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专题6-7 反比例函数与角度相关模型
模块1：模型简介
反比例函数与角度相关问题是近年浙江各地压轴题中的常客，具有较好的区分度和选拔功能，此类试题不仅可以考查反比例函数与平面几何的基础知识，还可以考查数形结合等数学思想方法，以及运用数学知识探究问题的能力等。解题关键是充分挖掘题目中的隐含条件，利用平行线性质、等腰三角形的性质、全等三角形构造等角或倍角，再运用勾股定理进行计算求解。
模块2：核心模型点与典例
1.反比例函数与角度综合问题，常见类型：
1）特殊角问题：遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°构造等腰直角三角形，遇到30°、60°构造等边三角形，遇到90°构造直角三角形。
2）角的数量关系问题
（1）等角问题：基于动点构造某个角使其与特定已知角相等，主要借助特殊图形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质来解决；
（2）倍角问题：基于动点构造某个角使其等于特定已知角的倍角，主要利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称等知识来解答；
（3）角的和差问题：角度和、差为90°等。
2.反比例函数与角度综合问题处理思路：主要解题突破口在于构造相关角。
（1）构造相等角的方法：①利用平行线的性质或者等腰三角形的性质构造相等角；②利用全等三角形构造相等角。
（2）构造二倍角的方法：如图，已知∠B=，我们可以用等腰三角形及三角形外角的性质去构造，先构造直角三角形，然后在BC边上找一点D，使BD=AD，则∠ADC=，这样，我们就构造出了二倍角。
模型1.反比例函数与特殊角问题
例1．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，点P为一次函数与反比例函数的图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为B，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C．(1)求m的值．(2)点M是反比例函数的图象上的一点，且在点P的右侧，连接．①连接．若，求点M的坐标．②过点M作于点D，若，求M的坐标．
【答案】(1)24(2)①；②
【分析】本题考查的是反比例函数的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数的性质，正确作出辅助线是解题的关键．（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出P点的坐标，代入反比例函数解析式计算即可；（2）①过点M作轴于点N，先求出点，可得到，从而得到，设点M的坐标为，则，再由，求出a的值，即可求解；②过点P作交延长线于点G，作于点H，证明，可得，用t表示出点M的坐标，代入反比例函数解析式计算，得到答案．
【详解】（1）解：对于，当时，，解得：，∴点，
把点代入得：，解得：；
（2）解：①如图，过点M作轴于点N，
对于，当时，，当时，，∴点，∴，
∵轴，点，∴，∴，
∵，∴，由（1）得：反比例函数解析式为，
设点M的坐标为，则，
∵，∴，
即，解得：或（舍去），∴点M的坐标为；
②如图，过点P作交延长线于点G，作于点H，
∵，，∴是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
设，∴，∴，∴，
∵点M是反比例函数的图象上的一点，∴，解得：，
∵点M在点P的右侧，∴点M的坐标为．
变式1．（2023·广东珠海·一模）如图，点为函数图象上一点，连接，点B在线段上，且，C是x轴的正半轴上一点，连接，．(1)求点B的坐标；(2)若M是线段上一点，且，求的面积．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由，得到，进而求解；（2）由，得到，设点，由，进而求解．
【详解】（1）解：将点A的坐标代入反比例函数表达式得：，解得：，即点，
分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为N、H，如图所示：
则，∴，∴，
∵，即，∴，
解得：，同理可得，，∴点B的坐标为；
（2）解：∵，解得：，
设直线的表达式为：，把，代入得：
，解得：∴直线的表达式为：，
设点，∵，，∴，
∵，则，∴，
解得：，∴点，∴的面积为：．
【点睛】本题主要考查的是反比例函数综合运用，涉及到三角形的面积计算、一次函数的基本性质、解直角三角形等，有一定的综合性，难度适中．
模型2.反比例函数与等角问题
例2．（2023·湖北黄冈·模拟预测）如图，直线与函数的图像相交于点，与x轴交于点．(1)求m的值及直线的解析式；(2)若D是线段上一点，将线段绕点O逆时针旋转得到，点恰好落在函数的图像上，求点D的坐标；(3)直线在直线的上方，满足，求直线的解析式．
【答案】(1) ，；(2)或；(3)；
【分析】（1）将点代入求出坐标，结合代入直线即可得到答案；
（2）设出点D的坐标，根据旋转得到点的坐标，代入反比例函数求解即可得到答案；
（3）在上截取，证明，设F点坐标为，根据线段关系列式求解，再利用待定系数法求解析式即可得到答案；
【详解】（1）解：将点代入可得，，
设的解析式为：，将点、代入可得，，解得：，∴；
（2）解：过点D作轴，垂足为点N，过点作轴，垂足为点M，
∵线段绕点O逆时针旋转得到，∴，，
∵轴， 轴，∴，，，
∴， ∴，∴，，
设点D坐标为，∴，∵点恰好落在函数的图像上，
∴，解得：，，∴点D的坐标为：或；
（3）解：在上截取，在中，∵，，，
∴，∴，，
∵，∴，设，∴，，
∴，，解得：，（不符合题意舍去），∴，
设的解析式为：，将点、代入得，
，解得：，∴；
【点睛】本题考查反比例函数的综合性质，熟练反比例函数性质，数形结合，构造全等三角形将点的坐标进行转换是解题的关键．
变式1．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）综合运用：如图，直线与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点，过点A作反比例函数的图象．(1)求a的值及反比例函数的表达式；(2)点P为反比例函数图象上的一点，若，求点P的坐标．(3)在x轴是否存在点Q，使得，若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1)，(2)点P坐标为(3)存在，点Q的坐标为或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，平行线的性质等；
（1）把代入可求的坐标，即可求解；
（2）可求，再由即可求解；
（3）①当点Q在x轴正半轴上时，过点A作轴交x轴于，②当点Q在x轴负半轴上时，设与y轴交于点，可求， 再求直线的表达式为，即可求解；
掌握待定系数法，找出使得的条件是解题的关键．
【详解】（1）解：把代入得，，，
把代入，得，反比例函数的函数表达式为；
（2）解：当时，，，，
，，
又 ，解得：，，点P坐标为；
（3）解：存在；理由如下：①当点Q在x轴正半轴上时，
如图，过点A作轴交x轴于，则，点；
②当点Q在x轴负半轴上时，如上图，设与y轴交于点，
∵，∴，则，解得：，∴，
设直线表达式为，则有
，解得，直线的表达式为，
当时，，即点的坐标为，综上所述，点Q的坐标为或．
模型3.反比例函数与倍角问题
例3．（23-24九年级上·四川成都·期末）利用尺规作图将一个角三等分已经被数学家证明不可能完成，但是数学家帕普斯利用反比例函数图象完成了将一个角三等分，具体方法如下：
第一步：建立平面直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点重合，角的一边与轴正方向重合．在平面直角坐标系里，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点；
第二步：以为圆心、以为半径作弧，交函数的图象于点；
第三步：分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点，连接，得到（如图1），这时．为什么呢？小静想要证明这个结论却没有思路，老师便组织同学们进行了研究讨论．讨论后有以下思路：分别过点和作轴和轴的平行线，两线交于点（如图2），此时，四边形便构成了一个矩形；如果我们能再证明三点共线，就可以利用矩形性质证明这个结论了．研究讨论后，小静采用代数设点，设，．请你和小静一起完成下列问题．
(1)请你写出的坐标（用含的式子表示）；
(2)请你在第（）问的基础上证明三点共线；(3)请证明．
【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3)证明见解析．
【分析】（）由矩形的性质可直接求解；（）设直线的解析式为，将代入求出直线的解析式，然后将代入可判断三点共线；（）设和交于点，由四边形是矩形，得到，进而证明出，然后结合等边对等角证明即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，∴，；
（2）证明：设直线的解析式为，则，解得，
∴直线的解析式为，当时，，
∴点在直线上，即三点共线；
（3）证明：设和交于点，∵ 轴，∴，
∵四边形是矩形，∴，∴，
∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，等边对等角性质，一次函数的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
变式1．（23-24九年级上·广东·期末）如图1，的图像与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)点C是线段上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，连接，当四边形的面积等于24时，求点C的坐标；(3)在（2）的前提下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点O的对应点恰好落在该反比例函数图像上，是否在此反比例函数图像上存在点M，使得，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，(2)(3)或
【分析】（1）直接利用待定系数法即可解答；（2）设，则，根据四边形的面积构建方程求解即可；（3）分两种情况：当点M位于内部时，延长交反比例函数于M；当点M位于外部时，分别根据轴对称的性质、函数图像的交点等知识分析解得即可．
【详解】（1）解：把点分别代入和中可得：
，，解得：∴，．
（2）解：设，则，∴，
∵四边形的面积等于24，∴,即，
整理得：，解得： 检验：是原方程的解，
∵，∴，则．∴．
（3）解：由平移可得：,∴直线的解析式为:，
联立得：，解得：或（不合题意，舍去）经检验是方程组的解，∴点
∴点O向右平移4个单位长度，向上平移2个单位长度得到，由 (2)可得：，∴，
∵ ，∴，
如图1，当点M位于内部时，作于N，延长交反比例函数于M，
∵，∴,∴ N为的中点，
∴，即，设直线的解析式为，将代入得：
，解得：，∴直线的解析式为:，
联立得：，解得：（舍弃负值）经检验是方程组的解，∴；
如图，当点M位于外部时，作于，连接，
∵，∴,
∵，∴关于对称，，
设直线的解析式为:,将代入得：
，解得：，∴直线的解析式为：，
设，则的中点在直线上，∴在直线上，
∴，∴，∴，∵,
∴，整理得：，解得:，
∴或，经检验，当)时，直线不垂直，故不符合题意，∴，
∵，，∴直线的解析式为:，
联立得：，解得：（舍弃负值）经检验是方程组的解，
∴．综上所述，M的坐标为或 ．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用、一次函数的应用、求函数解析式、点的平移、函数图像交点与方程组等知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程解决问题是解题的关键．
和分类讨论思想求解是解答的关键．
模型4.反比例函数与角的和差问题
例1．（2023·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与y轴相交于点B．
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；(2)点P是反比例函数的图象上一点，连接PA，PB，若的面积为4，求点P的坐标；(3)在（2）的条件下，取位于A点下方的点P，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接BC，点M是反比例函数的图象上一点，连接MB，若，求满足条件的点M的坐标．
【答案】(1)（-1，6），(2)或（-3，2）(3)（-2，3）或（-6，1）
【分析】（1）将点代入，即可求出点A的坐标，再将点A的坐标代入即可求出反比例函数的表达式；（2）设点P的坐标为，分情况讨论：点P在点A的上方时，如图，过点A作PM//y轴交直线AB于点M，根据，列方程求解即可；点P在点A的下方时，如图，作的外接矩形PEFG，因为，的面积为4，即可求出点P的坐标；（3）如图，过点P作RS//x轴，过点C，点A作于R，于S，证明，求出点C的坐标，取BC的中点H，过点H作交PC于点N，求出点N的坐标，作直线BN交双曲线于点M，点M即为所求．
【详解】（1）解：将点代入，
得，解得，，点的坐标为，
点A代入得，；反比例函数；
（2）解：设点P的坐标为，分情况讨论：
当点P在点A的上方时，如图，过点A作PM//y轴交直线AB于点M，则，
，
，解得，，（不合题意，舍去）故点P的坐标为；
当点P在点A的上方时，如图，作的外接矩形PEFG，
，点E的坐标为，点F的坐标为，点G的坐标为；
，BE＝，FB＝2，AF＝1，，PG＝，
，，
，
，的面积为4，，
解得，（不合题意，舍去），点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或（-3，2）
（3）解：如图，过点P作RS//x轴，过点C，点A作于R，于S，
线段是由绕点逆时针旋转90°得到，，，
，， ，
，，，
点C到x轴的距离为4，点C到y轴的距离为7， 点C的坐标为（-7，4），
取BC的中点H，过点H作交PC于点N，作直线BN交双曲线于点M，则点M即为所求．
点的坐标为（-3．5，2），NC＝NB，
，设直线PC的解析式为：
，，解得，直线PC的解析式为：，
把代入直线PC得，，点N的坐标为
设直线BN的解析式为：，
，解得 ， 直线BN的解析式为：，
解方程组，得， M点的坐标为（-2，3），（-6，1）
【点睛】本题考查了一次反比例函数与反比例函数的综合，全等三角形的判定和性质，用待定系数法求一次函数及反比例函数解析式，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及方程组的解与交点坐标的关系，利用方程组求点的坐标是解题的关键．
变式1．（23-24九年级·长沙·期末）如图1，在平面直角坐标系中，函数（为常数，，）的图象经过点和，直线与轴，轴分别交于，两点.
（1）求的度数；（2）如图2，连接、，当时，求此时的值：（3）如图3，点，点分别在轴和轴正半轴上的动点.再以、为邻边作矩形.若点恰好在函数（为常数，，）的图象上，且四边形为平行四边形，求此时、的长度.
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据点P、Q的坐标求出直线PQ的解析式，得到点C、D的坐标，根据线段长度得到
的度数；（2）根据已知条件求出∠QOP=45，再由即可求出m的值；
（3）根据平行四边形及矩形的性质得到，，设设，得到点M的坐标，又由两者共同求出n，得到结果.
【详解】（1）由，，得，∴，
∴，∴为等腰直角三角形，∴；
（2）∵，∴，
∴易得，
∴，∴（舍负）；
（3）∵四边形为平行四边形，∴，
又，∴，∴.设.
则为代入，∴，∴，又，∴，
由，得（舍负），∴当时，符合题意.
【点睛】此题是反比例函数与一次函数的综合题，考查反比例函数的性质，一次函数的性质，勾股定理，矩形的性质，平行四边形的性质.
模块3：同步培优题库
全卷共16题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、解答题（本大题共16小题，共120分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．（22-23八年级下·四川资阳·期末）如图，直线与双曲线相交于点，轴于点，以为边在右侧作正方形，与双曲线相交于点，连结、．
(1)当时，求点的坐标；(2)当时，求的值；
(3)是否存在实数，满足，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据正方形的性质，得到A点的纵坐标为4，点在直线上，求出点坐标，进而求出反比例函数的解析式，求出的长，根据点在反比例函数上，进行求解即可；
（2）设，同法（1）求出点坐标，利用，列式计算即可；
（3）假设存在，推出，得到，推出，与矛盾，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵四边形为正方形，，∴A点的纵坐标为4，
∵A在直线上，∴，∴，∴，∴，
∴，∴，∴反比例函数解析式为，
∵，∴，∴，∴点的坐标为；
（2）设，∴，，，∴，，
∴，∴，∴
∵，，∴，
∴，解得，∴；
（3）不存在．理由如下：∵四边形是正方形，∴，，
要使，则，
∵，∴，∴，∴，
由（2）可知，，则点，∴，，
∴，得， ∴，∵，∴不符合题意，不存在．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与几何的综合应用．熟练掌握值的几何意义，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
2．（2023·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点和点B．(1)求反比例函数的表达式；(2)如图1，若点C为线段上一点，过点C作轴交双曲线于点D，连接，若的面积为，求点C的坐标；(3)如图2，连接，并延长至点E，使，作的平分线交x轴于点F，过点E作于点H，求点H的坐标．
【答案】(1)(2)C的坐标为或(3)
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；（2）由的面积 ，即可求解；（3）证明是的中位线，得到，进而求解即可．
【详解】（1）将代入直线，得， ∴，
将代入反比例函数，得， ∴反比例函数的表达式为；
（2）由轴，设，， ∴，
∴， ∴，∴或4，∴C的坐标为或
（3）延长交于点，连接，如图，
是的角平分线，且是等腰三角形，则点是的中点，
即点是的中点，∴是的中位线，∴∴
又是的平分线，∴∴
∴直线的表达式为设点
即，解得，（负值舍去）∴点的坐标为
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何的综合，三角形的中位线的性质，等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造三角形中位线是解答本题的关键
3．（2023九年级·浙江·专题练习）如图，点和点是反比例函数图象上的两点，点在反比例函数的图象上，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、，，连接交轴于点．(1)求；(2)设点的横坐标为，点的纵坐标为，求证：
(3)连接、，当时，求的坐标．
【答案】(1)(2)见解析(3)，
【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数，即可得出答案；（2）首先表示出，的坐标，再利用证明，得，从而得出的纵坐标；（3）根据，得，则，由知，，代入解关于的方程即可．
【详解】（1）解：点，是反比例函数图象上的点，；
（2）证明：点的横坐标为，点的纵坐标为，，，
，，，
，，，∴，整理得，即；
（3）解：，，，，
由（2）知，，，解得或，
当时，舍去，当时，，，．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，运用方程思想是解题的关键．
4．（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，直线与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点．(1)求m、k的值．(2)C是反比例函数图象上一点，连接，当时，求直线的解析式及的面积．
【答案】(1)，(2)，
【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤．（1）把代入，即可求出m的值，得出点B的坐标，再把点B的坐标代入，即可求出k的值；（2）先求出，则，过点C作轴于点D，得出，设，则，求出，则，用待定系数法求出直线的解析式为，进而得出，最后根据即可解答．
【详解】（1）解：把代入得：，∴，
把代入得：，解得：，综上：，；
（2）解：把代入得：，解得：，∴，则，
过点C作轴于点D，∵，轴，∴，∴，
设，则，∴，由（1）可得：
把代入得：，解得：（舍去），∴，
设直线的解析式为，把，代入得：
，解得：，∴直线的解析式为，
令直线与x轴相交于点E，把代入得：，解得：，∴，∴，
∴．
5．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）综合运用:如图，直线与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点，过点A作反比例函数的图象．(1)求a的值及反比例函数的表达式；(2)点P为反比例函数图象上的一点，若，求点P的坐标．(3)在x轴是否存在点Q，使得，若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1)，(2)点P坐标为(3)存在，点Q的坐标为或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，平行线的性质等；
（1）把代入可求的坐标，即可求解；（2）可求，再由即可求解；（3）①当点Q在x轴正半轴上时，过点A作轴交x轴于，②当点Q在x轴负半轴上时，设与y轴交于点，可求， 再求直线的表达式为，即可求解；
掌握待定系数法，找出使得的条件是解题的关键．
【详解】（1）解：把代入得，，，
把代入，得，反比例函数的函数表达式为；
（2）解：当时，，，，
，，
又 ，解得：，，点P坐标为；
（3）解：存在；理由如下：①当点Q在x轴正半轴上时，如图，过点A作轴交x轴于，
则，点；
②当点Q在x轴负半轴上时，如上图，设与y轴交于点，
∵，∴，则，解得：，∴，
设直线表达式为，则有，解得，直线的表达式为，
当时，，即点的坐标为，综上所述，点Q的坐标为或．
6．（2023·广东深圳·模拟预测）阅读材料：“三等分角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，如图1，步骤如下：
①建立直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正方向重合；
②在直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P；
③以P为圆心、以为半径作弧，交函数的图象于点R；
④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q；
⑤连接，得到．则．
思考问题：(1)设，，求直线的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线上；(2)证明：．(3)如图2，若直线与反比例函数交于点C，D为反比例函数第一象限上的一个动点，使得．求用材料中的方法求出满足条件D点坐标．
【答案】(1)，证明见解析(2)见解析(3)或
【分析】（1）由轴，轴，，，即可得出M点的坐标，即可，再将点Q的坐标代入解析式即可判断点Q是否在直线上；（2）连接，交于点S，由矩形的性质和平行线的性质即可得到结论；（3）先求出点，可得，然后分两种情况讨论：当D点在下方时，当D点在上方时，即可求解．
【详解】（1）解：设直线的函数表达式为，
由题意得：，∴四边形为矩形，
∵，，∴，，
把点代入得：，∴直线的函数表达式为，
∵的坐标满足，∴点Q在直线上；
（2）解：连接，交于点S，
由题意得四边形是矩形，∴，，，
∴，∴，∴∵，∴．∴，
∵轴，∴，∴，即．
（3）解：∵直线与反比例函数交于点C，
∴，解得：或（舍去），∴，∴，
当D点在下方时，如图，以C为圆心，为半径画弧，交反比例函数于点E，作轴，作轴，连接并延长交反比例与点F，作，连接，与交于点H，，，，作于I，则，，，
，则，，
即，同理，当D点在上方时，有．
【点睛】此题在考查三等分角的作法时，综合考查了待定系数法求函数解析式的方法、矩形的性质以及三角形外角的性质等，综合性较强．
7．（2023·河南周口·模拟预测）如图，平面直角坐标系中点，，反比例函数的图象与线段交于点，．
(1)求反比例函数表达式．(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）(3)（）中所作的垂直平分线分别与、线段交于点．连接，求证：是的平分线．
【答案】(1)；(2)作图见解析；(3)证明见解析．
【分析】（）先求出点坐标，代入解析式，可求解；（）以点、点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、点，连接，则为所求图形；（）先求出点坐标，点坐标，由面积法可求的长，由角平分线的判定即可求证；
本题考查了待定系数法，作线段的垂直平分线，角平分线的判定，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，∴点，
∵反比例函数 的图象过点，∴，∴反比例函数表达式为；
（2）解：如图，以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、点，连接，则为所求；
（3）解：如图，过点作于，
∵ ，，∴点， ∴点的纵坐标为，∴点，∴，
∵，∴，∵点，∴，
∵ ，∴， ∴，∴，
又∵，，∴是的平分线．
8．（22-23九年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，2）在反比例函数的图象上，点B在OA延长线上，轴，垂足为点C，直线BC与反比例函数的图象相交于点D，连接AC，AD．(1)求该反比例函数解析式；(2)若，求线段BD的长度；(3)在第（2）问的条件下，x轴上是否存在一点使，若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1)(2)(3)存在，，理由见解析
【分析】(1)把点A(3，2)代入反比例函数，即可求出函数解析数．
(2)过点A作，垂足为E，设直线OA关系式为，将A(3，2)代入得到直线OA的关系式为，设点C(0，a)，根据三角形面积公式得到a=4，于是得到结论．
(3)延长交轴于点P，过B作交轴于M，则，根据平行四边形即可得到结论．
【详解】（1）∵点A(3，2)在反比例函数上，
∴，∴反比例函数解析式为．
（2）如图1，过点A作，垂足为E，
设直线OA关系式为，将A(3，2)代入得，∴OA的关系式为，
设点C(0，a)，把代入，得，
把代入，得，∴B(，)，即，∴D(，)，即，
∵，∴，即，解得，
∴，故线段的长度为．
（3）存在
延长交轴于点P，∵轴，∴，∴，
过B作交轴于M，则，由(1)知C，
∵A(3，2)，∴直线的解析式为，当时，，∴，
∵轴，∴四边形是平行四边形，
∴，∴，∴．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，平行四边形的判定和性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
9．（2024·山东济南·模拟预测）如图，矩形的顶点、分别落在轴、轴的正半轴上，点，反比例函数的图象与、分别交于、两点，，点是线段上一动点．
(1)求反比例函数关系式和点的坐标；(2)如图，连接、，求的最小值；
(3)如图，当时，求线段的长．
【答案】(1)，(2)(3)
【分析】（1）根据题意求出点的坐标，进而求出反比例函数关系式，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点的坐标；（2）根据轴对称最短路径确定点的位置，根据勾股定理计算，得到答案；（3）过点作于，根据勾股定理求出，设，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】（1）点的坐标为，，点的坐标为，
反比例函数的图象经过点，
反比例函数的解析式为：，由题意得：当的纵坐标为，
点的横坐标为， 点的坐标为；
（2）如图，作点关于轴的对称点，连接，交于点，连接，
则的值最小， 由（1）可知，
由勾股定理得：，的最小值为；
（3）如图，过点作于，
则为等腰直角三角形，
，，，设，
则，
，在中，，
即整理得：
解得（舍去）
【点睛】本题考查的是矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、轴对称最短路径以及勾股定理的应用，作出的最小时，点的位置是解题的关键．
10．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）（1）平面直角坐标系中，直线交双曲线于点，点的纵坐标是．①求的值；②如图 1，正方形的顶点、在双曲线上，顶点、分别在轴、轴的正半轴上，求点的坐标；（2）平面直角坐标系中，如图 2，点在轴正半轴上，四边形为直角梯形，，，，为边的中点，，反比例函数的图像经过点，且，求的值．
【答案】（1）①；② （2）
【分析】（1）①由直线交双曲线于点，点的纵坐标是，可求得点的坐标，继而求得的值；②首先作轴于点，作轴于点，易证得，易得，，继而求得的值，则可求得点的坐标；（2）首先延长交轴于，过作于，易证得，，又可证得四边形为正方形，再根据，从而建立方程，即可求得答案.
【详解】解：（1）①∵直线交双曲线于点，点的纵坐标是，
∴当时，，解得：，∴，
又∵在上，∴.∴的值是.
②作轴于点，作轴于点，设，，∴，，
∵四边形是正方形，∴，，
∴，
∵，∴，
在和和中，∴，
∴，，∴，，
∵点、在双曲线上，∴，∴，∴，即，
∵顶点、分别在轴、轴的正半轴上，∴，
∴，∴.∴点的坐标为.
（2）延长交轴于，过作于，设，，∴，
∵，，∴，，
∵，∴，
在和中，，∴，∴，，
∵，∴四边形是矩形，又∵，∴四边形是正方形，
∴，，∴，
∵，∴，∴，∵为边的中点，∴，
在和中，∴，
∴，∴，在中，，∴，
即，∴，∵，，∴，
∵点在反比例函数的图像上，∴，
∵，∴，即，∴，
∴，∴.∴的值为.
【点睛】本题属于反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识.解题的关键通过作辅助线构造全等三角形，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
11．（2024·宁夏吴忠·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)直线AB与x轴交于点D，与y轴交于点C．①过点C作轴交反比例函数的图象于点E，连接AE，试判断△ACE的形状，并说明理由；②设M是x轴上一点，当∠DCO＝2∠CMO时，直接写出点M的坐标．
【答案】(1)一次函数，反比例函数；
(2)①△ACE是等腰直角三角形，理由见解析；②或
【分析】（1）根据反比例函数的性质，通过列一元一次方程即可得反比例函数；结合一次函数性质，通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案；（2）①根据一次函数、反比例函数的性质，首先计算得、，再根据勾股定理及勾股定理逆定理的性质分析，即可得到答案；②设，根据勾股定理、三角形外角、等腰三角形性质计算，得，结合题意，根据轴对称的性质分析，即可完成求解．
【详解】（1）∵反比例函数的图象过点，∴， ∴，∴反比例函数，
∵反比例函数的图象过，∴，∴， 经检验，是原方程的解，
∵一次函数的图象过点和点，
∴， ∴， ∴一次函数，∴一次函数，反比例函数；
（2）①当时，，即， ∵过点C作轴交反比例函数的图象于点E，
∴点E纵坐标为2，∴，∴， 经检验，是原方程的解，∴，
∴，，，
∴，， ∴△ACE是等腰直角三角形；
②当时，，∴，即，∴， ∴，
∵M是x轴上一点，设， 当点M在点O左侧时，如下图：
∴，，
∵∠DCO＝2∠CMO，∴，
∵， ∴，
∴， ∴，∴，∴，
根据题意，当点M在点O右侧时，，∴或．
【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数、勾股定理、等腰直角三角形、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、一次函数、等腰直角三角形的性质，从而完成求解．
12．（23-24九年级·四川成都·期末）如图，点A是反比例函数图象上的点，AB平行于y轴，且交x轴于点，点C的坐标为，AC交y轴于点D，连接BD，．
(1)求反比例函数的表达式；(2)设点P是反比例函数图象上一点，点Q是直线AC上一点，若以点O，P，D，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；(3)若点是该反比例函数图象上的点，且满足∠MDB>∠BDC，请直接写a的取值范围．
【答案】(1)(2)，，(3)或
【分析】（1）由AB∥y轴，AD=可得AC，BC=2，再利用勾股定理即可求得AB，得出点A(1，4)，运用待定系数法即可求得答案；（2）利用待定系数法求得直线AC的解析式为y=2x+2，设Q(m，2m+2)，分类讨论：当OD为平行四边形的边时，运用平行四边形对边平行且相等建立方程求解即可；当OD为平行四边形的对角线时，运用平行四边形对角线互相平分建立方程求解即可；（3）分两种情况：当点M(a，b)在第三象限时，设直线AC与双曲线在第三象限的交点为E，求得点E的横坐标即可得出答案；当点M(a，b)在第一象限时，如图4，将△DBC沿着DB翻折得到△DBE，过点B当点M(a，b)在第一象限时，如图|4，将△DBC沿着DB翻折得到△DBE，过点B作BK⊥CD于点K，过点E作EF⊥x轴于点F，延长DE与双曲线在第一象限的交点为G，运用翻折的性质和相似三角形性质求出点E的坐标，再运用待定系数法求得直线DE的解析式，求出直线DE与双曲线的交点横坐标即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，C∴OB=OC=1
∵AB∥y轴，AD=∴AC，BC=2∵∠ABC=90°∴AB=∴A（1，4）
∵点A是反比例函数图象上的点∴解得k=4∴反比例函数的解析式是
（2）解：设直线AC的解析式为y=ax+b，
∵A(1，4)，C(-1，0)∴解得∴直线AC的解析式为y=2x+2
设Q（m，2m+2）当OD为平行四边形的边时，如图1，
则PQ∥OD，PQ=OD，∴∴PQ=|2m+2-|
在Rt△CDO中，OD=∴|2m+2-|=2解得或
∵点P在第一象限∴m>0∴或∴，，
当OD为平行四边形的对角线时，如图2则
∵所在直线AC的解析式为y=2x+2∴所在的直线的解析式为y=2x
联立可得2x=∴∵点P在第一象限∴
∵四边形是平行四边形∴PK=DK，∴解得∴
综上，点Q的坐标为，，．
（3）当点M（a，b）在第三象限，如图，设直线AC AC与双曲线在第三象限的交点为E，
由，解得x=1或x=-2∴E（-2，-2）∵a<-2
当点M（a，b）在第一象限时，如图4 将△DBC沿着DB翻折得到△DBE，过点B做BK⊥CD于K，过点E作EF⊥x轴于F，延长DE与双曲线在第一象限的交点为G，
∵∴∴DK=
由翻折知：∠DBE=∠DBC，∠DEB=∠DCB，∠BDE=∠BDC，BE=BC=2
∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AD=CD∴BD=CD△∴∠DBC=∠DCB∴∠DBE=∠DBC=∠DEB=∠DCB
∵∠DBC+∠DCB+∠BDC=180°，∠DBC+∠DBE+∠EBF=180°∴∠EBF=∠BDC
∵∠BFE=∠BKD=90°∴△BEF∽△DBK∴
即∴BF=，EF=∴OF=OB+BF=1+∴
设直线DE的解析式为y=cx+d∵D（0，2），∴解得
∴直线DE的解析式是由，解得∴
综上，a的取值范围是或．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想解决问题．
13．（2023·广东·二模）如图1，点P是反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的点，PA⊥y轴于点A，PB⊥x轴于点B，反比例函数y＝的图象分别交线段AP、BP于C、D，连接CD，点G是线段CD上一点．(1)若点P（6，3），求△PCD的面积；(2)在（1）的条件下，当PG平分∠CPD时，求点G的坐标；(3)如图2，若点G是OP与CD的交点，点M是线段OP上的点，连接MC、MD．当∠CMD＝90°时，求证：MG＝CD．
【答案】(1)4(2)G（，）(3)见解析
【分析】（1）先求出点C，点D坐标，可得PC＝4，PD＝2，即可求解；（2）过点G作GM⊥PB于M，GN⊥AP于N，由角平分线的性质可证GM＝GN，由面积法可求GM＝GN＝，即可求解；（3）先求出直线OP，直线CD的解析式，可得点G坐标，可证点G是CD的中点，由直角三角形的性质即可证明．
【详解】（1）解：∵点P（6，3），PA⊥y轴于点A，PB⊥x轴于点B，∠AOB＝90°，
∴点A（0，3），点B（6，0），四边形AOBP是矩形，
∴点C纵坐标为3，点D的横坐标为6，∠APB＝90°，
∵点C，点D在反比例函数y＝的图象上，∴点C（2，3），点D（6，1），∴CP＝4，PD＝2，
∴△PCD的面积＝×PC×PD＝×4×2＝4．
（2）解：如图1，过点G作GM⊥PB于M，GN⊥AP于N，
∵PG平分∠CPD，GM⊥PB，GN⊥AP，∴GM＝GN，
∵S△PCD＝×CP×GN+PD×GM，∴8＝4GN+2GN，∴GN＝＝GM，∴点G（，）．
（3）证明：设点P（a，），则点C（，），点D（a，），
∵点O（0，0），点P（a，），∴直线OP解析式为y＝x，
∵点C（，），点D（a，），∴直线CD解析式为y＝﹣x+，
∵点G是直线OP与直线CD的交点，∴x＝﹣x+，∴x＝，∴点G（，），
∵点C（，），点D（a，），∴线段CD的中点为（，），∴点G是CD的中点，
又∵∠CMD＝90°，∴MG＝CD．
【点睛】本题属于反比例函数与几何的综合题，主要涉及反比例函数的性质、矩形的性质以及运用待定系数法求一次函数解析式等知识点，正确作出辅助线成为解答本题的关键．
14．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，反比例函数图像与一次函数图像相交于A，B两点，A点坐标为，点C是反比例函数图像上一点（不与点B重合，且点C在点B的左侧），点C的横坐标为m．(1)______，______，点B的坐标为（______，______）；
(2)若，连接AC，BC，求的面积；
(3)连接，与x轴相交于点E，连接．求证：．
(4)在（3）的条件下，点D是反比例函数图像上另外一点（不与点B重合，且点D在点B的右侧），连接，若，求的度数．（直接写出答案）
【答案】(1)3， 9，(2)(3)见解析(4)
【分析】（1）把A坐标代入即可求出a，然后把A坐标代入反比例函数解析式即可求出k，联立两个函数求出交点坐标，即可得出点B坐标；（2）先求解析式，再求出与x轴交点坐标，利用，即可求出面积；（3）分别求出和的解析式，再求出两个解析式与x轴的交点，得出为垂直平分线，进而求出，再根据三角形外角知识即可得出结论；
（4）画出图形，求的度数，再根据三角形内角和定理求出．
【详解】（1）解：∵一次函数图像经过，∴，则，
∵经过，∴，
∵反比例函数图象与一次函数图象相交于A，B两点，
∴，解得：，∴，故答案为∶ ， 9，；
（2）如图，∵点C的横坐标为m，且点C是反比例函数图象上一点，
当时，则，∵，设直线的解析式为∶ ，
∴，解得：， ∴直线的解析式为∶ ，
令，则，设交y轴于E点，∴，∴，
∵ ，，∴轴，且，∵，，
∴，∴
（3）如图，连接，与x轴相交于点E，
∵，，∴直线的解析式为，∴设，
∵，，∴直线解析式为∶ ，
设交x轴于F，∴，作垂直于x轴交x轴于点H，则，
∴，∴垂直平分∴，∴，
∵∴，∴；
（4），理由如下：如图，连接，交x轴于M，交y轴于N，
由(3)可得∶ 设点D坐标为根据 （3）中的理由可得：，
∵，，∴，
∵，∴，设交x轴于M，交y轴于N，
∵，∴，
∵，，∴，
∴，∴，
∴，
∴，∴．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的知识、一次函数的知识、垂直平分线的知识、三角形内角和的知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．
15．（23-24八年级下·山西临汾·期中）如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，且一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
(1)求一次函数的表达式以及点的坐标．(2)利用图象，直接写出关于的不等式的解集．
(3)如图2，将直线绕点逆时针方向旋转，求旋转后所得直线的函数表达式．
【答案】(1)，(2)或(3)
【分析】（1）根据题意把代入，求得反比例函数解析式，把代入反比例函数解析式求得，再利用待定系数法求得一次函数的表达式，利用一次函数解析式求出其与轴交点，即可解题；
（2）根据函数图像确定一次函数图像在反比例函数图像上方的自变量的取值范围即可；
（3）利用一次函数解析式得到点坐标，过点作，交旋转后的直线于点，过点作轴于点，结合旋转的性质和等腰三角形性质证明，利用全等三角形性质得到坐标，设旋转后直线的解析式为，利用待定系数法求得旋转后所得直线的函数表达式即可．
【详解】（1）解：把代入，得：，解得：，
把代入得：，把，代入得：
，解得：，所以一次函数的表达式为，
把代入，得，，；
（2）解：由图知，不等式的解集为：或；
（3）解：把代入，得，，
过点作，交旋转后的直线于点，过点作轴于点，
，，，
，由旋转的性质可得：，，，
，，，，
，，设旋转后直线的解析式为，
把，代入得：，解得：，
所以旋转后直线的解析式为．
【点睛】本题考查了一次函数与反比函数图像性质，等腰三角形性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，掌握待定系数法求函数解析式及利用图像解决不等式是解题的关键．
16．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图1，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．
(1)_________； _________；(2)点是线段上一点（不与重合），过点作轴的平行线与该反比例函数的图象交于点，连接，当四边形的面积等于24时，求点的坐标；
(3)在（2）的前提下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点的对应点恰好落在该反比例函数图象上，是否在此反比例函数图像上存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，(2)(3)的坐标为或
【分析】（1）将点分别代入和得：，，求出、的值即可；（2）设，则，则，利用可得，解方程即可得出答案；（3）分两种情况：当点位于内部时，作于，延长交反比例函数于；当点位于外部时，作于，连接，分别求解即可．
【详解】（1）解：把点分别代入和得：，，
解得：，，故答案为：，；
（2）解：设，则，，
，，
整理得：，解得：，，经检验：，是原方程的解，
，，此时，；
（3）解：由平移可得：，直线的解析式为：，
联立，解得：或（不符合题意，舍去），，
点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到，由（2）可得：，，
，，，
如图，当点位于内部时，作于，延长交反比例函数于，
，，
，，，，
为的中点，，即，设直线的解析式为：，
将，代入可得：，解得：，直线的解析式为：，
联立，解得：或（不符合题意，舍去），；
如图，当点位于外部时，作于，连接，
，，，，
，、关于对称，，设直线的解析式为：，
将，代入得：，解得：，直线的解析式为：，
设，则、的中点在直线上，在直线上，
，，，
，，
整理得：，解得：，，或，
经检验，当时，直线不垂直，故不符合题意，，
设直线的解析式为：，将，代入得：，解得：，
直线的解析式为：，联立，解得：或（不符合题意，舍去），；
综上所述，的坐标为或．
【点睛】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用、平移的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建方程解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考常考题型．
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专题6-7 反比例函数与角度相关模型
模块1：模型简介
反比例函数与角度相关问题是近年浙江各地压轴题中的常客，具有较好的区分度和选拔功能，此类试题不仅可以考查反比例函数与平面几何的基础知识，还可以考查数形结合等数学思想方法，以及运用数学知识探究问题的能力等。解题关键是充分挖掘题目中的隐含条件，利用平行线性质、等腰三角形的性质、全等三角形构造等角或倍角，再运用勾股定理进行计算求解。
模块2：核心模型点与典例
1.反比例函数与角度综合问题，常见类型：
1）特殊角问题：遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°构造等腰直角三角形，遇到30°、60°构造等边三角形，遇到90°构造直角三角形。
2）角的数量关系问题
（1）等角问题：基于动点构造某个角使其与特定已知角相等，主要借助特殊图形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质来解决；
（2）倍角问题：基于动点构造某个角使其等于特定已知角的倍角，主要利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称等知识来解答；
（3）角的和差问题：角度和、差为90°等。
2.反比例函数与角度综合问题处理思路：主要解题突破口在于构造相关角。
（1）构造相等角的方法：①利用平行线的性质或者等腰三角形的性质构造相等角；②利用全等三角形构造相等角。
（2）构造二倍角的方法：如图，已知∠B=，我们可以用等腰三角形及三角形外角的性质去构造，先构造直角三角形，然后在BC边上找一点D，使BD=AD，则∠ADC=，这样，我们就构造出了二倍角。
模型1.反比例函数与特殊角问题
例1．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，点P为一次函数与反比例函数的图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为B，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C．(1)求m的值．(2)点M是反比例函数的图象上的一点，且在点P的右侧，连接．①连接．若，求点M的坐标．②过点M作于点D，若，求M的坐标．
变式1．（2023·广东珠海·一模）如图，点为函数图象上一点，连接，点B在线段上，且，C是x轴的正半轴上一点，连接，．(1)求点B的坐标；(2)若M是线段上一点，且，求的面积．
模型2.反比例函数与等角问题
例2．（2023·湖北黄冈·模拟预测）如图，直线与函数的图像相交于点，与x轴交于点．(1)求m的值及直线的解析式；(2)若D是线段上一点，将线段绕点O逆时针旋转得到，点恰好落在函数的图像上，求点D的坐标；(3)直线在直线的上方，满足，求直线的解析式．
变式1．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）综合运用：如图，直线与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点，过点A作反比例函数的图象．(1)求a的值及反比例函数的表达式；(2)点P为反比例函数图象上的一点，若，求点P的坐标．(3)在x轴是否存在点Q，使得，若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．
模型3.反比例函数与倍角问题
例3．（23-24九年级上·四川成都·期末）利用尺规作图将一个角三等分已经被数学家证明不可能完成，但是数学家帕普斯利用反比例函数图象完成了将一个角三等分，具体方法如下：
第一步：建立平面直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点重合，角的一边与轴正方向重合．在平面直角坐标系里，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点；
第二步：以为圆心、以为半径作弧，交函数的图象于点；
第三步：分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点，连接，得到（如图1），这时．为什么呢？小静想要证明这个结论却没有思路，老师便组织同学们进行了研究讨论．讨论后有以下思路：分别过点和作轴和轴的平行线，两线交于点（如图2），此时，四边形便构成了一个矩形；如果我们能再证明三点共线，就可以利用矩形性质证明这个结论了．研究讨论后，小静采用代数设点，设，．请你和小静一起完成下列问题．
(1)请你写出的坐标（用含的式子表示）；
(2)请你在第（）问的基础上证明三点共线；(3)请证明．
变式1．（23-24九年级上·广东·期末）如图1，的图像与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)点C是线段上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，连接，当四边形的面积等于24时，求点C的坐标；(3)在（2）的前提下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点O的对应点恰好落在该反比例函数图像上，是否在此反比例函数图像上存在点M，使得，若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
模型4.反比例函数与角的和差问题
例1．（2023·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与y轴相交于点B．(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；(2)点P是反比例函数的图象上一点，连接PA，PB，若的面积为4，求点P的坐标；(3)在（2）的条件下，取位于A点下方的点P，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接BC，点M是反比例函数的图象上一点，连接MB，若，求满足条件的点M的坐标．
变式1．（23-24九年级·长沙·期末）如图1，在平面直角坐标系中，函数（为常数，，）的图象经过点和，直线与轴，轴分别交于，两点.
（1）求的度数；（2）如图2，连接、，当时，求此时的值：（3）如图3，点，点分别在轴和轴正半轴上的动点.再以、为邻边作矩形.若点恰好在函数（为常数，，）的图象上，且四边形为平行四边形，求此时、的长度.
模块3：同步培优题库
全卷共16题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
三、解答题（本大题共16小题，共120分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．（22-23八年级下·四川资阳·期末）如图，直线与双曲线相交于点，轴于点，以为边在右侧作正方形，与双曲线相交于点，连结、．
(1)当时，求点的坐标；(2)当时，求的值；
(3)是否存在实数，满足，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
2．（2023·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点和点B．(1)求反比例函数的表达式；(2)如图1，若点C为线段上一点，过点C作轴交双曲线于点D，连接，若的面积为，求点C的坐标；(3)如图2，连接，并延长至点E，使，作的平分线交x轴于点F，过点E作于点H，求点H的坐标．
3．（2023九年级·浙江·专题练习）如图，点和点是反比例函数图象上的两点，点在反比例函数的图象上，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、，，连接交轴于点．(1)求；(2)设点的横坐标为，点的纵坐标为，求证：
(3)连接、，当时，求的坐标．
4．（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，直线与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点．(1)求m、k的值．(2)C是反比例函数图象上一点，连接，当时，求直线的解析式及的面积．
5．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）综合运用:如图，直线与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点，过点A作反比例函数的图象．(1)求a的值及反比例函数的表达式；(2)点P为反比例函数图象上的一点，若，求点P的坐标．(3)在x轴是否存在点Q，使得，若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．
6．（2023·广东深圳·模拟预测）阅读材料：“三等分角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，如图1，步骤如下：
①建立直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正方向重合；
②在直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P；
③以P为圆心、以为半径作弧，交函数的图象于点R；
④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q；
⑤连接，得到．则．
思考问题：(1)设，，求直线的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线上；(2)证明：．(3)如图2，若直线与反比例函数交于点C，D为反比例函数第一象限上的一个动点，使得．求用材料中的方法求出满足条件D点坐标．
7．（2023·河南周口·模拟预测）如图，平面直角坐标系中点，，反比例函数的图象与线段交于点，．
(1)求反比例函数表达式．(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）(3)（）中所作的垂直平分线分别与、线段交于点．连接，求证：是的平分线．
8．（22-23九年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，2）在反比例函数的图象上，点B在OA延长线上，轴，垂足为点C，直线BC与反比例函数的图象相交于点D，连接AC，AD．(1)求该反比例函数解析式；(2)若，求线段BD的长度；(3)在第（2）问的条件下，x轴上是否存在一点使，若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．
9．（2024·山东济南·模拟预测）如图，矩形的顶点、分别落在轴、轴的正半轴上，点，反比例函数的图象与、分别交于、两点，，点是线段上一动点．
(1)求反比例函数关系式和点的坐标；(2)如图，连接、，求的最小值；
(3)如图，当时，求线段的长．
10．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）（1）平面直角坐标系中，直线交双曲线于点，点的纵坐标是．①求的值；②如图 1，正方形的顶点、在双曲线上，顶点、分别在轴、轴的正半轴上，求点的坐标；（2）平面直角坐标系中，如图 2，点在轴正半轴上，四边形为直角梯形，，，，为边的中点，，反比例函数的图像经过点，且，求的值．
11．（2024·宁夏吴忠·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)直线AB与x轴交于点D，与y轴交于点C．①过点C作轴交反比例函数的图象于点E，连接AE，试判断△ACE的形状，并说明理由；②设M是x轴上一点，当∠DCO＝2∠CMO时，直接写出点M的坐标．
12．（23-24九年级·四川成都·期末）如图，点A是反比例函数图象上的点，AB平行于y轴，且交x轴于点，点C的坐标为，AC交y轴于点D，连接BD，．
(1)求反比例函数的表达式；(2)设点P是反比例函数图象上一点，点Q是直线AC上一点，若以点O，P，D，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；(3)若点是该反比例函数图象上的点，且满足∠MDB>∠BDC，请直接写a的取值范围．
13．（2023·广东·二模）如图1，点P是反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的点，PA⊥y轴于点A，PB⊥x轴于点B，反比例函数y＝的图象分别交线段AP、BP于C、D，连接CD，点G是线段CD上一点．(1)若点P（6，3），求△PCD的面积；(2)在（1）的条件下，当PG平分∠CPD时，求点G的坐标；(3)如图2，若点G是OP与CD的交点，点M是线段OP上的点，连接MC、MD．当∠CMD＝90°时，求证：MG＝CD．
14．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，反比例函数图像与一次函数图像相交于A，B两点，A点坐标为，点C是反比例函数图像上一点（不与点B重合，且点C在点B的左侧），点C的横坐标为m．(1)______，______，点B的坐标为（______，______）；
(2)若，连接AC，BC，求的面积；
(3)连接，与x轴相交于点E，连接．求证：．
(4)在（3）的条件下，点D是反比例函数图像上另外一点（不与点B重合，且点D在点B的右侧），连接，若，求的度数．（直接写出答案）
15．（23-24八年级下·山西临汾·期中）如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，且一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
(1)求一次函数的表达式以及点的坐标．(2)利用图象，直接写出关于的不等式的解集．
(3)如图2，将直线绕点逆时针方向旋转，求旋转后所得直线的函数表达式．
16．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图1，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．
(1)_________； _________；(2)点是线段上一点（不与重合），过点作轴的平行线与该反比例函数的图象交于点，连接，当四边形的面积等于24时，求点的坐标；
(3)在（2）的前提下，将沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点的对应点恰好落在该反比例函数图象上，是否在此反比例函数图像上存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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