浙教版数学八年级下册5.1-6.2特殊四边形与反比例函数（含解析）

浙教版数学八年级下册5.1-6.2特殊四边形与反比例函数
一、选择题
1．下列命题中，假命题是（　　）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
2．已知y与x成反比例函数关系，且当x=2时，y=3，则y关于x的函数表达式为（　　）
A．y=6x B． C． D．y=6x-1
3．若一个菱形的两条对角线长分别是6和8，则它的周长是（　　）
A．14 B．20 C．24 D．48
4．如图，在矩形中，平分交于点E，连接，若，则的长为（　　）
A．12 B．14 C．16 D．20
5．已知反比例函数y＝﹣ ，下列结论不正确的是（　　）
A．图象必经过点(﹣1，2) B．y随x的增大而增大
C．图象在第二、四象限内 D．若x＞1，则﹣2＜y＜0
6． 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点在轴上，且的坐标分别是，则顶点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
7．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．若点A(2，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1 B．y31 C．y21 D．y31
9．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为（　　）
A． B．3 C． D．
10．如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为时，k的值是（　　）
A．2 B．3 C．5 D．7
二、填空题
11．已知函数 是反比例函数，则k=　 　
12．菱形的面积为12cm2，两条对角线分别为x(cm)和y(cm)，则y关于x的函数表达式为 　 　，当其中一条对角线x=6cm时，另一条对角线y=　 　cm．
13．如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形，则留下部分的面积为　 　．
14．若反比例函数的图像在每个象限内，y随x的增大面增大，k的取值范围是　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数是常数)在第一象限部分的图象与矩形OABC的两边AB和BC分别交于D，F两点，将沿OD翻折得到的延长线恰好经过点.若，则的值是　 　.
16． 年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是由我国古代数学家赵爽的“弦图”演变而来，体现了数学研究中的继承和发展如图是用八个全等的直角三角形拼接而成的“弦图”记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、若正方形的边长为，则　 　．
三、解答题
17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.若∠AOD=120°，AB=3，求AC的长.
18．已知x，y满足下表：
… -4 -2 -1 1 2 4 …
… -1 -2 -4 4 2 1 …
（1）求关于的函数表达式．
（2）求当自变量的值是10时函数的值．
（3）若当自变量是-6时，函数值是2m，求的值．
19．如图，的面积为长为上的高DE长为．
（1）写出关于的函数表达式及自变量的取值范围．
（2）若，对角线，求的周长．
20．如图，矩形的对角线、交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接、、．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，则菱形的面积为　 　．
21．如图，已知一次函数的图象与反比例函数：的图象相交于点A(1，2)和点B.
（1）求b和k的值.
（2）请求出点B的坐标，并观察图象，直接写出关于x(x<0)的不等式的解.
22．对于一个四边形给出如下定义：有一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形．
（1）命题“另一组邻边也相等的奇特四边形为正方形”是　 　（真或假）命题．
（2）如图，在正方形ABCD中，E是AB边上一点，F是AD延长线一点，，连接EF，EC，FC，取EF的中点G，连接CG并延长交AD于点H．探究：四边形BCGE是否是奇特四边形，如果是证明你的结论，如果不是请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若四边形BCGE的面积为16，则的值是多少？
23．如图， OABC 的边 OA 在x 轴的正半轴上，∠AOC=60°，OC=12，∠OCB的平分线交OA 于点D，过点D作DE⊥CD，交 AB 于点E，反比例函数 的图象经过点C与点E.
（1）求k 的值及点D 的坐标.
（2）求证：AD=AE.
（3）求点 E的坐标.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】A.对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；
B.对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题；
C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题；
D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，是假命题；
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的判定方法可知A是真命题，根据矩形的判定方法可知B是真命题，根据菱形的判定方法可知C是真命题，根据对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，可知D是假命题.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：设，
把x=2，y=3代入，得：k=2×3=6，
∴函数表达式为.
故答案为：C.
【分析】设，把x=2，y=3代入可求出k的值，从而得到反比例函数的表达式.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，菱形的两条对角线长分别是6和8，
不妨记： 且
菱形的周长为：
故答案为：
【分析】画出图形，令AC=8，BD=6，由菱形的性质可得OA=OC=4，OB=OD=3，然后结合勾股定理可得AD的值，接下来由菱形的性质以及周长的概念进行计算.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD=6，∠B=90°，AD∥BC，
∵AE=10，∴BE==8，
∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，
∵AD∥BC，∴∠ADE=∠DEC，
∴∠DEC=∠CDE，
∴CE=CD=6，
∴AD=BC=8+6=14；
故答案为：B.
【分析】由矩形的性质可得AD=BC，AB=CD=6，∠B=90°，AD∥BC，利用勾股定理及平行的性质可得BE=8，∠ADE=∠DEC，由角平分线的定义可得∠ADE=∠CDE，即得∠DEC=∠CDE，根据等角对等边可得CE=CD=6，利用AD=BC=BE+CE即可求解.
5．【答案】B
【解析】【解答】解： A、把点（-1，2）代入反比例函数y= ，得2=2成立，故说法正确，不符合题意；
B、∵k= ＜0，函数位于二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大，故答案为：错误，符合题意；
C、∵k=-2＜0，∴它的图象在第二、四象限，故说法正确，不符合题意；
D、当x=1时，y=-2，故当x＞1时，-2＜y＜0说法正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数的性质，k= ＜0，函数位于二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大，反比例函数的图象是中心对称图形解答.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵A、B的坐标分别是（﹣3，0），（0，4），
∴，
又∵ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝5，AD∥BC，
∴C的坐标为（5，4），
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，根据菱形的性质可得BC＝AB，即可求得C点的坐标.
7．【答案】D
8．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴图象位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小，
∵＜3，
∴点A、B在第三象限的图象上，点C在第一象限的图象上，
∴，
即.
故答案为：C.
【分析】由，得图象在第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小，进而根据三点的横坐标判断出点A、B在第三象限的图象上，点C在第一象限的图象上，根据反比例函数的增减性，即可得解.
9．【答案】A
【解析】【解答】解：连接CM，如图所示：
∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，
∴∠CPM＝∠CQM＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4， ，
∴∠CPM＝∠CQM＝∠BCD=90°，
∴四边形PCQM是矩形，
∴PQ＝CM，
∴当CM最小时，PQ最小，
∵点M在BD上运动，
∴当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，
由勾股定理得： ，
∵ ，
∴此时 ，
∴PQ的最小值为 ，．
故答案为：A．
【分析】连接CM，可证四边形PCQM是矩形，得出PQ＝CM，所以可知当CM最小时，PQ最小，由于点M在BD上运动，可得当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，由勾股定理求出BD的长，再利用求出CM值即可.
10．【答案】D
【解析】【解答】设OA=3a，则OB=4a，设直线AB的解析式是y=kx+b，则根据题意得：，解得：，则直线AB的解析式是y=﹣x+4a，
直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y=x．根据题意得：，解得：则D的坐标是（，），
OA的中垂线的解析式是x=，则C的坐标是（，），则k=．∵以CD为边的正方形的面积为，∴2（﹣）2=，则a2=，
∴k=×=7．故选D．
【分析】设OA=3a，则OB=4a，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式，直线CD的解析式是y=x，OA的中垂线的解析式是x=，解方程组即可求得C和D的坐标，根据以CD为边的正方形的面积为，即CD2=，据此即可列方程求得a2的值，则k即可求解．
11．【答案】2
【解析】【解答】解：∵ 是反比例函数
∴，解得k=2或-1；
∵k+1≠0，即k≠-1；
∴可得k=2.
故答案为：2.
【分析】根据反比例函数的定义，自变量x的系数为-1且系数不为0，列二元一次方程，因式分解解方程即可求出k的值.
12．【答案】y=；4
【解析】【解答】解：由题意得：xy=12，
∴y=，
当x=6cm时，y=4，
∴ 当其中一条对角线x=6cm时，另一条对角线y=4.
故答案为：y=，4.
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，据此解答即可.
13．【答案】
【解析】【解答】解：由题意得面积为8的正方形的边长为，
面积为3的边长为，
∴留下部分的面积为，
故答案为：
【分析】根据正方形的面积即可得到边长，进而即可求解。
14．【答案】
15．【答案】
【解析】【解答】解：设点A（0，m）（m＞0），
∴OA=m，
∵ 将沿OD翻折得到的延长线恰好经过点 ，矩形ABCO，
∴OA=BC=OE=m，∠OAB=∠OED=∠OCB=∠B=90°，AB=OC，AB∥OC，
∴∠BDC=∠OCE，
∵∠EOC=45°，
∴△OEC是等腰直角三角形，
∴OE=EC=m，∠ECO=∠BDC=45°，
∴，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=BC=m，
∴，
∴点D，
∵点D在反比例函数图象上，
∴，
∴，
当，，
∴，
，
∴.
故答案为：.
【分析】设点A（0，m）（m＞0），可得到OA的长，利用矩形的性质和折叠的性质可证得OA=BC=OE=m，∠OAB=∠OED=∠OCB=∠B=90°，AB=OC，AB∥OC，同时可证得△OEC，△BCD是等腰直角三角形，可得到EC的长，利用勾股定理求出OC的长，BC的长，从而可表示出AD的长，可得到点D的坐标，将点D的坐标代入函数解析式，可求出反比例函数解析式；将点F的横坐标代入可求出点F的纵坐标，可得到CF的长，由此可求出BF的长，然后求出CF与BF的比值.
16．【答案】30
【解析】【解答】解：在中，由勾股定理得：，
八个直角三角形全等，四边形，四边形，四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
正方形的边长为，
，
，
故答案为：30．
【分析】在Rt△CFG中，由勾股定理得CG2+CF2=GF2=10，由全等三角形的性质得CG=FM=NG，CF=FN=DG，由正方形面积公式得，，，然后结合GF的长度可求出S1+S2+S3.
17．【答案】解：∵在矩形ABCD中，
∴AO=BO=CO=DO．
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°．
∴△AOB是等边三角形．
∴AO=AB=3，
∴AC=2AO=6．
【解析】【分析】依据矩形的性质可知△AOB是等边三角形，所以AO=AB=3，则AC=2AO=6．
18．【答案】（1）解：由表格数据可知：xy=4
∴；
（2）解：当x=10时，；
（3）解：把x=-6，y=2m代入，得，
解得：
【解析】【分析】（1）观察表格中x、y的变化规律即可得出y关于x的函数表达式；
（2）把x=10代入（1）所求的函数解析式，即可求得函数值；
（3）把x=-6，y=2m代入（1）所求的函数解析式，可得，计算求解即可.
19．【答案】（1）解：的面积为，
∴；
（2）解：由题意得：x=4时，，即，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：，
∴CE=BE-BC=6-4=2，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：，
∴的周长．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的面积=底×高，即可得解；
（2）由题意得：x=4时，，即，然后根据勾股定理求出，，即可求出的周长．
20．【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
，
四边形是菱形；
（2）
21．【答案】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于点A（-1，2），
∴2=×（-1）+b，2=，
解得：b=，k=-2；
（2）解：点
【解析】【解答】解：（2）解方程组得：
，，
∵A（-1，2），
∴B（-4，），
∵，
∴-4＜x＜-1，
即不等式的解集为：-4＜x＜-1.
【分析】（1）由题意把点A的坐标代入两个函数的解析式计算即可求解；
（2）将（1）中求得的解析式联立解方程组可求得点B的坐标；由不等式可知直线高于曲线并结合图象即可求解.
22．【答案】（1）假
（2）解：四边形ABCD是正方形，
，，
在和中，
，
，，
，
，
是EF的中点，
，，
，，
四边形BCGE是奇特四边形；
（3）解：过点G作，，
，
由知（2），
，
，，
，
四边形BMGQ是正方形，
，，
，
四边形BCGE的面积是16，
，，
是EF的中点，，
，
，，
．
【解析】【解答】解：（1）如图所示，
在四边形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠B=∠C，满足有一组对角相等且有两组邻边相等，但它不是正方形，
命题“另一组邻边也相等的奇特四边形为正方形”是假命题.
故答案为：假命题.
【分析】（1）假命题，根据命题中的条件画图验证即可；
（2）根据正方形的性质得到，，进而可利用SAS证得，再根据全等三角形的性质得出，，进而得到，然后根据中点的性质得到，，再结合奇特四边形的定义判断即可；
（3） 过点G作，， 利用AAS证得，进而得到四边形BMGQ是正方形，等量代换得到，再根据正方形的面积求出，然后利用中点的性质及平行线等分线段得到，进而得到AF=8，即可得到的值.
23．【答案】（1）解：如图，过点C作CF⊥x轴，
∵∠AOC=60°，OC=12 ，
∴∠OCF=30°，
∴OF=OC=6，CF=OF=6，
∴C（6，6），
把点C（6，6）代入y=中，得k=6×6=36，
在 OABC中，BC∥OA，
∴∠BCD=∠ODC，
∵CD平分 ∠OCB ，
∴∠BCD=∠OCD，
∴∠ODC=∠OCD，
∴OD=OC=12，
∴D（12，0）.
（2）证明：∵OD=OC，∠AOC=60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠CDO=60°，
∵ DE⊥CD，
∴∠EDA=30°
∵AB∥OC，
∴∠BAx=∠AOC=60°，
∴∠AED=60°-30°=30°
∴∠AED=∠ADE，
∴AE=AD.
（3）解：设AD=AE=a，则E（12+a，a），
把点E坐标代入y=中，得（12+a）·a=36，
解得：a=4或-12（舍），
∴E(18，2 ).
【解析】【分析】（1）过点C作CF⊥x轴，利用直角三角形的性质求出OF、CF的长，即得点C坐标；由平行四边形的性质及角平分线的定义可得∠ODC=∠OCD，可得OD=OC=12，继而求出点D坐标；
（2）易得△OCD是等边三角形，利用平行四边形的性质及三角形外角的性质可得∠AED=∠ADE=30°，可得AE=AD.
（3）设AD=AE=a，则E（12+a，a），把点E坐标代入y=中可得关于a方程并解之即可.
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