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浙教版2024-2025学年九年级上数学第1章二次函数 培优测试卷2
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ）
A．开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为
B．开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为
C．开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为
D．开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为
2．一个二次函数图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3．若抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为y轴，且点P（2，6）在该抛物线上，则c的值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
4．如图所示的是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）
A． B． C．且 D．或
（第4题） （第5题） （第8题）
5．如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D．当点，四边形为正方形时，则线段的长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
6．铅球运动员掷铅球的高度（m）与水平距离（m）之间的函数关系式为，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）
A． B．8m C．10m D．12m
7．已知抛物线（，是常数，），过点，，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
8．如图.在平面直角坐标系中，抛物线交轴的负半轴于点.点是轴负半轴上一点.点关于点的对称点恰好落在抛物线上.过点作轴的平行线交抛物线于另一点.若点的横坐标为2，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
9．关于的一元二次方程的两个实数根分别是，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
10．函数图象与有交点，且满足，则的取值范围是（ ）
A． B．或2
C． D．或
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11． 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点（0，5），对称轴为直线x＝﹣2，若y≥5，则x的取值范围是 ．
（第11题） （第13题） （第16题）
12．若二次函数y＝x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是 .
13．关于的二次函数以及一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是 ．
14．已知和时，多项式的值相等，则当时，多项式的值为 .
15．抛物线与轴相交于不同两点、，若存在整数及整数，使得和同时成立，则 ．
16．如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.
（1）求该函数的关系式；
（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.
18．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求该抛物线解析式；
（2）若点是抛物线对称轴与直线的交点，点是抛物线的顶点，求的长．
19．设二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是实数，且a≠0）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：
x … -1 0 1 2 3 …
y … -8 -3 0 1 0 …
（1）求二次函数的表达式．
（2）若点M（m，n）是抛物线上一点，且0≤m≤4，求n的取值范围．
20． 如图所示，点E，F分别是正方形ABCD的边BC，CD上两点，且CE=CF，AB=4.
（1）设CE=x，△AEF的面积为y，求y关于x的函数关系式；
（2）当x取何值时，△AEF面积最大？求出此时△AEF的面积.
21． 某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
（3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与二次函数的图象交于点．
（1）求一次函数与二次函数的表达式；
（2）设是直线上一点，过点作轴，交二次函数的图象于点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．
23．已知抛物线的顶点坐标为．
（1）求该抛物线与y轴交点的坐标．
（2）若点，都在抛物线上，且，，，求的值．
24．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，抛物线与轴分别交于点，与轴交于点，点的坐标是
（1）求点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点是第一象限抛物线上的一个动点，点是抛物线对称轴与轴的交点，连接．求四边形的面积的最大值，并求出此时点的坐标．
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浙教版2024-2025学年九年级上数学第1章二次函数 培优测试卷2
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．二次函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ）
A．开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为
B．开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为
C．开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为
D．开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为
【答案】B
【解析】二次函数y=2（x-3）2+5的开口方向为上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3，5）；
故答案为：B.
2．一个二次函数图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
∴抛物线解析式为．
故答案为：C
3．若抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为y轴，且点P（2，6）在该抛物线上，则c的值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
【答案】C
【解析】∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为y轴，
∴b＝0，
∵点P（2，6）在该抛物线上，
∴6＝4+c，
解得：c＝2．
故答案为：C．
4．如图所示的是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）
A． B．
C．且 D．或
【答案】D
【解析】由图可得：
图象关于直线x=2对称，与x轴一交点横坐标为5
∴图象关于x轴另一交点横坐标为x=-1
∴当不等式是，对应的函数图象在x轴下方，即x<-1或x>5
故答案为：D
5．如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F，分别过点E、F作x轴的垂线交线段AB于两点C、D．当点，四边形为正方形时，则线段的长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【解析】将点E（2，4）代入解得：a=1
∵当点，四边形为正方形
∴CD=CE=EF=4
设点A横坐标为m，则A（m，8）
代入解得：
故答案为：B
6．铅球运动员掷铅球的高度（m）与水平距离（m）之间的函数关系式为，则该运动员此次掷铅球的成绩是（ ）
A． B．8m C．10m D．12m
【答案】C
【解析】 ，
当y=0时，则，
解得x1=10，x2=-2，
∵x＞0，
∴x=10.
故答案为：C.
7．已知抛物线（，是常数，），过点，，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【解析】由题意得：抛物线过点，
∵抛物线过∴点和关于抛物线对称轴对称，
同理得到点A和点B关于抛物线对称轴对称，
∴∴
∵∴
故答案为：B.
8．如图.在平面直角坐标系中，抛物线交轴的负半轴于点.点是轴负半轴上一点.点关于点的对称点恰好落在抛物线上.过点作轴的平行线交抛物线于另一点.若点的横坐标为2，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【解析】∵点C的横坐标为2，点A关于点B的对称点C恰好落在抛物线上，且点B的横坐标为0，
∴点A的横坐标为-2，
∴抛物线的对称轴是直线，
又∵点C的横坐标为2，
∴点D的横坐标为-4，
∴CD=2-（-4）=6，
故答案为：C.
9．关于的一元二次方程的两个实数根分别是，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意得，△=，解得t≥1.
由题意得，.
把n代入 一元二次方程 得，，∴，∴.
∴.
∵t≥1，所以当t=1时，有最大值，最大值为-2-6=-8.
故选：B.
10．函数图象与有交点，且满足，则的取值范围是（ ）
A． B．或2
C． D．或
【答案】D
【解析】如图，
函数 图象与函数有交点 ，且满足
对于函数，当x=1时，y=(1-m)2-5；当x=2时，y=(2-m)2-5；
对于函数，当x=1时，y=-4；当x=2时，y=-2；
若二次函数在对称轴右侧的部分与反比例函数有交点，且满足
从图中观察可得：
由①得：0≤m≤2
由②得：m≤或m＞
∴0≤m≤ ；
若二次函数在对称轴左侧的部分与反比例函数有交点，且满足
从图中观察可得：
由①得：m≤0或m≥2
由②得：≤m≤ ∴
综上所述
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11． 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点（0，5），对称轴为直线x＝﹣2，若y≥5，则x的取值范围是 ．
【答案】﹣4≤x≤0
【解析】∵抛物线交y轴于点，对称轴为直线，
∴图象过点，
∵图象开口向下，
∴当时，x的取值范围是．
故答案为：．
12．若二次函数y＝x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是 .
【答案】m＜1且m≠0
【解析】∵二次函数y＝x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，
∴方程y＝x2+2x+m有两个不相等的实数根，且m≠0，
∴△=2 2 4m>0，∴m<1.
∴m<1且m≠0.
故答案为：m＜1且m≠0
13．关于的二次函数以及一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】由不等式得到 观察图象可得不等式的解集是 ，
故答案为： .
14．已知和时，多项式的值相等，则当时，多项式的值为 .
【答案】2
【解析】设，
当和时，多项式的值相等，
，
，
，
当时，.
故答案为：2.
15．抛物线与轴相交于不同两点、，若存在整数及整数，使得和同时成立，则 ．
【答案】13或15或19
【解析】∵抛物线y=2x2-ax+m+a与x轴相交于不同两点（x1，0)，(x2，0)，
∴Δ=(-a)2-4×2×(m-a)＞0，即a2-8m+8a>0
∵2>0
∴抛物线开口向上，
∵1
∴当x=1或3时，y>0 ∴
由③得：4∵a是整数
∴a=5或6或7或8或9或10或11
将a=5，6，10，11代入时不等式组均无解
将a=7，8，9代入时整数解依次为m=13，m=15，m=19
故答案为：13或15或19.
16．如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为 ．
【答案】
【解析】过C、D作x轴平行线，作A关于直线y=4的对称点A'，过A'作A'E∥CD，且A'E=CD，连接BE交直线y=9于C'，过C'作C'D'∥CD，交直线y=4于D'，如图：
作图可知：四边形A'ECD和四边形C'D'DC是平行四边形，
∴A'E∥CD，C'D'∥CD，且A'E=CD，C'D'=CD，
∴C'D'∥A'E且C'D'=A'E，
∴四边形A'EC'D'是平行四边形，
∴A'D'=EC'，
∵A关于直线y=4的对称点A'，
∴AD'=A'D'，
∴EC'=AD'，
∴BE=BC'+EC'=BC'+AD'，即此时BC'+AD'转化到一条直线上，BC'+AD'最小，最小值为BE的长度，
而AB、CD为定值，
∴此时四边形ABC′D′的周长最小，
∵A（3，0）关于直线y=4的对称点A'，
∴A'（3，8），
∵四边形A'ECD是平行四边形，C（-3，9），D（2，4），
∴E（-2，13），
设直线BE解析式为y=kx+b，
则，
解得：，
∴直线BE解析式为，
令y=9得：，
解得：，
∴，
∴，
即将抛物线y=x2向右移个单位后，四边形ABC′D′的周长最小，
∴此时抛物线为，
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.
（1）求该函数的关系式；
（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.
【答案】（1）解：∵抛物线的顶点D的坐标为(1， 4)，
∴设抛物线的函数关系式为y=a(x 1)2 4，
又∵抛物线过点C(0，-3)，
∴-3=a(0 1)2 4，
解得a=1，
∴抛物线的函数关系式为y=(x 1)2 4，
即y=x2 2x 3；
（2）解：令y=0，得：x2，
解得，.
所以坐标为A（3，0），B（-1，0）.
18．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求该抛物线解析式；
（2）若点是抛物线对称轴与直线的交点，点是抛物线的顶点，求的长．
【答案】（1）解：将，代入，得
，解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，
当时，，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为（），将，代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
抛物线的对称轴与直线的交点为，
当时，，即点的坐标为，
∴．
19．设二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是实数，且a≠0）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：
x … -1 0 1 2 3 …
y … -8 -3 0 1 0 …
（1）求二次函数的表达式．
（2）若点M（m，n）是抛物线上一点，且0≤m≤4，求n的取值范围．
【答案】（1）解：∵二次函数图象过点(1，0)和点(3，0)，
∴设二次函数表达式为y＝a(x－1)(x－3)．
将x＝0，y＝－3代入，得－3＝3a，
∴a＝－1．
∴二次函数的表达式为y＝－x2＋4x－3；
（2）解：∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，
∴当x＝2时，y取得最大值为1．
当x＝0或x＝4时，y取得最小值为－3．
∵0≤m≤4，
∴－3≤n≤1．
20． 如图所示，点E，F分别是正方形ABCD的边BC，CD上两点，且CE=CF，AB=4.
（1）设CE=x，△AEF的面积为y，求y关于x的函数关系式；
（2）当x取何值时，△AEF面积最大？求出此时△AEF的面积.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC.
∵CE=CF=x，∴BE=DF=4-x.
∴y=S正方形ABCD-S△ABE-S△ADF-S△CEF.
∴y=42-×4×(4-x)-×4×(4-x)-·x2.
∴y=-x2+4x(0（2）解：∵y=-x2+4x=-(x-4)2+8，
∴当x=4时，△AEF的面积最大，此时△AEF的面积是8
21． 某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
（3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．
【答案】（1）解：根据题意得：，
与之间的函数关系式为；
（2）解：根据题意得：，
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，有最大值，最大值为，
将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元；
（3）解：依题意剩余利润元，
捐款后每天剩余利润不低于2200元，
，即，
由得或，
，，
捐款后每天剩余利润不低于2200元，，
答：捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价的范围是．
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与二次函数的图象交于点．
（1）求一次函数与二次函数的表达式；
（2）设是直线上一点，过点作轴，交二次函数的图象于点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵过点，
∴，解得，
∴一次函数表达式为：；
∵点在上，
∴，即，
∵点在上，
∴，解得，
∴二次函数表达式为：；
（2）解：∵点在轴上，且在上，
∴，即，
如图所示：
∵以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
设，，则有，
或，解得或，
是直线上的点，
∴点坐标为，，，．
23．已知抛物线的顶点坐标为．
（1）求该抛物线与y轴交点的坐标．
（2）若点，都在抛物线上，且，，，求的值．
【答案】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴，
∴抛物线与y轴交点的坐标为．
（2）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的对称轴为直线．
∵点，，且，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴==
====．
24．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，抛物线与轴分别交于点，与轴交于点，点的坐标是
（1）求点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点是第一象限抛物线上的一个动点，点是抛物线对称轴与轴的交点，连接．求四边形的面积的最大值，并求出此时点的坐标．
【答案】（1）解：抛物线的对称轴是直线，点的坐标是（-2，0），
∴点B的横坐标是，
∴B（4，0）．
∵当时，，
∴C（0，4）．
（2）解：把B（4，0），A（-2，0）代入，得
，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接．
∵对称轴是直线，B（4，0），C（0，4），
．
设，0四边形的面积
=
，
∴当时，四边形的面积取得最大值10．
∴，
∴．
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