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专题6-8 反比例函数 章末检测卷
全卷共26题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）已知函数是反比例函数，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【分析】根据反比例函数的定义先求出的值，再根据求出自变量的值．
【详解】∵函数是反比例函数，∴，解得：，
又∵，∴，∴．故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数的定义，解题关键是将一般式转化为的形式．
2．（2023·浙江金华·八年级校考阶段练习）反比例函数的图象在（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限
【答案】A
【分析】根据反比例函数的性质作答．
【详解】解：∵反比例函数中，∴图象在第一、三象限．故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的性质，解题的关键是熟记反比例函数图像的性质：当时，反比例函数图象在二、四象限；当时，反比例函数图象在第一、三象限．
3．（2023·北京石景山区·九年级）下列两个变量之间的关系为反比例关系的是（ ）
A．圆的周长与其半径的关系
B．平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高的关系
C．销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系
D．汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间的关系
【答案】B
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【详解】A. 圆的周长与其半径是正比例关系，不符合题意，
B. 平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高成反比例关系，符合题意，
C. 销售单价一定时，销售总价与销售数量成正比例关系，不符合题意，
D. 汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间成正比例关系，不符合题意，故选B．
【点睛】本题主要考查成反比例函数关系的量，关键就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
4．（2024·南通市启秀中学八年级月考）小明在画函数（x＞0）的图象时，首先进行列表，下表是小明所列的表格，由于不认真列错了一个不在该函数图象上的点，这个点是（ ）
x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 5 6 …
y … 6 3 2 1 …
A．（1，6） B．（2，3） C．（3，2） D．（4，1）
【答案】D
【分析】在函数（x＞0）的图象上点的坐标一定满足关系式，点的坐标不满足关系式，这个点就不在这个还是的图象上，因此验证哪个点的纵横坐标的满足即可．
【详解】解：∵x＝4，y＝1，不满足，∴（4，1）不在反比例函数的图象上，故选：D．
【点睛】考查反比例函数图象上点的坐标特征，要代入验证即可，也就是xy=k．5．（2023·山东·九年级期末）已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ）
A．函数图象经过点 B．函数图象分别位于第二、四象限
C．随的增大而增大 D．若，则
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、∵k=-2×4=-8，∴此函数图象过点（-2，4），故本选项不符合题意；
B、∵k=-8＜0，∴此函数图象的两个分支位于第二、四象限，故本选项不符命题意；
C、∵k=-8＜0，∴在每个象限内，y随着x的增大而增大，故本选项符合题意；
D、当，则，故本选项不符合题意；故选：C
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．
6．（2023·浙江·八年级期中）在同一直角坐标系中，函数y＝－与y＝ax＋1（a≠0）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题可先由反比例函数图象得到字母a的正负，再与一次函数y＝ax+1的图象相比较看是否一致即可解决问题．
【详解】解：A、由函数的图象可知a＞0，由y＝ax+1（a≠0）的图象可知a＜0故选项A错误．
B、由函数的图象可知a＞0，由y＝ax+1（a≠0）的图象可知a＞0，且交于y轴于正半轴，故选项B正确．C、y＝ax+1（a≠0）的图象应该交于y轴于正半轴，故选项C错误．
D、由函数的图象可知a＜0，由y＝ax+1（a≠0）的图象可知a＞0，故选项D错误．故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象等知识，灵活应用反比例函数及一次函数的性质是解题的关键．
7．（2024·浙江·八年级专题练习）如图，直线l和双曲线y=(k>0)交于A、B两点，P是线段AB上的点(不与A、B重合)，过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC的面积为、△BOD的面积为、△POE的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝解答即可．
【详解】解：根据双曲线的解析式可得 所以可得
设OP与双曲线的交点为，过作x轴的垂线，垂足为M
因此而图象可得 所以故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
8．（2024 扶沟县一模）某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻R1＝10Ω，R2是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01m2，压敏电阻R2的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式，F＝pS，1000Pa＝1kPa），则下列说法中不正确的是（ ）
A．当水箱未装水（h＝0m）时，压强p为0kPa
B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N
C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m
D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻R1的阻值为12Ω
【分析】由图3可以直接判断A；根据欧姆定律计算当报警器刚好开始报警时通过电路的电阻，根据串联电路电阻规律计算此时压敏电阻的阻值，根据F＝pS计算压敏电阻受到的压力即可判断B，根据液体压公式计算水箱中水的深度即可判断C；根据液体压强公式计算水深为1m时压敏电阻受到的压强，根据F＝pS计算此时压敏电阻受到的压力，由乙图可知此时压敏电阻的阻值，由B知当报警器刚好开始报警时电路总电阻，根据串联电路电阻规律计算选用的定值电阻的阻值．
【解答】解：A、由图3可知，水箱未装水（h＝0m）时，压强p为0kPa，故A正确，不符合题意；
B、当报警器刚好开始报警时，根据欧姆定律可知此时电路的电阻：R＝＝＝20（Ω），
比时压敏电阻的阻值：R2＝R﹣R1＝20Q﹣10Q＝10Ω，由乙图可知此时压敏电阻受到压力为80N，
故B不正确，符合题意；
C、当报警器刚好开始报警时，则水箱受到的压强为P＝＝＝8000（Pa），
则水箱的深度为h＝＝＝0.8（m），故C正确，不符合题意；
D、水深为lm时，压敏电阻受到的压强：P＝ρgh＝1.0×103×10×l＝10000（Pa），
此时压敏电阻受到的压力：F＝PS＝10000×0.01＝100（N），由图2可知此时压敏电阻的阻值为8Ω，
由B知当报警器刚好开始报警时，电路总电阻为20Q，
根据串联电路电阻规律可知选用的定值电阻的阻值：R1＝R﹣R2＝20﹣8＝12．
故D正确，不符合题意．故选：B．
9．（2023·山东临沂市·九年级期末）若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】由反比例函数，可知图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，由此分三种情况①若点A、点B在同在第二或第四象限；②若点A在第二象限且点B在第四象限；③若点A在第四象限且点B在第二象限讨论即可．
【详解】解：∵反比例函数，∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，①若点A、点B同在第二或第四象限，∵，∴a＞a+1，此不等式无解；
②若点A在第二象限，且点B在第四象限，∵，∴，解得：；
③由y1＞y2，可知点A在第四象限，且点B在第二象限这种情况不可能，
综上，的取值范围是，故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键，注意要分情况讨论，不要遗漏．
10．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，菱形的四个顶点均在坐标轴上，对角线交于原点O，交于点G，反比例函数的图象经过线段的中点E，若，则的长为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过E作y轴和x的垂线EM，EN，证明四边形MENO是矩形，设E（b，a），根据反比例函数图象上点的坐标特点可得，进而可计算出CO长，利用等边三角形的性质可得，然后利用勾股定理计算出DG长，进而可得AG长．
【详解】解：过E作y轴和x的垂线EM，EN，垂足分别为M，N， 设E（b，a），
∵反比例函数（x＞0）经过点E， ∴，
∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，DO=BD=4，
∵EN⊥x，EM⊥y， ∴四边形MENO是矩形， ∴，，
∵E为CD的中点， 轴， 连接OE，
∴，
∴， ∵四边形ABCD是菱形，
为等边三角形，而 ∴
∴DG=AG， 设DG=r，则AG=r， 在Rt△DOG中，DG2=GO2+DO2，
∴， 解得：， ∴AG= ． 故选：B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数和菱形的综合运用，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，二次根式的运算，关键是掌握菱形的性质：菱形对角线互相垂直平分，且平分每一组对角，反比例函数图象上的点横纵坐标之积=k．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·江苏淮安区·八年级期末）已知反比例函数（k是常数， 1）的图象分布在二、四象限，那么k的取值范围是___________．
【答案】k＜1
【分析】根据反比例函数所在象限，可以判断比例系数小于0，列不等式求解即可．
【详解】解：∵反比例函数（是常数，）的图像在二、四象限，
∴＜0，解得，答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，解题关键是熟知反比例函数图象的性质．
12．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）设函数与的图象的交点坐标为，则的值为___________．
【答案】
【分析】根据题意可得，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵函数与的图象的交点坐标为，
∴，∴ ∴；故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确得到是解题的关键．
13．（2023·浙江杭州·八年级期中）反比例函数，当时，y的取值范围为_________．
【答案】-2＜y＜0
【分析】利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的图象解答即可．
【详解】解：∵k=-2＜0，∴在每个象限内y随x的增大而增大，
又当x=1时，y=-2，∴当x＞1时，-2＜y＜0，故答案为：-2＜y＜0．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限，y随x的增大而增大．
14．（2023·浙江·八年级阶段练习）根据某商场对一款运动鞋五天中的售价与销量关系的调查显示，售价是销量的反比例函数（统计数据见下表）．已知该运动鞋的进价为元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到元，则其售价应定为__________元．
售价x（元/双） 200 250 300 400
销售量y（双） 30 24 20 15
【答案】300
【分析】由表中数据可得销量与售价之间的函数解析式，根据题意有，将解析式代入解分式方程即可求解．
【详解】由表中数据得，∴，则销量与售价之间的函数解析式为．
由题意，得，把代入，得，
解得，经检验是原方程的根．∴售价应定为300元．故答案为：300．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，分式方程的实际应用．理解题意，掌握利润=(售价-成本)×销售量是解答本题的关键．
15．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是 。
【答案】或
【分析】根据轴对称的性质得到点A的横坐标为-2，利用函数图象即可确定答案．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称，∴点A与点B关于原点对称，
∵点B的横坐标为2，∴点A的横坐标为-2，
由图象可知，当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方，∴当或时，．
【点睛】此题考查正比例函数与反比例函数的性质及相交问题，函数值的大小比较，正确理解图象是解题的关键．
16．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，点A在反比例函数的图像上，点B，C在x轴上，，延长交y轴于点D，连接，若的面积为5，则k的值为____________．
【答案】
【分析】连接，如图，过点作轴于点，根据等腰三角形的性质卡得，证明，可得，进而求得，根据的几何意义即可求解．
【详解】解：如图，连接，过点作轴于点，
，，，，，
，，，，
的面积为5，，，，
，，．故答案为：10．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，反比例函数的几何意义，求得是解题关键．
17．（2023·浙江舟山·八年级校考阶段练习）如图，一次函数y=x与反比例函数（x＞0）的图象交于点A，过点A作AB⊥OA，交x轴于点B；作，交反比例函数图象于点A1；过点A1作A1 B1⊥A1B交x轴于点B1；再作，交反比例函数图象于点A2，依次进行下去······则点A2022的横坐标为____________.
【答案】/
【分析】过点A，A1，A2作x轴的垂线，交x轴于点C，D，E，求出点A坐标，进一步可求出，，，以此类推可得结果．
【详解】解：过点A，A1，A2作x轴的垂线，交x轴于点C，D，E，
∵一次函数y=x与反比例函数的图象交于点A，
∴联立，解得，∴，，即，
∵AB⊥OA，∴，，∵，∴，∴，
∵，故设，∵在上，
∴，解之得：，（舍去），∴，，
又∵，∴，∴，∵，∴，故设，
∵在上，∴，解之得：，（舍去），
∴，同理可得：，
以此类推：点A2022的横坐标为．故答案为：．
【点睛】本题考查坐标规律，一次函数与反比例函数的综合，勾股定理，解题的关键是找出A1、A2、A3点的坐标，发现其中的规律．
18．（2024·成都·中考模拟）设双曲线与直线交于，两点（点在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，将双曲线在第三象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于点，两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，为双曲线的“眸径”.当双曲线的眸径为6时，的值为__________.
【答案】
【详解】以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，联立直线AB及双曲线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，由PQ的长度可得出点P的坐标（点P在直线y=-x上找出点P的坐标），由图形的对称性结合点A、B和P的坐标可得出点P′的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．
详解：以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，如图所示．
联立直线AB及双曲线解析式成方程组，，解得：，，
∴点A的坐标为（-，-），点B的坐标为（，）．
∵PQ=6，∴OP=3，点P的坐标为（-，）．
根据图形的对称性可知：AB=OO′=PP′，∴点P′的坐标为（-+2，+2）．
又∵点P′在双曲线y=上，∴（-+2） （+2）=k，解得：k=．故答案为．
点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及解一元一次方程，利用矩形的性质结合函数图象找出点P′的坐标是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·浙江余姚市·八年级期末）已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过点A（2，-3）．（1）求函数表达式；（2）当x=-4时，求函数y的值；（3）当x≤1且x≠0时，直接写出y的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；（2）把x=-4代入函数解析式求得相应的y值即可；
（3）根据反比例函数图象的性质作答．
【详解】解：（1）∵反比例函数y=（k≠0）的图象经过点A（2，-3），
∴k=2×（-3）=-6，∴反比例函数为y=-；
（2）当x=-4时，y=-=-=；
（3）∵k=-6＜0，∴反比例函数图象在二、四象限，
把x=1代入y=-，得y=-6，∴当x≤1且x≠0时，y＞0或y≤-6．
．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
20．（2023·浙江·八年级统考期末）如图一次函数y＝kx+b的图像与反比例函数的图像交于点A（2，5）和点B（n，2）．(1)求m，n的值；(2)连接OA，OB，求△OAB的面积．
【答案】(1)m＝10，n＝5(2)
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用待定系数法求得一次函数的解析式，即可求得直线与x轴的交点，然后根据S△OAB＝S△OAC﹣S△BOC求得即可．
【详解】（1）解：把A（2，5）代入中，得到m＝10，
∴反比例函数的解析式为y，把B（n，2）代入y中，得到n＝5；
（2）解：如图所示：
∵一次函数y＝kx+b的图像过点A（2，5）和点B（5，2），
∴ ，解得，∴一次函数为y＝﹣x+7，
令y＝0，则﹣x+7＝0，解得x＝7，∴C（7，0），
∴S△OAB＝S△OAC﹣S△BOC．
【点睛】本题考查待定系数法确定函数关系式以及平面直角坐标系下三角形面积，掌握待定系数法以及坐标系下面积的表示是解决问题的关键．
21．（2023安徽九年级月考）如图，直线与双曲线相交于A，B两点，与y轴交于点C，轴，垂足为D，已知．（1）求此双曲线的函数表达式；（2）求点A，B的坐标；（3）直接写出不等式的解集
【答案】（1）；（2），；（3）或．
【分析】（1）利用反比例函数k的几何意义即可求出k=-3．（2）联立两个函数表达式求解即可．
（3）根据图像和第二小题即可找出所求解集．
【详解】（1）∵∴或3．
∵反比例函数只分布在第二、四象限，∴，∴．
所以，这个双曲线的函数表达式为．
（2）由题意得：，解得：或．所以，A，B坐标分别为，
（3）由图象知，不等式的解集为或．
【点睛】本题考查反比例函数表达式的求解、一次函数和反比例函数的交点等问题，熟练掌握反比例函数的知识是本题解题关键．
22．（2023·佛山市八年级期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的纵坐标为．（1）求这两个函数的表达式；（2）点为反比例函数图象上的一点，且点在点的上方，当时，求点的坐标．
【答案】（1）一次函数的解析式为y1=x+1，反比例函数的解析式为y2=；（2）C点的坐标（-1+，1+）．
【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k2的值，把点B的纵坐标代入求得横坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）根据题意点C就是直线y=x+1向上平移1个单位后与反比例函数的交点，求得平移后的直线解析式，与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得C的坐标．
【详解】解：（1）把点A（1，2）代入反比例函数y2=得，k2=1×2=2，
∴反比例函数的解析式为y2=，将y=-1代入y2=得，-1=，交点x=-2，∴B（-2，-1），
将A、B的坐标代入y1=k1x+b得，解得，∴一次函数的解析式为y1=x+1；
（2）∵y1=x+1，∴直线与y轴的交点为（0，1），
∵点C为反比例函数图象上的一点，且点C在点A的上方，S△CAB=S△AOB，
∴点C就是直线y=x+1向上平移1个单位后与反比例函数的交点，
将直线y=x+1向上平移1个单位后得到y=x+2，
解得或（舍） ，∴C点的坐标为（-1+，1+）．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
23．（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）电子体重秤度数直观又便于携带，为人们带来了方便，某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图①所示；图②的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的度数为，该度数可以换算为人的质量．
注：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式．
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压，即：可变电阻两端的电压+定值电阻两端的电压=总电压．
(1)求出关于的函数解析式；(2)当伏时，______欧；
(3)若电压表量程为0-6伏，为保护电压表，请求出该电子体重秤可称的最大质量．
【答案】(1)关于的函数解析式是；(2)130；(3)电子体重秤可称的最大质量是115千克．
【分析】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．（1）根据图①可知：函数的图象经过点，，然后即可求得关于的函数解析式；（2）根据伏和题目中的数据，可以计算出此时的值；
（3）根据反比例函数的性质和电压表量程为0-6伏，可以得到该电子体重秤可称的最大质量．
【详解】（1）由图①可知：函数的图象经过点，，
∴，解得，即关于的函数解析式是；
（2）∵，伏，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，
∴，解得，即当伏时，欧，故答案为：130；
（3）∵，∴随的增大而减小，
∵，∴当取得最大值时，取得最小值，
∵电压表量程为0-6伏，∴当时，取得最小值10，
∴当取得最小值10时，取得最大值115即该电子体重秤可称的最大质量是115千克．
24．（2023·江苏丹阳·八年级期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．
阅读下列材料，回答问题：对任意的实数a、b而言，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2≥0，即a2+b2≥2ab．
易知当a＝b时，（a﹣b）2＝0，即：a2﹣2ab+b2＝0，所以a2+b2＝2ab．
若a≠b，则（a﹣b）2＞0，所以a2+b2＞2ab．
[类比论证]对于任意正实数a、b，∵≥0，∴a+b 2ab（填“＜”、“＞”、“≤”或“≥”）
[几何验证]如图（1），在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE为△ABC的中线，若AD＝a，BD=b，试根据图形证明：a+b≥2．
[结论应用]若a＞0，则当a＝ 时，代数式a+有最小值为 ．
[问题解决]（1）某汽车零件生产公司为提高工作效率，购进了一批自动化生产设备，已知每台设备每天的运营成本包含以下三个部分：一是固定费用，共3600元；二是材料损耗费，每个零件损耗约为5元（元），三是设备折旧费（元），它与生产的零件个数x的函数关系式为0.0001x2，设该设备每天生产汽车零件x个．当x为多少时，该设备每生产一个零件的运营成本最低？最低是多少元？
（2）如图（2），在平面直角坐标系中，直线y＝﹣4与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数y＝（x＞0）上的任意一点，过点M作MC⊥x轴于点C, MD⊥y轴于点D．则四边形ABCD面积的最小值为 ．
【答案】[类比论证]≥；[几何验证]见解析；[结论应用]2 ，4；[问题解决]（1）当x=6000时，该设备每生产一个零件的运营成本最低，最低为6.2元；（2）24．
【分析】类比论证利用完全平方公式可求解；
几何验证由直角三角形的中线性质可得，通过勾股定理求出，即可求解；
结论应用利用材料的结论，可求解；
问题解决（1）设设备每生产一个零件的运营成本为元，由题意可得，即可求解；
（2）先求出点，点坐标，设点，由可求，，由四边形面积，即可求解．
【详解】解：类比论证，，，故答案为：；
几何验证设CD=x，∵CD⊥AB，∴AC2=AD2+CD2=a2+x2，BC2=BD2+CD2=b2+x2
∵，∴AB2=AC2+BC2，∴(a+b)2= a2+x2+ b2+x2，∴x2=ab，∴x=
∵CE为ΔABC的中线，∴CE=AB=(a+b)，
∵CD⊥AB，∴CE≥CD（点D和点E重合时CE=CD），∴(a+b) ≥，即
结论应用，，，
当时，有最小值为4，，故答案为：2，4；
问题解决（1）设设备每生产一个零件的运营成本为元，
由题意可得：，，
，
当时，即时，有最小值为1.2，
的最小值为6.2元，
答：当为6000时，该设备每生产一个零件的运营成本最低，最低是6.2元；
（2）直线与坐标轴分别交于点、，
点，点，设点，，点，，，
四边形面积，
，，当时，即当时，有最小值为6，
四边形面积的最小值为24，故答案为：24．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了完全平方公式，一次函数的性质，反比例函数的性质等知识，解决本题的关键是理解并运用阅读材料内容．
25．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点(1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；(2)连接、，求三角形的面积(3)连接，在轴的正半轴上是否存在点，使是等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不存在，说明理由
【答案】(1)反比例函数的解析式是，一次函数的解析式是．
(2)三角形的面积是4．(3)所有符合条件的点Q的坐标是或或．
【分析】（1）把N的坐标代入反比例函数，能求出反比例函数解析式，把M的坐标代入解析式，求出M的坐标，把M、N的坐标代入，能求出一次函数的解析式；
（2）求出与x轴的交点坐标，求出和的面积即可；
（3）符合条件的有3个①，②，③，再利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：把代入得：， ∴，
把代入得：， ∴，
把，代入得： ， 解得：， ∴，
答：反比例函数的解析式是，一次函数的解析式是．
（2）如图，设交x轴于C，
由，当时，， ∴， ，
∴的面积是，
答：三角形的面积是4．
（3）设，而，，
∴，，，
如图，为等腰三角形，
当时，则，∴（负根舍去）Q的坐标是；
当时，则，解得：（舍去）Q的坐标是；
当时，则，解得：，Q的坐标是；
答：在x轴的正半轴上存在点Q，使是等腰三角形，所有符合条件的点Q的坐标是或或．
【点睛】本题综合考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，等腰三角形的判定等知识点，此题综合性比较强，题型较好，注意分类讨论思想的运用．
26．（2023·浙江宁波·八年级校考期中）如图，四边形的四个顶点分别在反比例函数与（）的图象上，对角线轴，且于点P，已知点B的横坐标为5．
(1)当时；①若点P的纵坐标为4，求直线的函数表达式；②若点P是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由．(2)四边形能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．
【答案】(1)①，②四边形是菱形，理由见解析(2)
【分析】（1）①先分别求出点A，B的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可；②根据轴得到，，求出，，得到，结合，，得到四边形是菱形；（2）当四边形是正方形，则，求出，得到，从而表示出，根据，得到，由此得到．
【详解】（1）解：①如图1，∵，∴反比例函数为，
当时，，∴，当时，∴，∴，∴，
设直线的解析式为，
∴ ，∴ ，∴直线的解析式为；
②四边形是菱形，理由如下：如图2，
由①知，，∵轴，∴，∵点P是线段的中点，∴，
当时，由得，；由得，，
∴，，∴，
∵，∴四边形为平行四边形，∵，∴四边形是菱形；
（2）四边形能是正方形，
理由：当四边形是正方形，记的交点为P，∴，
当时，，，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴．
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，正方形的性质，判断出四边形为平行四边形是解题的关键．
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专题6-8 反比例函数 章末检测卷
全卷共26题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）已知函数是反比例函数，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
2．（2023·浙江金华·八年级校考阶段练习）反比例函数的图象在（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限
3．（2023·北京石景山区·九年级）下列两个变量之间的关系为反比例关系的是（ ）
A．圆的周长与其半径的关系
B．平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高的关系
C．销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系
D．汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间的关系
4．（2024·南通市启秀中学八年级月考）小明在画函数（x＞0）的图象时，首先进行列表，下表是小明所列的表格，由于不认真列错了一个不在该函数图象上的点，这个点是（ ）
x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 5 6 …
y … 6 3 2 1 …
A．（1，6） B．（2，3） C．（3，2） D．（4，1）
5．（2023·山东·九年级期末）已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ）
A．函数图象经过点 B．函数图象分别位于第二、四象限
C．随的增大而增大 D．若，则
6．（2023·浙江·八年级期中）在同一直角坐标系中，函数y＝－与y＝ax＋1（a≠0）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·浙江·八年级专题练习）如图，直线l和双曲线y=(k>0)交于A、B两点，P是线段AB上的点(不与A、B重合)，过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC的面积为、△BOD的面积为、△POE的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024 扶沟县一模）某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻R1＝10Ω，R2是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01m2，压敏电阻R2的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式，F＝pS，1000Pa＝1kPa），则下列说法中不正确的是（ ）
A．当水箱未装水（h＝0m）时，压强p为0kPa
B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N
C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m
D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻R1的阻值为12Ω
9．（2023·山东临沂市·九年级期末）若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
10．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，菱形的四个顶点均在坐标轴上，对角线交于原点O，交于点G，反比例函数的图象经过线段的中点E，若，则的长为( )
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·江苏淮安区·八年级期末）已知反比例函数（k是常数， 1）的图象分布在二、四象限，那么k的取值范围是___________．
12．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）设函数与的图象的交点坐标为，则的值为___________．
13．（2023·浙江杭州·八年级期中）反比例函数，当时，y的取值范围为_________．
14．（2023·浙江·八年级阶段练习）根据某商场对一款运动鞋五天中的售价与销量关系的调查显示，售价是销量的反比例函数（统计数据见下表）．已知该运动鞋的进价为元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到元，则其售价应定为__________元．
售价x（元/双） 200 250 300 400
销售量y（双） 30 24 20 15
15．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是 。
16．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，点A在反比例函数的图像上，点B，C在x轴上，，延长交y轴于点D，连接，若的面积为5，则k的值为____________．
17．（2023·浙江舟山·八年级校考阶段练习）如图，一次函数y=x与反比例函数（x＞0）的图象交于点A，过点A作AB⊥OA，交x轴于点B；作，交反比例函数图象于点A1；过点A1作A1 B1⊥A1B交x轴于点B1；再作，交反比例函数图象于点A2，依次进行下去······则点A2022的横坐标为____________.
18．（2024·成都·中考模拟）设双曲线与直线交于，两点（点在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，将双曲线在第三象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于点，两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，为双曲线的“眸径”.当双曲线的眸径为6时，的值为__________.
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·浙江余姚市·八年级期末）已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过点A（2，-3）．（1）求函数表达式；（2）当x=-4时，求函数y的值；（3）当x≤1且x≠0时，直接写出y的取值范围．
20．（2023·浙江·八年级统考期末）如图一次函数y＝kx+b的图像与反比例函数的图像交于点A（2，5）和点B（n，2）．(1)求m，n的值；(2)连接OA，OB，求△OAB的面积．
21．（2023安徽九年级月考）如图，直线与双曲线相交于A，B两点，与y轴交于点C，轴，垂足为D，已知．（1）求此双曲线的函数表达式；（2）求点A，B的坐标；（3）直接写出不等式的解集
22．（2023·佛山市八年级期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的纵坐标为．（1）求这两个函数的表达式；（2）点为反比例函数图象上的一点，且点在点的上方，当时，求点的坐标．
23．（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）电子体重秤度数直观又便于携带，为人们带来了方便，某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻与踏板上人的质量之间的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图①所示；图②的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的度数为，该度数可以换算为人的质量．
注：①导体两端的电压，导体的电阻，通过导体的电流，满足关系式．
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压，即：可变电阻两端的电压+定值电阻两端的电压=总电压．(1)求出关于的函数解析式；(2)当伏时，______欧；
(3)若电压表量程为0-6伏，为保护电压表，请求出该电子体重秤可称的最大质量．
24．（2023·江苏丹阳·八年级期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．
阅读下列材料，回答问题：对任意的实数a、b而言，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2≥0，即a2+b2≥2ab．
易知当a＝b时，（a﹣b）2＝0，即：a2﹣2ab+b2＝0，所以a2+b2＝2ab．
若a≠b，则（a﹣b）2＞0，所以a2+b2＞2ab．
[类比论证]对于任意正实数a、b，∵≥0，∴a+b 2ab（填“＜”、“＞”、“≤”或“≥”）
[几何验证]如图（1），在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE为△ABC的中线，若AD＝a，BD=b，试根据图形证明：a+b≥2．
[结论应用]若a＞0，则当a＝ 时，代数式a+有最小值为 ．
[问题解决]（1）某汽车零件生产公司为提高工作效率，购进了一批自动化生产设备，已知每台设备每天的运营成本包含以下三个部分：一是固定费用，共3600元；二是材料损耗费，每个零件损耗约为5元（元），三是设备折旧费（元），它与生产的零件个数x的函数关系式为0.0001x2，设该设备每天生产汽车零件x个．当x为多少时，该设备每生产一个零件的运营成本最低？最低是多少元？
（2）如图（2），在平面直角坐标系中，直线y＝﹣4与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数y＝（x＞0）上的任意一点，过点M作MC⊥x轴于点C, MD⊥y轴于点D．则四边形ABCD面积的最小值为 ．
25．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于、两点(1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；(2)连接、，求三角形的面积(3)连接，在轴的正半轴上是否存在点，使是等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不存在，说明理由
26．（2023·浙江宁波·八年级校考期中）如图，四边形的四个顶点分别在反比例函数与（）的图象上，对角线轴，且于点P，已知点B的横坐标为5．
(1)当时；①若点P的纵坐标为4，求直线的函数表达式；②若点P是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由．(2)四边形能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．
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