【提升卷】2024年浙教版数学八年级下册5.2 菱形
一、选择题
1．（2019·泸州）一个菱形的边长为 ，面积为 ，则该菱形的两条对角线的长度之和为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·宁波模拟）菱形的两条对角线的长分别为10和24，则边的长为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．17
3．（2023九上·长安期中） ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AC＝BD B．AC⊥BD
C．∠ACD＝∠ACB D．BC＝CD
4．（2023九上·绥化期中）如图，在中，是边上的点（与两点不重合），过点作，分别交于两点，下列说法正确的是（ ）
A．若，则四边形是矩形
B．若垂直平分，则四边形是矩形
C．若，则四边形是菱形
D．若平分，则四边形是萎形
5．（2023九上·灵石月考）如图，在中，点、、分别在边、、上，且，下列四种说法，其中正确的有个（ ）
四边形是平行四边形；如果，则四边形是矩形；如果平分，则四边形是菱形；如果且，则四边形是菱形。
A． B． C． D．
6．（2023九上·深圳月考）如图，在中，点D是边BC上的点（与B、C两点不重合），过点D作，，分别交AB、AC于E、F两点，下列说法正确的是（ ）
A．若AD平分，则四边形AEDF是菱形
B．若，则四边形AEDF是菱形
C．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
D．若，则四边形AEDF是矩形
7．（2023八上·宣城期中）在平面直角坐标系中，已知A，B，C，D四点的坐标依次为，，，，若一次函数（）图象将四边形的面积分成1∶3两部分，则m的值为（ ）
A．-4 B．，-4 C． D．，-5
8．（2023九上·宿州月考）如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；再分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；再连接AC，BC，AB，OC．若AB＝10，OA＝13．则四边形AOCB的面积是（ ）
A．65 B．120 C．130 D．240
二、填空题
9．菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣14x+48=0的两实根，则菱形的面积为 ．
10．（2023九上·成都期中）如图，已知线段AB＝8，分别以A，B为圆心，大于AB为半径画弧交于点P，Q，作直线PQ，连接PA，PB，QA，QB．若AP＝5，则四边形APBQ的面积为 ．
三、作图题
11．（2022·宁波）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，分别按要求画出图形．
（1）在图1中画出等腰三角形ABC，且点C在格点上．(画出一个即可)
（2）在图2中画出以AB为边的菱形ABDE，且点D，E均在格点上．
四、解答题
12．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=DF，连结AE，AF，求证：AE=AF.
13．（2023九上·长沙期中）如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交，于点，，连接、.
（1）求证：≌；
（2）若求四边形的周长．
14．（2023九上·福田开学考）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】如图所示：
四边形 是菱形，
， ， ，
面积为 ，
①
菱形的边长为 ，
②，
由①②两式可得： ，
，
，
即该菱形的两条对角线的长度之和为 ，
故答案为：C．
【分析】根据菱形的面积=对角线乘积的一半=底×高，可得2OD·OA=28.利用菱形的性质及勾股定理可得OD2+OA2=36，从而求出OD+OA的长，继而求出菱形的两条对角线的长度之和.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵菱形对角线互相垂直平分，
∴△AOB为直角三角形，且AC=2AO，BD=2BO，
又AC=10，BD=24，
∴AO=5，BO=12，
∴．
故答案为：C.
【分析】画出示意图，根据菱形的性质可得△AOB为直角三角形，且AC=2AO，BD=2BO，结合AC、BD的值可得AO=5，BO=12，然后根据勾股定理进行计算.
3．【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A．，对角线相等，能判断平行四边形ABCD是矩形，不能判断四边形ABCD是菱形，符合题意
B．，对角线互相垂直，能判断平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
C．，对角线平分一组对角 ，能判断平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
D．，一组邻边相等，能判断平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的条件加上对角线互相垂直，或者一组邻边相等，或者对角线平分一组对角即可得到四边形为菱形，即可求解．
4．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、若，则四边形是平行四边形，不一定为矩形，则本项不符合题意；
B、若垂直平分，则四边形是菱形，不是矩形，则本项不符合题意；
C、若，则四边形是平行四边形，不一定为矩形，则本项不符合题意；
D、若平分，则四边形是萎形，则本项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据矩形的判定定理和菱形的判定定理，逐项判断即可.
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵ DE∥CA，DF∥BA，
∴ 四边形AEDF为平行四边形···正确；
∵ 若∠BAC=90°，
∴ 四边形AEDF为矩形··· 正确；
∵ 若AD平分∠BAC
∴ ∠EAD=∠FAD=∠FDA
∴ AF=DF
∴ 四边形AEDF为菱形··· 正确；
∵ 若AD⊥BC，AB=AC
∴ AD平分∠BAC
∴∴ ∠EAD=∠FAD=∠FDA
∴ AF=DF
∴ 四边形AEDF为菱形··· 正确；
则正确的有4个
故答案为：D.
【分析】本题考查平行四边形、菱形、矩形的判定和等腰三角形的三线合一性质。熟悉运用其判定方法和性质是解题关键。四边形ABCD是平行四边形时，若有一组对边相等，则为菱形，若有一个角为90°，则为矩形。
6．【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵
∴四边形AEDF为平行四边形，
∵AD平分则四边形AEDF为菱形，则本项符合题意；
B、无法判断四边形AEDF为菱形，则本项不符合题意；
C、AD垂直平分BC，无法判断四边形AEDF为矩形，则本项不符合题意；
D、无法判断四边形AEDF为矩形，则本项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据矩形和菱形的判定定理，即可求解.
7．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；菱形的判定与性质
【解析】【解答】∵A，B，C，D四点的坐标依次为，，，，
∴AB=BC=CD=AD=，
∴四边形ABCD是菱形，
∵一次函数的解析式为，
∴一次函数经过定点B（6，2），
∵一次函数（）图象将四边形的面积分成1∶3两部分，
∴一次函数的图象经过AD的中点M（1，3）或经过CD的中点N（5，7），如图所示：
∴m-6m+2=3或5m-6m+2=7，
解得：m=或m-5，
故答案为：D.
【分析】先证出四边形ABCD是菱形，再求出一次函数经过定点B（6，2），再结合一次函数（）图象将四边形的面积分成1∶3两部分，可得一次函数的图象经过AD的中点M（1，3）或经过CD的中点N（5，7），再列出方程m-6m+2=3或5m-6m+2=7，再求出m的值即可.
8．【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据作图，AC=BC=OA，
∵OA=OB，
∴OA=OB=BC=AC，
∴四边形OACB是菱形，
∵ 菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角，
又∵AB＝10，OA＝13
设AB，OC交点是D，
∴AD=AB=5，
在RtAOD中，OD==12，
∴OC=2OD=24，
∴四边形AOCB的面积=AB×OC=×10×24=120.
故答案为：B.
【分析】 根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形对角线的性质，利用勾股定理，求得OC的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
9．【答案】24
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；菱形的性质
【解析】【解答】解：x2﹣14x+48=0
x=6或x=8．
所以菱形的面积为：（6×8）÷2=24．
菱形的面积为：24．
故答案为：24．
【分析】先解出方程的解，根据菱形面积为对角线乘积的一半，可求出结果．
10．【答案】24
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】由题意可得 四边形APBQ 为菱形，
AB⊥PQ，
AB＝8，AP＝5，
菱形APBQ的面积为
【分析】根据画图可得四边形APBQ为菱形，利用菱形的性质和勾股定理求得PQ的值，再利用菱形的面积公式即可求解.
11．【答案】（1）解：答案不唯一。
（2）解：如图
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【分析】(1)以AB为腰或以AB为底，根据等腰三角形的性质，找出C点的位置，再连线即可；
(2)根据菱形四边相等的性质，找出点D和点E的位置，再连线即可.
12．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴ .
∵
∴
∴
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据菱形的性质得出AB=AD，∠B=∠D，结合BE=DF，然后利用SAS证明△ABE∽△ADF，则可得出AE=AF.
13．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∵点O是BD的中点，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：由（1）已证，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，即，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵，
∴四边形EBFD是菱形．
设，则
在中，，则
∴四边形EBFD的周长为．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质和线段中点的性质得到 ，， 结合 ， 即可求证 ；
（2）由（1）可得 ， 利用矩形的性质和 ， 证明 四边形EBFD是菱形，设，则 ，利用勾股定理得到关于x的方程，解方程即可求解.
14．【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝，OB＝OD＝，
∴OB＝＝3，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
∴OA＝，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，O为AC中点，
∴OE==OA＝4．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】(1) 先判断出∠OAB=∠DCA，进而判断出∠DAC=∠DCA，得出CD=AD=AB，即可得出结论；
(2) 先判断出OE=OA=OC，再求出OB=3，利用勾股定理求出OA，即可得出结论.
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一、选择题
1．（2019·泸州）一个菱形的边长为 ，面积为 ，则该菱形的两条对角线的长度之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】如图所示：
四边形 是菱形，
， ， ，
面积为 ，
①
菱形的边长为 ，
②，
由①②两式可得： ，
，
，
即该菱形的两条对角线的长度之和为 ，
故答案为：C．
【分析】根据菱形的面积=对角线乘积的一半=底×高，可得2OD·OA=28.利用菱形的性质及勾股定理可得OD2+OA2=36，从而求出OD+OA的长，继而求出菱形的两条对角线的长度之和.
2．（2022·宁波模拟）菱形的两条对角线的长分别为10和24，则边的长为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．17
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵菱形对角线互相垂直平分，
∴△AOB为直角三角形，且AC=2AO，BD=2BO，
又AC=10，BD=24，
∴AO=5，BO=12，
∴．
故答案为：C.
【分析】画出示意图，根据菱形的性质可得△AOB为直角三角形，且AC=2AO，BD=2BO，结合AC、BD的值可得AO=5，BO=12，然后根据勾股定理进行计算.
3．（2023九上·长安期中） ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AC＝BD B．AC⊥BD
C．∠ACD＝∠ACB D．BC＝CD
【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A．，对角线相等，能判断平行四边形ABCD是矩形，不能判断四边形ABCD是菱形，符合题意
B．，对角线互相垂直，能判断平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
C．，对角线平分一组对角 ，能判断平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
D．，一组邻边相等，能判断平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的条件加上对角线互相垂直，或者一组邻边相等，或者对角线平分一组对角即可得到四边形为菱形，即可求解．
4．（2023九上·绥化期中）如图，在中，是边上的点（与两点不重合），过点作，分别交于两点，下列说法正确的是（ ）
A．若，则四边形是矩形
B．若垂直平分，则四边形是矩形
C．若，则四边形是菱形
D．若平分，则四边形是萎形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、若，则四边形是平行四边形，不一定为矩形，则本项不符合题意；
B、若垂直平分，则四边形是菱形，不是矩形，则本项不符合题意；
C、若，则四边形是平行四边形，不一定为矩形，则本项不符合题意；
D、若平分，则四边形是萎形，则本项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据矩形的判定定理和菱形的判定定理，逐项判断即可.
5．（2023九上·灵石月考）如图，在中，点、、分别在边、、上，且，下列四种说法，其中正确的有个（ ）
四边形是平行四边形；如果，则四边形是矩形；如果平分，则四边形是菱形；如果且，则四边形是菱形。
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵ DE∥CA，DF∥BA，
∴ 四边形AEDF为平行四边形···正确；
∵ 若∠BAC=90°，
∴ 四边形AEDF为矩形··· 正确；
∵ 若AD平分∠BAC
∴ ∠EAD=∠FAD=∠FDA
∴ AF=DF
∴ 四边形AEDF为菱形··· 正确；
∵ 若AD⊥BC，AB=AC
∴ AD平分∠BAC
∴∴ ∠EAD=∠FAD=∠FDA
∴ AF=DF
∴ 四边形AEDF为菱形··· 正确；
则正确的有4个
故答案为：D.
【分析】本题考查平行四边形、菱形、矩形的判定和等腰三角形的三线合一性质。熟悉运用其判定方法和性质是解题关键。四边形ABCD是平行四边形时，若有一组对边相等，则为菱形，若有一个角为90°，则为矩形。
6．（2023九上·深圳月考）如图，在中，点D是边BC上的点（与B、C两点不重合），过点D作，，分别交AB、AC于E、F两点，下列说法正确的是（ ）
A．若AD平分，则四边形AEDF是菱形
B．若，则四边形AEDF是菱形
C．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
D．若，则四边形AEDF是矩形
【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵
∴四边形AEDF为平行四边形，
∵AD平分则四边形AEDF为菱形，则本项符合题意；
B、无法判断四边形AEDF为菱形，则本项不符合题意；
C、AD垂直平分BC，无法判断四边形AEDF为矩形，则本项不符合题意；
D、无法判断四边形AEDF为矩形，则本项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据矩形和菱形的判定定理，即可求解.
7．（2023八上·宣城期中）在平面直角坐标系中，已知A，B，C，D四点的坐标依次为，，，，若一次函数（）图象将四边形的面积分成1∶3两部分，则m的值为（ ）
A．-4 B．，-4 C． D．，-5
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；菱形的判定与性质
【解析】【解答】∵A，B，C，D四点的坐标依次为，，，，
∴AB=BC=CD=AD=，
∴四边形ABCD是菱形，
∵一次函数的解析式为，
∴一次函数经过定点B（6，2），
∵一次函数（）图象将四边形的面积分成1∶3两部分，
∴一次函数的图象经过AD的中点M（1，3）或经过CD的中点N（5，7），如图所示：
∴m-6m+2=3或5m-6m+2=7，
解得：m=或m-5，
故答案为：D.
【分析】先证出四边形ABCD是菱形，再求出一次函数经过定点B（6，2），再结合一次函数（）图象将四边形的面积分成1∶3两部分，可得一次函数的图象经过AD的中点M（1，3）或经过CD的中点N（5，7），再列出方程m-6m+2=3或5m-6m+2=7，再求出m的值即可.
8．（2023九上·宿州月考）如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；再分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；再连接AC，BC，AB，OC．若AB＝10，OA＝13．则四边形AOCB的面积是（ ）
A．65 B．120 C．130 D．240
【答案】B
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据作图，AC=BC=OA，
∵OA=OB，
∴OA=OB=BC=AC，
∴四边形OACB是菱形，
∵ 菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角，
又∵AB＝10，OA＝13
设AB，OC交点是D，
∴AD=AB=5，
在RtAOD中，OD==12，
∴OC=2OD=24，
∴四边形AOCB的面积=AB×OC=×10×24=120.
故答案为：B.
【分析】 根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形对角线的性质，利用勾股定理，求得OC的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
二、填空题
9．菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣14x+48=0的两实根，则菱形的面积为 ．
【答案】24
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；菱形的性质
【解析】【解答】解：x2﹣14x+48=0
x=6或x=8．
所以菱形的面积为：（6×8）÷2=24．
菱形的面积为：24．
故答案为：24．
【分析】先解出方程的解，根据菱形面积为对角线乘积的一半，可求出结果．
10．（2023九上·成都期中）如图，已知线段AB＝8，分别以A，B为圆心，大于AB为半径画弧交于点P，Q，作直线PQ，连接PA，PB，QA，QB．若AP＝5，则四边形APBQ的面积为 ．
【答案】24
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】由题意可得 四边形APBQ 为菱形，
AB⊥PQ，
AB＝8，AP＝5，
菱形APBQ的面积为
【分析】根据画图可得四边形APBQ为菱形，利用菱形的性质和勾股定理求得PQ的值，再利用菱形的面积公式即可求解.
三、作图题
11．（2022·宁波）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，分别按要求画出图形．
（1）在图1中画出等腰三角形ABC，且点C在格点上．(画出一个即可)
（2）在图2中画出以AB为边的菱形ABDE，且点D，E均在格点上．
【答案】（1）解：答案不唯一。
（2）解：如图
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【分析】(1)以AB为腰或以AB为底，根据等腰三角形的性质，找出C点的位置，再连线即可；
(2)根据菱形四边相等的性质，找出点D和点E的位置，再连线即可.
四、解答题
12．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=DF，连结AE，AF，求证：AE=AF.
【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴ .
∵
∴
∴
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】根据菱形的性质得出AB=AD，∠B=∠D，结合BE=DF，然后利用SAS证明△ABE∽△ADF，则可得出AE=AF.
13．（2023九上·长沙期中）如图，矩形中，过对角线的中点作的垂线，分别交，于点，，连接、.
（1）求证：≌；
（2）若求四边形的周长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∵点O是BD的中点，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：由（1）已证，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，即，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵，
∴四边形EBFD是菱形．
设，则
在中，，则
∴四边形EBFD的周长为．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用矩形的性质和线段中点的性质得到 ，， 结合 ， 即可求证 ；
（2）由（1）可得 ， 利用矩形的性质和 ， 证明 四边形EBFD是菱形，设，则 ，利用勾股定理得到关于x的方程，解方程即可求解.
14．（2023九上·福田开学考）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长．
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝，OB＝OD＝，
∴OB＝＝3，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
∴OA＝，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，O为AC中点，
∴OE==OA＝4．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】(1) 先判断出∠OAB=∠DCA，进而判断出∠DAC=∠DCA，得出CD=AD=AB，即可得出结论；
(2) 先判断出OE=OA=OC，再求出OB=3，利用勾股定理求出OA，即可得出结论.
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