【基础卷】2024年浙教版数学八年级下册5.2 菱形
一、选择题
1．（2023八下·吉首期末）如图，菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，菱形的周长为24，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．12
【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵菱形的周长为24，
∴AD=6，AC⊥DB，
∵H为边中点，
∴HO=3，
故答案为：A
【分析】先根据菱形的性质结合题意得到AD=6，AC⊥DB，进而根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解。
2．（2023八下·杭州期中）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，
∴ 矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等.
故答案为：C.
【分析】观察四个选项，都是关于对角线方面的，于是找出菱形与矩形对角线方面的性质，再比较即可.
3．（2023八下·通榆期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC，故B正确，A、C、D错误。
故答案为：B.
【分析】菱形是特殊的平行四边形，由边和对角线所具有的性质可以判定，确定答案。
4．（2019八下·湖北期末）下列命题中，为假命题的是（ ）
A．两组邻边分别相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．四个角相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：两组邻边分别相等的四边形不一定是菱形，如AB=AD，CB=CD，但AB≠CB的四边形，故答案为：A中的命题是假命题，故答案为：A符合题意；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形是真命题，故答案为：B不符合题意；
四个角相等的四边形是矩形是真命题，故答案为：C不符合题意；
对角线相等的平行四边形是矩形是真命题，故答案为：D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】菱形的判定“四边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；一组邻边相等的平行四边形数菱形”；矩形的判定“四个角相等的四边形是矩形；三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且平分的四边形是矩形；”，根据判定定理即可判断求解.
5．（2023八下·榆树期末）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列判断正确的是（ ）
A．若，则四边形ABCD是菱形
B．若，则四边形ABCD是矩形
C．若，，则四边形ABCD是正方形
D．若，，则四边形ABCD是平行四边形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A： 若，则四边形ABCD不一定是菱形，A错误
B：若，则四边形ABCD不一定是矩形，B错误
C：若，，则四边形ABCD不一定是正方形，C错误
故答案为：D
【分析】根据平行四边形，菱形，矩形性质即可求出答案。
6．（2023八下·九龙期中）下列说法正确的是（ ）
A．邻边相等的平行四边形是矩形
B．矩形的对角线互相平分
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：A：邻边相等的平行四边形是菱形，A错误；
C：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C错误；
D： 一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，D错误；
故答案为：B
【分析】利用菱形性质，矩形性质，平行四边形的判定及可求出答案。
7．（2021八下·松山期中）如图△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE=4cm，那么四边形AEDF周长为（ ）
A．12cm B．16cm C．20cm D．22cm
【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA=∠FAD，
∵∠EAD=∠FAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴EA=ED，
∴平行四边形AEDF是菱形．
∴四边形AEDF周长为4AE=16cm．
故答案为：B.
【分析】根据题意可得出∠EAD=∠EDA，EA=ED，即可得出平行四边形AEDF是菱形．即可得出四边形AEDF周长。
二、填空题
8．（2023八下·东丽期末）菱形的对角线长分别为，，则菱形的面积为 ．
【答案】15
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵菱形ABCD的对角线的长分别为，，
∴菱形ABCD的面积=×AC×BD=，
故答案为：15.
【分析】利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可.
9．（2023八下·靖江期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且，，于点E，则 ．
【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，
∴AC⊥BD，，，
在中，根据勾股定理得，，
∵S菱形ABCD =AC×BD=BC×AE，
即S菱形ABCD =×6×8=5×AE，
∴AE=.
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质：对角线互相垂直平分，可求得OB，OC的值，再根据勾股定理求得菱形的边长，最后再根据菱形的面积获得等式，进而求出高AE的值.
10．（2023八下·绿园期末）取两根长度不等的细木条，让两个木棒的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线，当两根木棒之间的夹角等于时，得到的图形是 ．
【答案】菱形
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：依题意，该四边形的对角线互相平分且垂直，则得到的图形是菱形。
故答案为：菱形.
【分析】根据题意可得对角线互相平分且垂直，即可得出四边形为菱形
11．（2023八下·蒙城期末）平行四边形中，对角线与互相垂直，那么这个四边形的邻边 ．（填“相等”或“不相等”）．
【答案】相等
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：对角线互相垂直的平行四边形为菱形
则这个四边形为菱形，邻边相等。
故答案为：相等
【分析】根据菱形的判定定理及性质即可求出答案。
三、作图题
12．（2023八下·双鸭山期末）如图，在 ABCD中，已知.
（1）作的平分线交BC于点E，在AD上截取，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法.）
（2）直接写出四边形ABEF的形状.
【答案】（1）解：如图所示.
（2）解：四边形ABEF是菱形.
【知识点】菱形的判定；作图-角的平分线
【解析】【分析】 （1）先尺规作图作出∠BAD的角平分线，交BC于点E，然后在AD上截取AF=AB，连结EF.
（2）本题包含“双平等腰”模型，即发现包含AD∥BC，AE平分∠BAD的条件，则△ABE必为等腰三角形，理由如下：因为AD∥BC，所以∠FAE=∠BEA，因为AE平分∠BAD，所以∠BAE=∠BEA，等量代换得∠BAE=∠BEA，所以BA=BE.又因为BA=FA，所以FA=BE，因此根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，可得四边形ABEF为平行四边形，再结合BA=FA，该平行四边形即为菱形.
四、解答题
13．（2023八下·澄城期末）已知：如图，点F在ABC的边AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，AB＝AF．求证：四边形ABEF是菱形．
【答案】证明：∵EF∥AB，BE平行AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴ABEF是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABEF是平行四边形，进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形则可得出四边形ABEF是菱形.
14．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，过点C作CF∥BE交DE的延长线于F．求证：四边形BCFE是菱形.
【答案】解答：证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，BC＝2DE．∵CF∥BE，∴四边形BCFE是平行四边形，∵BE＝2DE，BC＝2DE，∴BE＝BC，∴平行四边形BCFE是菱形．
【知识点】菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】由题意易得，EF与BC平行且相等，故四边形BCFE是平行四边形．又邻边EF＝BE，则四边形BCFE是菱形．
五、综合题
15．（2023八下·义乌期末）如图，在中，已知，，与交于点，且．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由．
（2）若，且，，求的长．
【答案】（1）解：四边形是菱形；
，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是菱形
（2）解：菱形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
菱形，
，，
，
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和已知条件得到：，进而判断出四边形ENFM为平行四边形，再由对角线互相垂直的平行四边形为菱形，即可得证；
（2）由得到：，进而四边形ABNE为平行四边形，得到：，再由菱形的性质和勾股定理可求得：即可求出AB的长
16．（2023八下·舞阳期末）已知点、分别是平行四边形的边、的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求平行四边形的周长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
点、分别是平行四边形的边、的中点，
，，
，
又，四边形是平行四边形；
（2）解：，，是的中点．
，
四边形是平行四边形，
平行四边形是菱形，
平行四边形的周长．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，可得，，再根据线段中点的性质证明AF=CE，又AF∥CE，即可通过平行四边形的判定得出四边形AECF是平行四边形.
（2）因为点E是BC的中点，所以AE是直角三角形的中线，首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半计算出EC的长度，因为∠BAC=90°，连接EF，由题知BE=AF，BE∥CF，即可得四边形ABEF是平行四边形，所以AB∥EF，所以EF⊥AC，根据菱形的性质：菱形的对角线互相垂直且平分，可知平行四边形AECF是菱形，即可得出AE=CE；还可以利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到AE=CE.
1 / 1【基础卷】2024年浙教版数学八年级下册5.2 菱形
一、选择题
1．（2023八下·吉首期末）如图，菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，菱形的周长为24，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．12
2．（2023八下·杭州期中）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
3．（2023八下·通榆期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019八下·湖北期末）下列命题中，为假命题的是（ ）
A．两组邻边分别相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．四个角相等的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
5．（2023八下·榆树期末）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列判断正确的是（ ）
A．若，则四边形ABCD是菱形
B．若，则四边形ABCD是矩形
C．若，，则四边形ABCD是正方形
D．若，，则四边形ABCD是平行四边形
6．（2023八下·九龙期中）下列说法正确的是（ ）
A．邻边相等的平行四边形是矩形
B．矩形的对角线互相平分
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
7．（2021八下·松山期中）如图△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE=4cm，那么四边形AEDF周长为（ ）
A．12cm B．16cm C．20cm D．22cm
二、填空题
8．（2023八下·东丽期末）菱形的对角线长分别为，，则菱形的面积为 ．
9．（2023八下·靖江期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且，，于点E，则 ．
10．（2023八下·绿园期末）取两根长度不等的细木条，让两个木棒的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线，当两根木棒之间的夹角等于时，得到的图形是 ．
11．（2023八下·蒙城期末）平行四边形中，对角线与互相垂直，那么这个四边形的邻边 ．（填“相等”或“不相等”）．
三、作图题
12．（2023八下·双鸭山期末）如图，在 ABCD中，已知.
（1）作的平分线交BC于点E，在AD上截取，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法.）
（2）直接写出四边形ABEF的形状.
四、解答题
13．（2023八下·澄城期末）已知：如图，点F在ABC的边AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，AB＝AF．求证：四边形ABEF是菱形．
14．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，过点C作CF∥BE交DE的延长线于F．求证：四边形BCFE是菱形.
五、综合题
15．（2023八下·义乌期末）如图，在中，已知，，与交于点，且．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由．
（2）若，且，，求的长．
16．（2023八下·舞阳期末）已知点、分别是平行四边形的边、的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求平行四边形的周长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵菱形的周长为24，
∴AD=6，AC⊥DB，
∵H为边中点，
∴HO=3，
故答案为：A
【分析】先根据菱形的性质结合题意得到AD=6，AC⊥DB，进而根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解。
2．【答案】C
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，
∴ 矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等.
故答案为：C.
【分析】观察四个选项，都是关于对角线方面的，于是找出菱形与矩形对角线方面的性质，再比较即可.
3．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC，故B正确，A、C、D错误。
故答案为：B.
【分析】菱形是特殊的平行四边形，由边和对角线所具有的性质可以判定，确定答案。
4．【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：两组邻边分别相等的四边形不一定是菱形，如AB=AD，CB=CD，但AB≠CB的四边形，故答案为：A中的命题是假命题，故答案为：A符合题意；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形是真命题，故答案为：B不符合题意；
四个角相等的四边形是矩形是真命题，故答案为：C不符合题意；
对角线相等的平行四边形是矩形是真命题，故答案为：D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】菱形的判定“四边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；一组邻边相等的平行四边形数菱形”；矩形的判定“四个角相等的四边形是矩形；三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且平分的四边形是矩形；”，根据判定定理即可判断求解.
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A： 若，则四边形ABCD不一定是菱形，A错误
B：若，则四边形ABCD不一定是矩形，B错误
C：若，，则四边形ABCD不一定是正方形，C错误
故答案为：D
【分析】根据平行四边形，菱形，矩形性质即可求出答案。
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：A：邻边相等的平行四边形是菱形，A错误；
C：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C错误；
D： 一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，D错误；
故答案为：B
【分析】利用菱形性质，矩形性质，平行四边形的判定及可求出答案。
7．【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA=∠FAD，
∵∠EAD=∠FAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴EA=ED，
∴平行四边形AEDF是菱形．
∴四边形AEDF周长为4AE=16cm．
故答案为：B.
【分析】根据题意可得出∠EAD=∠EDA，EA=ED，即可得出平行四边形AEDF是菱形．即可得出四边形AEDF周长。
8．【答案】15
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵菱形ABCD的对角线的长分别为，，
∴菱形ABCD的面积=×AC×BD=，
故答案为：15.
【分析】利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可.
9．【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，
∴AC⊥BD，，，
在中，根据勾股定理得，，
∵S菱形ABCD =AC×BD=BC×AE，
即S菱形ABCD =×6×8=5×AE，
∴AE=.
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质：对角线互相垂直平分，可求得OB，OC的值，再根据勾股定理求得菱形的边长，最后再根据菱形的面积获得等式，进而求出高AE的值.
10．【答案】菱形
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：依题意，该四边形的对角线互相平分且垂直，则得到的图形是菱形。
故答案为：菱形.
【分析】根据题意可得对角线互相平分且垂直，即可得出四边形为菱形
11．【答案】相等
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：对角线互相垂直的平行四边形为菱形
则这个四边形为菱形，邻边相等。
故答案为：相等
【分析】根据菱形的判定定理及性质即可求出答案。
12．【答案】（1）解：如图所示.
（2）解：四边形ABEF是菱形.
【知识点】菱形的判定；作图-角的平分线
【解析】【分析】 （1）先尺规作图作出∠BAD的角平分线，交BC于点E，然后在AD上截取AF=AB，连结EF.
（2）本题包含“双平等腰”模型，即发现包含AD∥BC，AE平分∠BAD的条件，则△ABE必为等腰三角形，理由如下：因为AD∥BC，所以∠FAE=∠BEA，因为AE平分∠BAD，所以∠BAE=∠BEA，等量代换得∠BAE=∠BEA，所以BA=BE.又因为BA=FA，所以FA=BE，因此根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，可得四边形ABEF为平行四边形，再结合BA=FA，该平行四边形即为菱形.
13．【答案】证明：∵EF∥AB，BE平行AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴ABEF是菱形．
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABEF是平行四边形，进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形则可得出四边形ABEF是菱形.
14．【答案】解答：证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，BC＝2DE．∵CF∥BE，∴四边形BCFE是平行四边形，∵BE＝2DE，BC＝2DE，∴BE＝BC，∴平行四边形BCFE是菱形．
【知识点】菱形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】由题意易得，EF与BC平行且相等，故四边形BCFE是平行四边形．又邻边EF＝BE，则四边形BCFE是菱形．
15．【答案】（1）解：四边形是菱形；
，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是菱形
（2）解：菱形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
菱形，
，，
，
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和已知条件得到：，进而判断出四边形ENFM为平行四边形，再由对角线互相垂直的平行四边形为菱形，即可得证；
（2）由得到：，进而四边形ABNE为平行四边形，得到：，再由菱形的性质和勾股定理可求得：即可求出AB的长
16．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
点、分别是平行四边形的边、的中点，
，，
，
又，四边形是平行四边形；
（2）解：，，是的中点．
，
四边形是平行四边形，
平行四边形是菱形，
平行四边形的周长．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，可得，，再根据线段中点的性质证明AF=CE，又AF∥CE，即可通过平行四边形的判定得出四边形AECF是平行四边形.
（2）因为点E是BC的中点，所以AE是直角三角形的中线，首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半计算出EC的长度，因为∠BAC=90°，连接EF，由题知BE=AF，BE∥CF，即可得四边形ABEF是平行四边形，所以AB∥EF，所以EF⊥AC，根据菱形的性质：菱形的对角线互相垂直且平分，可知平行四边形AECF是菱形，即可得出AE=CE；还可以利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到AE=CE.
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