第1章 二次根式单元测试卷（困难)（含解析）

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浙教版初中数学八年级下册第一单元《二次根式》单元测试卷
考试范围：第一单元；考试时间：120分钟；总分：120分
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.若在实数范围内有意义，则的取值范围为( )
A. B. C. 且 D.
3.当时，式子的值为( )
A. B. C. D.
4.如果成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知非零实数，满足，的值为( )
A. B. C. D.
6.实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为
( )
A. B. C. D. 无法确定
7.实数，在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是( )
A. B. C. D.
8.如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为和，则图中阴影部分面积为( )
A.
B.
C.
D.
9.化简二次根式除了利用二次根式的性质外，还可以借助图形解释验证如：化简时，我们可以构造如图所示的图形，其中图是一个面积为的正方形，图是一个面积为的正方形，根据两图的关系我们可以得到：这种分析问题的方法所体现的数学思想是( )
A. 分类讨论 B. 数形结合 C. 公理化 D. 类比
10.当时，代数式的值是( )
A. B. C. D.
11.下列等式中成立的是( )
A. B.
C. D.
12.当实数的取值使得有意义时，函数中的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若，则 ．
14.计算：__________．
15.实数在数轴上的位置如图所示，化简
16.如图，从一个大正方形中可以裁去面积为和的两个小正方形，则大正方形的边长为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式．
问题解决：
若与是关于的共轭二次根式，则 ；
若与是关于的共轭二次根式，求的值．
18.本小题分
已知．
求的值
求的值．
19.本小题分
已知实数，，满足，试问：长度分别为，，的三条线段能否组成一个三角形？如果能，请求出该三角形的面积；如果不能，请说明理由．
20.本小题分
已知实数、、在数轴上的位置如图所示，、到原点的距离相等，化简：
21.本小题分
已知的三边长为，，，化简．
22.本小题分
先化简，再求值：，其中如图是小亮和小芳的解答过程．
______的解法是错误的；
错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______；
先化简，再求值：，其中．
23.本小题分
阅读下面内容：我们已经学习了二次根式和乘法公式，聪明的你可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号，
例如：当时，求的最小值．
解：，，又，，当时取等号．
的最小值为．
请利用上述结论解决以下问题：
当时，当且仅当 时，有最小值为 ．
当时，求的最小值．
请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙墙足够长，另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为米，若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？
24.
设，求的值；
若实数，，满足．，求的值；
设为的小数部分，为的小数部分，求的值．
25.本小题分
先化简，再求的值；其中满足，且为偶数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：二次根式在实数范围内有意义，
，
解得：．
故选：．
直接利用二次根式的定义得出，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故选：．
根据分式和二次根式有意义的条件可得关于的不等式组，即可求解．
本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
直接利用的取值范围，进而化简二次根式以及去掉绝对值合并同类项即可．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：，
，即，
，
．
故选D．
先根据二次根式的性质把原等式变形为，即，根据绝对值的含义即可得到．
本题考查了二次根式的性质与化简：为二次根式；；等．也考查了绝对值的含义．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了二次根式的性质及非负性的性质，首先根据二次根式的概念得出，再将原式进行化简，化为几个非负数和为的形式，再根据绝对值及算术平方根的非负性即可求出、的值，然后代入求值即可．
【解答】
解：由题意得：，
，
，
，
，
又因为，，
故，
则，， ，
故选C．
6.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了二次根式的性质与化简，以及实数与数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据数轴上点的位置判断出与的正负，原式利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
【解答】
解：根据数轴上点的位置得：，
，，
则原式，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是绝对值及二次根式有关知识首先根据数轴找出，的符号，然后再化简即可解答．
【解答】
解：由题意可知：
，，，
，，
原式
．
故BCD错误，A正确．
故选A．
8.【答案】
【解析】解：设两个正方形的边长是、，
则，，
，，
则阴影部分的面积是，
故选：．
设两个正方形的边长是、，得出方程，，求出，，代入阴影部分的面积是求出即可．
本题考查了二次根式的应用，主要考查学生的计算能力．
9.【答案】
【解析】解：借助几何图形解释数量关系是数形结合，
故选：．
根据题意得出是数形结合思想．
本题考查二次根式的乘法、二次根式的性质与化简，掌握图形的转化是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：当时，
．
故选：．
利用完全平方公式配方，再代入计算即可解答．
本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C正确，符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次根式的混合运算、分式的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：实数的取值使得有意义，
，
．
当时，．
，
值随值的增大而减小，
当时，函数中的取值范围是．
故选：．
由被开方数非负可求出的取值范围，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当时的值，再利用一次函数的性质可得出的取值范围．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、二次根式有意义的条件以及一次函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，找出的取值范围是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，，
，，
，
，
．
故答案为：．
根据二次根式的性质，得的值，即而得到的值，求出的值．
本题考查二次根式的定义与性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了实数的运算，考查了负整数指数幂及二次根式的化简，属于基础题．
先化简各式，再计算即可．
【解答】
解： ．
故答案为．
15.【答案】解：由题意可知，，
原式
．
【解析】本题考查的是绝对值的非负性，二次根式非负性的化简，实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键先根据点在数轴上的位置判断出和的正负，再利用绝对值的非负性，二次根式非负性的化简，合并同类项即可．
16.【答案】
【解析】解：由题意知：，，
，．
．
故答案为：．
先求出两个小正方形的边长，再求出大正方形的边长．
本题主要考查了二次根式的应用，掌握正方形的面积公式和二次根式的加法法则是解决本题的关键．
17.【答案】
【解析】解：与是关于的共轭二次根式，
，
，
故答案为：；
与是关于的共轭二次根式，
，
，
．
根据共轭二次根式的定义列等式可得的值；
根据共轭二次根式的定义列等式可得的值．
本题考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会用二次根据的性质进行计算．
18.【答案】解：由题意可知
故．
，
，
．
，，
．
【解析】见答案
19.【答案】由题意，得，，所以．
因为，
所以．
又，，所以，．
两式相加，得．
解方程组得所以．
因为，所以长度分别为，，的三条线段能组成一个直角三角形，且两条直角边的长分别为，，所以该三角形的面积为．

【解析】见答案
20.【答案】解：由题意得：，且，
则，，，
则原式
．

【解析】本题考查了二次根式的性质与化简，数轴，绝对值的性质，根据数轴判断出、、的情况是解题的关键．根据数轴判断出、、的正负情况以及绝对值的大小，然后根据绝对值和算术平方根的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解．
21.【答案】解：，，为的三边长，
，，，
，

【解析】根据三角形三边关系即可判断、、与的大小关系，从而根据二次根式的性质即可求出答案．
本题考查二次根式的性质，解题的关键是根据三角形的三边关系进行化简，本题属于中等题型．
22.【答案】小亮
【解析】解：根据上述解答过程，可知小亮的解法是错误的；
故答案为：小亮；
小亮错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：，
故答案为：；
原式
，
将代入，
则原式．
结合二次根式的性质和混合运算法则即可得出结果；
根据二次根式的性质即可得出结果；
结合二次根式的性质和混合运算法则计算即可．
本题考查的是二次根式的混合运算和化简求值，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：，
，
又，
，当且仅当时取等号．
的最小值为．
故答案为：，；
，
，
，
又，
，当且仅当时取等号，
的最小值为，
的最小值为，
即的最小值为；
根据题意可得，垂直于墙的一边长为米，则篱笆的长为米，
，
，
又，
，当且仅当时取等号，
的最小值为，
即需要用的篱笆最少是米．
根据例题中的公式计算即可；
先化简，再运用公式计算即可；
由题意得篱笆的长为米，再根据例题中的公式计算即可．
本题考查了二次根式的性质，理解题中例题解法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
24.【答案】【小题】
，，
．
【小题】
，，，
，
，，，，，，，，，，，，，，的值为．
【小题】
，，，．

【解析】 见答案
见答案
见答案
25.【答案】解：满足，
，，
，且为偶数
，
，
原式．
【解析】由满足，得出，为偶数得出，再进一步化简，代入求得答案即可．
此题考查二次根式的化简求值，二次根式的意义，利用二次根式的意义求得的值是解决问题的关键．
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