1.1认识三角形 课件(共74张PPT)数学浙教版八年级上册

(共74张PPT)
认识三角形
生活中的三角形
请你根据小学认识的三角形，判断下列图形是三角形吗？
是三角形的，在括号内打“√”，不是三角形的，打“×”.
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
√
×
×
×
×
由不在同一条直线上的三条_____首尾_____相
接所组成的图形叫做三角形.
线段
顺次
三角形的定义
反例
由不在同一条直线上的三条_____首尾_____相
接所组成的图形叫做三角形.
线段
顺次
三角形的定义
边
边
边
顶点
顶点
顶点
相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角.
顶点是A，B，C的三角形，
记作： ，读作：三角形ABC
△ABC
由不在同一条直线上的三条_____首尾_____相
接所组成的图形叫做三角形.
三角形的定义
顶点
顶点
顶点
线段
顺次
c
a
b
如图，顶点A所对的边BC用 表示
∠B所对的边是_______
AB边 所对的角是_______
a
AC
∠C
三角形的有关概念
BC
内角:
a
三边:
顶点:
点A
∠A
点B
点C
AC
AB
b
c
∠ B
∠ C
c
a
b
三角形的有关概念
BC
内角:
a
三边:
顶点:
点A
∠A
点B
点C
AC
AB
b
c
∠ B
∠ C
c
a
b
例 如图所示，共有______ 个三角形,用符号表示这些三角
形为______________________ ；
△ADC的角有___________________；
以AB为边的三角形有_____________；
以D为顶点的三角形有____________；
∠C是△ADC 的____边的对角;
BD是△ABD中∠____ 的对边.
3
△ABD，
△ADC，
△ABC
∠ADC,
∠C,
∠DAC
例 如图所示，共有______ 个三角形,用符号表示这些三角
形为______________________ ；
△ADC的角有___________________；
以AB为边的三角形有______________；
以D为顶点的三角形有____________；
∠C是△ADC 的____边的对角;
BD是△ABD中∠____ 的对边.
∠ADC,
∠C,
∠DAC
△ABD，
△ABC
△ABD，
△ADC，
△ABC
3
例 如图所示，共有______ 个三角形,用符号表示这些三角
形为______________________ ；
△ADC的角有___________________；
以AB为边的三角形有______________；
以D为顶点的三角形有____________；
∠C是△ADC 的____边的对角;
BD是△ABD中∠____ 的对边.
∠ADC,
∠C,
∠DAC
△ABD，
△ABC
△ABD,
△ADC
AD
BAD
△ABD，
△ADC，
△ABC
3
说一说
观察下图，按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
想一想
如何按照边的关系对三角形进行分类呢？
三边都不相等的三角形
等腰三角形
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
等边三角形
三角形按边的相等关系分类
三角形的分类
三边都
不相等
的三角形
等腰
三角形
等边
三角形
三角形
锐角
三角形
直角
三角形
钝角三角形
三角形
按边的相等关系
按角的大小关系
探 究
任意画一个△ABC，从点B出发，沿着三角形的边到点C，有几条线路可以选择？各条线路的长有什么关系？能证明你的结论吗？
A
B
C
由“两点之间，线段最短”，得
AB+AC >BC
同理，AC+BC>AB
AB+BC>AC
BC>AB－AC
BC>AC－AB
三角形两边的和大于第三边
三角形两边的差小于第三边
三角形三边的关系
三角形两边的和大于_________；
（可用来判断三条线段能否组成三角形）
第三边
第三边
三角形两边的差小于________.
进而得到，三角形第三边的取值范围
两边的差<第三边< 两边的和
例 有两根长度分别为5 cm和8 cm的木棒，用长度为2 cm的木棒与它们能组成三角形吗？为什么？长度为13 cm的木棒呢？
分析：5+8>2,
8+2>5,
5+2<8．
√
×
√
5+8=13,
8+13>5,
5+13>8．
√
√
×
发现：判断三条线段是否可以组成三角形，只需判断两
条较短线段的和是否大于第三条线段即可
解：∵5+2<8，
∴长度为2 cm的木棒与它们不能组成三角形.
∵5+8=13 ，
∴长度为13 cm的木棒与它们也不能组成三角形.
例 有两根长度分别为5 cm和8 cm的木棒，用长度为2 cm的木棒与它们能组成三角形吗？为什么？长度为13 cm的木棒呢？
例 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边长是多少？
（2）能围成有一边长为4 cm的等腰三角形吗？为什么？
分析：
等腰三角形的周长=18 cm，即2倍的腰长+底边长=18 cm.
(1)腰长是底边长的2倍，可设底边长为x cm，列方程可求解.
(2)可能腰长为4 cm, 也可能底边长为4 cm，需分类讨论.
解：（1）设底边长为x cm，则腰长为2x cm，
2ⅹ2x+x=18.
解，得 x=3.6.
∴三边长分别为3.6 cm，7.2 cm ，7.2 cm.
例 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边长是多少？
（2）能围成有一边长为4 cm的等腰三角形吗？为什么？
方程思想
例 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边长是多少？
（2）能围成有一边长为4 cm的等腰三角形吗？为什么？
（2）当底边长为4 cm 时，腰长为
当腰长为4 cm时，底边长为18 －2ⅹ4=10
∵4+4<10,不符合三角形两边的和大于第三边
∴不能围成腰长为4 cm的等腰三角形.
综上，可以围成底边长是4 cm 的等腰三角形.
分类讨论思想
判断能否
围成三角形
已知等腰三角形一边长为4，一边长为6，则等腰三角形的周长为（ ）
A．14 B．16 C．10 D．14或16
知识点：等腰三角形的概念.
D
思想方法：分类讨论思想.
三角形两边的和大于第三边.
已知等腰三角形一边长为4，一边长为6，则等腰三角形的周长为（ ）
A．14 B．16 C．10 D．14或16
D
如果把“4”改成“2”，其他条件不变，那么等腰三角形的周长为_____.
知识点：等腰三角形的概念.
思想方法：分类讨论思想.
三角形两边的和大于第三边.
14
拓展提升
6.已知：a、b、c为三角形的三边长，化简：|b+c-a|
+|b-c-a|-|c-a-b|-|a-b+c|.
∴原式=|（b+c）-a|+|b-（c+a）|-|c-（a+b）|-
|（a+c）-b|
=b+c-a+a+c-b-a-b+c+b-a-c
=2c-2a．
解：∵a、b、c为三角形三边的长，
∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，
思 考
盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？
动手操作
用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗
通过实验得出结论：它的形状不会改变．
用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗
通过实验得出结论：它的形状会改变．
在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗
通过实验得出结论：它的形状不会改变．
经过以上三次实验，你发现了什么规律
发现，
三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状会改变.
三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性.
与三角形有关的线段
三角形的边
三角形的高
三角形的中线
三角形的角平分线
c
a
b
1
2
三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.
锐角三角形三条高线交于三角形内部一点；
直角三角形三条高线交于直角顶点；
钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点.
例：如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值.
解：根据垂线段最短，可知当BP⊥AC时，BP有最小值．
由△ABC的面积公式可知,
AD·BC ＝ BP·AC.
代入数值，可解得BP＝4×6÷5=4.8 .
面积法应用
三角形的中线：连接三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线.
三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.
三角形的中线：连接三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线.
三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.
三角形的三条中线交于三角形内部一点，这个交点叫做三角形的重心.
例：如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.
解：∵点D是AC的中点，∴AD＝ AC.
∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝ S△ABC＝ ×12＝6.
∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝ S△ABC＝ ×12＝4.
方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．
∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，
即S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.
三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的三条角平分线交于三角形内部一点.
角平分线模型
例 如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC ，CE平分∠ACB，BD与AC相交于点O． 若∠ABC=40° ， ∠ACB=60°，则∠BOC= ．
图1
条件①：∠ABC=40°；
条件②： BD平分∠ABC；
条件③：∠ACB=60°；
条件④： CE平分∠ACB；
条件⑤：三角形的内角和为180°.
图1
∠BOC的大小
∠OBC
条件①②
∠OCB
条件③④
在△OBC 中
条件⑤
分析：
∵ CE平分∠ACB，∠ACB=60°，
∵BD平分∠ABC ，∠ABC=40° ，
∴ ∠ABD= ∠DBC= ∠ABC= 20°.
∴ ∠ACE= ∠ECB= ∠ACB= 30°.
在△OBC 中，
∵ ∠DBC+ ∠ECB+∠BOC=180°，
∴ ∠BOC= 130°.
图1
解：
另解：
∵ CE平分∠ACB，∠ACB=60°，
∵BD平分∠ABC ，∠ABC=40° ，
∴ ∠ABD= ∠DBC= ∠ABC= 20°.
∴ ∠ACE= ∠ECB= ∠ACB= 30°.
图1
变式 将例题中的条件“若∠ABC=40° ， ∠ACB=60°”变成“若∠A=80°” ，则∠BOC= ．
图1
条件②： BD平分∠ABC；
条件④： CE平分∠ACB；
条件⑤：三角形的内角和为180°；
条件⑥： ∠A=80°.
图1
条件⑥
条件⑤
△ABC 中
∠ABC+ ∠ACB
条件②
条件④
∠DBC+ ∠ECB
条件⑤
在△BOC 中
∠BOC的大小
分析：
解：在△ABC中， ∵ ∠ABC+ ∠ACB+∠A=180°，∠A=80°,
∴∠ABC+ ∠ACB= 100°，
∵ CE平分∠ACB，
∵BD平分∠ABC ，
∴ ∠ABD= ∠DBC= ∠ABC.
∴ ∠ACE= ∠ECB= ∠ACB.
图1
∴ ∠DBC+ ∠ECB
= ∠ABC+ ∠ACB
= (∠ABC +∠ACB)
= 50°.
在△OBC 中，
∵ ∠DBC+ ∠ECB+∠BOC=180°，
∴ ∠BOC= 130°.
图1
解后反思
在解决问题的过程中，如果不能求出需要的每一个量，可以考虑用整体思想解决问题.
变式 将例题中的条件“若∠ABC=40° ， ∠ACB=60°”去掉，∠BOC与∠A有怎样的数量关系？
图1
条件②： BD平分∠ABC；
条件④： CE平分∠ACB；
条件⑤：三角形的内角和为180°.
图1
条件⑤
△ABC 中
∠ABC+ ∠ACB与∠A的关系
条件②
条件④
∠DBC+ ∠ECB与∠A的关系
∠BOC与∠A的关系
条件⑤
△BOC 中
分析：
解
解：在△ABC中， ∵ ∠ABC+ ∠ACB+∠A=180°,
∴∠ABC+ ∠ACB= 180°- ∠A.
∵ CE平分∠ACB，
∵BD平分∠ABC ，
∴ ∠DBC= ∠ABC.
∴ ∠ECB= ∠ACB.
图1
∴ ∠DBC+ ∠ECB
= ∠ABC+ ∠ACB
= (∠ABC +∠ACB)
= (180°- ∠A).
图1
在△OBC 中，
∵ ∠DBC+ ∠ECB+∠BOC=180°，
∴ ∠BOC= 180°-(∠DBC+ ∠ECB)
= 180°- (180°- ∠A).
= 90°+ ∠A.
图1
角平分线模型
变式 如图2，将例题中的条件“两条角平分线交于点O”换成“两条高线交于点O”，将“若∠ABC=40° ， ∠ACB=60°”去掉，∠BOC与∠A又有怎样的数量关系？
从特殊到一般
图2
不妨设若∠ABC=40° ， ∠ACB=60°，求∠BOC.
图2
分析：
图2
∠BOC的大小
∠OBC
条件①④
∠OCB
条件②③
在△OBC 中
条件⑤
条件①：∠ABC=40°；条件②： BD⊥AC；
条件③：∠ACB=60°；条件④： CE⊥AB；
条件⑤：三角形的内角和为180°.
分析：
图2
分析：接下来我们依然假设∠A=80° ，求∠BOC.
图2
条件②： BD⊥AC；条件④： CE⊥AB；
条件⑤：三角形的内角和为180°；
条件⑥： ∠A=80° .
条件⑥
条件⑤
△ABC 中
∠ABC+ ∠ACB
条件②
条件④
∠DBC+ ∠ECB
条件⑤
△BOC 中
∠BOC
的大小
分析：
图2
分析：回到本题要研究的问题：∠BOC与∠A的数量关系.
图2
条件②： BD⊥AC；条件④： CE⊥AB；
条件⑤：三角形的内角和为180°.
条件⑤
△ABC 中
∠ABC+ ∠ACB与∠A的关系
条件②
条件④
∠DBC+ ∠ECB与∠A的关系
条件⑤
△BOC 中
∠BOC与∠A的关系
分析：
解：在△ABC中， ∵ ∠ABC+ ∠ACB+∠A=180°,
∴∠ABC+ ∠ACB= 180°-∠A.
∵BD⊥AC ，
∴ ∠ BDC= 90°， △BDC为直角三角形.
∴ ∠ACB与∠DBC互余，
即∠DBC = 90° -∠ACB.
图2
同理可得, ∠ECB = 90° -∠ABC.
∴ ∠DBC+ ∠ECB
= 90°-∠ACB + 90°-∠ABC
= 180°- (∠ABC +∠ACB)
=180°- (180°-∠A)
= ∠A.
图2
在△OBC 中，
∵ ∠DBC+ ∠ECB+∠BOC=180°，
∴ ∠BOC= 180°- (∠DBC+ ∠ECB)
= 180°- ∠A.
图2
解后反思
（1）这个变式的研究，可以从例题及前面两个变式的研究过程中得到启发，虽然条件②、④发生了变化，但从条件②、④中依然可以得到∠DBC和∠ECB的度数，所以仍然可以按照同样的方法解决问题.
解后反思
（2）其他解决问题的方法.
思路2：（利用外角）
∠BOC与∠A的关系
∠ABO与 ∠A 的关系
条件②
△BOE 的外角
条件④
∠BEC=90°
条件②： BD⊥AC；条件④： CE⊥AB.
图2
解后反思
思路3：（利用对顶角）
图2
图2
解后反思
思路3：（利用对顶角）
图2
解后反思
思路3：（利用对顶角）
图2
∴ ∠ BDA= 90°， ∠CEA= 90°.
在四边形AEOD中，
∵ ∠A+ ∠CEA+ ∠BDA+∠EOD=360°,
∴ ∠A+ ∠EOD=180°.
∴ ∠EOD=180°- ∠A.
∴ ∠BOC= ∠EOD=180°- ∠A.
∵BD⊥AC ， CE⊥AB，
解后反思
思路3：（利用对顶角）
解后反思
（3）三角形中求角的大小问题，可以从三角形的内角和、三角形外角的性质，对顶角以及邻补角的角度来考虑.
BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是_____．
分析：
△ABD的周长=AB+BD+AD
△BCD的周长=BC+BD+DC
△ABD的周长－△BCD的周长
=AB－BC
在△ABC中, ∠ACB=90°, CD是AB边上的高, AB=13 cm，BC=12 cm，AC=5 cm，
（1）CD的长为 cm ；
（2）若AE是BC边上的中线，则△ABE的面积为 cm ．
分析：
S△ABC= AB CD= BC AC
13CD=12 5