第2章 一元二次方程单元测试卷（困难)（含解析）

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浙教版初中数学八年级下册第二单元《一元二次方程》单元测试卷
考试范围：第二单元；考试时间：120分钟；总分：120分
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若是关于的方程的一个根，则的值是( )
A. B. C. D.
2.下列方程中是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
3.若关于的一元二次方程有一个根为，则的值等于( )
A. B. C. D. 或者
4.满足的整数有几个( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.已知方程组的解满足，则的值为( )
A. B. C. D.
6.若方程没有实数根，则值可以是( )
A. B. C. D.
7.四元玉鉴是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为文如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设元购买椽的数量为株，则符合题意的方程是( )
A. B.
C. D.
8.如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形长米，宽米场地，被条宽度相等的绿化带分为总面积为平方米的活动场所羽毛球，乒乓球如果设绿化带的宽度为米，由题意可列方程为( )
A. B.
C. D.
9.一款手机连续两次降价，由原来的元降到元，设平均每次降价的百分率为，则列方程为
( )
A. B.
C. D.
10.某县以“重点整治环境卫生”为抓手，加强对各乡镇环保建设的投入，计划从年起到年累计投入万元，已知年投入万元，设投入经费的年平均增长率为，根据题意，下列所列方程正确的是( )
A.
B.
C.
D.
11.下列说法：
若一元二次方程有一个根是，则代数式的值是；
若，则关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根；
若，则关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根；
已知两实数，满足，，且，则的值为其中正确的有
( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
12.已知、是方程的两个根，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.将一些相同的“”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中“”的个数，若第个“龟图”中有个“”，则可得方程为 ．
14.若是关于的一元二次方程，则，的值分别为 ．
15.若，则的值为___________．
16.如图，在等腰中，，点的坐标为，若直线：把分成面积相等的两部分，则的值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
若，求的值．
18.本小题分
已知三个不同的实数，，满足，方程和有一个相同的实根，方程和也有一个相同的实根求，，的值．
19.本小题分
先化简，再求值：，其中是方程的一个根．
20.本小题分
已知关于的两个一元二次方程：
方程；；
方程：．
若方程有两个相等的实数根，求解方程．
若方程和中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根．
若方程和有一个公共根，求代数式的值．
21.本小题分
已知关于的方程．
求证：方程一定有两个不相等的实数根；
若此方程的一个根是，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．
22.本小题分
已知关于的方程．
求证：方程一定有两个不相等的实数根；
若此方程的一个根是，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．
23.本小题分
一张长为，宽的矩形纸片，如图所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为，求剪掉的正方形纸片的边长．
24.本小题分
已知实数，满足，．
求和的值；
求的值．
25.本小题分
已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
求的取值范围；
若，满足，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：把代入方程得，
因为，
所以，
则．
故选：．
根据一元二次方程的解的定义得到，然后利用等式性质求的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
2.【答案】
【解析】解：、含有两个未知数，故不符合题意；
B、当时，方程不是一元二次方程，故不符合题意；
C、不是整式方程，故不符合题意；
D、是一元二次方程，故符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程；由此问题可求解．
本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：把代入得，解得或，
而，
所以的值为．
故选：．
根据一元二次方程的解的定义，把代入得，再解关于的方程，然后利用一元二次方程的定义确定的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，有理数的乘方以及零指数幂的性质，本题比较复杂，解答此题时要注意的任何次幂为，的偶次幂为，非数的次幂为，三种情况，不要漏解．
【解答】
解：分以下三种情况：当时，解得：或；
当时，解得：；
当时，解得：．
综上，整数或或或，
故选B．
5.【答案】
【解析】解：，
得：，即，
代入中，得：，
解得：．
故选C．
首先将方程组中两方程相加表示出，代入中求出的值即可．
此题考查了二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：方程没有实数根，
，
解得：，
值可以是．
故选：．
利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：设元购买椽的数量为株，则一株椽的价钱为，
由题意得：，
故选：．
设元购买椽的数量为株，根据单价总价数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案．
本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找出等量关系是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：绿化带的宽度为米，
六块活动场所可合成长为米，宽为米的长方形．
根据题意得：．
故选：．
由绿化带的宽度，可得出六块活动场所可合成长为米，宽为米的长方形，结合活动场所的总面积为平方米，可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9.【答案】
【解析】【分析】设平均每次降价的百分率为，则第一次降价后售价为，第二次降价后售价为，然后根据两次降阶后的售价建立等量关系即可．
【解答】解：根据题意得．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程：在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
10.【答案】
【解析】解：设年投入经费的年平均增长率为，则年投入万元，年投入万元，
根据题意得．
故选：．
如果设投入经费的年平均增长率为，根据年投入万元，得出年投入万元，年投入万元，然后根据三年共投入万元可得出方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
11.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了根的判别式、根与系数的关系以及方程的解，根据一元二次方程根的意义，判别式、根与系数的关系解题是解决本题的关键．
将代入方程得出的值即可；分或，两种情形计算，证明即可；利用，分析得出即可；根据题意判断，都是的根，结合，利用根与系数的关系计算的值即可判断．
【解答】
解：若一元二次方程有一个根是，
则，
整理得出：，
则代数式，故此正确；
若，则，
若，则，
若，则，
证得方程一定有两个不相等的实数根，故正确；
若，
那么，
，
，
故正确；
两实数，满足，，
，都是的根，
，
，
，，
．
故错误；
故正确的有个，
故选：．
12.【答案】
【解析】解：、是方程的两个根，
，，
，，
，
、是方程的两个根，
，，
原式．
故选：．
先根据一元二次方程根的定义得到，，则可化为，再根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解．
13.【答案】
【解析】第一个图形有个“”，第二个图形有个“”，第三个图形有个“”，第四个图形有个“”，由此可得第个图形有个“”，则可得方程，化成一般形式后为．
14.【答案】或或或或
【解析】根据题意，分情况讨论：
为二次项，为一次项时，可得解得为二次项，为常数项时，可得解得为二次项，为一次项时，可得解得为二次项，为常数项时，可得解得和都为二次项时，可得解得
15.【答案】；；
【解析】【分析】
首先将原方程两边次方，然后移项，再通过因式分解法解方程即可得出结论本题考查了因式分解法解一元二次方程，属于基础知识的考查，难度不大．
【解答】
解：，
，
，
，
，
，
或或或，
解得或或．
故答案为；；．
16.【答案】
【解析】，一次函数一定过点是等腰直角三角形，，且点的坐标为，易得点的坐标为如图，当直线经过点时，显然，要使直线把分成面积相等的两部分，必然如图所示，其中，且，即当时，，点的坐标为易得直线的解析式为将其与直线联立，即解得直线与直线的交点的坐标为又，的高即为点的横坐标，，解得舍去或．
17.【答案】解：，
，
，，
解得，，
当时，
当时，．
【解析】本题主要考查一元二次方程的解法及代数式求值，可先解关于的一元二次方程得，，再将其代入代数式进行计算即可求解．
18.【答案】解：依次将题设中所给的四个方程编号为，，，．
设是方程和方程的一个相同的实根，则
两式相减，可解得分
设是方程和方程的一个相同的实根，则
两式相减，可解得．
所以分
又方程的两根之积等于，于是也是方程的根，
则．
又，两式相减，得分
若，则方程无实根，
所以，故．
于是，又，
解得，分
【解析】将题设中所给的四个方程编号为，，，设是方程和方程的一个相同的实根，是方程和方程的一个相同的实根，得到关于与的解析式，进而求出的值，再求出、的值即可解答．
本题考查了一元二次方程为常数的解．同时考查了从结论的反面思考问题的方法和代数式的变形能力．
19.【答案】解：把代入方程得：，即，
则原式
，
当时，
原式．
【解析】把代入方程求出的值，原式整理后代入计算即可求出值．
此题考查了整式的加减化简求值，以及一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】【小题】
方程有两个相等的实数根，且，解得，而，，当时，方程变形为，解得，．
【小题】
，无论为何值，方程总有实数根．方程和中只有一个方程有实数根，此时方程没有实数根．
【小题】
是方程和的公共根，，由得，由得，将和代入原式，得原式．

【解析】 见答案
见答案
见答案
21.【答案】证明：
方程，
，
方程一定有两个不相等的实数根；
解：把代入方程可得，解得，
方程为，解得或，
方程的另一根为，
当边长为和的线段为直角三角形的直角边时，则斜边，此时直角三角形的周长，
当边长为的直角三角形斜边时，则另一直角边，此时直角三角形的周长，
综上可知直角三角形的周长为或．
【解析】计算该方程的判别式，判断其符号即可；
把方程的根代入可求得的值，再求解即可，再利用勾股定理可求得直角三角形的第三边，则可求得直角三角形的周长．
本题主要考查根的判别式及勾股定理的应用，在利用根的判别式时，要熟练掌握根的个数与根的判别式的关系，在求直角三角形周长时注意分两种情况．
22.【答案】证明：
方程，
，
方程一定有两个不相等的实数根；
解：把代入方程可得，解得，
方程为，解得或，
方程的另一根为，
当边长为和的线段为直角三角形的直角边时，则斜边，此时直角三角形的周长，
当边长为的直角三角形斜边时，则另一直角边，此时直角三角形的周长，
综上可知直角三角形的周长为或．
【解析】计算该方程的判别式，判断其符号即可；
把方程的根代入可求得的值，再求解即可，再利用勾股定理可求得直角三角形的第三边，则可求得直角三角形的周长．
本题主要考查根的判别式及勾股定理的应用，在利用根的判别式时，要熟练掌握根的个数与根的判别式的关系，在求直角三角形周长时注意分两种情况．
23.【答案】解：设剪掉的正方形纸片的边长为 ．
由题意，得
整理，得 ．
解方程，得 ，不符合题意，舍去．
答：剪掉的正方形的边长为．
【解析】设剪去的正方形边长为，那么长方体纸盒的底面的长为，宽为，然后根据底面积是即可列出方程求出即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程．
24.【答案】【小题】
，，分别整理得，，令，，，，，解得或当时，；当时，，或，设，是方程的两个实根，，当，时，；当，时，，，．
【小题】
原式，当，时，原式．

【解析】 见答案
见答案
25.【答案】解：关于的一元二次方程有两个实数根，，
，
解得：，
的取值范围为．
关于的一元二次方程有两个实数根，，
，．
，
当时，有，
联立解得：，，
，；
当时，有，
联立解得：，不合题意，舍去．
符合条件的的值为．
【解析】本题考查的是根的判别式和根与系数的关系．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论；
由根与系数的关系可得、，分和可找出或，联立或求出、的值，进而可求出的值．
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