第5章 特殊平行四边形 单元检测B卷(提升卷）（含解析）

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第5章 特殊平行四边形 单元检测B卷(提升卷）
、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．菱形的一条对角线与菱形的边相等，则它的较大的内角度数是（　　）
A．120° B．130° C．140° D．150°
2．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直且相等
3．如图，在正方形ABCD外侧，作等边△ADE，则∠CBE为（　　）
A．55° B．60° C．75° D．80°
4．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中不正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
5．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC于点E，且AC＝4CE，若OC＝4，则矩形ABCD的面积为（　　）
A．12 B．20 C． D．
6．学习了正方形之后，王老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？
甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形对角线互相垂直；
乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等；
丙同学说：判定四边形的对角线相等，并且互相垂直平分；
丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等．
上述四名同学的说法中，正确的是（　　）
A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙、丁 D．甲、乙、丙、丁
7．在学校科技节活动中，聪聪用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具．他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝120°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得对角线AC＝20cm，则图1中对角线AC的长为（　　）
A． B． C． D．
8．两张全等的矩形纸片ABCD、AECF按如图方式交叉叠放在一起．若AB＝AF＝2，AE＝BC＝8，则图中重叠（阴影）部分的面积为（　　）
A． B． C． D．9
9．如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，点F在BC上且EF＝EC，连接AE，AF，若∠ECF＝α，∠AFB＝β，则（　　）
A．β﹣α＝15° B．α+β＝135° C．2β﹣α＝90° D．2α+β＝180°
10．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点P处，折痕为MN，点M，N分别在边AB，AD上，则BM：AM的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为 　 　．
12．如图，菱形的边长是10，对角线BD的长是16，点H是边AD的中点，则OH的长是 　 　．
13．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点E，垂足为点F，连接DE，则∠CDE的度数为 　 　.
14．如图，长方形ABCD中，点E在边AB上，将长方形ABCD 沿图中标示的DE折叠，点A恰好落在边BC的点G处，若∠CDG＝54°，则∠DEG的度数为 　 　°．
15．正方形ABCD的边长为4．E为AD的中点，连接CE，过点B作BF⊥CE交CD于点F，垂足为G，则EG＝　 　．
16．正方形ABCD的边长为3，点P、Q在正方形不同的边上与点A构成等腰三角形，若等腰△APQ的底边长为，则等腰△APQ的腰长是 　 　．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E．
（1）求证：BD＝DE；
（2）连接OE，若AB＝2，BC＝4，求OE的长．
18．已知：如图，在菱形ABCD中，过顶点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，连结EF．
（1）求证：△DEF为等腰三角形．
（2）若∠DEF＝66°，求∠A的度数．
19．周末，小美和妈妈买回来一盏简单而精致的吊灯，其截面如图所示，四边形ABCD是一个菱形内框架，四边形AECF是其外部框架，且点E、B、D、F在同一直线上，BE＝DF．
（1）求证：四边形外框AECF是菱形；
（2）若外框AECF的周长为80cm，EF＝32cm，BE＝7cm，求AB的长．
20．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形．
21．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG．
（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．
22．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF．
（1）求证：△AEH≌△CGF．
（2）若∠EFG＝90°．求证：四边形EFGH是正方形．
23．如图，在菱形ABCD中，60°＜∠ABC＜90°，点E在边BC上（不与点B，点C重合），线段EC的中垂线交对角线BD于点F，连接AE，AF，EF，CF．
（1）求证：AF＝EF．
（2）设∠ABC＝α，∠AEF＝β．圆圆同学通过画图和测量得到以下近似数据：
α 70 76 80 88
β 35 38 40 44
猜想：β关于α的函数表达式，并给出证明．
（3）若AB＝AE，AB∥FE，求证：BF＝CF+CE．
24．在正方形ABCD中，点E在AD边上（不与点A，点D重合）．连接BE，作AG⊥BE于点F，交CD边于点G，连接CF．
（1）求证：BE＝AG．
（2）若点E是AD边的中点，AD＝10．
①分别求AF，BF的长．
②求证：CB＝CF．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．菱形的一条对角线与菱形的边相等，则它的较大的内角度数是（　　）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【点拨】由已知可得该对角线与菱形的边长组成一个等边三角形，从而求得其一个内角为60°，则可得到较大的内角为120°．
【解析】解：因为菱形的一条对角线与边长相等，所以该对角线和菱形的两边组成的是等边三角形，可得该菱形较小内角的度数是60°，所以该菱形较大内角的度数是120°．
故选：A．
【点睛】此题主要考查菱形的性质及等边三角形的判定和性质的综合运用．
2．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直且相等
【点拨】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．
【解析】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键．
3．如图，在正方形ABCD外侧，作等边△ADE，则∠CBE为（　　）
A．55° B．60° C．75° D．80°
【点拨】先根据已知条件推出△BAE是等腰三角形，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求解．
【解析】解：∵在正方形ABCD外侧，作等边△ADE，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∠DAE＝60°，AB＝AD＝AE，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°+60°＝150°，
∴，
∴∠CBE＝∠ABC﹣ABE＝90°﹣15°＝75°，
故选：C．
【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
4．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中不正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【点拨】要判定是正方形，则需判定它既是菱形又是矩形，据此解答．
【解析】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，
故本选项不符合题意；
B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，
故本选项符合题意；
C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，
故本选项不符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，
故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的判定，掌握正方形的判定方法是解题的关键．
5．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC于点E，且AC＝4CE，若OC＝4，则矩形ABCD的面积为（　　）
A．12 B．20 C． D．
【点拨】根据矩形的性质得到BO＝OD，AO＝OC＝4，BD＝AC，求得OC＝OB＝4，根据勾股定理得到BE＝＝，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BO＝OD，AO＝OC＝4，BD＝AC，
∴OC＝OB＝4，
∵AC＝4CE，
∴OC＝2CE，
∴OE＝，
∵BE⊥AC，
∴BE＝＝，
∴矩形ABCD的面积＝2S△ABC＝2×AC BE＝2×＝16．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，30°直角三角形性质等知识点，熟练掌握并运用等边三角形性质和判定并求出∠DBA＝30°是本题解题的关键．
6．学习了正方形之后，王老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？
甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形对角线互相垂直；
乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等；
丙同学说：判定四边形的对角线相等，并且互相垂直平分；
丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等．
上述四名同学的说法中，正确的是（　　）
A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙、丁 D．甲、乙、丙、丁
【点拨】根据正方形的判定定理即可得到结论．
【解析】解：甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形对角线互相垂直，不能确定这个四边形是正方形；错误；
乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等；正确；
丙同学说：判定四边形的对角线相等，并且互相垂直平分；正确；
丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等，正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的判定定理，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．
7．在学校科技节活动中，聪聪用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具．他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝120°，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得对角线AC＝20cm，则图1中对角线AC的长为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】如图1中连接BD，AC，如图2中，连接AC．在图2中，利用勾股定理求出BC，在图1中，只要证明△ABC是等边三角形即可解决问题．
【解析】解：如图1中连接BD，AC，如图2中，连接AC．
在图2中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∵AC＝20cm，AB2+BC2＝AC2，
∴，
在图1中，∵四边形ABCD是菱形，∠B＝120°，
∴AB∥DC，CD＝BC，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∴∠C＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键定灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．两张全等的矩形纸片ABCD、AECF按如图方式交叉叠放在一起．若AB＝AF＝2，AE＝BC＝8，则图中重叠（阴影）部分的面积为（　　）
A． B． C． D．9
【点拨】先证四边形AGCH是平行四边形，再证△ABG≌△CEG（AAS），得AG＝CG，则四边形AGCH是菱形，设AG＝CG＝x，则BG＝BC﹣CG＝8﹣x，然后在Rt△ABG中，由勾股定理得出方程，解方程得出CG的长，即可解决问题．
【解析】解：设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示：
∵四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩形，
∴AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，AD∥BC，AE∥CF，
∴四边形AGCH是平行四边形，
在△ABG和△CEG中，
，
∴△ABG≌△CEG（AAS），
∴AG＝CG，
∴四边形AGCH是菱形，
设AG＝CG＝x，则BG＝BC﹣CG＝8﹣x，
在Rt△ABG中，AB2+BG2＝AG2，
∴22+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴CG＝，
∴菱形AGCH的面积＝CG×AB＝×2＝，
即图中重叠（阴影）部分的面积为，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、全等图形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，由勾股定理求出CG的长是解题的关键．
9．如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，点F在BC上且EF＝EC，连接AE，AF，若∠ECF＝α，∠AFB＝β，则（　　）
A．β﹣α＝15° B．α+β＝135° C．2β﹣α＝90° D．2α+β＝180°
【点拨】根据正方形的性质得到AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，根据全等三角形的性质得到AE＝CE，∠BCE＝∠BAE＝α，根据等腰三角形的性质得到∠EFC＝∠ECF＝α，求得∠AFE＝180°﹣α﹣β，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，∠BCE＝∠BAE＝α，
∵EF＝CE，
∴∠EFC＝∠ECF＝α，
∵∠AFB＝β，
∴∠AFE＝180°﹣α﹣β，
∵∠ABF＝90°，
∴∠BAF＝90°﹣β，
∵AE＝CE，EF＝CE，
∴AE＝EF，
∴∠EAF＝∠AFE，
∴α﹣（90°﹣β）＝180°﹣α﹣β，
∴α+β＝135°，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
10．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点P处，折痕为MN，点M，N分别在边AB，AD上，则BM：AM的值为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】由菱形的性质和等边三角形的性质，可得BP⊥CD，DP＝a，∠DBP＝30°，由勾股定理可求解．
【解析】解：如图，连接BD，BP，
设AB＝2a，
∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，
∴AB＝BC＝2a＝CD，∠A＝∠C＝60°，
∴△BCD是等边三角形，△ABD是等边三角形，
∵点P在CD的中点，
∴BP⊥CD，DP＝a，∠DBP＝30°，
∴BP＝a，∠ABP＝∠ABD+∠DBP＝90°，
∵将菱形纸片翻折，
∴AM＝MP，
∵MP2＝MB2+BP2，
∴（2a﹣BM）2＝MB2+3a2，
∴BM＝a，
∴AM＝a，
∴BM：AM＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，菱形的性质，勾股定理，添加恰当的辅助线构造直角三角形是本题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为 　4　．
【点拨】因为矩形的对角线相等且互相平分，已知OA＝2，则AC＝2OA＝4，又BD＝AC，故可求．
【解析】解：∵ABCD是矩形
∴OC＝OA，BD＝AC
又∵OA＝2，
∴AC＝OA+OC＝2OA＝4
∴BD＝AC＝4
故答案为：4．
【点睛】本题考查矩形的对角线相等的性质，属于矩形的基本性质，比较简单．
12．如图，菱形的边长是10，对角线BD的长是16，点H是边AD的中点，则OH的长是 　5　．
【点拨】根据菱形的性质可得OB＝OD，AO⊥BO，从而可判断OH是△ABD的中位线．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AO＝OC，OB＝OD，AO⊥BO，
∵AB＝10，
又∵点H是AD中点，
∴OH是△DAB的中位线，
∴OH＝AB＝5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了菱形的性质及三角形的中位线定理，熟练掌握菱形四边相等、对角线互相垂直且平分的性质是解题关键．
13．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝70°，AB的垂直平分线交对角线AC于点E，垂足为点F，连接DE，则∠CDE的度数为 　75°　.
【点拨】连接BE，根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BAC＝35°，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE＝BE，根据等边对等角可得∠ABE＝∠BAC，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC，然后求出∠CBE，最后根据菱形的对称性可得∠CDE＝∠CBE．
【解析】解：如图，连接BE，
在菱形ABCD中，∠BAC＝∠BAD＝×70°＝35°，
∵EF是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠BAC＝35°，
∵菱形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣70°＝110°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝110°﹣35°＝75°，
由菱形的对称性，∠CDE＝∠CBE＝75°．
故答案为：75°．
【点睛】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，熟记各性质是解题的关键．
14．如图，长方形ABCD中，点E在边AB上，将长方形ABCD 沿图中标示的DE折叠，点A恰好落在边BC的点G处，若∠CDG＝54°，则∠DEG的度数为 　72　°．
【点拨】由矩形的性质得∠A＝∠ADC＝∠C＝90°，AD∥BC，则∠ADG＝∠CGD＝90°﹣∠CDG＝36°，由折叠得∠DGE＝∠A＝90°，∠GDE＝∠ADE＝∠ADG＝18°，则∠DEG＝90°﹣∠GDE＝72°，于是得到问题的答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝∠C＝90°，AD∥BC，
∵∠CDG＝54°，
∴∠CGD＝90°﹣∠CDG＝90°﹣54°＝36°，
∴∠ADG＝∠CGD＝36°，
∵将长方形ABCD 沿DE折叠，点A落在边BC的点G处，
∴∠DGE＝∠A＝90°，∠GDE＝∠ADE＝∠ADG＝×36°＝18°，
∴∠DEG＝90°﹣∠GDE＝90°﹣18°＝72°，
故答案为：72．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、平行线的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，求得∠ADG＝∠CGD＝36°是解题的关键．
15．正方形ABCD的边长为4．E为AD的中点，连接CE，过点B作BF⊥CE交CD于点F，垂足为G，则EG＝　　．
【点拨】利用勾股定理可求BF的长，由面积法可求EG．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴∠DCE+∠DEC＝90°，
∵BF⊥CE，
∴∠DCE+∠CFB＝90°，
∴∠BFC＝∠DEC，
∴△BFC≌△CED（AAS），
∴DE＝CF＝2，CE＝BF，
∴BF＝，
∴CE＝2，
∵S△BFC＝×BC×CF＝×BF×CG，
∴4×2＝2CG，
∴CG＝，
∴EG＝，
故答案为：．
【点睛】考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16．正方形ABCD的边长为3，点P、Q在正方形不同的边上与点A构成等腰三角形，若等腰△APQ的底边长为，则等腰△APQ的腰长是 　2或或　．
【点拨】分三种情况进行讨论，当P、Q分别在AD、AB上，AP＝AQ，当P、Q分别在CD、BD上，AP＝AQ，当AP＝PQ，点P在CD上，点Q在AB上，分别画出图形，根据正方形的性质和勾股定理进行求解即可．
【解析】解：当P、Q分别在AD、AB上，AP＝AQ，△APQ为等腰直角三角形，如图所示：
∵，
∴；
当P、Q分别在CD、BD上，AP＝AQ，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AC＝BD＝CD＝3，∠B＝∠C＝90°，
∴Rt△ABQ≌Rt△ACP，
∴BQ＝CP，
∴BD﹣BQ＝CD﹣CP，即DP＝DQ，
∴△DPQ为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴BQ＝3﹣2＝1，
∴此时腰长为；
当AP＝PQ，点P在CD上，点Q在AB上，过点P作PM⊥AB于点M，如图所示：
∵AP＝PQ，PM⊥AB，，
∴，
∵∠AMP＝∠CAM＝∠C＝90°，
∴四边形AMPC为矩形，
∴MP＝AC＝3，
∴．
综上分析可知：等腰△APQ的腰长是2或或．
故答案为：2或或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E．
（1）求证：BD＝DE；
（2）连接OE，若AB＝2，BC＝4，求OE的长．
【点拨】（1）根据矩形的对角线相等可得AC＝BD，对边平行可得AB∥CD，再求出四边形ABEC是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得AC＝BE，从而得证；
（2）如图，过点O作OF⊥CD于点F，欲求OE，只需在直角△OEF中求得OF、FE的值即可．OF结合三角形中位线求得EF，结合矩形、平行四边形的性质以及勾股定理求得即可．
【解析】（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，
∴AD∥CE．
∵Ac∥DE．
∴四边形ACED是平行四边形．
∴AC＝DE．
在矩形ABCD中，AC＝BD，
∴BD＝DE
（2）解：作OH⊥BE于H，如图．
在矩形ABCD中，AC＝BD，且AC与BD交于点O，
∴OB＝OC＝OA．
∴BH＝HC． ，
∵AB＝2，BC＝4，
∴OH＝1，HC＝2．
在平行四边形ACED中，AD＝CE．
∴CE＝BC＝4．
∴HE＝6．
在Rt△OHE中，OE＝．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并求出四边形ABEC是平行四边形是解题的关键．
18．已知：如图，在菱形ABCD中，过顶点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，连结EF．
（1）求证：△DEF为等腰三角形．
（2）若∠DEF＝66°，求∠A的度数．
【点拨】（1）利用菱形的性质得到AD＝CD，∠A＝∠C，进而利用AAS证明两三角形全等，进而利用全等三角形的性质和等腰三角形的判定解答即可；
（2）求出∠DEF＝∠DFE＝66°，由菱形的性质可得出答案．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠A＝∠C，
∵DE⊥BA，DF⊥CB，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，
在△ADE和△CDF，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴DE＝DF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）解：∵DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE＝66°，
∴∠BEF＝∠BFE＝90°﹣66°＝24°，
∴∠B＝180°﹣24°﹣24°＝132°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠A＝180°﹣∠B＝48°．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握菱形的性质以及AAS证明两三角形全等，此题难度一般．
19．周末，小美和妈妈买回来一盏简单而精致的吊灯，其截面如图所示，四边形ABCD是一个菱形内框架，四边形AECF是其外部框架，且点E、B、D、F在同一直线上，BE＝DF．
（1）求证：四边形外框AECF是菱形；
（2）若外框AECF的周长为80cm，EF＝32cm，BE＝7cm，求AB的长．
【点拨】（1）根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质得出AE＝AF＝CE＝CF，进而利用菱形的判定解答即可；
（2）根据菱形的性质和勾股定理得出AC，进而解答即可．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝∠CDB，
∴∠ABE＝∠ADF，
在△ABE与△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，
同理可得：AE＝CE＝CF＝AF，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：连接AC，交EF于点O，
∵四边形AECF是菱形，外框AECF的周长为80cm，
∴AE＝20cm，EF⊥AC，OE＝OF，
∵EF＝32cm，BE＝7cm，
∴OE＝16cm，OB＝16﹣7＝9（cm），
∴OA＝（cm），
∴AB＝（cm）．
【点睛】此题考查菱形的判定和性质，关键是根据四条边相等的四边形是菱形解答．
20．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形．
【点拨】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，由平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，证出BE＝DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；
（2）证出AB＝OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，由三角形中位线定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）证明：∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
∵EG＝AE，OA＝OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG．
（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．
【点拨】（1）结论：AG2＝GE2+GF2．只要证明GA＝GC，四边形EGFC是矩形，推出GE＝CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；
（2）过点A作AH⊥BG，在Rt△ABH、Rt△AHG中，求出AH、HG即可解决问题．
【解析】解：（1）结论：AG2＝GE2+GF2．
理由：连接CG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于对角线BD对称，
∵点G在BD上，
∴GA＝GC，
∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°，
∴四边形EGFC是矩形，
∴CF＝GE，
在Rt△GFC中，∵CG2＝GF2+CF2，
∴AG2＝GF2+GE2．
（2）过点A作AH⊥BG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠GBF＝45°，
∵GF⊥BC，
∴∠BGF＝45°，
∵∠AGF＝105°，
∴∠AGB＝∠AGF﹣∠BGF＝105°﹣45°＝60°，
在Rt△ABH中，∵AB＝1，
∴AH＝BH＝，
在Rt△AGH中，∵AH＝，∠GAH＝30°，
∴HG＝AH tan30°＝，
∴BG＝BH+HG＝+．
解法二：如图，过点B作BN⊥AG于N，在BN上截取BM，使得BM＝AM，设AN＝x．
∵∠AGF＝105°，∠GBF＝∠FGB＝∠ABG＝45°，
∴∠AGB＝60°，∠GBN＝30°，∠ABM＝∠BAM＝15°，
∴∠AMN＝∠ABM+∠BAM＝30°，
∴AM＝BM＝2x，MN＝x，
在Rt△ABN中，则有1＝x2+（2x+x）2，
解得x＝，
∴BN＝，
∴BG＝＝．
【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理直角三角形30度的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF．
（1）求证：△AEH≌△CGF．
（2）若∠EFG＝90°．求证：四边形EFGH是正方形．
【点拨】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）先证明四边形EFGH是平行四边形，再证明有一组邻边相等，然后结合∠EFG＝90°，即可证得该平行四边形是正方形．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C．
在△AEH与△CGF中，
，
∴△AEH≌△CGF（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D．
∵AE＝CG，AH＝CF，
∴EB＝DG，HD＝BF．
∴△BEF≌△DGH（SAS），
∴EF＝HG．
又∵△AEH≌△CGF，
∴EH＝GF．
∴四边形HEFG为平行四边形．
∴EH∥FG，
∴∠HEG＝∠FGE．
∵EG平分∠HEF，
∴∠HEG＝∠FEG，
∴∠FGE＝∠FEG，
∴EF＝GF，
∴平行四边形EFGH是菱形，
又∵∠EFG＝90°，
∴菱形EFGH是正方形．
∴四边形EFGH是正方形．
【点睛】本题考查了正方形的判定，判定一个四边形是正方形的方法有：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
也考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．
23．如图，在菱形ABCD中，60°＜∠ABC＜90°，点E在边BC上（不与点B，点C重合），线段EC的中垂线交对角线BD于点F，连接AE，AF，EF，CF．
（1）求证：AF＝EF．
（2）设∠ABC＝α，∠AEF＝β．圆圆同学通过画图和测量得到以下近似数据：
α 70 76 80 88
β 35 38 40 44
猜想：β关于α的函数表达式，并给出证明．
（3）若AB＝AE，AB∥FE，求证：BF＝CF+CE．
【点拨】（1）根据菱形的性质证明△ABF≌△CBF（SAS），根据题意线段EC的中垂线交BD于点F，即可得证．
（2）利用全等三角形的性质得出∠BAF＝∠BCF，根据平角的定义，即可得证．
（3）求出β的度数，进而证得BF＝BC，BE＝EF，即可得证．
【解析】（1）证明：∵菱形ABCD，
∵∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，
∵BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF＝CF，
又∵线段EC的中垂线交BD于点F，
∴EF＝CF，
∴AF＝FE．
（2）猜想：α＝2β．
证明：因为△ABF≌△CBF，
∴∠BAF＝∠BCF，
∵EF＝CF，
∴∠FEC＝∠ECF，
∵∠FEC+∠FEB＝180°，
∴∠BAF+∠FEB＝180°，
∴∠ABC+∠AFE＝180°，
即∠AFE＝180°﹣a，
∵AF＝FE，
∴，
∴α＝2β．
（3）∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝2β，
∵AB∥FE，
∴∠FEC＝∠ABE＝2β，
∴∠FEC＝∠ABE＝∠AEB＝∠ECF＝2β，
∵∠AEB+∠ECF+∠AEF＝180°，
∴β＝36°，
∴∠BFC＝72°，∠BFE＝36°，
∵∠BFC＝∠BCF＝72°，
∴BF＝BC，
∵∠BFE＝∠FBC＝36°，
∴BE＝EF，
∴BF＝BC＝BE+CE＝CF+CE．
【点睛】本题考查了四边形的综合应用，解题的关键是掌握菱形的性质，全等三角形的性质与判定．
24．在正方形ABCD中，点E在AD边上（不与点A，点D重合）．连接BE，作AG⊥BE于点F，交CD边于点G，连接CF．
（1）求证：BE＝AG．
（2）若点E是AD边的中点，AD＝10．
①分别求AF，BF的长．
②求证：CB＝CF．
【点拨】（1）根据正方形的性质及垂线的性质得出∠ABE＝∠DAG，然后利用ASA得出△ABE≌△DAG，即可得解；
（2）①利用勾股定理得出BE的长，再利用面积法求解，求解即可；
②过点C作CH⊥BF于点H，先得出∠ABF＝∠BCH，∠BFA＝∠CHB，再得出△ABF≌△BCH，最后利用FH＝BF﹣BH求解即可．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠ADG＝90°，AB＝DA，
∴∠ABE+∠AEB＝90°，
∵AG⊥BE，
∴∠AFE＝90°，
∴∠DAG+∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝∠DAG，
在△ABE和△DAG中，
，
∴△ABE≌△DAG（ASA），
∴BE＝AG；
（2）①解：∵正方形ABCD是正方形，AD＝10，
∴AB＝BC＝AD＝10，
∴AE＝AD＝＝5，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得：
BE＝，
∵ BE AF＝ AB AE．
∴AF＝2，BF＝＝4，
∴AF的长为2，BF的长为4．
②如图，过点C作CH⊥BF于点H，则∠CHB＝90°，
∵∠CHB＝90°，
∴∠CBH+∠BCH＝90°，
∵∠ABC＝∠ABF+∠CBH＝90°，
∴∠ABF＝∠BCH，
∵∠BFA＝90°，
∴∠BFA＝∠CHB，
在△ABF和△BCH中，
，
∴△ABF≌△BCH（AAS），
∴AF＝BH＝2，
∵BF＝4，
∴FH＝BF﹣BH＝4﹣2＝2，
∴BH＝FH＝2，
∵CH⊥BF，
∴CH是线段BF的垂直平分线，
∴CB＝CF．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，正确作出辅助线是解题的关键．
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