中小学教育资源及组卷应用平台
第5章 特殊平行四边形单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题）
1．菱形具有而平行四边形不具有的性质是
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．四个角都相等
2．如图，矩形中，，是的中点，，则长为
A． B．2 C． D．3
3．如图，在正方形中，点，分别在和边上，，，，则的面积为
A．6 B．8 C．12 D．16
4．在四边形中，，下列选项中，不能判定四边形为矩形的是
A．且 B．且
C．且 D．且
5．如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：
甲：连接，作的中垂线交、于、，则四边形是菱形．
乙：分别作与的平分线、，分别交于点，交于点，则四边形是菱形．
则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为
A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
6．如图，四边形的对角线、相交于，下列判断正确的是
A．若，则四边形是菱形
B．若，则四边形是矩形
C．若，，则四边形是正方形
D．若，，则四边形是平行四边形
7．小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图，测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图，，则图2中对角线的长为
A． B． C． D．
8．如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，点为的中点，则线段的最小值为
A．4.8 B．5 C．2.4 D．3.6
9．如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为
A． B． C． D．
10．如图，平行四边形的对角线，相交于点，点为的中点，连接并延长交于点，，．下列结论：①；②；③四边形是菱形；④，其中正确结论的个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（共6小题）
11．在菱形中，对角线，，则菱形的周长是 ．
12．如图，在中、相交于点，，当 时，是矩形．
13．如图，剪两张对边平行的纸条，纸条宽度相等，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是 ．
14．某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．
已知广场中心有一座边长为的正方形的花坛．学生会提出两个方案：
方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为；
方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为；
具体数据如图所示，则 ．（填“”，“ ”或“”
15．如图，平行四边形中，过作于，交于，过作于，交于，连结、，那么：
①；
②四边形是平行四边形；
③当时，四边形是菱形；
④当、分别是、中点时，四边形是正方形．
则下列结论中正确的有 ．
16．如图，矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为秒，若、分别是、的中点，且，当、、、为顶点的四边形为矩形时，的值为 ．
三．解答题（共8小题）
17．已知：如图，菱形中，点，分别在，边上，，连接，．求证：．
18．如图，、、、分别是正方形四条边上的点，且．求证：四边形是正方形．
19．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，顶点的坐标为，，求顶点的坐标．
20．如图1，广场中心花坛，已知米，且．现在延长，相交于点，将图1补充完善成图2，此时与两点之间的距离为多少？
21．如图，是的角平分线，的垂直平分线分别交、于点、，连接、．
（1）判断四边形的形状，并证明；
（2）当，时，求的长．
22．如图，中，，，外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足．
（1） （直接写出结果不写解答过程）；
（2）①求证：四边形是正方形．
②若，求的长．
23．如图，在矩形中，，，，对角线，交于点，点，分别是，延长线上的点，且，，，连接，点为的中点．连接，交于点，连接．
（1）猜想：是的中点吗？并加以证明；
（2）求的长．
24．如图，在中，，过点的直线，为边上点，过点作交直线与，垂足为，连接，．
（1）求证：；
（2）当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明理由；
（3）在满足（2）的条件下，当再满足 条件时，四边形是正方形（直接填写答案）．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第5章 特殊平行四边形单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题）
1．菱形具有而平行四边形不具有的性质是
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．四个角都相等
【答案】
【解析】、菱形和平行四边形的对角线都互相平分，故选项不符合题意；
、菱形和平行四边形的对角线都不一定相等，故选项不符合题意；
、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线不一定互相垂直，故选项符合题意；
、菱形和平行四边形的四个角都不一定相等，故选项不符合题意；
故选．
2．如图，矩形中，，是的中点，，则长为
A． B．2 C． D．3
【答案】
【解析】四边形是矩形，
，，
是的中点，
，
，
，
，故选．
3．如图，在正方形中，点，分别在和边上，，，，则的面积为
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】
【解析】四边形是是正方形，
，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
的面积．故选．
4．在四边形中，，下列选项中，不能判定四边形为矩形的是
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】
【解析】．，，四边形是平行四边形，
，平行四边形是矩形，故选项不符合题意；
．，，四边形是平行四边形，，
，，平行四边形是矩形，故选项不符合题意；
．，，
，，四边形是平行四边形，
，不能判定四边形为矩形，故选项符合题意；
、，，四边形是平行四边形，
，四边形是矩形，故选项不符合题意；
故选．
5．如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：
甲：连接，作的中垂线交、于、，则四边形是菱形．
乙：分别作与的平分线、，分别交于点，交于点，则四边形是菱形．
则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为
A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
【答案】
【解析】甲的作法正确；
四边形是平行四边形，，，
是的垂直平分线，，
在和中，，
，，
又，四边形是平行四边形，
，四边形是菱形；乙的作法正确；
，，，
平分，平分，，，
，，
，，
，且，四边形是平行四边形，
，平行四边形是菱形．故选．
6．如图，四边形的对角线、相交于，下列判断正确的是
A．若，则四边形是菱形
B．若，则四边形是矩形
C．若，，则四边形是正方形
D．若，，则四边形是平行四边形
【答案】
【解析】、若，则四边形不一定是菱形，故选项不符合题意；
、若，则四边形不一定是矩形，故选项不符合题意；
、若，，则四边形不一定是正方形，故选项不符合题意；
、，，四边形是平行四边形，故选项符合题意；
故选．
7．小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图，测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图，，则图2中对角线的长为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图1，四边形是正方形，，
，
在图2中，连接交于，
，，
是等边三角形，则，
四边形是菱形，
，，，
，
，故选．
8．如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，点为的中点，则线段的最小值为
A．4.8 B．5 C．2.4 D．3.6
【答案】
【解析】如图，连接，
，且，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，，
当时，的值最小，
此时，，
，
的最小值为2.4，故选．
9．如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，
矩形的面积为12，，
，
对角线，交于点，
的面积为3，
，，
，即，
，
，
，故选．
10．如图，平行四边形的对角线，相交于点，点为的中点，连接并延长交于点，，．下列结论：①；②；③四边形是菱形；④，其中正确结论的个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】
【解析】点为的中点，，
四边形是平行四边形，，，
，，，
，是等边三角形，
，
，
，即，
，，故①正确；
在平行四边形中，，，，
，
在和中，，
，
，
四边形是平行四边形，
又，点为的中点，
，平行四边形是菱形，故③正确；
，
在中，，，故②正确；
在平行四边形中，，
又点为的中点，，故④正确；
正确的结论有4个，故选．
二．填空题（共6小题）
11．在菱形中，对角线，，则菱形的周长是 ．
【答案】．
【解析】四边形是菱形，
菱形的边长，
菱形的周长是，
故答案为：．
12．如图，在中、相交于点，，当 时，是矩形．
【答案】4．
【解析】四边形为平行四边形，
要使四边形为矩形，则，
，故答案为：4．
13．如图，剪两张对边平行的纸条，纸条宽度相等，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形是 ．
【答案】菱形．
【解析】过点分别作于点，于点，
，，四边形是平行四边形，
，
纸条宽度相等，，
在和中，，
，
，
平行四边形是菱形．故答案为：菱形．
14．某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．
已知广场中心有一座边长为的正方形的花坛．学生会提出两个方案：
方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为；
方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为；
具体数据如图所示，则 ．（填“”，“ ”或“”
【答案】．
【解析】方案一：如图1，，
方案二：如图2，，
，
．故答案为：．
15．如图，平行四边形中，过作于，交于，过作于，交于，连结、，那么：
①；
②四边形是平行四边形；
③当时，四边形是菱形；
④当、分别是、中点时，四边形是正方形．
则下列结论中正确的有 ．
【答案】①②③．
【解析】四边形是平行四边形，，，，
，
，，，，
，
，故①正确；
，
，四边形是平行四边形，故②正确；
连接，如图：
当时，四边形是菱形，
，即，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，故③正确；
，，，
，
四边形是矩形，
当、分别是、中点时，不能证明两边相等，如图：
故④错误；
正确的有①②③，故答案为：①②③．
16．如图，矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为秒，若、分别是、的中点，且，当、、、为顶点的四边形为矩形时，的值为 ．
【答案】0.5或4.5．
【解析】连接，
四边形是矩形，，，，
、分别是、的中点，，
、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发，相向而行，速度均为，
，
，即，
在与中，，
，，
在与中，，
，，
四边形是平行四边形，
，
当，四边形是矩形，分两种情况：
①当时，，即，解得：，
②当时，，即，解得：，
当或4.5时，四边形是矩形，
故答案为：0.5或4.5．
三．解答题（共8小题）
17．已知：如图，菱形中，点，分别在，边上，，连接，．求证：．
【解析】证明：连接，
四边形是菱形，
，且，，
．
18．如图，、、、分别是正方形四条边上的点，且．求证：四边形是正方形．
【解析】四边形是正方形．
证明：，
．
，
．
，．
四边形是菱形．
，，
．
．
四边形是正方形．
19．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，顶点的坐标为，，求顶点的坐标．
【解析】如图，过点作轴于，
则，
顶点的坐标为，，
，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，．
20．如图1，广场中心花坛，已知米，且．现在延长，相交于点，将图1补充完善成图2，此时与两点之间的距离为多少？
【解析】米，
米，
，
，
是等边三角形，
米，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
连接，交于，
，，
（米，
（米，
米，
答：与两点之间的距离为米．
21．如图，是的角平分线，的垂直平分线分别交、于点、，连接、．
（1）判断四边形的形状，并证明；
（2）当，时，求的长．
【解析】（1）四边形是菱形，理由如下：
平分，
，
又，
在和中，，
，
，
垂直平分，
、相互平分，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形为菱形；
（2）由（1）知四边形为菱形，
，，
，
，
，，
即，
解得：．
22．如图，中，，，外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足．
（1） （直接写出结果不写解答过程）；
（2）①求证：四边形是正方形．
②若，求的长．
【解析】（1）解：，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
故答案为：45；
（2）①证明：作于，如图1所示：
则，
，，
，
四边形是矩形，
，外角平分线交于点，
，，
，
四边形是正方形；
②解：设，
，，
由①得四边形是正方形，
，
在与中，，
，
，
同理，，
在中，，
即，解得：，
的长为2．
23．如图，在矩形中，，，，对角线，交于点，点，分别是，延长线上的点，且，，，连接，点为的中点．连接，交于点，连接．
（1）猜想：是的中点吗？并加以证明；
（2）求的长．
【解析】（1）是的中点．
证明：取中点，连接．
矩形中，对角线，相交于点，
四边形是矩形，
，，
又点是中点，
，，，
，，，
，
在和中，，
，
，
点是的中点；
（2）连接．
四边形是矩形，
．
，
，
．
，
，是中点，
．
，
．
在中，，，．
由勾股定理得：．
是中点，是中点，
．
24．如图，在中，，过点的直线，为边上点，过点作交直线与，垂足为，连接，．
（1）求证：；
（2）当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明理由；
（3）在满足（2）的条件下，当再满足 条件时，四边形是正方形（直接填写答案）．
【解析】（1）证明：，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
为中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，为中点，
，
四边形是菱形；
（3）解：当是等腰直角三角形时，四边形是正方形；理由如下：
，
当是等腰直角三角形，
为的中点，
，
，
四边形是正方形，
故答案为：等腰直角三角形．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
