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浙教版2024-2025学年九年级上数学第1章二次函数 培优测试卷3
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．用配方法将二次函数化为的形式为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】y=x2-8x+16-16-9=（x-4）2-25.
故答案为：B.
2．将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵将抛物线y=x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线为：
y=(x-3)2+4.
故答案为：A.
3．已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得函数开口向上对称轴为x=1，
∴当x＞1时，函数值y随x值的增大而增大，
故答案为：A
4． 二次函数的部分对应值如表则一元二次方程的解为（ ）
.… -2 -1 0 1 2 4 …
… 5 0 -3 -4 -3 5 …
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】由表格得x=1为二次函数的对称轴，
∵当x=-1时，y=0，∴当x=3时，y=0，
∴一元二次方程的解为，，
故答案为：C
5．抛物线与轴的一个交点坐标是，那么它与轴的另一个交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】抛物线与轴的一个交点坐标是，，
解得m=3, 该抛物线为
令y=0得
解得x=1或x=6，它与轴的另一个交点坐标是 ，
故答案为：D.
6．已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．图象关于直线对称
B．函数的最小值是－4
C．当时，y随x的增大而增大
D．－1和3是方程的两个根
【答案】C
【解析】通过图像可知，二次函数的对称轴是x=1，当x=1时，函数取到最小值-4，故A、B正确，
当x＜1时，y随着x的增大而减少，故C错误，
二次函数关于x=1对称，所以-1，3是方程 的两个根 ，故D正确，
故答案为：C.
7．在年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度单位：米与飞行的水平距离单位：米之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【解析】根据题意
小康的成绩是函数值为0时的x值
即
解得x1=12 x2=-2（不符合题意舍去）
故答案为：B
8．若m＜n＜0，且关于x的方程（a＜0）的解为，，关于x的方程（a＜0）的解为．则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵关于x的方程（a<0）的解为，，
∴抛物线与直线y=m的两交点的横坐标分别为，，如图所示：
∵关于x的方程（a＜0）的解为 ，
∴抛物线与直线y=n的两交点的横坐标分别为，如图所示：
∴，
故答案为：B.
9．对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】①由图像可知，a>0，c<0，对称轴，
，
故①正确；
②由图像可知，抛物线与x轴有两个交点，
故②正确；
③由图像可知，当x=2时，函数值小于零，即 ，故③错误；
④由图像可知，当x=-1时，函数值大于零，即a-b+c>0，
a-(-2a)+c>0，即3a+c>0，故④正确；
⑤当x=1时，y=a+b+c，此时y取到最小值，
当x=m时，y=am2+bm+c，
a+b+cam2+bm+c，
即 ，故⑤正确；
⑥当时，y随x的增大而减小，故⑥正确.
综上所述，正确的有①②④⑤⑥，共5个.
故答案为：C.
10．一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD都是同一条抛物线的一部分，AB，CD都与水面桌面平行，已知水杯底部AB宽为4cm，水杯高度为12cm，当水面高度为6cm时，水面宽度为2cm．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕A点倾斜倒出部分水，如图3，当倾斜角∠BAF＝30°时，杯中水面CE平行水平桌面AF．则此时水面CE的值是（ ）
A． B．12cm C． D．14cm
【答案】D
【解析】以AB的中点为原点，直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系如图
：
由题意得：
设抛物线的表达式为：y=ax2+b(a≠0)，
将点B，N坐标代入，得
解得：
∴.
令y=12，得，
解得：，
即
根据题意可知，∠DCE=∠BAF=30° ，设CE与y轴的交点坐标P，CD与y轴交于点Q，如图：
在Rt△CQP中，，∠QCP=30° ，
∴，
∴OP=8，点P坐标（0，8），
设直线CE的表达式为y=kx+8.
把点C的坐标代入得：，
解得：，
∴直线CE的表达式为.
联立，
得或（舍去）.
故点E坐标
∴.
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知二次函数，当自变量和时，函数值，则该抛物线的对称轴为 ．
【答案】
【解析】由题意得二次函数的图象过点，，
∴对称轴为直线，
故答案为：
12．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是 ．
【答案】﹣3＜x＜1
【解析】∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
故答案为：﹣3＜x＜1．
13．一座抛物线形拱桥如图所示，桥下水面宽度为4m时，拱顶距离水面是2m，当水位下降1m后，水面的宽度为 m．（结果保留根号）
【答案】
【解析】建立直角坐标系，如图所示：
设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
∴抛物线解析式为，
把代入得，
∴水面的宽度是米，
故答案为：
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点.矩形的边在线段上，点C、D在抛物线上，则矩形周长的最大值为 .
【答案】13
【解析】设点D的横坐标为m，则点D的纵坐标为，
∴AD=，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴点C的横坐标为3-（m-3）=6-m，
∴CD=2m-6，
∴矩形ABCD的周长=，
∴当m=5时，矩形周长有最大值为13，
故答案为：13.
15．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，抛物线顶点为．若直线交直线于点，且，则的值为 ．
【答案】或
【解析】∵抛物线与轴交于点 ，
∴点A坐标（0，－3）.
∵ =a(x-2)2－4a－3
∴顶点坐标是P（2，－4a－3），对称轴是x=2，
∴B点坐标（4，－3）.
∴AB=4.
∴，
∴BC=3.
∴C(1，－3)或者C（7，－3）
∴当C坐标为(1，－3)时，直线OP的解析式：y=－3x.
把x=2代入得，y=-6，即－4a－3=－6，
∴.
∴当C坐标为(7，－3)时，直线OP的解析式：
把x=2代入得，，即，
∴.
故答案为：或.
16．已知函数（是常数，），（是常数，），在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是 ．
【答案】或
【解析】 且 ，
该函数过点（-4，-2），
且 ，
该函数过（-5，0），（1，0）
当a<0时，无论k为何值，函数 和的图象总有公共点，
a<0符合题意；
当a>0时，无论k为何值，函数 和的图象总有公共点，
x=-4时，可得
解得
符合题意；
无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围为 或 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3经过点M（﹣2，3）．
（1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当﹣3≤x≤0时，直接写出y的取值范围．
【答案】（1）解：把M（﹣2，3）代入y＝﹣x3+mx+3得：
﹣4﹣5m+3＝3，
解得m＝﹣4，
∴y＝﹣x2﹣2x+5＝﹣（x+1）2+6，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，6）；
（2）解：y的取值范围是3≤y≤63．
【解析】（2）∵y＝﹣（x+1）2+6，∴抛物线开口向下，有最大值6，
∵当x＝0时，y＝3，y＝3，
∴当﹣3≤x≤0时，y的取值范围是3≤y≤63．
18．已知二次函数.
（1）若函数图象经过点，求抛物线的对称轴；
（2）当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少，求的取值范围.
【答案】（1）当时，，则二次函数经过
在二次函数上
对称轴为直线
（2）时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少
开口向上，对称轴在-1和0之间
∴
19．已知抛物线交轴于，交轴于，点是第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求a，b值；
（2）若点N（n，t）在该抛物线上，且，求的值．
【答案】（1）解：抛物线交轴于和，
解得
（2）解：若点在该抛物线上，点是第四象限内抛物线上的一个动点，
轴，是方程的两根，．
20．二次函数（b，c为常数）的图象与x轴交于A，B两点.
（1）A，B两点坐标分别是，求该二次函数的表达式及其图象的对称轴；
（2）若该二次函数的最小值为-4，求的最大值．
【答案】（1）解：把代入得：
解得：．
二次函数的表达式为，
二次函数图象的对称轴是直线．
（2）解：，
二次函数的最小值是，
当时，的最大值是5．
21．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个抛物线的函数解析式；
（2）求直线AC的函数解析式；
（3）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：将点A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+2中，
∴，
解得．
∴y＝﹣+2
（2）解：令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2），
设直线AC的解析式为y＝kx+c，
∴，
解得，
∴直线AC的函数解析式为y＝x+2
（3）解：存在点P，使△ACP的面积最大，
如图，过点P作PG∥y轴交AC于点G，
设P（t，），则G（t，+2），
∴PG＝，
∴S△ACP＝
∵点P是直线AC上方，
∴﹣3＜t＜0，
∴当时，S有最大值，
此时P
22．春回大地，万物复苏，又是一年花季到.某花圃基地计划将如图所示的一块长40 m，宽20 m的矩形空地划分成五块小矩形区域.其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉.活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10 m.A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元.
（1）设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是 ，花卉B的种植面积是 ，花卉C的种植面积是 .
（2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？
（3）若花卉A与B的种植面积之和不超过 ，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值.
【答案】（1）；；
（2）解：∵A，B花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元，
∴A，B两种花卉的总产值分别为百元和百元，
∵A，B两种花卉的总产值相等，
∴，
∴，
解方程得或，
∴当育苗区的边长为32m或10m时，A，B两种花卉的总产值相等；
（3）解：∵花卉A与B的种植面积之和为：，
∴，
∴，
∵设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，
∴，
∴，
∴，
∴当时，y随x的增加而减小，
∴当时，y最大，且（百元），
故A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值168000元.
【解析】（1）∵育苗区的边长为x m，活动区的边长为10m，
∴花卉A的面积为：，
花卉B的面积为：，
花卉C的面积为：，
故答案为：；；；
23．如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为，且点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为抛物线与轴的交点；
①点在抛物线上，且，求点点坐标；
②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值．
【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
又点与在抛物线上，
，
解得，
抛物线的解析式为
（2）解：①由（1）知，二次函数的解析式为，
抛物线与轴的交点的坐标为，与轴的另一交点为，
则，，
设点坐标为，
，
，
，
则，
当时，，
当时，，
点的坐标为或；
②如图，
设直线的解析式为，
将，代入得，
解得，
直线的解析式为，
设点坐标为，，
则点坐标为，
，
当时，线段的长度有最大值．
24．如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，当为何值时，四边形是平行四边形？
（3）若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：在直线中，当时，，当时，，
∴点，点，
设抛物线的解析式为，
把点，点代入可得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由题意，，
∴，
当四边形是平行四边形时，，
∴，
∴，，
设直线的解析式为，
把代入可得，
解得，
∴直线的解析式为，
又∵过点作轴的平行线交抛物线于另一点，且抛物线对称轴为，
∴
∴，
解得（不合题意，舍去），；
（3）解：存在，理由如下：
∵，
∴点E为线段的中点，
∴点E的横坐标为，
∵点E在直线上，
∴，
把代入中，可得，
解得（不合题意，舍去），．
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浙教版2024-2025学年九年级上数学第1章二次函数 培优测试卷3
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．用配方法将二次函数化为的形式为（ ）.
A． B．
C． D．
2．将抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4． 二次函数的部分对应值如表则一元二次方程的解为（ ）
.… -2 -1 0 1 2 4 …
… 5 0 -3 -4 -3 5 …
A．， B．，
C．， D．，
5．抛物线与轴的一个交点坐标是，那么它与轴的另一个交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．图象关于直线对称 B．函数的最小值是－4
C．当时，y随x的增大而增大 D．－1和3是方程的两个根
（第6题） （第7题） （第9题）
7．在年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度单位：米与飞行的水平距离单位：米之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．若m＜n＜0，且关于x的方程（a＜0）的解为，，关于x的方程（a＜0）的解为．则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD都是同一条抛物线的一部分，AB，CD都与水面桌面平行，已知水杯底部AB宽为4cm，水杯高度为12cm，当水面高度为6cm时，水面宽度为2cm．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕A点倾斜倒出部分水，如图3，当倾斜角∠BAF＝30°时，杯中水面CE平行水平桌面AF．则此时水面CE的值是（ ）
A． B．12cm C． D．14cm
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知二次函数，当自变量和时，函数值，则该抛物线的对称轴为 ．
12．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是 ．
（第12题） （第13题） （第14题）
13．一座抛物线形拱桥如图所示，桥下水面宽度为4m时，拱顶距离水面是2m，当水位下降1m后，水面的宽度为 m．（结果保留根号）
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点.矩形的边在线段上，点C、D在抛物线上，则矩形周长的最大值为 .
15．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，抛物线顶点为．若直线交直线于点，且，则的值为 ．
16．已知函数（是常数，），（是常数，），在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3经过点M（﹣2，3）．
（1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当﹣3≤x≤0时，直接写出y的取值范围．
18．已知二次函数.
（1）若函数图象经过点，求抛物线的对称轴；
（2）当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少，求的取值范围.
19．已知抛物线交轴于，交轴于，点是第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求a，b值；
（2）若点N（n，t）在该抛物线上，且，求的值．
20．二次函数（b，c为常数）的图象与x轴交于A，B两点.
（1）A，B两点坐标分别是，求该二次函数的表达式及其图象的对称轴；
（2）若该二次函数的最小值为-4，求的最大值．
21．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个抛物线的函数解析式；
（2）求直线AC的函数解析式；
（3）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
22．春回大地，万物复苏，又是一年花季到.某花圃基地计划将如图所示的一块长40 m，宽20 m的矩形空地划分成五块小矩形区域.其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉.活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10 m.A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元.
（1）设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是 ，花卉B的种植面积是 ，花卉C的种植面积是 .
（2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？
（3）若花卉A与B的种植面积之和不超过 ，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值.
23．如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为，且点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为抛物线与轴的交点；
①点在抛物线上，且，求点点坐标；
②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值．
24．如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，当为何值时，四边形是平行四边形？
（3）若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
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