当的值最小时，求点的坐标为________．
6．（2022·四川成都·统考二模）已知平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点．(1)求反比例函数的表达式和直线的表达式；
(2)若在轴上有一异于原点的点，使为等腰三角形，求点的坐标；(3)若将线段沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线上，当线段与轴有交点时，求的取值的最大值．
7．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，B两点，与y轴相交于点C．
(1)求n，k的值；(2)连接，在位于直线下方的双曲线上找一点D，使得的面积为的面积的3倍，求点D的坐标；(3)点E是y轴上使得的值最大的点，点P在线段上运动，过点P的直线与双曲线相交于M，N两点，其中M为线段的中点，求a的取值范围．
8．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一搬，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题，新结论的重要方法．在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用上述有关思想，解答下列问题：
如图1，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴负半轴，顶点在轴正半轴，，分别在的中点，反比例函数的图象经过，两点，连接，，四边形的面积为．
(1)__________________．直线的表达式为__________________
(2)如图2，为该反比例函数图象上任意一点，过点作轴交直线于点，请猜想与的数量关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，延长交反比例函数的图象于点，过点作直线于，过点作直线于，试判断的值是否为定值，若是，请直接写出定值；若不是．请说明理由．
9．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）【提出定义】已知y是x的函数，当时，函数值；当时，函数值，若（i为正整数），则称为该函数的i倍区间．如，函数中，当时，，当时，，，所以是函数的3倍区间．
【理解内化】（1）若是函数的i倍区间，则 ；
（2）已知是函数（k≠0）的i倍区间（i为正整数），点、是函数（k≠0）图象上的两点．①试说明：；②当，时，求的面积；
【拓展应用】（3）已知是函数的3倍区间，在此区间内，该函数的最大值与最小值的差为 ，求a、k的值．
10．（2023·河南濮阳·模拟预测）如图，反比例函数和的图象如图所示，点是轴正半轴上一动点，过点作轴的垂线，分別与和的图象交于点，．
(1)当时，线段，求，两点的坐标及值．(2)小明同学提出了一个猜想：“当值一定时，的面积随值的增大而减小．”你认为他的猜想对吗？请说明理由．
11．（23-24九年级下·山东临沂·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点和点B．(1)写出反比例函数的解析式： ；(2)过点B作轴于C，求；(3)若在y轴上存在一点D，使得的值最小，求出点D的坐标．
12．（2024·山东枣庄·一模）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍？
(1)若该矩形是边长为2的正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都是它的2倍？___（填“存在”或“不存在”）．(2)继续探究，若该矩形长为3，宽为2，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为该矩形的2倍？小明同学有以下思路：设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立得再探究根的情况：小慧同学认为：也可用反比例函数与一次函数图象证明，如图：则是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？请你结合小明和小慧的思路做出判断并说明理由．(3)根据此方法，请你探究是否存在一个新矩形，使其周长和面积都为这个长为3，宽为2的矩形的倍？若存在，用图象表达；(4)是否存在一个新矩形，使其周长和面积为长为3，宽为2的矩形的k倍？请写出当结论成立时k的取值范围．
13．（2024九年级·广东·培优）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点，且点为反比例图象上的一点，连接，点M为坐标平面上一动点，轴于点N．
(1)写出正比例函数和反比例函数的解析式；(2)当点M在直线上运动时，是否存在点M，使得与的面积相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，当点M在反比例函数图象位于第一象限的一支上运动时，求以为邻边的平行四边形周长的最小值，并求此时点M的坐标．
14．（2024九年级·山东·期中）如图1，点是反比例函数图像上的一个动点，轴于点，轴于点，直线分别交轴、轴、于点．
(1)求的值；(2)如图2，当直线经过点时，直线交轴于点，交于点，点是的中点，连接，在点运动的过程中，的值是否发生变化？证明你的结论．
15．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，动点P在反比例函数的图象上，且点P的横坐标为，过点P分别作x轴和y轴的垂线，交函数的图象于点A、B，连接．
(1)当，时．①直接写出点P、A、B的坐标（用m的代数式表示）；②当时，求m的值．(2)与x轴和y轴相交与点E、F，与有怎么样的数量关系，并说明理由．
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