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浙教版2024-2025学年九年级上数学第1章二次函数 培优测试卷1
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线y＝（x-2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（-1，2） B．（2，1） C．（-2，1） D．（-2，-1）
3．在同一平面直角坐标系中，一次函数 与二次函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（ ）
A．y=﹣2（x+1）2﹣1 B．y=﹣2（x+1）2+3
C．y=﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y=﹣2（x﹣1）2+3
5．根据下列表格对应值：
x 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c -0.02 0.01 0.03
判断关于x的方程ax2+bx+c=0 的一个解x的范围是（ ）
A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25
C．3.25＜x＜3.26 D．3.25＜x＜3.28
6．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
7．已知二次函数（a，b是常数，）的图象经过，，三个点中的其中两个点.平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（ ）
A．最大值为-1 B．最小值为-1
C．最大值为 D．最小值为
8．对于题目“抛物线l1：（﹣1＜x≤2）与直线l2：y＝m（m为整数）只有一个交点，确定m的值”；甲的结果是m＝1或m＝2；乙的结果是m＝4，则（ ）
A．只有甲的结果正确 B．只有乙的结果正确
C．甲、乙的结果合起来才正确 D．甲、乙的结果合起来也不正确
9．已知二次函数，当时，函数有最小值，则b的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．或
10．定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a＜0 B．﹣2≤a＜﹣1
C．﹣1≤a＜ D．﹣2≤a＜0
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．某车的刹车距离与开始刹车时的速度满足二次函数，若该车某次的刹车距离为，则开始刹车时的速度为 ．
12．对于任意实数 ，抛物线 与 轴都有公共点.则 的取值范围是 .
13．二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C，其中点A，C坐标如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c=0的根是
14．已知点、、为抛物线上的点，则 ．
15． 关于的二次函数，在时有最大值6，则 ．
16． 如果关于x的分式方程有整数解，且二次函数y＝（m﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，那么符合条件的所有整数m的和为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．直线称作抛物线的关联直线．根据定义回答以下问题：
（1）求证：抛物线与其关联直线一定有公共点；
（2）当时，求抛物线与其关联直线一定都经过的点的坐标（用字母表示）．
18．如图，抛物线y＝﹣x2+4交x轴于A，B两点，顶点是C．
（1）求点A，C的坐标；
（2）若点P在抛物线上，且S△PAB＝4，求点P的坐标．
19．小颖家附近广场中央计划新建造个圆形的喷水池．在水池中央垂直于地面处安装个柱子，在柱子顶端A处安装一个喷头向外喷水．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图所示．已知柱子在水面以上部分OA的高度为1.25m，为使水流形状较为漂亮，要求设计水流在距离柱子1m处达到距离水平面最高，且最高为2.25m.
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求水流抛物线在第一象限内对应的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）；
（2）若不计其他因素，则水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落到池外？
20．已知抛物线．
（1）若，求抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，若是这条抛物线上不同的两点，求证：．
21．如图，已知抛物线交x轴于点A和点B，交y轴于点C，对称轴为直线，．
（1）求抛物线的解析式和B点的坐标；
（2）点P为抛物线在线段上方的一个动点，点P的横坐标为m．
①若，求m的值；
②过点P作x轴的垂线，交线段于点D，线段的长记为d，求出d关于m的函数解析式，并计算d的最大值．
22．在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线．
（1）当时，
①直接写出与满足的等量关系；
②比较，的大小，并说明理由；
（2）已知点，在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围．
23．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线与抛物线交于点B．
（1）直接写出抛物线的对称轴；
（2）若，求抛物线所对应的函数解析式；
（3）已知点，如果抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
24．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标；
（3）如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
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浙教版2024-2025学年九年级上数学第1章二次函数 培优测试卷1
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、此函数不是二次函数，故A不符合题意；
B、此函数不是二次函数，故B不符合题意；
C、此函数是二次函数，故C符合题意；
D、此函数不是二次函数，故D不符合题意；
故答案为：C.
2．抛物线y＝（x-2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（-1，2） B．（2，1） C．（-2，1） D．（-2，-1）
【答案】B
【解析】抛物线y＝（x-2）2+1的顶点坐标是（2，1），
故答案为：B.
3．在同一平面直角坐标系中，一次函数 与二次函数 的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，矛盾，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，矛盾，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，矛盾，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
4．将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（ ）
A．y=﹣2（x+1）2﹣1 B．y=﹣2（x+1）2+3
C．y=﹣2（x﹣1）2﹣1 D．y=﹣2（x﹣1）2+3
【答案】D
【解析】解；将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为y=﹣2（x﹣1）2+3，
故答案为：D．
5．根据下列表格对应值：
x 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c -0.02 0.01 0.03
判断关于x的方程ax2+bx+c=0 的一个解x的范围是（ ）
A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25
C．3.25＜x＜3.26 D．3.25＜x＜3.28
【答案】B
【解析】由图表可知，ax2+bx+c=0时，3.24＜x＜3.25．
故答案为：B．
6．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【答案】A
【解析】∵A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的三点，
∴y1＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+2＝2，y2＝﹣1﹣2+2＝﹣1，y3＝﹣22﹣2×2+2＝﹣6，
∴y1＞y2＞y3，
故答案为：A.
7．已知二次函数（a，b是常数，）的图象经过，，三个点中的其中两个点.平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（ ）
A．最大值为-1 B．最小值为-1
C．最大值为 D．最小值为
【答案】C
【解析】由题意得，二次函数的图象经过点A，B或点A，点C，
①若经过点A和点B
把A（2，1），B（4，3）代入得
解得
∵
∴二次函数的图象不能经过点A，B；
②若经过点A、点C，则有
解得，
∴
当时，
则点A（2，1）是的顶点
此时二次函数的顶点在上，且与y轴交点，纵坐标为-1，故D不符合题意；
经过平移，顶点始终在直线上，
故平移后函数表达式为，其中c为沿x轴正方向平移的单位，c取实数，
当x=0时，
当时，y有最大值，为：
故答案为：C.
8．对于题目“抛物线l1：（﹣1＜x≤2）与直线l2：y＝m（m为整数）只有一个交点，确定m的值”；甲的结果是m＝1或m＝2；乙的结果是m＝4，则（ ）
A．只有甲的结果正确 B．只有乙的结果正确
C．甲、乙的结果合起来才正确 D．甲、乙的结果合起来也不正确
【答案】C
【解析】由抛物线l1：y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）可知抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，4），如图所示：
∵m为整数，
由图象可知，当m＝1或m＝2或m＝4时，抛物线l1：y＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1＜x≤2）与直线l2：y＝m（m为整数）只有一个交点，
∴甲、乙的结果合在一起正确，
故答案为：C
9．已知二次函数，当时，函数有最小值，则b的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．或
【答案】A
【解析】 ，对称轴为，顶点坐标为，开口向上.
当，即-3故，故.
当，即b<－3时，最小值在处取得，
故，故(不符合题意，舍去).
当，即b>1时，最小值在处取得，
故，故.
故答案为：A.
10．定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a＜0 B．﹣2≤a＜﹣1
C．﹣1≤a＜ D．﹣2≤a＜0
【答案】B
【解析】抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）化为顶点式为y＝a（x﹣1）2+2，故函数的对称轴：x＝1，M和N两点关于x＝1对称，根据题意，抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是（0，0），（1，0），（（1，1），（1，2），（2，0），
如图所示：
∵当x＝0时，y＝a+2
∴0≤a+2＜1
当x＝﹣1时，y＝4a+2＜0
即：，
解得﹣2≤a＜﹣1
故选B．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．某车的刹车距离与开始刹车时的速度满足二次函数，若该车某次的刹车距离为，则开始刹车时的速度为 ．
【答案】15
【解析】把y=9代入 得
9=0.04x2，
解得x=±15（舍负）
故答案为：15.
12．对于任意实数 ，抛物线 与 轴都有公共点.则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】由抛物线 与 轴都有公共点可得： ，即 ，
∴ ，
设 ，则 ，
要使对于任意实数 ，抛物线 与 轴都有公共点，则需满足 小于等于 的最小值即可，
∴ ，即 的最小值为 ，
∴ ；
故答案为 .
13．二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C，其中点A，C坐标如图所示，则一元二次方程ax2+bx+c=0的根是
【答案】x1=-2，x2=1
【解析】点C的坐标为，
二次函数的对称轴为：，
A（-2，0），且点B是点A关于的对称点，
点B坐标为（1，0），
一元二次方程ax2+bx+c=0的根是x1=-2，x2=1.
故答案为：x1=-2，x2=1.
14．已知点、、为抛物线上的点，则 ．
【答案】3
【解析】抛物线解析式为，
该抛物线的对称轴是直线，
又点和关于直线对称，
，
，
把代入抛物线的解析式得，．
故答案为：3
15． 关于的二次函数，在时有最大值6，则 ．
【答案】2或
【解析】y=ax2+a2，
①当a＞0时，二次函数的对称轴为x=0，
∴x=-1时，ymax=a+a2=6，
解得：a=2或a=-3（舍去）；
②当a＜0时，二次函数的对称轴为x=0，
∴x=0时，ymax=a2=6，
解得：a=或a=（舍去），
综上所述，a=2或.
故答案为：2或.
16． 如果关于x的分式方程有整数解，且二次函数y＝（m﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，那么符合条件的所有整数m的和为 ．
【答案】0
【解析】在分式方程两边同乘以得：，
，
由题意得：，且，为整数，
的值为：1，3，8，，5，0，4，
二次函数，
，且△，
解得：且，
的值为：1，，0，3，
所有整数的和为：0，
故答案为：0．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．直线称作抛物线的关联直线．根据定义回答以下问题：
（1）求证：抛物线与其关联直线一定有公共点；
（2）当时，求抛物线与其关联直线一定都经过的点的坐标（用字母表示）．
【答案】（1）证明：∵抛物线与直线相交，
∴，∴，
整理得：，
∵，
∴抛物线与其关联直线一定有公共点
（2）解：当时，
抛物线与其关联直线的解析式分别为：，
当时，分别代入抛物线及其关联直线的解析式得：
，，
∴抛物线与其关联直线恒过点；
当时，分别代入抛物线及其关联直线的解析式得：
，，
∴抛物线与其关联直线恒过点；
∴当时，抛物线与其关联直线一定经过的定点的坐标为，．
18．如图，抛物线y＝﹣x2+4交x轴于A，B两点，顶点是C．
（1）求点A，C的坐标；
（2）若点P在抛物线上，且S△PAB＝4，求点P的坐标．
【答案】（1）解：设y＝0，则y＝﹣x2+4＝0，
∴x＝±2，
设x＝0，则y＝4，
∴A（﹣2，0），C（0，4）；
（2）解：∵，
即，
∴点P的纵坐标为±2，
当y＝2时，代入抛物线有：2＝﹣x2+4，得：x＝±．
当y＝﹣2时，代入抛物线有：﹣2＝﹣x2+4，得：x＝±．
所以点P的坐标为：（，2），（﹣，2），（，﹣2），（﹣，﹣2）．
19．小颖家附近广场中央计划新建造个圆形的喷水池．在水池中央垂直于地面处安装个柱子，在柱子顶端A处安装一个喷头向外喷水．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图所示．已知柱子在水面以上部分OA的高度为1.25m，为使水流形状较为漂亮，要求设计水流在距离柱子1m处达到距离水平面最高，且最高为2.25m.
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求水流抛物线在第一象限内对应的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）；
（2）若不计其他因素，则水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落到池外？
【答案】（1）解：由题意，以柱子OA所在的直线为y轴，垂直于OA于点O的直线为x轴，建立平面直角坐标系，
∵顶点为（1，2.25），
∴可设解析式为y＝a（x﹣1）2+2.25过点（0，1.25），
∴a（0﹣1）2+2.25=1.25
∴解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+2.25；
（2）解：由（1）可知：y＝﹣（x﹣1）2+2.25，
令y＝0，
∴﹣（x﹣1）2+2.25＝0．
∴解得x＝2.5或x＝﹣0.5（舍去）．
∴花坛半径至少为2.5m．
20．已知抛物线．
（1）若，求抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，若是这条抛物线上不同的两点，求证：．
【答案】（1）抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为
（2）抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，为抛物线的顶点，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线的解析式为，
是抛物线上不同的两点，
，
又，
，
21．如图，已知抛物线交x轴于点A和点B，交y轴于点C，对称轴为直线，．
（1）求抛物线的解析式和B点的坐标；
（2）点P为抛物线在线段上方的一个动点，点P的横坐标为m．
①若，求m的值；
②过点P作x轴的垂线，交线段于点D，线段的长记为d，求出d关于m的函数解析式，并计算d的最大值．
【答案】（1）解：∵抛物线对称轴为直线，而，
∴B点坐标为．
∵抛物线交x轴于，，
∴设抛物线的解析式为，
把代入，得到，
∴抛物线的解析式为，即；
（2）解：①∵点P的横坐标为m，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，；
②设直线的解析式为，
把分别代入得，
解得：，
∴直线的解析式为．
∵，则，
∴．
∵，
∴当x时，d的值最大，且，
∴d关于m的函数解析式为，d的最大值为．
22．在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线．
（1）当时，
①直接写出与满足的等量关系；
②比较，的大小，并说明理由；
（2）已知点，在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围．
【答案】（1）解：①；
②抛物线中，，
抛物线开口向上，
点，点在抛物线上，对称轴为直线，
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
；
（2）解：由题意可知，点在对称轴的左侧，点，，在对称轴的右侧，
，都有，
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
，解得，
的取值范围是．
23．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线与抛物线交于点B．
（1）直接写出抛物线的对称轴；
（2）若，求抛物线所对应的函数解析式；
（3）已知点，如果抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
【答案】（1）解：直线；
（2）解：抛物线与轴交于点，，轴，
由题意可知抛物线的对称轴为直线，
，
当时，抛物线所对应的函数解析式为，
当时，抛物线所对应的函数解析式为，
抛物线所对应的函数解析式为或；
（3）解：
当时，抛物线过点时，则，解得，
，
此时，抛物线与线段有一个公共点．
当时，抛物线过点时，，解得，
此时，，抛物线与线段有一个公共点；
综上所述，当或时，抛物线与线段恰有一个公共点．
【解析】（1）解：抛物线，
抛物线的对称轴为直线；
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标；
（3）如图，为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接并延长交轴于点，在点运动过程中，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：将点，，代入
得
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵点，，
∴抛物线的对称轴为直线：，
如图所示，设与交于点，过点作于点
∵以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵点在抛物线上
∴
解得：（舍去）或，
∴，
当点与点重合时，如图所示，
∵，是等腰直角三角形，且，
∴
此时，
综上所述，或；
（3）解：设，直线的解析式为，的解析式为，
∵点，，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，的解析式为，
对于，当时，，即，
对于，当时，，即，
∵在抛物线上，则
∴
∴为定值．
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