【提升卷】2024年浙教版数学八年级下册5.1 矩形
一、选择题
1．（2022·龙华模拟）如图，在矩形中，对角线与相交于点，已知，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八下·大化期中）如图，在矩形中，平分交于点E，连接，若，则的长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．20
3．（2023九上·深圳月考）在四边形ABCD中，，.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·菏泽月考）如图所示，在正方形中，是对角线上一点，过作，，垂足分别为、，连接，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2019九上·丹东期末）下列关于矩形的说法，正确的是（ ）．
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．矩形的对角线相等且互相平分
二、填空题
6．（2023·河南）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 ．
7．（2021八下·上虞期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为 .
8．（2022·武威）如图，在四边形 中， ， ，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形 成为一个矩形，只需添加的一个条件是 .
9．（2022九上·温州期中）如图1是某学校食堂墙壁上“光盘行动，从我做起”的长方形宣传画，画的左侧为一个圆盘上摆放一双筷子，画的下边缘为水平线，图2是其示意图，水平线l上的点A在圆心O的正下方，筷子与右下方交于B，C两点，线段，分别垂直l于点D，E.测得，，则圆盘的半径为 .
10．（2023八上·海淀月考）如图，AC平分∠BAD，AB∥CD， BC=4， ∠BAD＝30°，∠B＝90° ，则CD的长为 ．
三、解答题
11．（2023九上·耿马期中）如图，将矩形绕点旋转得到矩形，点在上，连接.
（1）求证：平分；
（2）连接交于点，点是的中点，连接、，若，求的长.
12．（2023九上·五华期中）如图，在 中，平分，平分，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若点恰好在上，且，设的周长为，的周长为，，求常数的值．
13．（2023九上·兰州期中） 如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．
14．（2023九上·杭州开学考）如图，在 中，对角线，相交于点，于点，于点，．
（1）求证： 是矩形．
（2）若，，求的长．
四、综合题
15．（2022八下·新昌期末）如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，延长BC至点E，使BC=CE，连结DE．
（1）求证：四边形ACED是矩形．
（2）若BC=3，AB=5，求BD的长．
16．如图，在 ABCD中，已知E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：AB=CF；
（2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形的对角线，相交于点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据题意先求出，再求出，最后计算求解即可。
2．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD=6，∠B=90°，AD∥BC，
∵AE=10，∴BE==8，
∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，
∵AD∥BC，∴∠ADE=∠DEC，
∴∠DEC=∠CDE，
∴CE=CD=6，
∴AD=BC=8+6=14；
故答案为：B.
【分析】由矩形的性质可得AD=BC，AB=CD=6，∠B=90°，AD∥BC，利用勾股定理及平行的性质可得BE=8，∠ADE=∠DEC，由角平分线的定义可得∠ADE=∠CDE，即得∠DEC=∠CDE，根据等角对等边可得CE=CD=6，利用AD=BC=BE+CE即可求解.
3．【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵不能判断四边形ABCD为矩形，则本项不符合题意；
B、∵
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵不能判断四边形ABCD为矩形，则本项不符合题意；
C、∵
∴
∵
∴
∴
∴AB的长为AD与BC间的距离，
∵
∴
∴
∴四边形ABCD为矩形，故本项符合题意；
D、∵
∴
∵
∴
∵
∴四边形ABCD为等腰梯形，故本项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据矩形的判定，逐项分析即可.
4．【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：连接PC，由题意可得：
AD=CD，∠ADP=∠CDP
在△APD和△CPD中
∴△APD≌△CPD（SAS）
∴AP=CP
∵∠DCB=90°，，
∴四边形PFCE是矩形
∴AP=CP=EF=5
故答案为：A
【分析】根据正方形性质和全等三角形判定定理可得△APD≌△CPD，则AP=CP，再根据矩形判定定理可得四边形PFCE是矩形，根据矩形对角线相等性质即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【分析】根据定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的性质：
1．矩形的四个角都是直角
2．矩形的对角线相等
3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等
4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线)．
5．对边平行且相等
6．对角线互相平分，对各个选项进行分析即可．
【解答】A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误；
B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误；
C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误；
D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确．
故选D．
【点评】本题主要考查学生对矩形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，都是一些基础知识，要求学生应熟练掌握．
6．【答案】2或
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：①当∠MND=90°时，则MN⊥AD.
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=90°，
∴MN∥AB.
∵M为对角线BD的中点，
∴N为AD的中点，
∴AN=DN.
∵AN=AB=1，
∴AD=2AN=2.
②当∠NMD=90°时，则MN⊥BD.
∵M为对角线BD的中点，
∴BM=DM，
∴MN垂直平分BD，
∴BN=DN.
∵∠A=90°，AB=AN=1，
∴BN=，
∴AD=AN+DN=1+.
综上可得：AD的长为2或1+.
故答案为：2或1+.
【分析】①当∠MND=90°时，则MN⊥AD，由矩形的性质可得 ∠A=90°，则MN∥AB，结合M为对角线BD的中点可得N为AD的中点，据此求解；②当∠NMD=90°时，则MN⊥BD，易得MN垂直平分BD，则BN=DN，由勾股定理可得BN，然后根据AD=AN+DN进行计算.
7．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴∠ADC=90°，矩形的面积=6×8=48，AB=DC=6，AD=BC=8，
∴AO＝DO＝AC＝5，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴S△AOD的面积=S矩形ABCD=12，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE＋S△DOE，
∴12＝AO×EO＋DO×EF，
∴12＝×5×EO＋×5×EF，
∴5（EO＋EF）＝24，
∴EO＋EF＝.
故答案为：.
【分析】利用矩形的性质可求出矩形的面积及DC，AB的长，利用勾股定理求出AC的长，从而可求出DO，OA的长，同时求出△AOD的面积；再根据S△AOD＝S△AOE＋S△DOE，利用三角形的面积公式可求出EO+EF的值.
8．【答案】∠A=90°（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】】解：需添加的一个条件是∠A=90°，理由如下：
∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠A=90°（答案不唯一）.
【分析】由已知条件可得四边形ABCD是平行四边形，然后结合矩形的判定定理进行解答.
9．【答案】25
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，过点O作OG⊥CE于点G，交BD于点F，
，
∵线段BD，CE分别垂直l于点D，E
∴，
∴，
∵水平线l上的点A在圆心O的正下方，
∴，
∴四边形AOFG、AOGE都是矩形，
∴，，，根据矩形的性质得AD=OF，AE=OG，OA=FD=GE，
∵，，
∴，，
设，则，，
在中，，
在中，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即圆盘的半径为.
故答案为：25.
【分析】连接OA，过点O作OG⊥CE于点G，交BD于点F，根据同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得BD∥CE，根据平行线的性质得OF⊥BD，易得四边形AOFG、AOGE都是矩形，根据矩形的性质得AD=OF，AE=OG，OA=FD=GE，设OA=xcm，则BF=（x-10）cm，CG=（x-15）cm，在Rt△BOF与Rt△COG中根据勾股定理分别表示出OB2与OC2，进而结合OB=OC，建立方程，求解可得x的值，从而得出BF的长，最后根据勾股定理算出BO的长即可.
10．【答案】8
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过D作DEAB于E
AC平分∠BAD
故答案为：8
【分析】观察已知线段和所求线段，它们位于一个图形内，是矩形，因此尝试作辅助线把图形补全；根据矩形性质，DE=BC=4cm，已知条件中有30°角，它的对边是斜边的一半，故可求斜边AC=8，根据角平分线定义和平行线内错角相等的性质，等量代换得到AD=CD=8cm，至此整理思路，重新求证即可。
11．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，∴
由旋转的性质可得：，
∴，∴，∴平分
（2）解：过点作于点，
∵平分，，，∴，
∵，∴
∵，，
∴，
∴，即点是的中点，
连接，
∵是的中点，∴是的中位线，∴
∵四边形是矩形，∴，∴.
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和旋转的性质求证。先由矩形的性质和平行线的性质得到，根据旋转的性质得到，有，即可证得．
（2）根据矩形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形中位线的性质求解。过点作，连接，由平分，，，得，根据旋转的性质，有，证得，有点是的中点，结合点是的中点，则是的中位线，由于矩形得，即可求得答案．
12．【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，平分，
，
，
平行四边形是矩形
（2）解：如图，
四边形是平行四边形，
，，，，
，，
平分，
，
，
，
同理：，
，是等边三角形，
，
设，则，，
由（1）可知，，
的周长为，的周长为，，
∴
∴．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，再根据平行四边形性质，直线平行性质可得，再根据角平分线性质可得，则，由矩形的判定定理即可求出答案.
（2）根据平行四边形性质可得，，，，根据角平分线性质可饿的，则，同理AE=AB，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，设，则，，根据勾股定理可得，再根据三角形周长列出方程，解方程即可求出答案.
13．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD.
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，
即OE＝OF＝OG＝OH，
∴四边形EFGH是矩形．
（2）解：∵G是OC的中点，
∴GO＝GC.
又∵DG⊥AC，
∴CD＝OD
∵F是BO中点，OF＝2cm，
∴BO＝4cm.
∴DO＝BO＝4cm，
∴DC＝4cm，DB＝8cm，
∴CB＝＝4 (cm)，
∴矩形ABCD的面积为4×4＝16 (cm2)．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先根据矩形的性质得出 OA＝OB＝OC＝OD ，然后再根据等式的性质得出 OE＝OF＝OG＝OH， 进一步根据矩形的判定即可得出 四边形EFGH是矩形 ；
（2）首先根据垂直平分线的性质得出CD=OD，在根据矩形的性质得出OD=OB，即可得出CD=2OF=4cm，DB=8cm。进一步根据勾股定理可求得BC=4，根据矩形的面积计算公式，即可得出矩形ABCD的面积为16（ cm2)
14．【答案】（1）证明：于点，于点，
，
，，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
是矩形；
（2）解：，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】 (1) 通过角角边证明≌，得到，所以有，利用矩形的判定证明 是矩形；
(2)结合矩形的性质，利用勾股定理求出，进而得到BF的长.
15．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC且AD=BC，
∵BC=CE，
∴AD∥CE且AD=CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AC⊥BC，
∴∠ACE=90°，
∴平行四边形ACED是矩形.
（2）解：∵BC=3，AB=5，∠ACB=90，
∴AC=4．．
∴DE=AC=4．
∵BE=2BC=6，∠DEC=90°，
∴BD=
【知识点】勾股定理；矩形的判定
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质，结合BC=CE，求出AD∥CE且AD=CE，则可判定四边形ACED是平行四边形，结合∠ACE=90°，则可证明四边形ACED是矩形；
(2)利用(1) 的结果，根据勾股定理求出DE的长，在Rt△BED中，根据勾股定理求BD长即可.
16．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠BAF=∠CFA．
∵E为BC的中点，
∴BE=CE．
在△AEB和△FEC中，
，
∴△AEB≌△FEC（AAS）
∴AB=CF
（2）解：当BC=AF时，四边形ABFC是矩形，
理由：∵AB=CF，AB‖CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵BC=AF，
∴四边形ABFC是矩形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得出∠BAF=∠CFA，进而得出△AEB≌△FEC（AAS），求出答案；（2）首先得出四边形ABFC是平行四边形，进而得出答案．
1 / 1【提升卷】2024年浙教版数学八年级下册5.1 矩形
一、选择题
1．（2022·龙华模拟）如图，在矩形中，对角线与相交于点，已知，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形的对角线，相交于点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据题意先求出，再求出，最后计算求解即可。
2．（2023八下·大化期中）如图，在矩形中，平分交于点E，连接，若，则的长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．20
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD=6，∠B=90°，AD∥BC，
∵AE=10，∴BE==8，
∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，
∵AD∥BC，∴∠ADE=∠DEC，
∴∠DEC=∠CDE，
∴CE=CD=6，
∴AD=BC=8+6=14；
故答案为：B.
【分析】由矩形的性质可得AD=BC，AB=CD=6，∠B=90°，AD∥BC，利用勾股定理及平行的性质可得BE=8，∠ADE=∠DEC，由角平分线的定义可得∠ADE=∠CDE，即得∠DEC=∠CDE，根据等角对等边可得CE=CD=6，利用AD=BC=BE+CE即可求解.
3．（2023九上·深圳月考）在四边形ABCD中，，.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵不能判断四边形ABCD为矩形，则本项不符合题意；
B、∵
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵不能判断四边形ABCD为矩形，则本项不符合题意；
C、∵
∴
∵
∴
∴
∴AB的长为AD与BC间的距离，
∵
∴
∴
∴四边形ABCD为矩形，故本项符合题意；
D、∵
∴
∵
∴
∵
∴四边形ABCD为等腰梯形，故本项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据矩形的判定，逐项分析即可.
4．（2023九上·菏泽月考）如图所示，在正方形中，是对角线上一点，过作，，垂足分别为、，连接，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：连接PC，由题意可得：
AD=CD，∠ADP=∠CDP
在△APD和△CPD中
∴△APD≌△CPD（SAS）
∴AP=CP
∵∠DCB=90°，，
∴四边形PFCE是矩形
∴AP=CP=EF=5
故答案为：A
【分析】根据正方形性质和全等三角形判定定理可得△APD≌△CPD，则AP=CP，再根据矩形判定定理可得四边形PFCE是矩形，根据矩形对角线相等性质即可求出答案.
5．（2019九上·丹东期末）下列关于矩形的说法，正确的是（ ）．
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．矩形的对角线相等且互相平分
【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【分析】根据定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的性质：
1．矩形的四个角都是直角
2．矩形的对角线相等
3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等
4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线)．
5．对边平行且相等
6．对角线互相平分，对各个选项进行分析即可．
【解答】A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误；
B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误；
C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误；
D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确．
故选D．
【点评】本题主要考查学生对矩形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，都是一些基础知识，要求学生应熟练掌握．
二、填空题
6．（2023·河南）矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 ．
【答案】2或
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：①当∠MND=90°时，则MN⊥AD.
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=90°，
∴MN∥AB.
∵M为对角线BD的中点，
∴N为AD的中点，
∴AN=DN.
∵AN=AB=1，
∴AD=2AN=2.
②当∠NMD=90°时，则MN⊥BD.
∵M为对角线BD的中点，
∴BM=DM，
∴MN垂直平分BD，
∴BN=DN.
∵∠A=90°，AB=AN=1，
∴BN=，
∴AD=AN+DN=1+.
综上可得：AD的长为2或1+.
故答案为：2或1+.
【分析】①当∠MND=90°时，则MN⊥AD，由矩形的性质可得 ∠A=90°，则MN∥AB，结合M为对角线BD的中点可得N为AD的中点，据此求解；②当∠NMD=90°时，则MN⊥BD，易得MN垂直平分BD，则BN=DN，由勾股定理可得BN，然后根据AD=AN+DN进行计算.
7．（2021八下·上虞期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴∠ADC=90°，矩形的面积=6×8=48，AB=DC=6，AD=BC=8，
∴AO＝DO＝AC＝5，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴S△AOD的面积=S矩形ABCD=12，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE＋S△DOE，
∴12＝AO×EO＋DO×EF，
∴12＝×5×EO＋×5×EF，
∴5（EO＋EF）＝24，
∴EO＋EF＝.
故答案为：.
【分析】利用矩形的性质可求出矩形的面积及DC，AB的长，利用勾股定理求出AC的长，从而可求出DO，OA的长，同时求出△AOD的面积；再根据S△AOD＝S△AOE＋S△DOE，利用三角形的面积公式可求出EO+EF的值.
8．（2022·武威）如图，在四边形 中， ， ，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形 成为一个矩形，只需添加的一个条件是 .
【答案】∠A=90°（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】】解：需添加的一个条件是∠A=90°，理由如下：
∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠A=90°（答案不唯一）.
【分析】由已知条件可得四边形ABCD是平行四边形，然后结合矩形的判定定理进行解答.
9．（2022九上·温州期中）如图1是某学校食堂墙壁上“光盘行动，从我做起”的长方形宣传画，画的左侧为一个圆盘上摆放一双筷子，画的下边缘为水平线，图2是其示意图，水平线l上的点A在圆心O的正下方，筷子与右下方交于B，C两点，线段，分别垂直l于点D，E.测得，，则圆盘的半径为 .
【答案】25
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，过点O作OG⊥CE于点G，交BD于点F，
，
∵线段BD，CE分别垂直l于点D，E
∴，
∴，
∵水平线l上的点A在圆心O的正下方，
∴，
∴四边形AOFG、AOGE都是矩形，
∴，，，根据矩形的性质得AD=OF，AE=OG，OA=FD=GE，
∵，，
∴，，
设，则，，
在中，，
在中，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即圆盘的半径为.
故答案为：25.
【分析】连接OA，过点O作OG⊥CE于点G，交BD于点F，根据同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得BD∥CE，根据平行线的性质得OF⊥BD，易得四边形AOFG、AOGE都是矩形，根据矩形的性质得AD=OF，AE=OG，OA=FD=GE，设OA=xcm，则BF=（x-10）cm，CG=（x-15）cm，在Rt△BOF与Rt△COG中根据勾股定理分别表示出OB2与OC2，进而结合OB=OC，建立方程，求解可得x的值，从而得出BF的长，最后根据勾股定理算出BO的长即可.
10．（2023八上·海淀月考）如图，AC平分∠BAD，AB∥CD， BC=4， ∠BAD＝30°，∠B＝90° ，则CD的长为 ．
【答案】8
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过D作DEAB于E
AC平分∠BAD
故答案为：8
【分析】观察已知线段和所求线段，它们位于一个图形内，是矩形，因此尝试作辅助线把图形补全；根据矩形性质，DE=BC=4cm，已知条件中有30°角，它的对边是斜边的一半，故可求斜边AC=8，根据角平分线定义和平行线内错角相等的性质，等量代换得到AD=CD=8cm，至此整理思路，重新求证即可。
三、解答题
11．（2023九上·耿马期中）如图，将矩形绕点旋转得到矩形，点在上，连接.
（1）求证：平分；
（2）连接交于点，点是的中点，连接、，若，求的长.
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，∴
由旋转的性质可得：，
∴，∴，∴平分
（2）解：过点作于点，
∵平分，，，∴，
∵，∴
∵，，
∴，
∴，即点是的中点，
连接，
∵是的中点，∴是的中位线，∴
∵四边形是矩形，∴，∴.
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和旋转的性质求证。先由矩形的性质和平行线的性质得到，根据旋转的性质得到，有，即可证得．
（2）根据矩形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形中位线的性质求解。过点作，连接，由平分，，，得，根据旋转的性质，有，证得，有点是的中点，结合点是的中点，则是的中位线，由于矩形得，即可求得答案．
12．（2023九上·五华期中）如图，在 中，平分，平分，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若点恰好在上，且，设的周长为，的周长为，，求常数的值．
【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，平分，
，
，
平行四边形是矩形
（2）解：如图，
四边形是平行四边形，
，，，，
，，
平分，
，
，
，
同理：，
，是等边三角形，
，
设，则，，
由（1）可知，，
的周长为，的周长为，，
∴
∴．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，再根据平行四边形性质，直线平行性质可得，再根据角平分线性质可得，则，由矩形的判定定理即可求出答案.
（2）根据平行四边形性质可得，，，，根据角平分线性质可饿的，则，同理AE=AB，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，设，则，，根据勾股定理可得，再根据三角形周长列出方程，解方程即可求出答案.
13．（2023九上·兰州期中） 如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD.
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，
即OE＝OF＝OG＝OH，
∴四边形EFGH是矩形．
（2）解：∵G是OC的中点，
∴GO＝GC.
又∵DG⊥AC，
∴CD＝OD
∵F是BO中点，OF＝2cm，
∴BO＝4cm.
∴DO＝BO＝4cm，
∴DC＝4cm，DB＝8cm，
∴CB＝＝4 (cm)，
∴矩形ABCD的面积为4×4＝16 (cm2)．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先根据矩形的性质得出 OA＝OB＝OC＝OD ，然后再根据等式的性质得出 OE＝OF＝OG＝OH， 进一步根据矩形的判定即可得出 四边形EFGH是矩形 ；
（2）首先根据垂直平分线的性质得出CD=OD，在根据矩形的性质得出OD=OB，即可得出CD=2OF=4cm，DB=8cm。进一步根据勾股定理可求得BC=4，根据矩形的面积计算公式，即可得出矩形ABCD的面积为16（ cm2)
14．（2023九上·杭州开学考）如图，在 中，对角线，相交于点，于点，于点，．
（1）求证： 是矩形．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：于点，于点，
，
，，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
是矩形；
（2）解：，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】 (1) 通过角角边证明≌，得到，所以有，利用矩形的判定证明 是矩形；
(2)结合矩形的性质，利用勾股定理求出，进而得到BF的长.
四、综合题
15．（2022八下·新昌期末）如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，延长BC至点E，使BC=CE，连结DE．
（1）求证：四边形ACED是矩形．
（2）若BC=3，AB=5，求BD的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC且AD=BC，
∵BC=CE，
∴AD∥CE且AD=CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AC⊥BC，
∴∠ACE=90°，
∴平行四边形ACED是矩形.
（2）解：∵BC=3，AB=5，∠ACB=90，
∴AC=4．．
∴DE=AC=4．
∵BE=2BC=6，∠DEC=90°，
∴BD=
【知识点】勾股定理；矩形的判定
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质，结合BC=CE，求出AD∥CE且AD=CE，则可判定四边形ACED是平行四边形，结合∠ACE=90°，则可证明四边形ACED是矩形；
(2)利用(1) 的结果，根据勾股定理求出DE的长，在Rt△BED中，根据勾股定理求BD长即可.
16．如图，在 ABCD中，已知E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：AB=CF；
（2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠BAF=∠CFA．
∵E为BC的中点，
∴BE=CE．
在△AEB和△FEC中，
，
∴△AEB≌△FEC（AAS）
∴AB=CF
（2）解：当BC=AF时，四边形ABFC是矩形，
理由：∵AB=CF，AB‖CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵BC=AF，
∴四边形ABFC是矩形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得出∠BAF=∠CFA，进而得出△AEB≌△FEC（AAS），求出答案；（2）首先得出四边形ABFC是平行四边形，进而得出答案．
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