第2章 一元二次方程单元测试卷（标准难度)（含解析）

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浙教版初中数学八年级下册第二单元《一元二次方程》单元测试卷
考试范围：第二单元；考试时间：120分钟；总分：120分
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为
( )
A. B. C. D.
2.下列方程是关于的一元二次方程的是
( )
A. B. C. D.
3.对于实数，，先定义一种新运算“”如下：
若，则实数等于
．( )
A. B. C. D. 或
4.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为
( )
A. B. C. D.
5.对于实数，定义运算“”为，例如若关于的方程没有实数根，则的值可以是
( )
A. B. C. D.
6.某超市月份营业额为万元，，，月份的营业额共万元若平均每月的增长率为，则依题意列方程得( )
A. B.
C. D.
7.如图，在长为、宽为的长方形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为，设道路的宽为，则可列方程为
( )
A. B.
C. D.
8.某商场品牌手机经过，月份连续两次降价每部售价由元降到元且第一次降价的百分率是第二次的倍，设第二次降价的百分率为，根据题意可列方程( )
A. B.
C. D.
9.在解关于的一元二次方程时，小红看错了常数项，得到方程的两个根是，，小明看错了一次项系数，得到方程的两个根是，，则正确的方程是
( )
A. B. C. D.
10.已知，是关于的方程的两个实数根，则下列结论一定正确的是
( )
A. B. C. D. ，
11.若关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为，则的值为
( )
A. B. C. 或 D. 或
12.若，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如果最简二次根式与是同类二次根式，则的值是 ．
14.某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分枝的总数是，设每个枝干长出个小分枝，则可得方程为 ．
15.一次足球比赛，每个球队都要与其他球队比赛一场，共赛场设有个球队，则可以列方程为 ．
16.规定：在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，方程的根为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知关于的一元二次方程有一个根是，求的值．
18.本小题分
关于的方程．
当为何值时，该方程是一元一次方程
当为何值时，该方程是一元二次方程
19.本小题分
已知方程．
求的值．
求的值．
若为方程的一个根，求的值．
20.本小题分
已知．
当时，求的值
若，求的值
求证：．
21.本小题分
用配方法证明无论取何值时，代数式的值恒大于零．
22.本小题分
已知关于的方程．
求证：无论取任何实数，方程总有实数根
若等腰三角形的一边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长．
23.本小题分
小张准备进行如下实验操作：把一根长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形．
要使这两个正方形的面积之和等于，则这两个正方形的边长各是多少？
小张认为，这两个正方形的面积之和不可能等于你认为他的说法正确吗？请说明理由．
24.本小题分
南安某汽车销售公司月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出部汽车，则该部汽车的进价为万元，每多售出部，所有售出的汽车的进价均降低万元部月底厂家再根据销售量返利给销售公司：销售量在部以内含部，每部返利万元销售量在部以上，每部返利万元．
若该公司当月售出部汽车，则每部汽车的进价为 万元
若汽车的售价为万元部，该公司计划当月盈利万元，则需售出多少部汽车盈利销售利润返利
25.本小题分
已知关于的方程有两个实数根．
求的取值范围；
当时，原方程有两个实数根，，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，
由题意得：，，
解得：，
故选：．
把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可．
本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程二次项系数不为以及一次项的概念是解题的关键．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的时一元二次方程的定义有关知识．
利用一元二次方程的定义进行解答即可．
【解答】
解：是代数式
是一元一次方程
是一元二次方程；
未知项最高次数是，不是一元二次方程；
故选C
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了解一元二次方程，体现了分类讨论的数学思想，分和两种情况进行解方程是解题的关键．
根据定义，分和两种情况进行解方程，得出的值．
【解答】
解：当时，，
解得：，不合题意，舍去；
当时，，
解得：不合题意，舍去；
．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了根的判别式，解决本题的关键是当时，方程有两个相等的实数根．根据一元二次方程根的判别式即可求解．
【解答】
解：因为关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
所以，即，
解得，
故选C ．
5.【答案】
【解析】【解析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
利用新定义得到，然后利用当时，方程无实数根，求出的取值范围即可得到答案．
解：由新定义得，
即，
方程没有实数根，
，
，
故选：．
6.【答案】
【解析】略
7.【答案】
【解析】略
8.【答案】
【解析】解：设第二次降价的百分率为，则第一次降价的百分率为，
根据题意，得：，
故选：．
设第二次降价的百分率为，则第一次降价的百分率为，根据某件商品原价元，经过两次降价后，售价为元，可列方程．
本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
9.【答案】
【解析】略
10.【答案】
【解析】略
11.【答案】
【解析】设，是关于的一元二次方程的两个实数根，则，由根与系数的关系，得，，解得，，．
12.【答案】
【解析】解：设 ，则原方程换元为 ，
，
解得：，，
即 或 不合题意，舍去，
．
故选：．
设 ，则原方程换元为，可得，，即可求解．
本题考查了高次方程，换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．
13.【答案】
【解析】由题意，得：，解得：．
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】
【解析】略
16.【答案】，
【解析】由题意，得，，或，，．
17.【答案】
【解析】略
18.【答案】解：当时，则当时，当时，．
或或．
当且时，该方程是一元二次方程，则．

【解析】略
19.【答案】解：，，
方程两边同时除以，得，
．
，
．
为方程的一个根，
，
，
．

【解析】略
20.【答案】解：当时，，即，，．
若，则，即，解得，，当时，，当时，．
，，，．
【解析】略
21.【答案】证明：，
为非负数，为正数，
无论取何值时，代数式的值恒大于零．
【解析】略
22.【答案】证明：，
无论取任何实数，方程总有实数根．
解：若时，，．
方程的解为．．
的周长为．
若，中有一个与相等，设，，．
原方程化为，解得，，，与矛盾．
不能组成三角形，综上所述，的周长为．
【解析】略
23.【答案】【小题】
设其中一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为，依题意列方程得，整理得：，，解方程得，，因此这两个正方形的边长分别是，．
【小题】
他的说法正确，两个正方形的面积之和不可能等于理由：设两个正方形的边长分别为，，则，整理得，，方程无解，即两个正方形的面积之和不可能等于．

【解析】 见答案
见答案
24.【答案】【小题】
【小题】
解：设需售出部汽车，则每部汽车的销售利润为万元．
当时，根据题意，得，整理，得，解得舍去，，，舍去
当时，根据题意，得，整理，得，解得舍去，．
答：需售出部汽车．

【解析】
万元故答案为：．
略
25.【答案】解：关于的方程有两个实数根，
，即，
解得，
的取值范围为；
解：方程有两个实数根，，
，，
，
，，
．

【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，即，解不等式即可得到的范围；
根据一元二次方程根与系数的关系得到，，当时则，，然后由得答案．
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