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第4章《因式分解》单元综合测试提升（原卷版）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列添括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若代数式 通过变形可以写成 的形式，则m的值是（ ）
A．5 B．10 C．±5 D．±10
4．利用因式分解计算：的结果是（ ）
A．2023 B．-2023 C．2024 D．-2024
5．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x- 1，a- b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：思，爱，我，数，学，考，现将分解因式，结果呈现的密码信息可能是 （ ）
A．我爱学 B．我爱数学 C．我爱思考 D．数学思考
6．下列多项式分解因式后，结果中含有相同因式，的是（ ）
①16x2-8x；②(x-1)2-4(x-1)+4；③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2；④-4x2-1+4x．
A．①和② B．③和④ C．①和④ D．②和③
7．(3a-y)(3a+y)是下列哪一个多项式因式分解的结果（ ）
A．9a2+y2 B．-9a2+y2 C．9a2-y2 D．-9a2-y2
8．如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，若用x，y表示四个长方形的两边长（），观察图案及以下关系式：①；②；③；④；⑤；其中正确的关系式有 （ ）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤
9．对任意一个两位数n，如果n满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得到一个新两位数：把所得的新两位数与原两位数的和与11的商记为F（n）．例如n＝23．互换十位与个位上的数字得到32，所得的新两位数与原两位数的和为23+32＝55，55÷11＝5，所以F（23）＝5．若s，t都是“相异数”，其中s＝10x+3，t＝50+y（1≤x≤9，1≤y≤9．x，y都是正整数），当F（s）+F（t）＝15时，则 的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．4
10．如图，在长方形 ABCD 中，E 为 AB 中点，以 BE 为边作正方形 BEFG，边 EF 交 CD 于点H，在边 BE 上取点 M 使BM=BC，作 MN∥BG 交 CD 于点 L，交 FG 于点 N．
欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了 ，连结AC，记△ABC的面积为 ，图中阴影部分的面积为 ．若 ，则 的值为 （ ）
A． B． C． D．
11．已知实数x、y满足等式：3x2+4xy+4y2﹣4x+2＝0，则x+y的值为（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．
12．已知a为实数，且a3+a2-a+2=0，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13．分解因式：a2﹣25=
14． 若 且则x-3y的值是 .
15．如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，．
（1）若，，则图阴影部分的面积是 ；
（2）若图阴影部分的面积为，图四边形的面积为，则图阴影部分的面积是 ．
16．已知（2008﹣a）2+（2007﹣a）2=1，则（2008﹣a） （2007﹣a）= ．
三、综合题（本题共9小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题8分）解下列各题：
（1）分解因式：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；
（2）甲，乙两同学分解因式x2+mx+n，甲看错了n，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了m，分解结果为（x+1）（x+9），请分析一下m，n的值及正确的分解过程．
18．（本小题8分）综合题。
（1）单项式﹣12x12y3与8x10y6的公因式是 ；
（2）3ab4﹣6ab3+9ab2各项的公因式是 ；
（3）﹣4a2b+8ab﹣4a各项的公因式是 ．
19．（本小题8分）已知三个整式，，．
（1）从中选出两个进行加法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解；
（2）从中选出两个分别作为分式的分子与分母，要求这个分式不是最简分式，并对这个分式进行约分．
20．（本小题8分）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步），
（第二步），
（第三步），
（第四步），
（1）该同学第二步到第三步运用 进行因式分解；
（2）该同学是否完成了将该多项式因式分解？若没有完成，请直接写出因式分解的最后结果．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
21．（本小题8分）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程.
解：设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______.
A．提取公因式； B．平方差公式；
C．两数和的完全平方公式； D．两数差的完全平方公式.
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ .（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 .
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解.
22．（本小题8分）若满足，求的值．阅读下面求解的方法：
解：设，，则，
∵，
∴ ，
∴．
请仿照上面的方法求解下面的问题：
（1）若满足，求的值；
（2）如图，正方形中，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，若，则① ， （用含的代数式表示）；②直接写出图中阴影部分的面积 ．
23．（本小题8分）对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式：
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式：
（1）
（2）
（3）能否根据以上方法确定式子有最小（或最大）值，若能，请求出这个值.
24．（本小题8分）在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，通过用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们称为等体积法；
根据课堂学习的经验，解决下列问题：
在一个边长为a 的正方体中挖出一个边长为b的正方体（如图1），然后利用切割的方法把剩余的立体图形（如图2）分成三部分（如图3），这三部分长方体的体积依次为 ， ， ．
（1）分解因式： ；
（2）请用两种不同的方法求图1中的立体图形的体积：（用含有 的代数式表示）
① ；
② ；
思考：类比平方差公式，你能得到的等式为 ；
（3）应用：利用在（2）中所得到的等式进行因式分解： ；
（4）拓展：已知 ，你能求出代数式 的值为 ．
25．（本小题8分）现有若干张如图1所示的正方形纸片A，B和长方形纸片C．
（1）小王利用这些纸片拼成了如图2的一个新正方形，通过用两种不同的方法计算新正方形面积，由此，他得到了一个等式： ；
（2）小王再取其中的若干张纸片（三种纸片都要取到）拼成一个面积为a2+3ab+nb2的长方形，则n可取的正整数值是 ，并请你在图3位置画出拼成的长方形 ；
（3）根据拼图经验，请将多项式a2+5ab+4b2分解因式．
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第4章《因式分解》单元综合测试提升（答案解析版）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：A、x+2y=（x+y）+y，不是因式分解，A选项不符合题意；
B、4x2-4x+1=4x（x-1）+1，不是因式分解，B选项不符合题意；
C、x2+xy=x（x+y），是因式分解，C选项符合题意；
D、x（a-b）=ax-bx，不是因式分解，D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的定义，将一个多项式的和（或差）化成因式与因式的乘积的形式，再逐项进行判断即可得出正确答案.
2．下列添括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】添括号法则及应用
【解析】【解答】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意；
故答案为：C.
【分析】 添括号时，如果括号前面是加号，括号里的各项都不变符号；如果括号前面是减号，括到括号里的各项都改变符号．根据法则分别判断，即可解答．
3．若代数式 通过变形可以写成 的形式，则m的值是（ ）
A．5 B．10 C．±5 D．±10
【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解： ∵ ，
∴，
∴m=2n，n2=25，
∴m=2n=±10，
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式得出，然后比较每项的系数，分别列出等式，先求出n值，则可解答.
4．利用因式分解计算：的结果是（ ）
A．2023 B．-2023 C．2024 D．-2024
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=2023（2023+1）-20242=2024×2023-20242=2024（2023-2024）=-2024.
故答案为：D.
【分析】先将前两项利用提取公因式法变形计算后，再利用提取公因式法变形计算即可.
5．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x- 1，a- b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：思，爱，我，数，学，考，现将分解因式，结果呈现的密码信息可能是 （ ）
A．我爱学 B．我爱数学 C．我爱思考 D．数学思考
【答案】C
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵3a(x2-1)-3b(x2-1)=3(x2-1)(a-b)=3(x+1))x-1)(a-b)，
又∵“x-1”对应思，“a-b”对应爱，“3”对应我，“x2+1”对应数，“a”对应学，“x+1”对应考，
∴ 结果呈现的密码信息可能是：我爱思考.
故答案为：C.
【分析】将多项式先利用提取公因式法分解，再利用平方差公式进行第二次分解，进而根据每一个整式对应的谜面即可得出答案.
6．下列多项式分解因式后，结果中含有相同因式，的是（ ）
①16x2-8x；②(x-1)2-4(x-1)+4；③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2；④-4x2-1+4x．
A．①和② B．③和④ C．①和④ D．②和③
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：①16x2-8x=8x（2x-1）；
②(x-1)2-4(x-1)+4 =（x-1-2）2=（x-3）2；
③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2 =[（x+1）2-2x]2=（x2+1）2；
④-4x2-1+4x =-（ 4x2-4x +1）=-（2x-1）2，
将各个多项式分解因式后，结果中含有相同因式的是①和④.
故答案为：C.
【分析】将①中的多项式利用提取公因式法分解因式，将②③④中的多项式分别利用完全平方公式分解因式，进而观察分解结果即可得出答案.
7．(3a-y)(3a+y)是下列哪一个多项式因式分解的结果（ ）
A．9a2+y2 B．-9a2+y2 C．9a2-y2 D．-9a2-y2
【答案】C
【知识点】因式分解的定义
【解析】【解答】解：（3a-y）（3a+y）=9a2-y2．
故答案为：C.
【分析】根据多项式乘多项式法则计算（3a-y）（3a+y）即可求解.
8．如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，若用x，y表示四个长方形的两边长（），观察图案及以下关系式：①；②；③；④；⑤；其中正确的关系式有 （ ）
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤
【答案】A
【知识点】列式表示数量关系；完全平方公式及运用；完全平方式
【解析】【解答】 ①x-y=b，依据图示，长方形的长-宽=小正方形边长，关系式正确；
②，依据图示，长方形的长+宽=大正方形边长，关系式正确；
③，依据平方差公式和①②的结论，x2-y2=（x+y）（x-y）=ab，关系式正确；
④，依据完全平方公式，，关系式正确；
⑤ 依据完全平方公式，a2-b22=a+ba-b2=2x×2y2=2xy≠xy，关系式不正确；
故选：A
【分析】依图能直接看出简单的数量关系式，复杂的式子用平方差和完全平方公式推导。
9．对任意一个两位数n，如果n满足个位与十位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，得到一个新两位数：把所得的新两位数与原两位数的和与11的商记为F（n）．例如n＝23．互换十位与个位上的数字得到32，所得的新两位数与原两位数的和为23+32＝55，55÷11＝5，所以F（23）＝5．若s，t都是“相异数”，其中s＝10x+3，t＝50+y（1≤x≤9，1≤y≤9．x，y都是正整数），当F（s）+F（t）＝15时，则 的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解： 将s的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为s'.
∵s= 10x+ 3.
∵s'= 30+x
∴F(s)===3+x
将t的十位上的数字与个位上的数字互换位置后的数记为t'.
∵t=50+ y.
∴t'= 10y+ 5.
. F(t)===5+y.
∵F(s)+ F(t)= 15.
∴3+x+5+y= 15.
∴x+y= 7.
∴y=7- x.
∵==
∵x，y都是正整数.
∴x最大为6
∴=
故答案未：B
【分析】 先用含x的式子表示出F (s)再用含y的式子表示出F (t)，然后根据x和y的取值求出最大值即可.
10．如图，在长方形 ABCD 中，E 为 AB 中点，以 BE 为边作正方形 BEFG，边 EF 交 CD 于点H，在边 BE 上取点 M 使BM=BC，作 MN∥BG 交 CD 于点 L，交 FG 于点 N．
欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了 ，连结AC，记△ABC的面积为 ，图中阴影部分的面积为 ．若 ，则 的值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】 解：
∵
∴
故答案为：C
【分析】本题关键是把表示出来，利用a、b的关系即可得到比值。三角形的面积易求，阴影部分的面积可看成大正方形EBGF的面积减去小正方形HFNL的面积。综上所述即可得到答案
11．已知实数x、y满足等式：3x2+4xy+4y2﹣4x+2＝0，则x+y的值为（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．
【答案】D
【知识点】因式分解的应用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：3x2+4xy+4y2﹣4x+2＝0，
x2+4xy+4y2+2x2﹣4x+2＝0，
（x+2y）2+2（x﹣1）2＝0，
则x+2y＝0，x﹣1＝0，
解得，x＝1，y＝﹣ ，
则x+y＝ ，
故答案为：D．
【分析】利用完全平方公式把方程的左边化为平方和的形式，根据偶次方的非负性计算即可．
12．已知a为实数，且a3+a2-a+2=0，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】首先对a3+a2-a+2=0进行因式分解，转化为（a+2)（a2-a+1)=0，因而可得a+2=0或a2-a+1=0，分别针对这两个式子根据a是实数来讨论a的取值．进而求出（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010的值．
【解答】∵a3+a2-a+2=0，
（a3+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1)（a2-a+1)+（a2-a+1)=0，
（a+1+1)（a2-a+1)=0
（a+2)（a2-a+1)=0
∴a+2=0或a2-a+1=0
①当a+2=0时，即a+1=-1，则（a+1)2008+（a+1)2009+（a+1)2010=1-1+1=1．
②当a2-a+1=0，因为a是实数，而△=1-4=-3＜0，所以a无解．
故选D．
【点评】本题考查因式分解．解决本题的关键是灵活运用立方和公式、提取公因式法进行因式分解，进而确定a的值．
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13．分解因式：a2﹣25=
【答案】 （a﹣5）（a+5）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】解：a2﹣25=（a﹣5）（a+5）．
故答案为：（a﹣5）（a+5）．
【分析】利用平方差公式分解即可求得答案．
14． 若 且则x-3y的值是 .
【答案】6
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解： ∵
∴(x+y)(x-y)=6，
∵
∴x-y=2，
∴ x-3y =6.
故答案为：6.
【分析】利用平方差公式将原式变为(x+y)(x-y)=6，据此求出x-y的值，继而得解.
15．如图，分别以，，，为边长作正方形，已知且满足，．
（1）若，，则图阴影部分的面积是 ；
（2）若图阴影部分的面积为，图四边形的面积为，则图阴影部分的面积是 ．
【答案】（1）
（2）
【知识点】完全平方公式的几何背景；因式分解的应用；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
图1阴影部分面积为：a2+b2=32+42=25，
故答案为：25；
（2）由题意得a2+b2=3，
∵am-bn=2，an+bm=4，
∴将两式分别平方得：a2m2-2abmn+b2n2=4①，
a2n2+2abmn+b2m2=16②，
∴①+②整理得：（a2+b2）（m2+n2）=20，
∵a2+b2=3，
∴m2+n2=，
∴图2阴影部分的面积=S四边形ABCD--
=5-
=5-
=
故答案为：.
【分析】 （1）根据正方形的面积公式计算即可；
（2）结合已知条件可得a2+b2=3，将题干中两个等式分别平方后求和，然后再将等式的一边分解因式得（a2+b2）（m2+n2）=20，求得m2+n2=，最后利用割补法求图2中阴影部分的面积．
16．已知（2008﹣a）2+（2007﹣a）2=1，则（2008﹣a） （2007﹣a）= ．
【答案】0
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵（2008﹣a）2+（2007﹣a）2=1，
∴（2008﹣a）2﹣2（2008﹣a）（2007﹣a）+（2007﹣a）2=1﹣2（2008﹣a）（2007﹣a），
即（2008﹣a﹣2007+a）2=1﹣2（2008﹣a）（2007﹣a），
整理得﹣2（2008﹣a）（2007﹣a）=0，
∴（2008﹣a）（2007﹣a）=0．
【分析】根据完全平方公式的变形，求出代数式的值.
三、综合题（本题共9小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题8分）解下列各题：
（1）分解因式：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；
（2）甲，乙两同学分解因式x2+mx+n，甲看错了n，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了m，分解结果为（x+1）（x+9），请分析一下m，n的值及正确的分解过程．
【答案】（1）解：原式＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）
＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）
（2）解：∵（x+2）（x+4）＝x2+6x+8，甲看错了n，
∴m＝6．
∵（x+1）（x+9）＝x2+10x+9，乙看错了m，
∴n＝9，
∴x2+mx+n＝x2+6x+9＝（x+3）2．
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）用提取公因式和平方差公式进行因式分解即可解答；（2）根据已知条件分别求出m和n的值，然后进行因式分解即可解答.
18．（本小题8分）综合题。
（1）单项式﹣12x12y3与8x10y6的公因式是 ；
（2）3ab4﹣6ab3+9ab2各项的公因式是 ；
（3）﹣4a2b+8ab﹣4a各项的公因式是 ．
【答案】（1）4x10y3
（2）3ab2
（3）﹣4a
【知识点】公因式
【解析】【解答】解：（1）单项式﹣12x12y3与8x10y6的公因式是4x10y3；（2）3ab4﹣6ab3+9ab2各项的公因式是3ab2；（3）﹣4a2b+8ab﹣4a各项的公因式是﹣4a．
故答案为：4x10y3；3ab2；﹣4a．
【分析】根据找公因式的规律：系数找最大公因数，字母找指数最低次幂，找出即可．
19．（本小题8分）已知三个整式，，．
（1）从中选出两个进行加法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解；
（2）从中选出两个分别作为分式的分子与分母，要求这个分式不是最简分式，并对这个分式进行约分．
【答案】（1）解：
或
（2）解：或
【知识点】因式分解﹣提公因式法；分式的约分
【解析】【分析】（1）根据题中要求，选择两个多项式求和，然后分解因式.
（2）按要求选两个组成分式，然后化简即可.
20．（本小题8分）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步），
（第二步），
（第三步），
（第四步），
（1）该同学第二步到第三步运用 进行因式分解；
（2）该同学是否完成了将该多项式因式分解？若没有完成，请直接写出因式分解的最后结果．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【答案】（1）完全平方公式
（2）否；
（3）解：设，
则原式
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解的应用
【解析】【分析】(1)从第三步的结果可得出结论；
(2)观察最后结果中的x2-4x+4是否还能因式分解，得出结论；
(3)设x2 2x=y，然后因式分解，化简后再代入，再因式分解。
21．（本小题8分）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程.
解：设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______.
A．提取公因式； B．平方差公式；
C．两数和的完全平方公式； D．两数差的完全平方公式.
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ .（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 .
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解.
【答案】（1）C
（2）不彻底；
（3）解：设 ，
原式= .
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）由y2+8y+16＝（y+4）2是利用了两数和的完全平方公式，
故答案为：C；
（2）∵（x2﹣4x+4）2= ，
∴该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为 ，
故答案为：不彻底， ；
【分析】（1）利用完全平方公式可得答案.
（2）分解因式要分解到不能再分解为止， x2﹣4x+4还能分解.
（3）将x2+2x看着整体，可将原式转化为y2+2y+1，利用完全平方公式进行分解，再利用完全平方公式进行分解即可.
22．（本小题8分）若满足，求的值．阅读下面求解的方法：
解：设，，则，
∵，
∴ ，
∴．
请仿照上面的方法求解下面的问题：
（1）若满足，求的值；
（2）如图，正方形中，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，若，则① ， （用含的代数式表示）；②直接写出图中阴影部分的面积 ．
【答案】（1）解：设，，则，
∵，
∴ ，
∴；
（2）；；16
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：（2）①∵，，
∴，
在正方形中， ，
∵，
∴，
②∵长方形的面积是，
∴ ，即 ，
设 ， ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
∴阴影部分的面积=
．
【分析】（1）设x-2=a，x-5=b，则原式就为a +b =（a-b） +2ab，选取a-b是因为可以把x抵消掉
（2）由题意MF=x-1，DF=x-3，仿照原题手法用平方差求出面积，要熟练掌握完全平方公式和平方差公式
23．（本小题8分）对于二次三项式不能直接用公式分解，但可用以下方式分解因式：
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．请用以上方法分解因式：
（1）
（2）
（3）能否根据以上方法确定式子有最小（或最大）值，若能，请求出这个值.
【答案】（1）解：由题意得：
（2）解：；
（3）解：，
∴二次函数有最小值2；
【知识点】平方差公式及应用；定义新运算；完全平方式
【解析】【分析】（1）仿照题目中的示例，利用完全平方公式和平方差公式即可化简；
（2）将原式化成（x2）2+x2+1，仿照题目中的示例，利用完全平方公式和平方差公式即可化简；
（3）仿照题目中的示例把原式化简为（y+1）2+2，根据偶次幂的非负性即可求解。
24．（本小题8分）在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，通过用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．类似地，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们称为等体积法；
根据课堂学习的经验，解决下列问题：
在一个边长为a 的正方体中挖出一个边长为b的正方体（如图1），然后利用切割的方法把剩余的立体图形（如图2）分成三部分（如图3），这三部分长方体的体积依次为 ， ， ．
（1）分解因式： ；
（2）请用两种不同的方法求图1中的立体图形的体积：（用含有 的代数式表示）
① ；
② ；
思考：类比平方差公式，你能得到的等式为 ；
（3）应用：利用在（2）中所得到的等式进行因式分解： ；
（4）拓展：已知 ，你能求出代数式 的值为 ．
【答案】（1）
（2）；② 或者 ；
（3）解：
（4）-288
【知识点】列式表示数量关系；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）分解因式： （2）① 或者②
思考：乘法公式为： ；（4）拓展：
因为 ，
所以 =
= = =-288
所以代数式 的值为 -288
【分析】（1）根据提公因式法可得；（2）由（1）可得，立体图行体积等于图3的三个立体图形的体积和，根据等式可得①②；根据图1和图3可得立体图形体积关系是： ；（3）根据 ，可进一步分解因式；（4）根据上述公式进行因式分解，同时运用完全平方公式进行变形可得；
25．（本小题8分）现有若干张如图1所示的正方形纸片A，B和长方形纸片C．
（1）小王利用这些纸片拼成了如图2的一个新正方形，通过用两种不同的方法计算新正方形面积，由此，他得到了一个等式： ；
（2）小王再取其中的若干张纸片（三种纸片都要取到）拼成一个面积为a2+3ab+nb2的长方形，则n可取的正整数值是 ，并请你在图3位置画出拼成的长方形 ；
（3）根据拼图经验，请将多项式a2+5ab+4b2分解因式．
【答案】（1）a2+2ab+b2=（a+b）2
（2）2；
（3）a2+5ab+4b2=（a+b）（a+4b）．
【知识点】完全平方公式的几何背景；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）利用面积相等得a2+2ab+b2=（a+b）2；（2）由于有a2+3ab，则a2+3ab+nb2分解为（a+b）（a+2b），因此得到n=2，
如图：
【分析】（1）利用面积相等易得a2+2ab+b2=（a+b）2；（2）由于有a2+3ab，则a2+3ab+nb2分解为（a+b）（a+2b），因此得到n=2，再画图；（3）利用面积可分解因式．
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