第6章 反比例函数单元测试卷（困难)（含解析）

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浙教版初中数学八年级下册第六单元《反比例函数》单元测试卷
考试范围：第六章；考试时间：120分钟；分数：120分
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，是反比例函数的是( )
A. B. C. D.
2.如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点恰好落在双曲线，现将正方形向下平移个单位，可以使得顶点落在双曲线上，则的值为( )
A. B. C. D.
3.如图，点是平行四边形内一点，与轴平行，与轴平行，，，，若反比例函数的图像经过，两点，则的值是
( )
A. B. C. D.
4.若点，，在反比例函数为常数的图象上，则，，大小关系为( )
A. B. C. D.
5.点，在反比例函数的图象上，下列推断正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 存在，使得
6.已知点，，是反比例函数图象上的三点，且，那么，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标原点，边在轴的负半轴上，，顶点的坐标为，反比例函数的图象与菱形对角线交于点，连接，当轴时，的值是( )
A. B. C. D.
8.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是函数图象上的一个动点，过点作轴交函数的图象于点，点在轴上在的左侧，且，连接，．
有如下四个结论：
四边形可能是菱形；
四边形可能是正方形；
四边形的周长是定值；
四边形的面积是定值．
所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
9.在压力不变的情况下，某物体承受的压强单位：与它的受力面积单位：是反比例函数关系，其图象如图所示下列说法错误的是( )
A. 函数解析式为
B. 物体承受的压力是
C. 当时，
D. 当时，
10.如图，反比例函数在第二象限的图象上有两点，，它们的纵坐标分别为，，直线与轴交于点，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，点是函数图象上一点，垂直轴于点，若，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
12.在平面直角坐标系中，，点在轴上，以为对角线构造平行四边形，点在第三象限，与轴交于点，延长至点，使得，，连结对角线与交于点，连结、交于点，若、在反比例函数上，，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知函数是关于的反比例函数，则的值是 ．
14.已知与成反比例，当时，则与之间的函数表达式为__________．
15.已知点，都在反比例函数是常数的图象上，且，则的取值范围是 ．
16.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点，分别在轴，轴上，反比例函数的图象与正方形的两边，分别交于点，，连接，，，若，，则的值为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，矩形的边、分别在轴、轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，且将矩形以点为旋转中心，顺时针旋转后得到矩形，函数的图象刚好经过的中点，交于点．
求该反比例函数关系式；
求的面积．
18.本小题分
小林每天骑自行车去单位上班，他每天骑自行车上班时的平均速度为，所需时间为已知当小林骑车的平均速度为时，所需时间为．
求时间关于速度的函数表达式．
如果小林骑车的速度为，那么他需要几分钟到达单位？
如果小林骑车到单位不得超过，那么他骑车的平均速度至少是多少？
19.本小题分
用洗衣液洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣液的残留量近似地满足反比例函数关系寄宿生王小红、李小敏晚饭后用同一种洗衣液各自洗一件同样的衣服，漂洗时，王小红每次用一盆水约升，李小敏每次用半盆水约升，如果她们都用了洗衣液，第一次漂洗后，王小红的衣服中残留的洗衣液还有，李小敏的衣服中残留的洗衣液还有．
请帮助王小红、李小敏求出各自衣服中洗衣液的残留量与漂洗次数的函数关系式
当洗衣液的残留量降至时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法更值得提倡，为什么
20.本小题分
定义：若点在一个函数图象上，且点的横、纵坐标相等，则称点为这个函数的“等点”．
关于“等点”，下列说法正确的有 ；函数有两个“等点”；函数有一个“等点”；函数没有“等点”．
已知反比例函数与一次函数的图象上有同一个“等点”，求反比例函数的表达式；
函数的图象上有两个“等点”、，设、两点之间的距离为，若，则的取值范围是 ．
21.本小题分
在平面直角坐标系中，函数和直线为常数，且的图像如图所示，若函数与的图像有一个交点．
求、的值；
过动点作平行于轴的直线，分别交函数和的图像于点、，在点的运动过程中，点、、三点中一点是另外两点的所连线段的中点，求此时的值．
22.本小题分
如图，在平面直角坐标系中有，，，点，，．
直接写出点的坐标．
将沿轴的正方向平移个单位长度，若，两点的对应点，正好落在反比例函数在第一象限内的图像上，求，的值．
在的条件下，问是否存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点和点的坐标；如果不存在，请说明理由．
23.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为．
求反比例函数的关系式；
设点在反比例函数图象上，连接、，若的面积是菱形面积的，求点的坐标．
24.本小题分
如图，在平面直角坐标系，已知四边形是矩形，且，，若反比例函数的图象经过线段的中点，交于点，交于点设直线的解析式为．
求反比例函数和直线的解析式；
求的面积：
请直接写出不等式的解集．
25.本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点．求反比例函数的解析式；
在第一象限内，当一次函数的值大于反比例函数的值时，写出自变量的取值范围．
求的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、该函数是正比例函数，故本选项不符合题意；
B、该函数是二次函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意；
C、该函数是一次函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意；
D、该函数是反比例函数，故本选项符合题意．
故选：．
根据反比例函数的定义解答即可．
本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的定义．反比例函数的定义：形如为常数，的函数称为反比例函数．其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于的一切实数．
2.【答案】
【解析】【分析】
先求出点，，过点作轴于；过点作轴于，轴于，可证和全等从而得，，据此可求出点，同理可求出点，据此可求出双曲线的解析式，设与双曲线交于点，则，据此可得点，最后将点代入双曲线的解析式即可求出的值．
此题主要考查了反比例函数的图象，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定方法，难点是在解答时，理解与双曲线交点之间的距离就是向下平移的长度单位．
【解答】
解：对于，当时，，当时，，
点，点，
，，
过点作轴于点；过点作轴于点，轴于点，
四边形为正方形，
，，
，
又，
，
在和中，
≌，
，，
，
点的坐标为，
同理可证：≌，
，，
，
点的坐标为，
点在双曲线上，
，
双曲线的解析式为：，
设与双曲线交于点，
将正方形向下平移个单位，使顶点落在双曲线上，
点就落在点处，即平移后点与点重合，
，
，
点的坐标为，
点在双曲线上，
，解得：．
故选：．
3.【答案】
【解析】本题主要考查了反比例函数与几何的综合，过点作轴，延长交于点，证，求得，根据，求得，得到点的纵坐标为，设，则，由反比例函数的图象经过、两点，从而求出，进而可得的值．
【详解】解：过点作轴，延长交于点，
与轴平行，与轴平行，
，，
四边形为平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
，
，
点的纵坐标为，
设，则，
反比例函数的图象经过、两点，
，
，
，
，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：，
反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而减小，
点，，在反比例函数为常数的图象上，
点在第一象限内，点，在第三象限内，且，
．
故选：．
根据反比例函数的比例系数确定图象在每个象限内，随的增大而减小，点在第一象限内，点，在第三象限内，且，即可得到答案．
此题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性与比例系数的关系是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，随到增大而减小，那么：
A、若，且、在同一个象限，则，故选项错误，不符合题意；
B、若，且、分别在三、一象限内，则，故选项错误，不符合题意；
C、若，则，故选项正确，符合题意；
D、若，则，即，另外，还可根据函数的定义：对于自变量的值，都有唯一确定的值和它相对应，所以当时，不可能．故选项错误，不符合题意．
故选：．
反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，随到增大而减小．据此可判断．
此题考查了比较反比例函数值的大小，解题的关键是数形结合，掌握函数的定义和反比例函数图象的性质．
6.【答案】
【解析】解：反比例函数，，，
，
故选：．
：在反比例函数中，，根据和反比例函数的性质和，即可得．
本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数的性质．
7.【答案】
【解析】解：过点作轴于点，
顶点的坐标为，
，，
，
菱形中，，
，，
轴，
，
点的坐标为：，
反比例函数的图象与菱形对角线交于点，
．
故选：．
首先过点作轴于点，由，顶点的坐标为，可求得的长，进而根据菱形的性质，可求得的长，且，继而求得的长，则可求得点的坐标，又由反比例函数的图象与菱形对角线交点，即可求得答案．
此题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征．注意准确作出辅助线，求出是解本题的是关键．
8.【答案】
【解析】解：轴，
，
又，
四边形是平行四边形，
设点，则，
，，
当时，，，
此时，，
随着的变化，可能存在的情况，
四边形可能是菱形，故正确，符合题意；
由得，当时，，，
，
四边形不为正方形，故错误，不符合题意；
由得，当点的横坐标为时，，，
，
当点的横坐标为时，，，
，，
，
四边形的周长不为定值，故错误，不符合题意；
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则四边形为矩形，
，
，
四边形的面积为定值，故正确，符合题意；
故选：．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，正方形的性质，解题的关键是熟知反比例函数图象上点的坐标特征．
由轴得到，结合，得到四边形是平行四边形，设点，则，得到的长，再表示的长，利用菱形的性质列出方程求得的值，即可判断结论；
当时，求得点的坐标，然后判断四边形是否为正方形；
任取两个点的坐标，求得和的长，然后判断四边形的周长是否为定值；
过点作轴于点，过点作轴于点，将四边形的面积转化为四边形的面积，进而利用反比例系数的几何意义判断四边形的面积是否为定值．
9.【答案】
【解析】解：设，
点在这个函数的图象上，
，
，
与的函数关系式为，
故选项A，不符合题意；
当时，，
当时，，
故选项C符合题意；
当时，，
当时，
，
当受力面积时，压强，
故选项D不符合题意；
故选：．
压力一定时，压强和受力面积成反比，根据当时，写出解析式，根据解析式即可判定各个选项．
本题考查反比例函数的应用，根据题意写出反比例函数的解析式是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：反比例函数在第二象限的图象上有两点、，它们的纵坐标分别为，，
，；，，
，，
设直线的解析式为：，则
，
解得：，
则直线的解析式是：，
时，，
，
的面积为：．
故选：．
根据已知点横坐标得出其纵坐标，进而求出直线的解析式，求出直线与轴交点的横坐标，即可得出的面积．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，得出直线的解析式是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：；
故选：．
根据的几何意义和三角形的面积进行计算即可．
本题考查反比例函数的几何意义．熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，点在轴上，，，
，，
设点，则，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
点的纵坐标为，
、在反比例函数上，
，
，
，
点为的中点，
，
又点为的中点，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，
，解得，
，
，
，
，解得，
，
将点代入，
．
故选：．
由，点在轴上，，，可得，，设点，则，，因为四边形是平行四边形，所以，，易得四边形是平行四边形，由、在反比例函数上，可得，又是的中位线，所以，则∽，可得，所以，所以，根据点和点的坐标可得的解析式：，所以，所以，所以，解得，可得，将点代入即可．
本题属于反比例函数中代数与几何的综合题，根据，得出，，，各个线段之间的关系，表达出关键点的坐标是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：函数是关于的反比例函数，
，，
，
故答案为：．
根据反比例函数的定义：形如为常数，的函数称为反比例函数，即可求出的值．
此题主要考查了反比例函数的定义，重点是将一般式转化为的形式，注意，的次数为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了待定系数法求函数解析式，设出解析式是解题的关键一步，要认真对待．根据定义设出反比例的解析式，将时，代入解析式，求出未知系数，即可得所求解析式．
【解答】
解：由题意可设，
当时，，
，
与的函数解析式是．
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：由反比例函数为常数可知图象位于一、三象限，随的增大而减小．
点，在反比例函数常数的图象上，且，
点，不在同一象限，则点第一象限，点在第三象限．
，
．
故答案为：．
由于的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质得出不等式组，解不等式组即可求解．
本题主要考查的是反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
16.【答案】
【解析】【分析】由反比例函数的图象与正方形的两边、分别交于点、，证明，即可得，可得，然后作于点，证明为等腰直角三角形，设，则，由勾股定理可求得的值，继而可设正方形的边长为，则，，由勾股定理求出，则可得到点的坐标，继而求得答案．
【详解】解：点、都在反比例函数的图象上，
，即，
四边形为正方形，
，，
，
在和中，
；
，
作于点，如图，
，
为等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，
在中，，
，即，
，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
设正方形的边长为，则，，
在中，，
，
解得，舍去，
，
，
，
点坐标为，
将点代入反比例函数，得：，
故答案为：．
本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算．求出点的坐标是解师的关键．
17.【答案】解：矩形的边、分别在轴、轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，且，
点的坐标为，
，
将矩形以点为旋转中心，顺时针旋转后得到矩形，
，，
，
函数的图象刚好经过的中点，
，
，
解得，
反比例函数的解析式为；
，
，，
把代入得，，
，
，
．
【解析】根据题意得出点的坐标为，进一步求得，代入中即可得出的值，便可得出反比例函数的解析式；
根据的值可得出点、点的坐标，根据反比例函数系数的几何意义得出，故可得出的面积．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，坐标与图形的变化旋转，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，求得、的坐标是解题的关键．
18.【答案】解：，
反比例函数；
分钟，
答：他需要分钟到达单位；
把代入函数的解析式，得：，
答：他骑车的平均速度是：．
【解析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解反比例函数关系是关键．
根据速度、时间、路程的关系即可写出函数的关系式；
根据时间路程速度求解即可；
把代入函数的解析式，即可求得速度．
19.【答案】 设王小红衣服中洗衣液的残留量与漂洗次数的函数关系式为，李小敏衣服中洗衣液的残留量与漂洗次数的函数关系式为为常数且，，为正整数，
把和分别代入两个关系式，得，，解得，．
所以王小红衣服中洗衣液的残留量与漂洗次数的函数关系式为 ，
李小敏衣服中洗衣液的残留量与漂洗次数的函数关系式为 为正整数．
李小敏的漂洗方法更值得提倡．
理由如下：把分别代入两个关系式，得，，
解得， 升，升．
即王小红共用水升，李小敏共用水升，
所以李小敏的漂洗方法更值得提倡．

【解析】略
20.【答案】【小题】

【小题】
反比例函数与一次函数的图象上有同一个“等点”，
设该“等点”为，
，解得：
反比例函数的表达式 ．
【小题】

【解析】
根据题意可知若函数有“等点”，则点应在函数图象上，将其代入函数解析式即可求解．
解：由“等点”的定义可知，若函数有“等点”，则点应在函数图象上．
当时，，即：．
和是函数的两个“等点”，故正确．
当时，此时无解，
函数没有“等点”，故错误．
当时，，此时无解，
函数没有“等点”，故正确．
综上，正确的有．
故答案为．

根据题意设该“等点”为，得，解得：，即可求得答案．

根据题意得两个“等点”为，，得，根据即可求得取值范围．
函数的图象上有两个“等点”、，
有两个不同得解，即有两个不同得解，
则，，
，，
．
，
，
，
故答案为：．
本题考查新定义，函数的图象，反比函数与一次函数的性质．解题的关键是理解新定义，综合运用函数的相关知识，熟练掌握函数与方程不等式的联系．
21.【答案】【小题】
函数和直线为常数，且的图像有一个交点，，，把点代入，得，解得，故，．
【小题】
过点作平行于轴的直线，分别交函数和的图像于点、，且函数和直线，，，当点是线段的中点时，根据题意，得，整理，得，，方程无解；
当点是线段的中点时，根据题意，得，整理，得，解得；
当点是线段的中点时，根据愿意，得，整理，得，解得，舍去．
综上所述，或．

【解析】 见答案
见答案
22.【答案】【小题】
点的坐标为．
【小题】
根据题意，得点，因为点，正好落在反比例函数的图像上，所以，所以，．
【小题】
存在．
由易知，点，设点，如图，当为的对角线时，由平行四边形的对角线互相平分可知，，的中点重合，即，解得，代入，得，所以点，因为，所以，所以点；如图，当为的对角线时，同理可得，点，；如图，当为的对角线时，同理可得，点，综上所述，存在点，或点，或点，，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形．

【解析】 略
见答案
见答案
23.【答案】解：过点作轴的垂线，垂足为，则，如图所示．
点的坐标为，
，，
．
四边形为菱形，
，，
，，三点共线，
点坐标为．
点在反比例函数的图象上，
；
；
由知：反比例函数的关系式为，
设点的坐标为，
的面积是菱形面积的，
，
，
或，
或．
【解析】过点作轴的垂线，垂足为，由点的坐标，利用勾股定理可求出的长，利用菱形的性质可得出的长，可得，，三点共线，进而可得出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出的值；
根据的面积是菱形面积的，列方程解出即可．
本题考查了勾股定理、菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形和三角形的面积等知识，解题的关键是：利用勾股定理及菱形的性质，找出点的坐标；根据反比例函数解析式设点的坐标，列方程解决问题．
24.【答案】解：，，
，
点为线段的中点，
，
把代入，得：，
反比例函数为，
把代入得，则点的坐标为；
把代入得，，解得：，则点的坐标为．
把、代入中得：
解得：，，
直线的解析式为；
的面积，
；
由图象得：不等式的解集为或．
【解析】本题考查了矩形的性质、反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数中的几何意义、待定系数法求函数解析式等知识点，求出点的坐标，再结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
由点、的坐标结合矩形的性质即可得出点的坐标，由中点的性质即可得出点的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出值，由此即可得出反比例函数解析式，由点的横坐标、点的纵坐标结合反比例函数解析式即可得出点、的坐标，再由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式；
由可得；
观察函数图象，根据两函数图象的上下关系结合交点坐标即可得出不等式的解集．
25.【答案】解：
点在一次函数图象上，
，
，
点在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为；
联立两函数解析式可得，解得或，
点坐标为，
结合图象可知当一次函数值大于反比例函数值时，的取值范围为；
如图，设一次函数与轴交于点，
在中，令可求得，
，即，
．
【解析】把点坐标代入一次函数解析式可求得的值，再代入反比例函数解析式可求得，则可求得反比例函数解析式；
联立两函数解析式，解方程组可求得点坐标，结合图象可求得满足条件的的取值范围；
设一次函数与轴交于点，可求得点坐标，利用可求得的面积．
本题主要考查函数图象的交点问题，掌握两函数图象的交点坐标满足每个函数解析式是解题的关键．
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