【基础卷】2024年浙教版数学八年级下册5.1 矩形
一、选择题
1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角相等
C．对边相等 D．对角线互相平分
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】矩形是一个特殊的平行四边形，因此平行四边形的性质矩形都具有，而矩形的性质：①对角线相等，②四个角是直角平行四边形不具有，据此即可得到结果。
【解答】矩形是一个特殊的平行四边形，而矩形的性质：①对角线相等，②四个角是直角平行四边形不具有。
故选A.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等。
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OB
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AC=BD，OA=OB，不能推出AC⊥BD，
∴选项A、B、D不符合题意，选项C不符合题意；
故答案为：C．
【分析】矩形具有平行四边形的一切性质，而且平行四边形的对角线相等但不垂直，而菱形的对角线互相垂直.
3．（2023八下·凉山期末）如图，在矩形中，点E在上，且平分，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：在矩形中，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵EC平分∠DEB，
∴∠DEC=∠BEC，
∴∠BEC=∠ECB，
∴BE=BC，
∵∠A=90°，
∵∠ABE=45°，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴AB=AE=2.
在Rt△ABE中，
则AD=BC=BE=
∴DE=AD-AE=
故答案为：A.
【分析】先证明∠ABE=AEB=45°，得出AB=AE=2，根据勾股定理求出BE，即可得出答案．
4．（2023八下·官渡期末）如图，要使 为矩形，则可添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：根据矩形的判定，对角线相等的平行四边形是矩形，即AC=BD，平行四边形ABCD为矩形.
故答案为：D.
【分析】根据矩形的判定定理求解即可.
5．（2023八下·孝义期末）数学课上，老师提出如下问题：如图，四边形是平行四边形，请同学们添加个条件使是矩形．小彤添加的条件是：．则小彤判定是矩形的依据是（ ）
A．矩形的四个角都是直角
B．矩形的对角线相等
C．有三个角是直角的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：由题意可得：
对角线相等的平行四边形是矩形
故答案为：D
【分析】根据矩形的判定定理即可求出答案。
6．（2023八下·高邮期末）如图，在中，D，E，F分别是，和边的中点，若添加一个条件，使四边形为矩形，则下列添加的条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： ∵D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，
∴ DF，EF为的中位线，
∴DFBE；EFBD，
∴ 四边形BEFD为平行四边形.
若使四边形BEFD为矩形，
则内角应为90°，
C、=90°满足题意.
故答案为：C.
【分析】由中位线定理与平行四边形的判定可得四边形BEFD为平行四边形。根据矩形的定义，即有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得出答案。
7．（2023八下·大石桥月考）如图，在△ABC中，∠C=90°， AC=8， BC=6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥Ac于点E， PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为( ）
A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8
【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ PE⊥AC， PF⊥BC
∴∠PEC=∠PFC=∠C= 90°
∴∠EPF= 90°
∴四边形EPFC为矩形
∴PE=CF，CE=PF
连接PC，如下图
则线段PC=EF.
求线段EF 的最小值即为求线段CP的最小值。
∵ 点P为斜边AB上一动点
∴当PC⊥AB时，线段CP最小
∵ 点P为斜边AB上一动点
∴当PC⊥AB时，线段CP最小
由勾股定理，可得线段AB=10
∵PC⊥AB
∴∠CPB=∠C= 90°
又∠B为 △ABC和 △CPB共用角
∴△ABC和 △CPB相似
∴=
∴CP==4.8
∴线段EF的最小值为4.8.
故选：D.
【分析】根据矩形的判定条件得到线段线段PC=EF，连接CP，当PC⊥AB时，线段CP值最小，再根据三角形相似原理得到CP.
8．下列关于矩形的说法中正确的是（ ).
A．矩形的对角线互相垂直且平分
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相平分的四边形是矩形
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】矩形的对角线互相平分，且相等，但不一定互相垂直，A项错误；矩形的对角线相等且互相平分，B项正确；对角线相等的四边形不一定为矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，C项错误；对角线互相平分的四边形为平行四边形，不一定为矩形，D项错误；
故选B．
【分析】此题考查了矩形的判定与性质，是一道概念性试题，熟练掌握矩形的判定与性质是解本题的关键．
二、填空题
9．（2023八下·南宁期末）如图，在矩形中，对角线和交于点O，若，则 ．
【答案】4
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】 ∵四边形ABCD是矩形，AC=4，
∴BD=AC=4．
故答案为：4.
【分析】依据矩形的对角线相等直接求解.
10．（2022八下·仙居期末）木工师傅要做一张长方形的桌面．完成后，量得桌面的长为，宽为，对角线为130cm，则做出的这个桌面 .（填“合格”或“不合格”）
【答案】不合格
【知识点】勾股定理的逆定理；矩形的判定
【解析】【解答】解：不合格，
理由：，
即：，
，
四边形ABCD不是矩形，
这个桌面不合格.
故答案为：不合格.
【分析】由题意可得AD2+CD2≠AC2，则四边形ABCD不是矩形，据此判断.
11．（2020八下·眉山期末）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，∠ABC＝90°，则四边形ABCD是 ；若AC＝5 cm，则BD＝ .
【答案】矩形；5cm
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形.
∴AC=BD
∵AC=5cm
∴BD=5cm
【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明四边形ABCD是矩形，再根据矩形性质求解.
三、解答题
12．（2023八下·望花期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点，且若，求的度数．
【答案】解：四边形ABCD是矩形，
，
，
.
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质求出∠DAB=90°，代入∠OAB=∠DAB-∠OAD求出即可∠OAB的度数.
13．（2021八下·硚口期末）如图，在 中， 于E，点F在边 上， ，求证：四边形 是矩形.
【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴AD DF＝BC BE，
即AF＝CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴四边形AECF是矩形
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，结合已知得AF＝CE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，由垂线定义得∠AEC＝90°，再根据一个角是直角的平行四边形是菱形可得四边形AECF是菱形.
14．（2017八下·宁波期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE是矩形.
【答案】证明：∵四边形ABDE是平行四边形，且D为BC中点
∴AE∥CD，AE=CD
∴四边形ADCE是平行四边形
又∵AB=AC，D为BC中点
∴∠ADC=90°
∴四边形ADCE是矩形
【知识点】矩形的判定；矩形的判定与性质
【解析】【分析】主要考查对矩形，矩形的性质，矩形的判定考点的理解.
四、综合题
15．（2023八下·舞阳期末）如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，且，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
，，
，
四边形是平行四边形．
又，即，
平行四边形是矩形．
（2）解：平分，．
，，
，．
在中，由勾股定理，得．
由（1）知，四边形DEBF是矩形，
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）首先根据平行四边形的性质，来证明四边形DEBF是平行四边形，又利用题目条件以及矩形的判定 ，证明平行四边形DEBF是矩形.
（2）首先根据平行四边形的性质，所以DC∥AB，利用平行线的性质可以得到∠DFA=∠DAF，所以AD=DF，然后再利用勾股定理解出DE，最后根据矩形的性质解出BF即可.
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一、选择题
1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角相等
C．对边相等 D．对角线互相平分
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OB
3．（2023八下·凉山期末）如图，在矩形中，点E在上，且平分，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·官渡期末）如图，要使 为矩形，则可添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·孝义期末）数学课上，老师提出如下问题：如图，四边形是平行四边形，请同学们添加个条件使是矩形．小彤添加的条件是：．则小彤判定是矩形的依据是（ ）
A．矩形的四个角都是直角
B．矩形的对角线相等
C．有三个角是直角的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
6．（2023八下·高邮期末）如图，在中，D，E，F分别是，和边的中点，若添加一个条件，使四边形为矩形，则下列添加的条件可以是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八下·大石桥月考）如图，在△ABC中，∠C=90°， AC=8， BC=6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥Ac于点E， PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为( ）
A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8
8．下列关于矩形的说法中正确的是（ ).
A．矩形的对角线互相垂直且平分
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相平分的四边形是矩形
二、填空题
9．（2023八下·南宁期末）如图，在矩形中，对角线和交于点O，若，则 ．
10．（2022八下·仙居期末）木工师傅要做一张长方形的桌面．完成后，量得桌面的长为，宽为，对角线为130cm，则做出的这个桌面 .（填“合格”或“不合格”）
11．（2020八下·眉山期末）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，∠ABC＝90°，则四边形ABCD是 ；若AC＝5 cm，则BD＝ .
三、解答题
12．（2023八下·望花期末）如图，在矩形中，对角线、相交于点，且若，求的度数．
13．（2021八下·硚口期末）如图，在 中， 于E，点F在边 上， ，求证：四边形 是矩形.
14．（2017八下·宁波期中）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE是矩形.
四、综合题
15．（2023八下·舞阳期末）如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，且，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】矩形是一个特殊的平行四边形，因此平行四边形的性质矩形都具有，而矩形的性质：①对角线相等，②四个角是直角平行四边形不具有，据此即可得到结果。
【解答】矩形是一个特殊的平行四边形，而矩形的性质：①对角线相等，②四个角是直角平行四边形不具有。
故选A.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等。
2．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AC=BD，OA=OB，不能推出AC⊥BD，
∴选项A、B、D不符合题意，选项C不符合题意；
故答案为：C．
【分析】矩形具有平行四边形的一切性质，而且平行四边形的对角线相等但不垂直，而菱形的对角线互相垂直.
3．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：在矩形中，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵EC平分∠DEB，
∴∠DEC=∠BEC，
∴∠BEC=∠ECB，
∴BE=BC，
∵∠A=90°，
∵∠ABE=45°，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∴AB=AE=2.
在Rt△ABE中，
则AD=BC=BE=
∴DE=AD-AE=
故答案为：A.
【分析】先证明∠ABE=AEB=45°，得出AB=AE=2，根据勾股定理求出BE，即可得出答案．
4．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：根据矩形的判定，对角线相等的平行四边形是矩形，即AC=BD，平行四边形ABCD为矩形.
故答案为：D.
【分析】根据矩形的判定定理求解即可.
5．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：由题意可得：
对角线相等的平行四边形是矩形
故答案为：D
【分析】根据矩形的判定定理即可求出答案。
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： ∵D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，
∴ DF，EF为的中位线，
∴DFBE；EFBD，
∴ 四边形BEFD为平行四边形.
若使四边形BEFD为矩形，
则内角应为90°，
C、=90°满足题意.
故答案为：C.
【分析】由中位线定理与平行四边形的判定可得四边形BEFD为平行四边形。根据矩形的定义，即有一个角是直角的平行四边形是矩形，可得出答案。
7．【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ PE⊥AC， PF⊥BC
∴∠PEC=∠PFC=∠C= 90°
∴∠EPF= 90°
∴四边形EPFC为矩形
∴PE=CF，CE=PF
连接PC，如下图
则线段PC=EF.
求线段EF 的最小值即为求线段CP的最小值。
∵ 点P为斜边AB上一动点
∴当PC⊥AB时，线段CP最小
∵ 点P为斜边AB上一动点
∴当PC⊥AB时，线段CP最小
由勾股定理，可得线段AB=10
∵PC⊥AB
∴∠CPB=∠C= 90°
又∠B为 △ABC和 △CPB共用角
∴△ABC和 △CPB相似
∴=
∴CP==4.8
∴线段EF的最小值为4.8.
故选：D.
【分析】根据矩形的判定条件得到线段线段PC=EF，连接CP，当PC⊥AB时，线段CP值最小，再根据三角形相似原理得到CP.
8．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】矩形的对角线互相平分，且相等，但不一定互相垂直，A项错误；矩形的对角线相等且互相平分，B项正确；对角线相等的四边形不一定为矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，C项错误；对角线互相平分的四边形为平行四边形，不一定为矩形，D项错误；
故选B．
【分析】此题考查了矩形的判定与性质，是一道概念性试题，熟练掌握矩形的判定与性质是解本题的关键．
9．【答案】4
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】 ∵四边形ABCD是矩形，AC=4，
∴BD=AC=4．
故答案为：4.
【分析】依据矩形的对角线相等直接求解.
10．【答案】不合格
【知识点】勾股定理的逆定理；矩形的判定
【解析】【解答】解：不合格，
理由：，
即：，
，
四边形ABCD不是矩形，
这个桌面不合格.
故答案为：不合格.
【分析】由题意可得AD2+CD2≠AC2，则四边形ABCD不是矩形，据此判断.
11．【答案】矩形；5cm
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形.
∴AC=BD
∵AC=5cm
∴BD=5cm
【分析】先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明四边形ABCD是矩形，再根据矩形性质求解.
12．【答案】解：四边形ABCD是矩形，
，
，
.
【知识点】矩形的性质
【解析】【分析】根据矩形的性质求出∠DAB=90°，代入∠OAB=∠DAB-∠OAD求出即可∠OAB的度数.
13．【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴AD DF＝BC BE，
即AF＝CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴四边形AECF是矩形
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，结合已知得AF＝CE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AECF是平行四边形，由垂线定义得∠AEC＝90°，再根据一个角是直角的平行四边形是菱形可得四边形AECF是菱形.
14．【答案】证明：∵四边形ABDE是平行四边形，且D为BC中点
∴AE∥CD，AE=CD
∴四边形ADCE是平行四边形
又∵AB=AC，D为BC中点
∴∠ADC=90°
∴四边形ADCE是矩形
【知识点】矩形的判定；矩形的判定与性质
【解析】【分析】主要考查对矩形，矩形的性质，矩形的判定考点的理解.
15．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
，，
，
四边形是平行四边形．
又，即，
平行四边形是矩形．
（2）解：平分，．
，，
，．
在中，由勾股定理，得．
由（1）知，四边形DEBF是矩形，
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）首先根据平行四边形的性质，来证明四边形DEBF是平行四边形，又利用题目条件以及矩形的判定 ，证明平行四边形DEBF是矩形.
（2）首先根据平行四边形的性质，所以DC∥AB，利用平行线的性质可以得到∠DFA=∠DAF，所以AD=DF，然后再利用勾股定理解出DE，最后根据矩形的性质解出BF即可.
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