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专题5-4. 特殊平行四边形中的最值模型-将军饮马模型
模块1：模型简介
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决将军饮马问题主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短；涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
模块2：核心模型点与典例
模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧：
【最值原理】两点之间线段最短。 上图中A’是A关于直线m的对称点。
例1．（2023·山西运城·九年级统考期中）如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查轴对称最短路径，勾股定理的综合，理解图示，作出对称点，运用勾股定理是解题的关键．作点A关于直线的对称点，其与的交点即为点E，过点O作于点F，，O，E在同一条线上的时，最小，此时：，再结合正方形的性质和勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，作点A关于直线的对称点，其与的交点即为点E，过点O作于点F，∴，，O，E在同一条线上的时，最小，
此时：，
∵正方形，点O为对角线的交点，∴，∴，
∵A与关于对称，∴，∴，
在中，，故选：D．
例2．（2023上·山东青岛·八年级校考自主招生）如图，正方形的边长为6，点E，F分别为边，上两点，，平分，连接，分别交，于点G，M，点P是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接，则下列结论正确的个数是（ ）
①；②；③的最小值为；④三角形的面积是．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据正方形的性质以及，可得，进而可得，由等腰三角形三线合一可得，即点M关于对称的点为点B；过点B作，结合正方形的对角线相互垂直平分即可得出答案．
【详解】四边形为正方形，
在和中，故①正确；
平分
由等腰三角形的三线合一可得，，故②错误；
点M关于的对称点为点B 过点B作，交于点
则的最小值即为的长
正方形的对角线相互垂直且平分
的最小值为，故③正确；
，故④错误；故选B．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题以及正方形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
例3．（2022·湖南娄底·中考真题）菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为______．
【答案】
【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，
菱形的边长为2，，中，
PQ+QC的最小值为故答案为：
【点睛】本题考查菱形性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题关键．
例5．（2023上·福建漳州·九年级校考期中）如图，矩形中，点为的中点．点为对角线上的一动点．则的最小值等于（）
A． B．6 C． D．8
【答案】B
【分析】作点于直线的对称点，连接、、，在取一点，使得点与点关于直线成抽对称，则,，，，当点、、三点共线时，的值最小，利用勾股定理及等边三角形的性质求出即可．
【详解】解：作点于直线的对称点，连接、、，在取一点，使得点与点关于直线成抽对称，则,，，，当点、、三点共线时，的值最小，
∵四边形是矩形，∴,,
∵,∴，，
∴,,∴是等边三角形，
∵，∴,∴,
∴的最小值等于故选：B．
【点睛】本题主要考查轴对称和最短路线问题，矩形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，确定点的位置是解答本题的关键．
例5．（2023下·湖南湘西·八年级校联考期中）如上图所示，矩形，，，点是边上的一个动点，点是对角线上一个动点，连接，，则的最小值是（ ）
A．6 B． C．12 D．
【答案】B
【分析】作点关于的对称点，过点作于点，交于点，即可得到的最小值为，再解直角三角形即可解答．
【详解】解：作点关于的对称点，过点作于点，交于点，如图：
由对称性可得，，
当，，三点共线，且时，即点在点处，点在点处时，的值最小．
，，，，，
，，．故选：B．
【点睛】本题主要考查矩形的性质和线段和最小值问题，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，解题的关键在于作出适当的辅助线．
例6．（2022上·重庆大渡口·九年级校考期末）如图，在矩形中，，点E在上，点F在上，且，连结，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】证得，作点关于的对称点，则，据此即可求解．
【详解】解：连接，作点关于的对称点，连接
由题意得：
∵∴∴
∵∴
∴的最小值为 故答案为：
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质等．通过证全等和作对称得出是解题关键．
例7．（2023上·福建龙岩·九年级校考期中）如图，在平行四边形中，，，，点E是边上且．F是边上的一个动点，将线段绕点E逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值 ．
【答案】
【分析】取得中点N，连接，，，作交的延长线于点H，先求出，，，再说明是等边三角形，根据“”证明≌，可求，即可得出点G的运动轨迹是射线，然后证明≌，可确定的最小值，根据勾股定理求出答案即可．
【详解】解：如图，取得中点N，连接，，，作交的延长线于点H．
由题意，得，，．
∵点N是的中点，∴，∴．∵，∴是等边三角形，
∴，，，∴．
∵，，∴，∴，
∴，∴点G的运动轨迹是射线．
∵，，，∴，
∴，∴．
在中，，，，
∴，，∴．
根据勾股定理，得，
∴，∴的最小值是．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形与旋转的综合问题，全等三角形的性质和判定，三角形三边关系，勾股定理等，确定点G的运动轨迹是解题的关键．
模型2. 求多条线段和（周长）最小值
【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧：
（3）两个点都在内侧：
（4）台球两次碰壁模型
1）已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.
2）已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），当四边形的周长取最小值时，四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作E关于BC的对称点，点A关于的对称点，连接，四边形的周长最小，根据，即可解．
【详解】解：如图1所示，作E关于BC的对称点，点A关于的对称点，连接，四边形的周长最小，
∵，，∴，．
∵，D是的中点，∴是的中位线，
∴，，∵，∴，
∴，即，，，
，故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形相似的判定和性质，中位线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，找出四边形的周长最小时，P、Q的位置．
例2．（2023.无锡市初三数学期中试卷）方法感悟：如图①，在矩形中，，是否在边上分别存在点G、H，使得四边形的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决：
【答案】（1）存在得四边形的周长最小，最小值为；（2）当所裁得的四边形部件为四边形时，裁得了符合条件的最大部件，这个部件的面积为，
【分析】作E关于的对称点，作F关于BC的对称点，连接，交于G，交于H，连接，得到此时四边形的周长最小，根据轴对称的性质得到，于是得到，求出即可得到结论；
【详解】解：（1）存在，理由：作E关于的对称点，作F关于的对称点，连接，交于G，交于H，连接，∴，则此时四边形的周长最小，
由题意得：，∴，
∴，
∴四边形的周长的最小值2，
∴在边上分别存在点G、H，使得四边形的周长最小，最小值为；
例3．（2023春·湖北黄石·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，、分别是和上的两个动点，为的中点，则
（1）的最小值是________；
（2）若，则的最小值为________．
【答案】 /
【分析】（1）延长作点D的关于点A的对称点，延长作点M的关于点C对称点，作，且，即为最小值；
（2）过点E作于P，可得，则，故求的最小值即先求的最小值．过点E作，且，可知当D，E，三点共线时，最小．利用，可求得，进一步计算即可得出答案．
【详解】解：（1）如下图所示，延长作点D的关于点A的对称点，延长作点M的关于点C对称点，作，且，
可得，∴，∴的最小值为，
∵，且，四边形为矩形，∴四边形为矩形，
∵为的中点∴，，
∴；
（2）过点E作于P，∵，∴，∴，
则，∴求的最小值即先求的最小值．
过点E作，且，
∴，∴当D，E，三点共线时，最小．
此时，∴，∴，∴，
设，则．∴，解得，∴，，
，，∴，
∴的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题、矩形的性质，根据题意找到使所求线段的和最小时点的位置是解题的关键．
例4．（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，，在的同侧，，，，为的中点．若，则长的最大值是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】D
【分析】如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，证明为等边三角形，即可解决问题．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点．
，，，，
，为等边三角形
，的最大值为，故选：D．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题
模型3.求两条线段差最大值
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；
（1）点A、B在直线m同侧：
延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此时最大，
因此点P为所求的点。
（2）点A、B在直线m异侧：
过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’
【最值原理】三角形两边之差小于第三边。
例1．（2023·广东·九年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，，AC与BD交于点O，点N在AC上且AN＝2，点M在BC上且BM＝BC，P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为 ．
【答案】2
【分析】作点关于的对称点，连接，从而可得，再根据菱形的性质、等边三角形的判定证出是等边三角形，然后根据等边三角形的性质可得，由此即可得．
【详解】解：四边形是菱形，，，，，
，是等边三角形，，，
，，如图，作点关于的对称点，连接，则，
，当且仅当共线时，等号成立，
，，，是等边三角形，
，即的最大值为2，故答案为：2．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
例2．（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为________，的最小值为__________．
【答案】
【分析】①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度，证明四边形是矩形可得，，，再利用勾股定理进行计算即可；
②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小，
的最小值为的长度，延长交于点G，根据对称的性质可得，再根据，点O是的中点，可得，从而求得，再利用勾股定理进行计算即可．
【详解】解：①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度，
∵四边形是矩形，∴，，∴，
∵点O是的中点，∴，
又∵，∴，∴，，
∵，∴，过点P作于点P，
∵，∴四边形是矩形，
∴，，∴，
∴，∴；
②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小，
的最小值为的长度，延长交于点G，
∵，点O是的中点，∴，
∴，，∴，，
∴，∴的最小值为：，故答案为：；．
【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称 最短路径，熟练掌握相关知识是解题的关键．
例3．（2023·浙江·八年级专题练习）如图，四边形中，，，，点为直线左侧平面上一点，的面积为，则的最大值为 ．
【答案】10
【分析】如图，过点作 于．过点作直线，作点关于直线的对称点，连接交直线于，此时的值最大，即的值最大，最大值为线段的长，过点作于． 利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵，∴，
∴是直角三角形，且，∴
如图，过点作 于．
∵的面积为，即，∴，
过点作直线，作点关于直线的对称点，连接交直线于，此时的值最大，即的值最大，最大值为线段的长，过点作于．
∵，∴四边形是矩形，∴，
∵，∴，∴，
∴的最大值为10．故答案为10．
【点睛】本题考查轴对称 最短问题，三角形的面积，矩形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考填空题中的压轴题．
模块3：同步培优题库
全卷共21题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·湖北鄂州·二模）如图，矩形中，，点在上，且，点分别为边上的动点，将沿直线翻折得到，连接，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【分析】作关于的对称点，连接，根据条件求出的长度，当、、、四点共线时，最小，即可求出答案．
【详解】解：作关于的对称点，连接，，，
沿直线翻折得到，， ，
，， ， 四边形为矩形，，
在中， ，当、、、四点共线时，最小，
最小为，的最小值为．故选：D．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解答的关键是作出辅助线．
2．（2023·河南信阳·校考三模）如图，菱形，，边长为4，点E在上，且，F为对角线上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】由于点B与D关于对称，所以连接．此时最小，再作垂足为M，根据菱形的性质、勾股定理计算．
【详解】解：连接，过点作于点M．
∵四边形是菱形，∴B点关于的对称点即为点，
连接即为的最小值．
∵四边形是菱形，∴，．∴，
又∵，∴．∴是等边三角形．
又∵，∴．∴．
在中，．∴．
在中，．故选：B．
【点睛】本题主要考查的是轴对称-最短路径问题，菱形的性质，掌握轴对称-最短路径的确定方法、灵活运用勾股定理是解题的关键．
3．（2023下·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，矩形中，，，点E、F分别是、上的动点，，则的最小值是（ ）
A． B．12 C． D．16
【答案】A
【分析】连接，作点A关于的对称点G，连接，，根据轴对称的性质可得，，根据矩形的性质可得，，进一步可知四边形是矩形，根据矩形的性质可得，的最小值等于的最小值，即的长度，进一步求的长，即可确定的最小值．
【详解】连接，作点A关于的对称点G，连接，，如图所示：
则，，在矩形中，，，
∵，∴四边形是平行四边形，
∵，∴四边形是矩形，∴，
∴的最小值等于的最小值，等于的最小值，即的长度，
∵，，∴，根据勾股定理，得，
∴的最小值为，故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，涉及轴对称-最短路线问题，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
4．（2023下·江苏连云港·八年级校考阶段练习）如图正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，要使最小，则这个最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接．由正方形的对称性可知，则，依据两点之间线段最短可知当点、、在一条直线上时，有最小值，最小值为的长，然后依据正方形和等边三角形的性质求解即可
【详解】解：连接．
点与关于对称，，．
由两点之间线段最短可知当点为点处时，有最小值，最小值为的长．
正方形的面积为，，
又是等边三角形，，的最小值为故选：C．
【点睛】本题考查的是正方形的性质和轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题关键．
5．（2023下·广西钦州·八年级校考阶段练习）已知点、，点在轴上，则最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取B点关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点M，即，在x轴上另取一点N，即根据对称的性质有，即，当A、N、三点共线时取等号，即M点满足取最大值，再根据勾股定理即可求解．
【详解】取B点关于x轴的对称点，连接并延长交x轴于点M，如图，
即根据对称的性质有，∴，
在x轴上另取一点N，如图，即根据对称的性质有，
∴，当A、N、三点共线时取等号，
即M点满足取最大值，∵，∴，
∵，∴，∴的最大值为，故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，勾股定理等知识，构造合理的辅助线，找到M点是解答本题的关键．
6．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，点是正方形内部一个动点，且，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取，则,证明得出，进而证明，即可证明，得出，则当三点共线时，取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，取，则,连接，
∵，，
∴点在以为圆心为半径的圆上运动，点在以为圆心为半径的圆上运动，
在中，，∴，
∴，∴，
∵，∴，即，∴，
又，，∴，∴，
当时，则当三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
在中，，故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
7．（2023·重庆北碚·九年级校考开学考试）如图，矩形中，，点是矩形内一动点，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM=x．由PM垂直平分线段DE，推出PD=PE，推出PC+PD=PC+PE≥EC，利用勾股定理求出EC的值即可．
【详解】解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM=x．
∵四边形ABC都是矩形，∴AB∥CD，AB=CD=4，BC=AD=6，
∵S△PAB=S△PCD，∴×4×x=××4×（6-x），∴x=2，∴AM=2，DM=EM=4，
在Rt△ECD中，EC==4，
∵PM垂直平分线段DE，∴PD=PE，∴PC+PD=PC+PE≥EC，
∴PD+PC≥4，∴PD+PC的最小值为4．故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
8．（2023上·安徽滁州·九年级校联考期中）如图，菱形的边长为4，且于点为上一点，且的周长最小，则的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先确定出的周长的最小值就是的最小值，然后利用将军饮马问题的模型构造出的周长的最小值，再利用勾股定理求出，进而解决问题．
【详解】解：连接交于点，连接，，
四边形是菱形，对角线所在直线是其一条对称轴，点，点关于直线对称，与是等边三角形，，，是的中点，，
的周长，
要求的周长的最小值可先求出的最小值即可，
而的最小值就是的长，过点作，交的延长线于点，
四边形是菱形，，，在中，
，，在中，，，
，的周长的最小值为，故选：B．
【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，菱形的性质，勾股定理，特殊值的三角函数，掌握相关图形的性质和构造出最短路线是解题的关键．
9．（2023上·辽宁朝阳·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点N，M；②分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在矩形内交于点G；③作射线，若，F为边的中点，E为射线上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】B
【分析】在上截取，连接，可证（），可得，当、、三点共线时，最小，即最小，由即可求解．
【详解】解：如图，在上截取，连接，
由作法可得平分，，
在和中，（），
，，
当、、三点共线时，最小，即最小，
四边形是矩形，，是的中点，，
，的最小值；故选：B．
【点睛】本题考查了线段和最小值的典型问题，矩形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，找出取得最小值的条件是解题的关键．
10．（2022·山东泰安·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且EF＝4，点M是EF的中点，点Q是AB的中点，连接PQ、PM，则PQ+PM的最小值为（ ）
A．10 B． C．8 D．
【答案】C
【分析】延长QA得到点N，使QA=NA，连接MN，可得，进而求得，当M、P、N再同一直线上时，最小，即最小，根据题意，点M的轨迹是以点B为圆心，以为半径的圆弧上，圆外一点N到圆上一点M距离的最小值，再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和勾股定理进行求解即可．
【详解】延长QA得到点N，使QA=NA，连接MN，
，，
当M、P、N再同一直线上时，最小，即最小，
根据题意，点M的轨迹是以点C为圆心，以为半径的圆弧上，圆外一点N到圆上一点M距离的最小值，点M是EF的中点，EF＝4，，
在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点Q是AB的中点，
，，，
，即PQ+PM的最小值为8，故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023下·四川资阳·八年级校考阶段练习）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，，点P是上一动点，点E是的中点，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】如图：连接，过D作,垂足为H，先根据菱形的性质即可计算出、的长，再运用勾股定理求得，进而求得,然后运用勾股定理求得的长，最后根据线段的性质得到的最小值为的长即可解答．
【详解】解：如图：连接，过D作,垂足为H
∵四边形是菱形，对角线AC，BD相交于点O，，
∴，，，∴，
又∵E是的中点，∴，∵，
∴，∴，∴，∴,∴
∵，∴的最小值为DE的长，即的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、两点直接线段最短等知识点，掌握菱形的性质以及两点之间线段最短是解答本题的关键．
12．（2023·湖南·统考一模）如图，正方形的边长为，点在上且，为对角线上一动点，则周长的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接，，当，，在一条直线上时，可以取得最小值，最小值为，可证得，得到，进而可求得答案．
【详解】如图所示，连接，．
根据题意可知，当，，在一条直线上时，可以取得最小值，最小值为．
．
在和中，，∴．∴．
∴的最小值为．∴周长的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形判定、正方形的性质、勾股定理，能根据题意构建辅助线是解题的关键．
13．（2023下·四川成都·八年级校考期中）在中，点为边上一点，将沿着翻折得到，点为中点，连接、，若，，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】取的中点，连接，，利用翻折的性质证明全等，得到，判断出的最小值就是的长，再过点作于点，求出，，最后在中，利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：取的中点，连接，，过点作于点，则，
由翻折得到，，又点为中点，，，
在和中， ，，，
要求的最小值，只要求的最小值即可，
当，，三点在一条直线上时，取最小值，
此时，即的最小值为．
在中，，，则
∴,，
在中，，故答案为：．
【点睛】本题是以翻折为背景两线段和最小值问题，考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，三角函数定义，勾股定理．利用翻折将不共端点的两线段的和转化为共端点的两线段的和是解题关键．
14．（2023下·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）如图，四边形是矩形纸片，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后再过点折叠矩形纸片，使点落在上的点处，折痕为；再次展平，连接，．则 ，若为线段上一动点，是的中点，则的最小值是 ．
【答案】 /60度
【分析】首先根据垂直平分，可得；然后根据折叠的性质，可得，据此判断出为等边三角形，根据等边三角形的性质得到；点是的中点，根据折叠可知点和点关于对称可得，因此与重合时，，据此求出的最小值即可．
【详解】解：如图，连接，设与的交点为点，
对折矩形纸片，使与重合，折痕为，垂直平分，，
折叠矩形纸片，使点落在上的点，，
，为等边三角形，，
点是的中点，点是的中点，由折叠可知：点和点关于对称，，
与重合时，有最小值，此时，
，，故答案为：，．
【点睛】本题考查了几何变换综合问题，折叠的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质、矩形的性质、轴对称最短问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
15．（2023·广西·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，，动点，分别从点，以相同的速度同时出发，沿，向终点，运动，连接，，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据动点，分别从点，以相同的速度同时出发，沿，向终点，运动，得出，设，由，由勾股定理可得 根据二次函数最值可得当时，值最小，此时，此时值最小，则最小值，把代入即可求解．
【详解】解：∵矩形∴，，，
∵动点，分别从点，以相同的速度同时出发，沿，向终点，运动，∴
设，由，∴，
，∴
∵，∴当时，值最小，此时，
此时也是最小，即当时，值最小，
∴最小值．故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，二次函数撮值，根据题意得出当时，值最小，此时，则此时值最小是解题的关键．
16．（2023上·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，，在的同侧，点A在线段上，，，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】如图：将沿折叠形成，将沿折叠形成，连接，，根据折叠的性质和等腰三角形的性质可得、，再结合可得，运用勾股定理可得，最后根据两点之间、线段最短可得当且仅当四点共线时，有最大值，最后据此求解即可．
【详解】解：将沿折叠形成，将沿折叠形成，连接，，
∵，，
∴，，∴，∴，同理：，
∵∴，
∴,∴,∴,
当且仅当四点共线时，有最大值，即的最大值为：．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、最短距离等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
17．（2023·湖北·统考二模）如图，已知，正中，，将沿翻折，得到，连接，交于点，点在上，且，是的中点，是上的一个动点，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据题意可知，当点运动到点时，最大，利用勾股定理求出此时和的长即可解决问题．
【详解】解：如图，作点关于对称点，，在中，，
，当点运动到点时，最大为，
为等边三角形，，，
将沿翻折，得到，，
四边形为菱形，，，，
，，，
为中点，，，，
的最大值为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称﹣线段问题，等边三角形的性质，勾股定理等知识，明确同侧差最大是解题的关键．
18．（2023·山东日照·校考二模）如图，在边长为1的正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），以为直角边在直线上方作等腰直角三角形，，连接，则在点E的运动过程中，周长的最小值是______．
【答案】
【分析】首先说明点在射线上运动，作点关于的对称点，则点、、在一条直线上，此时的最小值即为的长，即可得出答案．
【详解】解：证明：四边形是正方形，，
，，，，
在上取点，使，连接，，，，
，，，，
，，
作点关于的对称点，则点、、在一条直线上，此时的最小值即为的长，
在中，由勾股定理得，
以、、为顶点的三角形周长的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称-最短路线问题等知识，确定点的运动路径是解题的关键．
三、解答题（本大题共3小题，共30分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·河北邯郸·九年级校考期中）已知正方形，，点E是射线BC上一动点（不与点B重合），连接，线段绕点E顺时针旋转，得到线段，垂直于线段的延长线于点H，连接．(1)求证：．(2)求的度数．(3)连接，直接写出的最小值．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【分析】（1）先由旋转可知，进一步证明，再根据可证明；（2）先根据得到，再证明，最后求出的度数即可；（3）作点D关于的对称点M，连接交于点P，连接、，先证明点M在线段的延长线上，求出，再由勾股定理求出的长，最后根据求出答案．
【详解】（1）证明： 线段绕点E顺时针旋转，得到线段，，，
四边形是正方形，， ，，
又，，在与中，，；
（2）解：，，
，，，即，，
，；
（3）解：如图，作点D关于的对称点M，连接交于点P，连接、，
由（2）可知，
，，，
点D关于的对称点M，，，
点M在线段的延长线上，即，
，，
（当且仅当点F与点P重合时等号成立），
，的最小值为．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握相关知识是解题关键．
20．（2023下·海南·九年级校联考期中）如图1，已知四边形为正方形，连接．
(1)求证：；(2)如图2，若正方形的边长为4，是边上的一个动点．
①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②连接，若，求线段长；③求的最小值．
【答案】(1)见解析(2)①结论：，理由见解析；②；③
【分析】（1）由“”可证，可得结论．
（2）①延长，交于点H，由“”可证，可得，由四边形内角和定理可求，可得结论．②过点G作，交延长线于点H，由“”可证，可得，，由勾股定理可求解．③说明点G的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4，作点D关于直线的对称点T，连接，．在中，可得．根据求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，
，．
在和中，；
（2）解：①结论：．
理由：如图，延长交于点，
∵四边形为正方形，，，
．即．
在和中，，，；
，．
，，；
②如图，过点作，交延长线于点，
，．，．
又，，，，
，；
③如图，作点关于直线的对称点，连接．
由②可知，，∴点的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4，
∵在中，，，，．
，．
，，的最小值为．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最值问题，属于中考压轴题．
21．（2023·山东青岛·九年级校联考期中）几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个顶点．
问题：在直线l上确定一点P，使的值最小．
方法：作点关于直线的对称点，连接交于点，则的值最小（不必证明）
模型应用：(1)如图2，已知平面直角坐标系中两定点和，P为x轴上一动点，则当的值最小时，点P的横坐标是___________，此时___________．
(2)如图3，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点，连接，由正方形对称性可知，与关于直线对称，则的最小值是___________．
(3)如图4，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，则的最小值为___________．
(4)如图5，在菱形中，，，点是边边的中点，点，分别是，上的两个动点，则的最小值是___________．
【答案】(1)；(2)(3)(4)
【分析】（1）取点关于轴对称的点，连接，交轴于点，作轴于，则此时的值最小，根据点的坐标，得出，，，进而得出，，再根据“角角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，进而得出点的横坐标，再根据平行线间的距离相等，得出，再根据勾股定理，计算即可得出答案；
（2）根据对称性和线段最短，得出的最小值是的长，再根据中点的定义，得出，再根据勾股定理，计算出，进而即可得出的最小值；
（3）设与交于点，连接，，根据对称性，得出，再根据线段最短，得出当点运动至点时，的最小值，此时最小值为的长，再根据正方形的面积，结合算术平方根的定义，得出，再根据等边三角形的性质，得出，进而得出的最小值；
（4）作垂足为与交于点，根据菱形的性质，得出，，再根据等边三角形的判定定理，得出是等边三角形，再根据三线合一的性质，得出，再根据线段最短，得出点关于的对称点在上，此时的最小，最小值为的长，再根据三线合一的性质，得出，再根据含角的直角三角形的性质，得出，再根据勾股定理，计算得出，进而即可得出答案．
【详解】（1）如图，取点关于轴对称的点，连接，交轴于点，作轴于，
则此时的值最小，∵和，
∴，，，∴，，
∵，，∴，
∴，∴点的横坐标为，
∵轴，∴，∴，∴，
∴当的值最小时，点的横坐标是，此时；故答案为：；；
（2）解：∵点与关于直线对称，∴的最小值是的长，
∵正方形的边长为，为的中点，∴，
在中，，∴的最小值是；故答案为：；
（3）解：如图，设与交于点，连接，，
∵点与关于直线对称，∴，
∴当点运动至点时，的最小值，此时最小值为的长，
∵正方形的面积为，∴，又∵是等边三角形，∴，
∴的最小值为；故答案为：；
（4）解：如图，作垂足为与交于点，
∵四边形是菱形，∴，
∵，∴，∴是等边三角形，∵是中线，∴，
∴点关于的对称点在上，此时的最小，最小值为的长，
在中，∵，，，
∴，∴，∴的最小值是．故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形、轴对称—最短路径问题、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握轴对称—最短路径的确定方法、并灵活运用勾股定理是解本题的关键．
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专题5-4. 特殊平行四边形中的最值模型-将军饮马模型
模块1：模型简介
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决将军饮马问题主要依据是：两点之间，线段最短；垂线段最短；涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
模块2：核心模型点与典例
模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧：
【最值原理】两点之间线段最短。 上图中A’是A关于直线m的对称点。
例1．（2023·山西运城·九年级统考期中）如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023上·山东青岛·八年级校考自主招生）如图，正方形的边长为6，点E，F分别为边，上两点，，平分，连接，分别交，于点G，M，点P是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接，则下列结论正确的个数是（ ）
①；②；③的最小值为；④三角形的面积是．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例3．（2022·湖南娄底·中考真题）菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为______．
例5．（2023上·福建漳州·九年级校考期中）如图，矩形中，点为的中点．点为对角线上的一动点．则的最小值等于（）
A． B．6 C． D．8
例5．（2023下·湖南湘西·八年级校联考期中）如上图所示，矩形，，，点是边上的一个动点，点是对角线上一个动点，连接，，则的最小值是（ ）
A．6 B． C．12 D．
例6．（2022上·重庆大渡口·九年级校考期末）如图，在矩形中，，点E在上，点F在上，且，连结，则的最小值为 ．
例7．（2023上·福建龙岩·九年级校考期中）如图，在平行四边形中，，，，点E是边上且．F是边上的一个动点，将线段绕点E逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值 ．
模型2. 求多条线段和（周长）最小值
【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧：
（3）两个点都在内侧：
（4）台球两次碰壁模型
1）已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.
2）已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），当四边形的周长取最小值时，四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023.无锡市初三数学期中试卷）方法感悟：如图①，在矩形中，，是否在边上分别存在点G、H，使得四边形的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决：
例3．（2023春·湖北黄石·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，、分别是和上的两个动点，为的中点，则
（1）的最小值是________；（2）若，则的最小值为________．
例4．（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，，在的同侧，，，，为的中点．若，则长的最大值是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
模型3.求两条线段差最大值
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；
（1）点A、B在直线m同侧：
延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此时最大，
因此点P为所求的点。
（2）点A、B在直线m异侧：
过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’
【最值原理】三角形两边之差小于第三边。
例1．（2023·广东·九年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，，AC与BD交于点O，点N在AC上且AN＝2，点M在BC上且BM＝BC，P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为 ．
例2．（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为________，的最小值为__________．
例3．（2023·浙江·八年级专题练习）如图，四边形中，，，，点为直线左侧平面上一点，的面积为，则的最大值为 ．
模块3：同步培优题库
全卷共21题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·湖北鄂州·二模）如图，矩形中，，点在上，且，点分别为边上的动点，将沿直线翻折得到，连接，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．
2．（2023·河南信阳·校考三模）如图，菱形，，边长为4，点E在上，且，F为对角线上一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
3．（2023下·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，矩形中，，，点E、F分别是、上的动点，，则的最小值是（ ）
A． B．12 C． D．16
4．（2023下·江苏连云港·八年级校考阶段练习）如图正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，要使最小，则这个最小值为( )
A． B． C． D．
5．（2023下·广西钦州·八年级校考阶段练习）已知点、，点在轴上，则最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，点是正方形内部一个动点，且，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·重庆北碚·九年级校考开学考试）如图，矩形中，，点是矩形内一动点，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023上·安徽滁州·九年级校联考期中）如图，菱形的边长为4，且于点为上一点，且的周长最小，则的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023上·辽宁朝阳·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点N，M；②分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在矩形内交于点G；③作射线，若，F为边的中点，E为射线上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
10．（2022·山东泰安·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且EF＝4，点M是EF的中点，点Q是AB的中点，连接PQ、PM，则PQ+PM的最小值为（ ）
A．10 B． C．8 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023下·四川资阳·八年级校考阶段练习）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，，点P是上一动点，点E是的中点，则的最小值为 ．
12．（2023·湖南·统考一模）如图，正方形的边长为，点在上且，为对角线上一动点，则周长的最小值为 ．
13．（2023下·四川成都·八年级校考期中）在中，点为边上一点，将沿着翻折得到，点为中点，连接、，若，，，则的最小值为 ．
14．（2023下·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）如图，四边形是矩形纸片，，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，展平后再过点折叠矩形纸片，使点落在上的点处，折痕为；再次展平，连接，．则 ，若为线段上一动点，是的中点，则的最小值是 ．
15．（2023·广西·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，，动点，分别从点，以相同的速度同时出发，沿，向终点，运动，连接，，则的最小值是 ．
16．（2023上·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，，在的同侧，点A在线段上，，，则的最大值是 ．
17．（2023·湖北·统考二模）如图，已知，正中，，将沿翻折，得到，连接，交于点，点在上，且，是的中点，是上的一个动点，则的最大值为 ．
18．（2023·山东日照·校考二模）如图，在边长为1的正方形中，E为边上一动点（点E，B不重合），以为直角边在直线上方作等腰直角三角形，，连接，则在点E的运动过程中，周长的最小值是______．
三、解答题（本大题共3小题，共30分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·河北邯郸·九年级校考期中）已知正方形，，点E是射线BC上一动点（不与点B重合），连接，线段绕点E顺时针旋转，得到线段，垂直于线段的延长线于点H，连接．(1)求证：．(2)求的度数．(3)连接，直接写出的最小值．
20．（2023下·海南·九年级校联考期中）如图1，已知四边形为正方形，连接．
(1)求证：；(2)如图2，若正方形的边长为4，是边上的一个动点．
①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②连接，若，求线段长；③求的最小值．
21．（2023·山东青岛·九年级校联考期中）几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个顶点．
问题：在直线l上确定一点P，使的值最小．
方法：作点关于直线的对称点，连接交于点，则的值最小（不必证明）
模型应用：(1)如图2，已知平面直角坐标系中两定点和，P为x轴上一动点，则当的值最小时，点P的横坐标是___________，此时___________．
(2)如图3，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点，连接，由正方形对称性可知，与关于直线对称，则的最小值是___________．
(3)如图4，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，则的最小值为___________．
(4)如图5，在菱形中，，，点是边边的中点，点，分别是，上的两个动点，则的最小值是___________．
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