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第5章 特殊平行四边形压轴（7个考点40题专练）
一．菱形的性质（共2小题）
1．（2023春 玉环市期中）如图，菱形中，，，、分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 ．
【分析】如图，的下方作，在上截取，使得，连接，．证明，推出，，根据求解即可．
【解答】解：如图，的下方作，在上截取，使得，连接，．
四边形是菱形，，
，，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为．
【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
2．（2023春 义乌市月考）如图，已知菱形的对角线，相交于点，点在的延长线上，且，连结．
（1）求证：．
（2）若，，求菱形的面积．
【分析】（1）由菱形的性质可得，，可证四边形是平行四边形，可得；
（2）由平行四边形的性质可得，由菱形的性质可得，，，在中，由勾股定理可求，由菱形的面积公式可求解．
【解答】证明：（1）四边形是菱形，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
；
（2）四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，，
，
，
菱形的面积．
【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，掌握菱形的面积公式是解题的关键．
二．菱形的判定（共1小题）
3．（2022春 下城区校级月考）如图，平行四边形中，对角线，交于点，，，，分别是，，的中点．下列结论正确的是
①；
②；
③平分；
④平分；
⑤四边形是菱形．
A．③⑤ B．①②④ C．①②③④ D．①②③④⑤
【分析】由中点的性质可得出，且，结合平行即可证得②正确，由得出，即而得出，由中线的性质可知，且，，证得出得出①正确，再证得出④再求，证出四边形是平行四边形，⑤③不正确；此题得解．
【解答】解：设和的交点为点，如图：
、分别是、的中点，
，且，
四边形为平行四边形，
，且，
，
点为的中点，
，
在和中，，
，即②正确，
，，
，
，点为平行四边形对角线交点，
，
为中点，
，
，
，为中点，
为中点，即，且，
在和中，，
，
，
，即①正确，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
平分，即④正确．
，，
四边形是平行四边形，
没有条件得出是菱形，⑤③不正确；
故选：．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、中位线定理以及平行线的性质定理，解题的关键是利用中位线，寻找等量关系，借助于证明全等三角形找到边角相等．
三．菱形的判定与性质（共2小题）
4．（2022春 鄞州区期中）如图，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接、．若，，则四边形的周长为 20 ．
【分析】首先可判断四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得，则可判断四边形是菱形，设，则，，在中利用勾股定理可求出的值．
【解答】解：，，
四边形是平行四边形，
，
，
又点是中点，
，
四边形是菱形，
设，则，，
在中，，
，即，
解得：，
故四边形的周长．
故答案为：20．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形是菱形．
5．（2022春 西湖区校级期末）如图，在中，，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，连接，，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求和的长．
【分析】（1）根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形是菱形；
（2）根据等腰三角形的性质和勾股定理可得，设，则，所以，，然后利用勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：，平分，
，，
，
四边形是菱形；
（2）解：，，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
．
和的长分别为8和．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
四．矩形的性质（共18小题）
6．（2023春 杭州期中）如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是
A．3 B． C． D．4
【分析】根据勾股定理求出，根据矩形的性质得出，即可得出答案．
【解答】解：
连接，过作轴于，
点的坐标是，
，，由勾股定理得：，
四边形是矩形，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了点的坐标、矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据矩形的性质得出是解此题的关键．
7．（2023春 温州月考）如图，矩形的面积为288，、、、分别是边，的三等分点，若，则阴影四边形的周长为
A．20 B．25 C．30 D．40
【分析】根据矩形的性质和已知条件证明四边形，四边形的平行四边形，根据矩形性质求出，证明四边形是菱形，进而可以解决问题．
【解答】解：如图，阴影四边形为，
四边形是矩形，
，
、、、分别是边，的三等分点，
，
四边形，四边形的平行四边形，
，，
是的中点，
是的中点，
，
，，
，，
，
，
，
矩形的面积为288，，
设，，
，
（负值舍去），
，，
，
，
，
同理，
，
四边形是菱形，
阴影四边形的周长为．
故选：．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
8．（2024春 柯桥区期中）如图，平行四边形的四个顶点分别在矩形的四条边上，，分别交，于点，，过点作，分别交，于点，，要求得平行四边形的面积，只需知道下列哪个四边形的面积即可
A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形
【分析】连接，，依据，即可得出，再根据，即可得到，进而得出要求得平行四边形的面积，只需知道四边形的面积即可．
【解答】解：如图所示，连接，，
由题可得，，，
，
又，，
，
，
又，
，
，
，
即，
要求得平行四边形的面积，只需知道四边形的面积即可．
故选：．
【点评】本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的性质的运用，解决问题的方法是作辅助线，通过连接四边形的对角线，将四边形的面积问题转化为三角形的面积问题来解决．本题的关键在于在复杂图形中找出，发现这一对应边相等的条件．
9．（2023春 北仑区校级期中）如图，在矩形中，点是对角线上一点，有且，点是上一动点，则点到边，的距离之和的值
A．有最大值 B．有最小值 C．是定值 D．是定值
【分析】连接，作于点，根据，得，可得，利用面积法得，将面积公式代入即可．
【解答】解：如图，连接，作于点，则，
，
在矩形中，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
则点到边，的距离之和的值是定值，
故选：．
【点评】本题主要考查正方形的性质，三角函数，等面积法，解决此题的关键是用等面积求出．
10．（2022春 上城区期末）已知，是矩形对角线的交点，作，，，相交于点，连结．下列说法正确的是
①四边形为菱形；②；③；④若，则．
A．①③ B．①②④ C．①④ D．③④
【分析】①先证明四边形是平行四边形，再根据四边形是矩形，可得，进而即可解决问题；
②当是等边三角形时，才能成立，进而可以判断；
③当是等边三角形时，才能成立，进而可以进行判断；
④设与交于点，证明是的垂直平分线，可得，然后证明，进而可以解决问题．
【解答】解：①，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
四边形为菱形；故①正确；
②当是等边三角形时，才能成立，故②错误；
③当是等边三角形时，才能成立，故③错误；
④如图，设与交于点，
，
，
，
，
是矩形对角线的中点，
是的中点，
是的垂直平分线，
，
四边形为菱形，
，
四边形是矩形，
，，，
，
在和中，
，
，
，
．
说法正确的是①④．
故选：．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．
11．（2022春 浦江县期中）如图，矩形的顶点，，，若矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第2021秒时，矩形的对角线交点的坐标为
A． B． C． D．
【分析】先计算点坐标，再过作轴于点，求出的度数，并求得，再根据题意求得矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转，第2021秒时，点的位置，进而求得点坐标．
【解答】解：矩形的顶点，，，
，
如图，过作轴于点，则，，
，
，
，
，
，
又旋转336周时，点刚好回到起始位置，
第2021秒时，矩形绕点逆时针旋转周，此时点在第一象限，
此时点的坐标为，
故选：．
【点评】本题考查旋转变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
12．（2022春 诸暨市月考）如图，一块长方形场地的长与宽的比是，，，垂足分别是、两点．现计划在四边形区域种植花草，则四边形与长方形的面积比等于
A． B． C． D．
【分析】由证明得出．由，即可得出四边形是平行四边形．设，则，由勾股定理求出，再求出、、的长，计算出四边形与矩形的面积，再作比值即可得到结论．
【解答】解：四边形是矩形，
，，，
．
，，
，．
在和中，
，
，
，，
又，
四边形是平行四边形，
设，则，
，
于点，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
四边形与矩形的面积之比为．
故选：．
【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
13．（2022春 鄞州区校级期中）如图，在矩形中，，，点是边上一动点，关于的对称点为，过作于，连接，若△为等腰直角三角形，则的长是
A．6 B．3 C． D．
【分析】如图作于交于．首先证明四边形是正方形，设边长为，则，，在中，根据，构建方程求出，再利用相似三角形的性质解决问题即可；
【解答】解：如图作于交于．
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，设边长为，则，，
在中，，
，
解得，
，
△，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程，属于中考常考题型．
14．（2023春 拱墅区校级期中）如图，两个全等的矩形，矩形如图所示放置．所在直线与，分别交于点，．若，，．则线段的长度是
A． B． C． D．2
【分析】作于．则四边形是矩形．利用全等三角形的性质证明，设，根据勾股定理构建方程即可解决问题；
【解答】解：作于．则四边形是矩形．
，，
，
，，
，
，
，
，设，
在中，，
解得，
，
故选：．
【点评】本题考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，关注全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
15．（2024春 柯桥区期中）如图，长方形中，，点、分别为线段、上动点，且，点是线段上一点，且满足，四边形关于直线对称后得到四边形，连接，当 3 时，点与点重合，在运动过程中，线段长度的最大值是 ．
【分析】当与点 重合时，设，则，，在中，由勾股定理得：即可解决；根据图形取中点，通过分析可知只有当、、 三点共线时，长度最大，利用勾股定理解决即可．
【解答】解：当与点 合时，
如图：
由于对称：，
设，则，，
在中，
由勾股定理得：；
，
则；
如图：取中点，
，
由题意知，无论如何变动，经过点，
连接、、，
在△中，
四边形关于对称得到四边形，
，故只有当、、 三点共线时、长度最大，
此时，
过点作，，，
在 中，，，
，
在中，，
，
，
故答案为：3；．
【点评】本题考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理的应用，属于综合题，理解题意是解决问题的关键．
16．（2022 海曙区校级开学）在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点分别作轴于点，轴于点，已知经过点的直线将矩形分成的两部分面积比为时，则的值为 或 ．
【分析】将点代入得，得，设直线与轴交于，与交于，分两种情况画图讨论：①当时，②当时；当直线过时，可以验证此时将矩形分成的两部分面积比为．
【解答】解：将点代入直线，得，
，
直线，
当直线与线段、相交时，如图，设直线与轴交于，与交于，
则，，，，
，，
直线将矩形分成的两部分面积比为，
①当时，，
，
解得；
②当时，，
，
解得（此时直线与边无交点，舍去），
当直线过点时，如图：
由、可得直线解析式为，
令得，
，
，，
，此时，
综上所述，或．
故答案为：或．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、两点间距离公式、梯形面积等知识，解题的关键是分类讨论．
17．（2023春 北仑区校级期中）如图，在矩形中，，，是上一个动点，过点作，垂足为，连接，取中点，连接，则线段的最小值为 ．
【分析】取的中点，连接，作于，作于，设，分别表示出，，，，进而表示出和，进而表示出，进一步得出结果．
【解答】解：如图，
取的中点，连接，作于，作于，设，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，，
，，
是的中点，
，，
，，
在中，
，
当时，的最小值为，
故答案为：．
延长至，使，连接，，
，
，，
，
是的中点，
，
当时，最小，此时，
的最小值为：，
故答案为：．
【点评】本题方法一运用了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，二次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形．本题方法二运用了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的中位线定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形的中位线．
18．（2022春 浦江县期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为中心，顺时针旋转矩形得到矩形，点，，的对应点分别为，，．记为矩形对角线的交点，则的最大面积为 ．
【分析】当点在线段上时，的面积最小，当点在的延长线上时，△的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题．
【解答】解：，，
，，
四边形是矩形，
，，，
，
，
矩形是由矩形旋转得到，
，
如图，当点在线段上时，的面积最小，
当点在的延长线上时，△的面积最大，
最大面积．
故答案为：．
【点评】本题考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．（2022春 临海市期中）如图，为矩形中边中点，、分别为、上的动点，且，若，，则的最小值为 ．
【分析】如图，过点作于．设，则．由勾股定理得到，欲求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到，和的距离之和最小（如图），作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小，最小值．
【解答】解：如图，过点作于．设，则．
四边形是矩形，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
欲求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到，和的距离之和最小（如图），
作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小，最小值，
，，
，
的最小值为，
解法二：延长到，延长到，使得，，连接，延长到，使得，过点作，使得，连接，，则．
，
，
的最小值为，
故答案为．
【点评】本题考查矩形的性质，勾股定理，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
20．（2023春 江干区校级期中）已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为．
（1）如图，连接、，求证四边形的菱形；
（2）求的长．
【分析】（1）根据全等推出，得出平行四边形，根据菱形判定推出即可；
（2）根据菱形性质得出，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
的垂直平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
（2）解：四边形是菱形，
，
设，则，，
四边形是矩形，
，
在中，由勾股定理得：，
解得，
即．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，用了方程思想．
21．（2022春 乐清市校级期中）如图，在矩形中，是边上点，连接，过点向作垂线，交于点，交的延长线于点，且满足．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【分析】（1）根据矩形的性质证明，进而可以解决问题；
（2）根据勾股定理可得的长，然后证明，可得，得，进而可以解决问题．
【解答】（1）证明：在矩形中，，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
的长为．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．
22．（2022春 慈溪市期末）如图，在矩形中，，，把边沿对角线平移，移动后的点，分别对应点，，连结，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当平行四边形为菱形时，求边平移的距离．
【分析】（1）由平移可得，，由矩形可得．，可得结论；
（2）由三角形面积可得，然后根据勾股定理即可求得，即可得出平移的距离．
【解答】（1）证明：由平移可知：，，
四边形是矩形，
．，
，，
四边形是平行四边形；
（2）解：如图，连接交于，
四边形是菱形，
，，
在矩形中，
，，
，
，
，
，
，
．
边平移的距离为．
【点评】此题考查了矩形、菱形的性质，平移的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
23．（2022春 浦江县期中）如图，长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动（移动一周）．
（1）写出点的坐标；
（2）当点移动了4秒时，求出点的坐标；
（3）在移动过程中，当的面积是10时，直接写出点的坐标．
【分析】（1）根据矩形的性质以及点的坐标的定义写出即可；
（2）先求得点运动的距离，从而可得到点的坐标；
（3）分点在上，在上，在上，在上四种情况讨论，由三角形的面积公式可求点坐标．
【解答】解：（1）点的坐标为，点的坐标为，
，，
点；
（2）点移动了4秒时的距离是，
点的坐标为；
（3）如图，
①当点在上时，，
，
点；
②当点在上，，
，
，
点，；
③当点在上，，
，
，
点；
④当点在上，，
，
点，．
综上，点的坐标为或，或或，．
【点评】本题考查了矩形的性质，三角形面积公式，解题的关键是掌握分类讨论思想和数形结合思想．
五．矩形的判定（共1小题）
24．（2024春 宁波期中）如图，将的边延长到点，使，连接，交边于点．
（1）求证：；
（2）连接、，若，求证：四边形是矩形．
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出，，再由得出，根据平行线的性质得出，，进而可得出结论；
（2）根据平行四边形的性质可得，，，再由，可得，进而可判定四边形是平行四边形，然后再证明即可得到四边形是矩形
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
，
．
，
，，
在与中，
，
；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形．
【点评】此题主要考查的值矩形的判定及平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等；对角相等；对角线互相平分．
六．正方形的性质（共14小题）
25．（2022春 温岭市期中）如图，四边形是正方形，是上的任意一点，于点，且交于点，若，则的值为
A． B． C． D．
【分析】利用正方形的性质得，，根据等角的余角相等得到，则可判断，得，，设，，在中，则勾股定理得出与的关系，进而计算阴影部分与正方形的面积，便可求得其面积比．
【解答】解：四边形为正方形，
，，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
设，，则，
，
，
，
整理得，，
解得，（舍或，
，，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查三角形全等的判定和性质和正方形的性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
26．（2022春 鄞州区校级期中）如图，在正方形中，点在对角线上，连接，于点，交于点，连接，已知，，则的面积为
A．4 B．5 C．10 D．
【分析】过作交于，交于，由四边形是正方形，可得、是等腰直角三角形，，可得，故，，可得，根据，可证明，即得，从而的面积为．
【解答】解：过作交于，交于，如图：，
四边形是正方形，
，，
、是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
的面积为，
故选：．
【点评】本题考查正方形性质及应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
27．（2022春 东阳市期末）如图，直线交正方形的对边、于点、，正方形和正方形关于直线成轴对称，点在边上，点在边上，、交于点，、交于点．以下结论错误的是
A． B．的周长等于线段的长
C．的周长等于线段的长 D．的周长等于
【分析】过点作垂直于，垂足为，连接，，，，根据两正方形关于直线对称，可得，，再根据边的转化即可证明选项不符合题意；根据对称可得，将的周长表示出来，在通过边的转化即可证明选项不符合题意；根据对称可得，即可证明选项符合题意；根据对称，可得，将周长表示出来，再根据边的转化即可证明选项不符合题意．
【解答】解：如图，过点作垂直于，垂足为，连接，，，，
则，
正方形和正方形关于直线成轴对称，
，，，
在和中，
，
，
，
同理可证：
，
，
，故选项不符合题意；
，
正方形和正方形关于直线成轴对称，
，
，
，
，故选项不符合题意；
由正方形和正方形关于直线成轴对称，可得，
，
，故选项符合题意；
由正方形和正方形关于直线成轴对称，可得，
，
，
，
，故选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称图形的性质，直角三角形全等的判定，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键．
28．（2022春 慈溪市期末）如图，正方形中，点为延长线上任一点，连结，过点作，交的延长线于点，过点作于点．下列结论：（1）； （2）；（3）； （4）若，则．
其中正确的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】在上取一点，使，连接、，证明，可得，，有，进而可得四边形是平行四边形，，可判断（1）正确；连接，证明四边形是平行四边形，得，，可得；判定（3）正确；连接交于，可证明得，从而判断（2）正确；设，，则，可得，，若，则，即可得，判断（4）正确．
【解答】解：如图1，在上取一点，使，连接、，
，
，
四边形是正方形，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
；故（1）正确；
连接，
由（1）知：，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
，
；故（3）正确；
连接交于，如图
四边形是正方形，
，
，，
，
，
，
，即，故（2）正确；
设，，则，
，，
，，
，
若，则，
即，故（4）正确，
正确的有：（1）（2）（3）（4），故4个，
故选：．
【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质及应用等，解题的关键是适当作辅助线，构造全等三角形解决问题．
29．（2022春 浦江县期中）如图，正方形的边长为，在正方形外，，过作于，直线，交于点，直线交直线于点，则下列结论正确的是
①；②；③；④若，则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①利用等腰三角形的性质即可证明．②根据，利用圆周角定理可知，即可解决问题．③如图，作交于，证明即可解决问题．④解直角三角形求出可得结论．
【解答】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，故①正确，
，
（圆周角定理）（这里也可以过点作于，于点，利用全等三角形的性质证明，，可得结论），
，
，
，故②正确，
如图，作交于，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，故③正确，
若，则易知，，
在中，，
，，
，
，故④错误．
故选：．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
30．（2023春 黄岩区期末）如图，在边长为2的正方形中，点，分别在边，上，，垂足为点，以，为边作矩形．若图中阴影部分面积为3，则矩形的面积为 3 ．
【分析】过点作于，交于，先证明，可推出，进而可得，，再求得，由，可得，即，再由直角三角形面积可得，利用，即可求得答案．
【解答】解：如图，过点作于，交于，
正方形的边长为2，
，，，
，
，垂足为点，
，
，
，
，
即，
，
，
，
即，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：3．
【点评】本题是正方形与矩形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，矩形面积，相似三角形的判定和性质等，综合性较强，有一定难度．
31．（2022春 鄞州区校级期末）如图，正方形中，点在上，连接，点在上，点在上，于点，连接、，的延长线交于点，，，，则的长为 ．
【分析】过点作于点，设与交于点，通过证明，得到，，利用勾股定理求得，的长；通过证明为的垂直平分线，得到；利用三角形的面积求得的长，则结论可得．
【解答】解：过点作于点，设与交于点，如图，
四边形是正方形，
，，
，
四边形为矩形，
，．
，
，
，
．
在和中，
，
．
．
，
．
．
在中，
，
，
解得：或3．
，
．
，
，
，
，
．
，
．
，
是的垂直平分线，
．
当时，，当时，，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线，三角形的面积，过点作于点是解题的关键．
32．（2021春 西湖区期末）如图，在正方形中，，为正方形内一点，，，连结，，过点作，垂足为点，交的延长线于点，连结．
（1）当时，求的度数；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）当时，求的长．
【分析】（1）由正方形的性质，求出，再根据三角形内角和定理求解即可即可求解．
（2）由等腰三角形的性质可得是的垂直平分线，可得，由四边形内角和定理，可求，即可求解．
（3）由正方形的性质和等腰直角三角形的性质可求，的长，在中，利用勾股定理可求解．
【解答】解：（1）四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
．
（2）结论：是等腰直角三角形．
理由：，，
是的垂直平分线，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形．
（3）如图，连接，
四边形是正方形，
，
为等腰直角三角形，，
，
，
，
，
（负根已经舍弃）．
【点评】本题考查了正方形性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
33．（2022春 赤坎区校级期中）如图，点是正方形对角线上一动点，点在射线上，且，连接，为中点．
（1）如图1，当点在线段上时，试猜想与的数量关系和位置关系，不用说明理由；
（2）如图2，当点在线段上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；
（3）如图3，当点在的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）根据点在线段上时，利用三角形的全等判定可以得出，；
（2）利用三角形全等得出，，由，得出，要证；从三方面分析，当点在线段上与、不重合）时，当点与点重合时，点恰好在中点处，当点在的延长线上时，分别分析即可得出；
（3）利用得出点在的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质只要以为圆心，为半径画弧即可得出点位置，利用（2）中证明思路即可得出答案．
【解答】解：（1）当点在线段上时，
在和中，
，
，
，
，
过点做，于点，作，于点，
，，
，
，
，
在与中，
，，
，
，
，
，
故，
与的数量关系和位置关系分别为：，；
（2）四边形是正方形，为对角线，
，，
，
，
，
又，
．
当点与点重合时，点恰好在中点处，此时，．
当点在的延长线上时，如图．
，
，
，
，
，
，
，
，
．
综合，；
（3）同理即可得出：，．
【点评】此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质和尺规作图等知识，此题涉及到分类讨论思想，这是数学中常用思想同学们应有意识的应用．
34．（2023春 余杭区校级期中）边长为的正方形中，点是上一点，过点作交射线于点，连接．
（1）若点在边上（如图）
①求证：；
②若，求的长．
（2）若点在延长线上，，请求的长．
【分析】（1）①先利用正方形的对称性可得到，然后在证明又，通过等量代换可得到；
②过点作，交于．依据等腰三角形的性质可得到，从而可得到的长，然后可得到的长，在中可求得的长；
（2）先根据题意画出图形，然后再证明，然后再按照（1）②中的思路进行证明即可．
【解答】（1）①证明：方法一：正方形关于对称，
，
．
又，
，
，
；
方法二：四边形是正方形，
，，
，
，
，
．
又，
，
，
；
②解：过点作，垂足为，交于．
，
是的中点．
，
，
又四边形是矩形，为等腰直角三角形，
，
．
（2）解：如图所示：过点作，垂足为，交于．
正方形关于对称，
，
．
又，
，
，
．
．
又，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质，掌握本题的辅助线的方法是解题的关键．
35．（2022春 鄞州区校级期末）如图，正方形边长为4，点在边上（点与点、不重合），过点作，垂足为，与边相交于点．
（1）求证：；
（2）若的面积为，求的长；
（3）在（2）的条件下，取，的中点，，连接，求的长．
【分析】（1）先证得，很容易证明与全等，由此得出，又由互余可得出，进而可得结论；
（2）根据三角形的面积求得，再根据勾股定理求得，根据（1）中即刻得出结论；
（3）连接并延长交于点，连接，可证明，所以，或1，又是的中位线，求出的长即可．
【解答】（1）证明：，，
，
在与中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
．
（2）解：，
，
，
的面积
，
，
解得，，，
或，
或．
（3）解：如图，连接并延长交于点，连接，
点是的中点，
，
，
，，
，
，或1，
当时，，
，
，
；
当时，，
，
，
；
综上，的长度为或．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，本题的关键是知道两线段之间的垂直关系．
36．（2022春 鄞州区期末）正方形中，对角线、交于点，为上一点，延长到点，使，连接、．
（1）求证：．
（2）求证：为直角三角形．
（3）若，正方形的边长为6，求的长．
【分析】（1）由四边形是正方形，易证得，继而证得．
（2）由，，即可证得，则可判定为直角三角形；
（3）由，正方形的边长为6，易求得的长，然后由三角形中位线的性质，求得的长，继而求得答案．
【解答】（1）证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
；
（2）证明：，，
，，
，
，
，
即，
为直角三角形；
（3）解：正方形的边长为6，
，
，，
，
，，
，
，
，
若点在段，则，
综上，的长为或．
【点评】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的判定以及勾股定理等知识．注意利用勾股定理求得各线段的长是关键．
37．（2022春 滨江区校级期中）如图①正方形中，点是对角线上任意一点，连接，．
（1）求证：；
（2）当时，求的度数；
（3）如图②，过点作交于点，当时，若．求的长．
【分析】（1）由正方形的性质得，，再证明便可得；
（2）由（1）得，可得，进而可以解决问题；
（3）过作，证明是等边三角形，设，则，，得，由．列出的方程进行解答便可．
【解答】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
；
（2）四边形是正方形，
，
由（1）知：，
，
；
（3）如图②，过作，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在四边形中，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
设，则，，
四边形是正方形，
，
，
，
，
解得，，
，
．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，第（3）题难度大，关键是构造直角三角形和证明等边三角形．
38．（2022春 鄞州区校级期中）已知，正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点、，于点．
（1）如图①，当绕点旋转到时，请你直接写出与的数量关系： ；
（2）如图②，当绕点旋转到时，（1）中发现的与的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知，于点，且，，求的长．（可利用（2）得到的结论）
【分析】（1）由三角形全等可以证明，
（2）延长至，使，证明，能得到，
（3）分别沿、翻折和，得到和，然后分别延长和交于点，得正方形，设，则，，在中，由勾股定理，解得．
【解答】解：（1）如图①．
（2）数量关系成立．如图②，延长至，使．
是正方形，
，，
在和中，，
，
，，
，
，
，
，
在和中，，
．
，，
、是和对应边上的高，
．
（3）如图③分别沿、翻折和，得到和，
，，．
分别延长和交于点，得正方形，
由（2）可知，．
设，则，，
在中，由勾股定理，得
解得，．（不符合题意，舍去）
．
【点评】本题主要考查正方形的性质和三角形全等的判断，难度中等．
七．正方形的判定与性质（共2小题）
39．（2022春 慈溪市校级期中）如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点为边上的动点，将沿折叠得到，连接、．则下列结论中：①当时，四边形为正方形；②当时，的面积为15；③当在运动过程中，的最小值为；④当时，．其中结论正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①由矩形的性质得到，根据折叠的性质得到，，，推出四边形是矩形，根据正方形的判定定理即可得到四边形为正方形；故①正确；
②过作于，得到，，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到的面积为，故②正确；
③连接，于是得到，即当时，取最小值，根据勾股定理得到的最小值为；故③正确；
④根据已知条件推出，，三点共线，根据平行线的性质得到，等量代换得到，求得，根据勾股定理得到，故④正确．
【解答】解：①四边形是矩形，
，
将沿折叠得到，
，，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形为正方形；故①正确；
②过作于，
点，点，
，，
，，
，
，
的面积为，故②正确；
③连接，
则，
即当时，取最小值，
，，
，
，
即的最小值为；故③正确；
④，
，
，
，
，，三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
故选：．
【点评】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
40．（2022春 杭州期中）已知：如图，在正方形中，，分别是，上的点，、相交于点，并且．
（1）如图1，判断和的位置关系？并说明理由；
（2）若，，求的长度；
（3）如图2，，，点在线段上运动时（点不与、重合），四边形是否能否成为正方形？请说明理由．
【分析】（1）根据正方形的性质，得到，，结合，证明，根据全等三角形的性质即可解决问题；
（2）根据勾股定理可得，然后根据三角形的面积即可解决问题；
（3）证明，可得，，由，可得，根据点在线段上运动时（点不与、重合），可得、不重合，所以，进而可以解决问题．
【解答】解：（1），理由如下：
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（2）在中，，，
根据勾股定理得：，
，
，
，
的长度为4.8；
（3）四边形不能成为正方形，理由如下：
由（1）知：，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
点在线段上运动时（点不与、重合），
、不重合，
，
四边形不能成为正方形．
【点评】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，解决本题的关键是得到．中小学教育资源及组卷应用平台
第5章 特殊平行四边形压轴（7个考点40题专练）
一．菱形的性质（共2小题）
1．（2023春 玉环市期中）如图，菱形中，，，、分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为 ．
2．（2023春 义乌市月考）如图，已知菱形的对角线，相交于点，点在的延长线上，且，连结．
（1）求证：．
（2）若，，求菱形的面积．
二．菱形的判定（共1小题）
3．（2022春 下城区校级月考）如图，平行四边形中，对角线，交于点，，，，分别是，，的中点．下列结论正确的是
①；
②；
③平分；
④平分；
⑤四边形是菱形．
A．③⑤ B．①②④ C．①②③④ D．①②③④⑤
三．菱形的判定与性质（共2小题）
4．（2022春 鄞州区期中）如图，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接、．若，，则四边形的周长为 ．
5．（2022春 西湖区校级期末）如图，在中，，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，连接，，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求和的长．
四．矩形的性质（共18小题）
6．（2023春 杭州期中）如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是
A．3 B． C． D．4
7．（2023春 温州月考）如图，矩形的面积为288，、、、分别是边，的三等分点，若，则阴影四边形的周长为
A．20 B．25 C．30 D．40
8．（2024春 柯桥区期中）如图，平行四边形的四个顶点分别在矩形的四条边上，，分别交，于点，，过点作，分别交，于点，，要求得平行四边形的面积，只需知道下列哪个四边形的面积即可
A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形
9．（2023春 北仑区校级期中）如图，在矩形中，点是对角线上一点，有且，点是上一动点，则点到边，的距离之和的值
A．有最大值 B．有最小值 C．是定值 D．是定值
10．（2022春 上城区期末）已知，是矩形对角线的交点，作，，，相交于点，连结．下列说法正确的是
①四边形为菱形；②；③；④若，则．
A．①③ B．①②④ C．①④ D．③④
11．（2022春 浦江县期中）如图，矩形的顶点，，，若矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第2021秒时，矩形的对角线交点的坐标为
A． B． C． D．
12．（2022春 诸暨市月考）如图，一块长方形场地的长与宽的比是，，，垂足分别是、两点．现计划在四边形区域种植花草，则四边形与长方形的面积比等于
A． B． C． D．
13．（2022春 鄞州区校级期中）如图，在矩形中，，，点是边上一动点，关于的对称点为，过作于，连接，若△为等腰直角三角形，则的长是
A．6 B．3 C． D．
14．（2023春 拱墅区校级期中）如图，两个全等的矩形，矩形如图所示放置．所在直线与，分别交于点，．若，，．则线段的长度是
A． B． C． D．2
15．（2024春 柯桥区期中）如图，长方形中，，点、分别为线段、上动点，且，点是线段上一点，且满足，四边形关于直线对称后得到四边形，连接，当 时，点与点重合，在运动过程中，线段长度的最大值是 ．
16．（2022 海曙区校级开学）在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点分别作轴于点，轴于点，已知经过点的直线将矩形分成的两部分面积比为时，则的值为 ．
17．（2023春 北仑区校级期中）如图，在矩形中，，，是上一个动点，过点作，垂足为，连接，取中点，连接，则线段的最小值为 ．
18．（2022春 浦江县期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为中心，顺时针旋转矩形得到矩形，点，，的对应点分别为，，．记为矩形对角线的交点，则的最大面积为 ．
19．（2022春 临海市期中）如图，为矩形中边中点，、分别为、上的动点，且，若，，则的最小值为 ．
20．（2023春 江干区校级期中）已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为．
（1）如图，连接、，求证四边形的菱形；
（2）求的长．
21．（2022春 乐清市校级期中）如图，在矩形中，是边上点，连接，过点向作垂线，交于点，交的延长线于点，且满足．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
22．（2022春 慈溪市期末）如图，在矩形中，，，把边沿对角线平移，移动后的点，分别对应点，，连结，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当平行四边形为菱形时，求边平移的距离．
23．（2022春 浦江县期中）如图，长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动（移动一周）．
（1）写出点的坐标；
（2）当点移动了4秒时，求出点的坐标；
（3）在移动过程中，当的面积是10时，直接写出点的坐标．
五．矩形的判定（共1小题）
24．（2024春 宁波期中）如图，将的边延长到点，使，连接，交边于点．
（1）求证：；
（2）连接、，若，求证：四边形是矩形．
六．正方形的性质（共14小题）
25．（2022春 温岭市期中）如图，四边形是正方形，是上的任意一点，于点，且交于点，若，则的值为
A． B． C． D．
26．（2022春 鄞州区校级期中）如图，在正方形中，点在对角线上，连接，于点，交于点，连接，已知，，则的面积为
A．4 B．5 C．10 D．
27．（2022春 东阳市期末）如图，直线交正方形的对边、于点、，正方形和正方形关于直线成轴对称，点在边上，点在边上，、交于点，、交于点．以下结论错误的是
A． B．的周长等于线段的长
C．的周长等于线段的长 D．的周长等于
28．（2022春 慈溪市期末）如图，正方形中，点为延长线上任一点，连结，过点作，交的延长线于点，过点作于点．下列结论：（1）； （2）；（3）； （4）若，则．
其中正确的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
29．（2022春 浦江县期中）如图，正方形的边长为，在正方形外，，过作于，直线，交于点，直线交直线于点，则下列结论正确的是
①；②；③；④若，则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
30．（2023春 黄岩区期末）如图，在边长为2的正方形中，点，分别在边，上，，垂足为点，以，为边作矩形．若图中阴影部分面积为3，则矩形的面积为 ．
31．（2022春 鄞州区校级期末）如图，正方形中，点在上，连接，点在上，点在上，于点，连接、，的延长线交于点，，，，则的长为 ．
32．（2021春 西湖区期末）如图，在正方形中，，为正方形内一点，，，连结，，过点作，垂足为点，交的延长线于点，连结．
（1）当时，求的度数；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）当时，求的长．
33．（2022春 赤坎区校级期中）如图，点是正方形对角线上一动点，点在射线上，且，连接，为中点．
（1）如图1，当点在线段上时，试猜想与的数量关系和位置关系，不用说明理由；
（2）如图2，当点在线段上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；
（3）如图3，当点在的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
34．（2023春 余杭区校级期中）边长为的正方形中，点是上一点，过点作交射线于点，连接．
（1）若点在边上（如图）
①求证：；
②若，求的长．
（2）若点在延长线上，，请求的长．
35．（2022春 鄞州区校级期末）如图，正方形边长为4，点在边上（点与点、不重合），过点作，垂足为，与边相交于点．
（1）求证：；
（2）若的面积为，求的长；
（3）在（2）的条件下，取，的中点，，连接，求的长．
36．（2022春 鄞州区期末）正方形中，对角线、交于点，为上一点，延长到点，使，连接、．
（1）求证：．
（2）求证：为直角三角形．
（3）若，正方形的边长为6，求的长．
37．（2022春 滨江区校级期中）如图①正方形中，点是对角线上任意一点，连接，．
（1）求证：；
（2）当时，求的度数；
（3）如图②，过点作交于点，当时，若．求的长．
38．（2022春 鄞州区校级期中）已知，正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点、，于点．
（1）如图①，当绕点旋转到时，请你直接写出与的数量关系： ；
（2）如图②，当绕点旋转到时，（1）中发现的与的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知，于点，且，，求的长．（可利用（2）得到的结论）
七．正方形的判定与性质（共2小题）
39．（2022春 慈溪市校级期中）如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点为边上的动点，将沿折叠得到，连接、．则下列结论中：①当时，四边形为正方形；②当时，的面积为15；③当在运动过程中，的最小值为；④当时，．其中结论正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
40．（2022春 杭州期中）已知：如图，在正方形中，，分别是，上的点，、相交于点，并且．
（1）如图1，判断和的位置关系？并说明理由；
（2）若，，求的长度；
（3）如图2，，，点在线段上运动时（点不与、重合），四边形是否能否成为正方形？请说明理由．
