第5章 特殊平行四边形 单元检测A卷(基础卷）（含解析）

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第5章 特殊平行四边形 单元检测A卷(基础卷）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．邻边互相垂直 D．对角线互相垂直
2．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的边长为（　　）
A．16 B．6 C．4 D．4
3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若∠1＝20°，则∠2 的度数为（　　）
A．20° B．60° C．70° D．80°
4．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，则∠BAC的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
5．如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且BP＝OB，则CP的长为（　　）
A． B． C．0.5 D．1
6．下列判断错误的是（　　）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．四条边都相等的四边形是菱形
7．依据所标数据，下列不一定是矩形的是（　　）
A． B． C． D．
8．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，CE∥BD，DE∥AC，若AB＝6，AD＝8，则四边形OCED的周长是（　　）
A．10 B．20 C．28 D．30
9．如图，菱形ABCD的周长为20，对角线BD长为8，则AD边上的高CF为（　　）
A．4 B．5 C． D．
10．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，CE交DF于点G，连接AG．下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠EAG＝30°；④∠AGE＝∠CDF．其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.
11．如图．菱形ABCD中，∠1＝15°，则∠BAD＝　 　．
12．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知AB＝AO，BC＝3，则AC＝　 　．
13．如图，在正方形ABCD中，点M，N，E分别是边AD，BC，CD上的点，连接BE，MN，若BE＝MN，∠CBE＝30°，则∠DMN的度数为 　 　．
14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝2AB，在BC上截取BE＝AB，连接AE，OE，则∠AEO的度数为 　 　．
15．如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为　 　．（提示：根据轴对称的性质）
16．正方形ABCD的边长为8，点E在AB边上，且AE＝6，点P是正方形边上的一个动点，连接PA交DE于点F，若PA＝DE，则AF的长为 　 　．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．如图，菱形ABCD中，E，F分别为AB，AD边上的点，BE＝DF，求证：EC＝FC．
18．如图，E、F是矩形ABCD边BC上的两点，AF＝DE．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若∠1＝∠2＝30°，AF＝8，CF＝2，求矩形ABCD的面积（结果保留根号）．
19．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接CM，AN．
（1）求证：四边形ANCM是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求MD的长．
20．如图，在 ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF．求证：四边形AECF是矩形．
21．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，DE，DE平分∠AEC．
（1）求证：AE＝AD；
（2）作DF⊥AE于点F，若AB＝4，EF＝1，求BC的长．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB交CB于点E，CD⊥AB于点D，交AE于点G，过点G作GF∥BC交AB于F，连接EF．
（1）求证：CG＝CE；
（2）判断四边形CGFE的形状，并证明；
（3）若AC＝3cm，BC＝4cm，求线段DG的长度．
23．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F，连接AE、AF．
（1）当点O运动到边AC的什么位置时，四边形AECF是矩形？请证明你的结论．
（2）在（1）的条件下，当∠ACB是多少度时，四边形AECF是正方形？请证明你的结论．
24．边长为a的正方形ABCD中，点E是BD上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，连接CE．
（1）若点F在边BC上（如图）：
①求证：CE＝EF；
②若BC＝2BF，求DE的长．
（2）若点F在CB延长线上，BC＝2BF，请求DE的长．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．邻边互相垂直 D．对角线互相垂直
【点拨】根据菱形和矩形的性质即可做出判断．
【解析】解：A、菱形的对角线相互平分，矩形的对角线也相互平分，不符合题意；
B、菱形的对角线有可能相等而矩形的对角线相等，不符合题意；
C、菱形的邻边不一定垂直，矩形的邻边互相垂直，不符合题意；
D、菱形点的对角线互相垂直，矩形的对角线不一定垂直，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形和矩形的性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
2．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的边长为（　　）
A．16 B．6 C．4 D．4
【点拨】由三角形中位线定理得到FE＝BC，即可求出BC＝6，得到菱形ABCD的边长是6．
【解析】解：∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴FE＝BC，
∵EF＝3，
∴BC＝6，
∴菱形ABCD的边长是6．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形中位线定理，菱形的性质，关键是由三角形中位线定理得到FE＝BC．
3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若∠1＝20°，则∠2 的度数为（　　）
A．20° B．60° C．70° D．80°
【点拨】根据菱形的性质得到∠COD＝90°，根据三角形内角和定理即可求得∠2．
【解析】解：∵菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∵∠1＝20°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝70°．
故选C．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直是解决问题的关键．
4．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，则∠BAC的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【点拨】由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得∠BAE＝∠CAE＝∠ACE，由角的数量关系可求解．
【解析】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵AE＝CE，
∴∠ACE＝∠EAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠ACE，
∵∠BAE+∠CAE+∠ACE＝90°，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠ACE＝30°，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
5．如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且BP＝OB，则CP的长为（　　）
A． B． C．0.5 D．1
【点拨】由正方形的性质可求BD的长，可得BO＝，由线段关系可求解．
【解析】解：∵正方形ABCD的边长为2，
∴BD＝BC＝2，
∴BO＝，
∴BP＝OB＝，
∴CP＝BC﹣BP＝2﹣，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，求出BO长是解题的关键．
6．下列判断错误的是（　　）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是矩形 D．四条边都相等的四边形是菱形
【点拨】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理逐项判断即可．
【解析】解：A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故A正确，不符合题意；
B．四个内角都相等的四边形是矩形，故B正确，不符合题意；
C．两条对角线互相垂直且相等的四边形不一定是矩形，故C错误，符合题意；
D．四条边都相等的四边形是菱形，故D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定，解题的关键是掌握矩形，菱形，正方形的判定定理．
7．依据所标数据，下列不一定是矩形的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形”即可求解．
【解析】解：A、有三个角是直角的四边形是矩形，故该选项不符合题意；
B、不能证明是矩形，故该选项符合题意；
C、对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意；
D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定方法，熟练掌握矩形的判定方法是解题关键．
8．矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，CE∥BD，DE∥AC，若AB＝6，AD＝8，则四边形OCED的周长是（　　）
A．10 B．20 C．28 D．30
【点拨】由四边形ABCD为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到OD＝OC，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形DECO为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形DECO为菱形，根据AC的长求出OC的长，即可确定出其周长．
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝6，AD＝8，
∴OA＝OC，OB＝OD，且AC＝BD，∠ABC＝90°，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝AC＝，
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形DECO为平行四边形，
∵OD＝OC，
∴四边形DECO为菱形，
∴OD＝DE＝EC＝OC＝5，
则四边形OCED的周长为5+5+5+5＝20，
故选：B．
【点睛】此题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
9．如图，菱形ABCD的周长为20，对角线BD长为8，则AD边上的高CF为（　　）
A．4 B．5 C． D．
【点拨】连接AC交BD于O，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD＝4，AB＝AB＝CD＝AD＝5，根据勾股定理得到AO＝＝3，根据菱形的面积公式即可得到结论．
【解析】解：连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD＝4，AB＝AB＝CD＝AD＝5，
∴AO＝＝3，
∴AC＝6，
∴菱形ABCD的面积＝，
∴，
∴CF＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
10．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，CE交DF于点G，连接AG．下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠EAG＝30°；④∠AGE＝∠CDF．其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③
【点拨】根据正方形的性质得到AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，得到BE＝AB，CF＝BC，根据全等三角形的性质得到∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；求得∠CGD＝90°，根据垂直的定义得到CE⊥DF，故②正确；推导出△ADG不是等边三角形，进而得到∠EAG≠30°，故③错误；延长CE交DA的延长线于H，根据线段中点的定义得到AE＝BE，根据全等三角形的性质得到BC＝AH＝AD，由AG是斜边的中线，得到AG＝DH＝AD，求得∠ADG＝∠AGD，根据余角的性质得到∠AGE＝∠CDF．故④正确．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴BE＝AB，CF＝BC，
∴BE＝CF，
在△CBE与△DCF中，
，
∴△CBE≌△DCF（SAS），
∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；
∵∠BCE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD+∠CDF＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴CE⊥DF，故②正确；
∵CF＝BC＝CD，
∴∠CDF≠30°，
∴∠ADG≠60°，
∵AD＝AG，
∴△ADG不是等边三角形，
∴∠EAG≠30°，故③错误；
∵CE⊥DF，
∴∠EGD＝90°，
延长CE交DA的延长线于H，如图，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，
∴△AEH≌△BEC（AAS），
∴BC＝AH＝AD，
∵AG是斜边的中线，
∴AG＝DH＝AD，
∴∠ADG＝∠AGD，
∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，
∴∠AGE＝∠CDF．故④正确；
故选：C．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．如图．菱形ABCD中，∠1＝15°，则∠BAD＝　30°　．
【点拨】由菱形ABCD的性质可得∠BAC＝∠DAC，结合∠1＝15°，从而可得答案．
【解析】解：∵菱形ABCD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵∠1＝15°，
∴∠BAD＝2∠1＝30°，
故答案为：30°．
【点睛】本题考查的是菱形的性质，熟记菱形的每一条对角线平分一组对角是解本题的关键．
12．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知AB＝AO，BC＝3，则AC＝　2　．
【点拨】根据矩形ABCD的两条对角线相交于点O，推出AO＝BO，BO＝OC，因为AB＝AO，得出△AOB是等边三角形，则∠AOB＝60°，则∠OBC＝∠OCB＝30°，在Rt△ABC中，利用余弦求解即可．
【解析】解：∵矩形ABCD的两条对角线相交于点O，
∴AO＝BO，BO＝OC，
∵AB＝AO，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
在Rt△ABC中，cos30°＝＝，
∴AC＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
13．如图，在正方形ABCD中，点M，N，E分别是边AD，BC，CD上的点，连接BE，MN，若BE＝MN，∠CBE＝30°，则∠DMN的度数为 　60°　．
【点拨】过点M作MF⊥BC，根据正方形的性质证明四边形ABFM是矩形，然后证明Rt△MFN与Rt△BCE（HL），得∠FMN＝∠CBE，证明∠BHN＝90°，进而可以解决问题．
【解析】解：如图，过点M作MF⊥BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝DC，∠A＝∠ABCC＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠MFB＝90°，
∴四边形ABFM是矩形，
∴AB＝MF，
∴MF＝BC，
在Rt△MFN与Rt△BCE中，
，
∴Rt△MFN与Rt△BCE（HL），
∴∠FMN＝∠CBE，
∵∠BGF＝∠MGH，
∴∠BFG＝∠MHG＝90°，
∴∠BHN＝90°，
∵∠CBE＝30°，
∴∠BNH＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠DMN＝∠BNH＝60°，
故答案为：60°．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，得到Rt△MFN与Rt△BCE是解题的关键．
14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝2AB，在BC上截取BE＝AB，连接AE，OE，则∠AEO的度数为 　30°　．
【点拨】根据矩形的性质结合AC＝2AB，可得出∠ACB的度数，进而得出∠OBC的度数，由AB＝BE，可得出∠AEB的度数，再根据BO＝BE得出∠BEO的度数，据此可解决问题．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，OA＝OB＝OC．
又∵AC＝2AB，
∴sin∠ACB＝，
∴∠ACB＝30°，
∴∠OBC＝∠ACB＝30°．
∵BE＝AB，∠ABC＝90°，
∴∠AEB＝45°．
∵AC＝2AB，OA＝OB＝OC，
∴AB＝BO，
∴BE＝BO，
∴∠BEO＝，
∴∠AEO＝∠BEO﹣∠AEB＝75°﹣45°＝30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题考查矩形的性质，熟知矩形的性质是解题的关键．
15．如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为　　．（提示：根据轴对称的性质）
【点拨】首先连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF．证明只有点F运动到点M时，EF+BF取最小值，再根据菱形的性质、勾股定理求得最小值．
【解析】解：连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC，BD互相垂直平分，
∴点B关于AC的对称点为D，
∴FD＝FB，
∴FE+FB＝FE+FD≥DE．
只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短），
△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形．
∵E为AB的中点，
∴DE⊥AB，
∴AE＝AD＝1，DE＝＝，
∴EF+BF的最小值为．
【点睛】此题主要考查菱形是轴对称图形的性质，容易出现错误的地方是对点F的运动状态不清楚，无法判断什么时候会使EF+BF成为最小值．
16．正方形ABCD的边长为8，点E在AB边上，且AE＝6，点P是正方形边上的一个动点，连接PA交DE于点F，若PA＝DE，则AF的长为 　4.8或5　．
【点拨】分P在CD上和点P在BC上两种情况讨论，利用三角形全等判定与性质，勾股定理求解即可．
【解析】解：∵正方形ABCD的边长为8，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝8，
当点P在CD上时，如图，
∵PA＝DE，
∴Rt△ADE≌Rt△DAP（HL），
∴∠FAD＝∠FDA，
∴∠FAE＝∠FDP，
∵正方形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠FAE＝∠FPD，
∴∠FDP＝∠FPD，
∴，
∵AE＝8﹣2＝6，
∴，
∴AF＝5；
当点P在BC上时，如图，
同理Rt△ADE≌Rt△BAP（HL），
∴∠ADE＝∠BAP，
∵∠DAF+∠BAP＝90°，
∴∠DAF+∠ADE＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∵，
∴，
故答案为：4.8或5．
【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．如图，菱形ABCD中，E，F分别为AB，AD边上的点，BE＝DF，求证：EC＝FC．
【点拨】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，BC＝CD，
在△BCE与△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴EC＝FC．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
18．如图，E、F是矩形ABCD边BC上的两点，AF＝DE．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若∠1＝∠2＝30°，AF＝8，CF＝2，求矩形ABCD的面积（结果保留根号）．
【点拨】（1）根据矩形的性质得到∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，再利用直角三角形的判定“HL”得到Rt△ABF≌Rt△DCE，进而得到BF＝CE即可解答；
（2）根据含有30°角的直角三角形的性质得到AB＝4，再利用勾股定理得到即可解答．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
∴BF＝CE．
∴BF﹣EF＝CE﹣EF，
即BE＝CF；
（2）解：∵在Rt△ABF中，∠2＝30°，AF＝8，
∴．
∴，
∴，
∴矩形ABCD的面积为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，含有30°角的直角三角形的性质，直角三角形的判定与性质，勾股定理，掌握直角三角形的性质与判定是解题的关键．
19．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接CM，AN．
（1）求证：四边形ANCM是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求MD的长．
【点拨】（1）根据矩形的性质和“AAS”证明△AMO≌△CNO，可得OM＝ON，再根据平行四边形的判定可证四边形BMDN是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论；
（2）根据菱形的性质可得MA＝MC，设MA长为x，则MA＝CM＝x，利用勾股定理列方程求得x＝5，再利用DM＝AD﹣AM求解即可．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
，
∴△AMO≌△CNO（AAS），
∴OM＝ON，
∵OA＝OC，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥AC，
∴平行四边形BMDN是菱形．
（2）解：∵四边形AMCN是菱形，
∴MA＝MC，
设MA长为x，则MA＝CM＝x，
在Rt△CMD中，CM2＝DM2+CD2，
即x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5，
∴DM＝AD﹣AM＝8﹣5＝3．
【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、一元一次方程、全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
20．如图，在 ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF．求证：四边形AECF是矩形．
【点拨】先证四边形AECF是平行四边形，再由对角线相等的平行四边形是矩形，即可得出结论．
【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵BE＝DF，
∴AD﹣DF＝BC﹣BE，
即AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC＝EF，
∴平行四边形AECF是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
21．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，DE，DE平分∠AEC．
（1）求证：AE＝AD；
（2）作DF⊥AE于点F，若AB＝4，EF＝1，求BC的长．
【点拨】（1）由矩形的性质得AD∥BC，则∠ADE＝∠CED，而∠AED＝∠CED，所以∠ADE＝∠AED，则AE＝AD；
（2）由DF⊥AE于点F，得∠DFE＝∠C＝90°，可证明△DFE≌△DCE，得EF＝EC＝1，所以BE＝BC﹣EC＝BC﹣1，而AB＝4，AE＝AD＝BC，由勾股定理得42+（BC﹣1）2＝BC2，则BC＝，所以BC的长是．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∵DE平分∠AEC，
∴∠AED＝∠CED，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD．
（2）解：∵DF⊥AE于点F，
∴∠DFE＝∠C＝90°，
在△DFE和△DCE中，
，
∴△DFE≌△DCE（AAS），
∴EF＝EC＝1，
∴BE＝BC﹣EC＝BC﹣1，
∵∠B＝90°，
∴AB2+BE2＝AE2，
∵AB＝4，AE＝AD＝BC，
∴42+（BC﹣1）2＝BC2，
解得BC＝，
∴BC的长是．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明∠ADE＝∠AED及△DFE≌△DCE是解题的关键．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB交CB于点E，CD⊥AB于点D，交AE于点G，过点G作GF∥BC交AB于F，连接EF．
（1）求证：CG＝CE；
（2）判断四边形CGFE的形状，并证明；
（3）若AC＝3cm，BC＝4cm，求线段DG的长度．
【点拨】（1）根据角平分线的定义可得∠CAE＝∠BAE，根据直角三角形两锐角互余，可得∠CAE+∠CEA＝∠BAE+∠AGD＝90°，等量代换可得∠CEA＝∠AGD＝∠CGE，即可证明CG＝CE；
（2）先证△AGC≌△AGF（ASA），推出CG＝FG，结合（1）中结论可得CE＝FG，结合GF∥BC可证四边形CGFE是平行四边形，结合CG＝CE可证CGFE是菱形；
（3）根据勾股定理可得AB＝5cm，根据△AGC≌△AGF可得AF＝AC＝3cm，进而求出BF＝2cm，再根据菱形的性质推出EF∥CG，进而证明EF⊥AB，设CE＝EF＝CG＝GF＝x，用勾股定理解Rt△EFB求出x，再利用面积法求出CD，即可求出DG的长度．
【解析】（1）证明：∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CAE+∠CEA＝∠BAE+∠AGD＝90°，
∴∠CEA＝∠AGD，
又∵∠CGE＝∠AGD，
∴∠CEA＝∠CGE，
∴CG＝CE；
（2）解：四边形CGFE是菱形，理由如下：
∵GF∥BC，
∴∠CEG＝∠EGF，
由（1）知∠CEA＝∠CGE，
∴∠CGE＝∠EGF，
∴∠AGC＝∠AGF，
又∵AG＝AG，∠CAE＝∠BAE，
∴△AGC≌△AGF（ASA），
∴CG＝FG，
由（1）知CG＝CE，
∴CE＝FG，
又∵GF∥BC，
∴CE∥FG，
∴四边形CGFE是平行四边形，
又∵CG＝CE，
∴四边形CGFE是菱形；
（3）解：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，
∴，
由（2）知△AGC≌△AGF，
∴AF＝AC＝3cm，
∴BF＝AB﹣AF＝2cm，
∵四边形CGFE是菱形，
∴EF∥CG，
∵CD⊥AB，
∴EF⊥AB，
设CE＝EF＝CG＝GF＝x，则BE＝BC﹣CE＝4﹣x，
在Rt△EFB中，EF2+BF2＝BE2，即x2+22＝（4﹣x）2，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，三角形内角和定理，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理解直角三角形等，解题的关键是掌握菱形的判定方法，能够通过勾股定理列方程．
23．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F，连接AE、AF．
（1）当点O运动到边AC的什么位置时，四边形AECF是矩形？请证明你的结论．
（2）在（1）的条件下，当∠ACB是多少度时，四边形AECF是正方形？请证明你的结论．
【点拨】（1）先证∠OEC＝∠ACE，∠OFC＝∠ACF，则EO＝CO，FO＝CO，得OE＝OF，证出四边形AECF是平行四边形，再由∠ECF＝90°，即可得出结论；
（2）证出AC⊥MN，即AC⊥EF，结合（2）可得矩形AECF是正方形．
【解析】解：（1）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，证明如下：
当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF，
∴∠ACE+∠ACF＝×180°＝90°，
即∠ECF＝90°，
∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，
∴∠OEC＝∠ACE，∠OFC＝∠ACF，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
（3）当∠ACB＝90°时，四边形AECF是正方形，证明如下：
∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC．
∵MN∥BC，
∴AC⊥MN，
即AC⊥EF．
由（2）知，四边形AECF是矩形，
∴矩形AECF是正方形．
【点睛】此题主要考查了正方形的判定、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握正方形的判定和矩形的判定与性质是解题的关键．
24．边长为a的正方形ABCD中，点E是BD上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，连接CE．
（1）若点F在边BC上（如图）：
①求证：CE＝EF；
②若BC＝2BF，求DE的长．
（2）若点F在CB延长线上，BC＝2BF，请求DE的长．
【点拨】（1）①先利用正方形的对称性可得到∠BAE＝∠BCE，然后在证明又∠BAE＝∠EFC，通过等量代换可得到∠BCE＝∠EFC；
②过点E作MN⊥BC，交AD于M．依据等腰三角形的性质可得到FN＝CN，从而可得到NC的长，然后可得到MD的长，在Rt△MDE中可求得ED的长；
（2）先根据题意画出图形，然后再证明EF＝EC，然后再按照（1）②中的思路进行证明即可．
【解析】（1）①证明：方法一：∵正方形ABCD关于BD对称，
∴△ABE≌△CBE，
∴∠BAE＝∠BCE．
又∵∠ABC＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝∠EFC，
∴∠BCE＝∠EFC，
∴CE＝EF；
方法二：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABE＝∠CBE＝45°，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE）SAS），
∴△ABE≌△CBE，
∴∠BAE＝∠BCE．
又∵∠ABC＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝∠EFC，
∴∠BCE＝∠EFC，
∴CE＝EF；
②解：过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M．
∵CE＝EF，
∴N是CF的中点．
∵BC＝2BF，
∴，
又∵四边形CDMN是矩形，△DME为等腰直角三角形，
∴CN＝DM＝ME，
∴ED＝DM＝CN＝a．
（2）解：如图所示：过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M．
∵正方形ABCD关于BD对称，
∴△ABE≌△CBE，
∴∠BAE＝∠BCE．
又∵∠ABF＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝∠EFC，
∴∠BCE＝∠EFC，
∴CE＝EF．
∴FN＝CN．
又∵BC＝2BF，
∴FC＝a，
∴CN＝a，
∴EN＝BN＝a，
∴DE＝a．
【点睛】本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质，掌握本题的辅助线的方法是解题的关键．
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