【基础卷】2024年浙教版数学八年级下册5.3 正方形
一、选择题
1．（2023八下·荆门期末）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质：对边平行且相等，两组对角大小相等，相邻的两个角互补，对角线互相平分；矩形的性质：对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等，对角线互相平分；菱形的性质：对角线互相垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角，四条边都相等，对角相等，邻角互补；正方形的性质：两组对边分别平行，两组对边分别相等，四条边都相等，四个角也分别相等，对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；即可得出答案.
2．（2023八下·铁东期末）如图，正方形中，以对角线为一边作菱形，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形
∴∠CAB=45°
∵ 四边形CAEF为菱形
∴ ∠FAB=∠CAF=
∴ ∠FAB=22.5°
故答案为：A.
【分析】本题考查正方形、菱形性质——对角线平分对角。熟悉其性质是解题关键。
3．（2020八下·扬州期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是 （ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．四个角都是直角
【答案】A
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：正方形四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；矩形四个角都是直角，对角线互相平分且相等，所以只有A正确.
故答案为：A.
【分析】根据正方形，矩形的四个角都是直角，正方形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不互相垂直，据此判断即可.
4．（2023八下·晋安期末）下列命题正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．有一个角是直角的平行四边形是正方形
D．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、 一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故此选项不正确，不符合题意；
B、 对角线相等的平行四边形才是矩形，故此选项不正确，不符合题意；
C、 有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项不正确，不符合题意；
D、 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，据此可判断A选项；对角线相等的平行四边形是矩形，据此可判断B选项；有一个角是直角的平行四边形是矩形，据此可判断C选项；有一组邻边相等的平行四边形是菱形，据此可判断D选项.
5．（2023八下·江夏期中）下列四个命题：①平行四边形的两组对角分别相等；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；③矩形是轴对称图形；④对角线相等的菱形是正方形；其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：由题意知，平行四边形的两组对角分别相等是真命题，故①符合要求；
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形是真命题；故②符合要求；
矩形是轴对称图形是真命题；故③符合要求；
对角线相等的菱形是正方形是真命题；故④符合要求；
∴真命题有4个，
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质可知平行四边形的两组对角分别相等，据此判断①；由菱形的判定方法可知对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，据此判断②；由矩形的性质可知矩形是轴对称图形，据此判断③；由正方形的判定方法可知对角线相等的菱形是正方形，据此可判断④.
6．（2020八下·木兰期中）顺次连接四边形各边中点所构成的四边形是正方形，则原四边形可能是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】D
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】∵新四边形是正方形，且正方形各边相等，各角都是90°，
又∵新四边形的各边都平行于原四边形对角线且等于原四边形对角线的一半，
∴原四边形的对角线应相等且垂直，
∴满足条件的原四边形可能是正方形，
故答案为：D．
【分析】根据三角形中位线定理与正方形的性质得出原四边形的对角线应相等且垂直，据此进行判断．
7．下列说法不正确的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
【答案】D
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】当一个四边形既是菱形又是矩形时，它就是正方形.
故答案为：D.
【分析】有一个角是直角的平行四边形可以是矩形.
8．（2023八下·锡山期末）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四个角都是直角 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
【答案】C
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形和矩形都是特殊的平行四边形，
∴正方形和矩形都具有所有平行四边形的性质，
∵正方形的对角线相等且互相垂直平分，矩形的对角线只是相等且互相平分，
∴正方形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直.
故答案为：C.
【分析】根据正方形和矩形的性质分析即可判断求解.
9．（2023八下·永吉期末）如图，在正方形ABCD中，对角线AC的长为4，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AC=4，
∴AC=BD=4，
∴正方形ABCD的面积为：，
故答案为：8.
【分析】根据正方形的性质先求出AC=BD=4，再利用正方形的面积公式计算求解即可。
二、填空题
10．（2023八下·乾安期末）如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是 ．（只填一个条件即可，答案不唯一）
【答案】∠BAD＝90°或AC＝BD．
【知识点】菱形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：根据题意，添加一个对角线相等或者有一个角是直角，可以使菱形ABCD成为正方形，
即∠BAD＝90°或AC＝BD．
故答案为：∠BAD＝90°或AC＝BD．.
【分析】根据菱形的性质，添加一个对角线相等或者有一个角是直角，即可求解．
11．（2023八下·花都期末）如图，四边形是菱形，对角线与相交于点O，请添加条件 ，使得菱形为正方形．（只能添加一个条件）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】菱形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：菱形构造成正方形，只需要添加“一个内角为90°”，或“对角线相等”即可.
故答案为：∠ABC=90°，或∠BCD=90°，或∠CDA=90°，或∠DAB=90°，或AC=BD.
【分析】正方形的判定方法中，由菱形构造的方法有两种：（1）有一个内角为90度的菱形为正方形；（2）对角线相等的菱形为正方形.
12．（2023八下·上虞期末）如图，由菱形通过添加一个合适的条件得到正方形．你所添加的一个条件是 ．
【答案】有一个内角为90度，答案不唯一
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：有一个内角为90°的菱形为正方形.
故答案为：有一个内角为90°.
【分析】正方形的判定定理：有一个角是直角的菱形是正方形；
一组邻边相等的矩形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形；
四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形；
一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
四边均相等，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
13．（2023八下·永吉期末）如图，图中的三角形为直角三角形，已知正方形A和正方形B的面积分别为25和9，则正方形C的面积为 ．
【答案】34
【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形A和正方形B的面积分别为25和9，
∴正方形C的面积为25+9=34，
故答案为：34.
【分析】根据正方形的面积，利用勾股定理计算求解即可。
14．（2023八下·灌南期中）如图，以正方形的对角线为一边作菱形，点F在的延长线上，连接交于点G，则 ．
【答案】67.5°
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=45°，∠ABC=90°，
∵四边形AEFC是菱形，
∴∠FAB=∠BAC=22.5°，
∴∠AGB=180°-∠ABC-∠FAB=67.5°.
故答案为：67.5°.
【分析】由正方形的性质得∠CAB=45°，∠ABC=90°，由菱形的性质得∠FAB=∠BAC=22.5°，然后根据三角形的内角和定理计算即可.
三、解答题
15．（2023八下·双辽期末）已知：如图，E，F是正方形的对角线上的两点，且．求证：四边形是菱形．
【答案】证明：连接BD交AC于点O，
∵ABCD是正方形，
∴AP=CO，BO=DO，AC⊥BD，
∴OF=OE，
∴四边形DEBF是菱形．
【知识点】菱形的判定；正方形的性质
【解析】【分析】连接BD交AC于点O，先根据正方形的性质得到AP=CO，BO=DO，AC⊥BD，进而结合题意运用菱形的判定即可求解。
1 / 1【基础卷】2024年浙教版数学八年级下册5.3 正方形
一、选择题
1．（2023八下·荆门期末）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等
2．（2023八下·铁东期末）如图，正方形中，以对角线为一边作菱形，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2020八下·扬州期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是 （ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．四个角都是直角
4．（2023八下·晋安期末）下列命题正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．有一个角是直角的平行四边形是正方形
D．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
5．（2023八下·江夏期中）下列四个命题：①平行四边形的两组对角分别相等；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；③矩形是轴对称图形；④对角线相等的菱形是正方形；其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2020八下·木兰期中）顺次连接四边形各边中点所构成的四边形是正方形，则原四边形可能是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
7．下列说法不正确的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
8．（2023八下·锡山期末）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四个角都是直角 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
9．（2023八下·永吉期末）如图，在正方形ABCD中，对角线AC的长为4，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
二、填空题
10．（2023八下·乾安期末）如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是 ．（只填一个条件即可，答案不唯一）
11．（2023八下·花都期末）如图，四边形是菱形，对角线与相交于点O，请添加条件 ，使得菱形为正方形．（只能添加一个条件）
12．（2023八下·上虞期末）如图，由菱形通过添加一个合适的条件得到正方形．你所添加的一个条件是 ．
13．（2023八下·永吉期末）如图，图中的三角形为直角三角形，已知正方形A和正方形B的面积分别为25和9，则正方形C的面积为 ．
14．（2023八下·灌南期中）如图，以正方形的对角线为一边作菱形，点F在的延长线上，连接交于点G，则 ．
三、解答题
15．（2023八下·双辽期末）已知：如图，E，F是正方形的对角线上的两点，且．求证：四边形是菱形．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质：对边平行且相等，两组对角大小相等，相邻的两个角互补，对角线互相平分；矩形的性质：对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等，对角线互相平分；菱形的性质：对角线互相垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角，四条边都相等，对角相等，邻角互补；正方形的性质：两组对边分别平行，两组对边分别相等，四条边都相等，四个角也分别相等，对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形
∴∠CAB=45°
∵ 四边形CAEF为菱形
∴ ∠FAB=∠CAF=
∴ ∠FAB=22.5°
故答案为：A.
【分析】本题考查正方形、菱形性质——对角线平分对角。熟悉其性质是解题关键。
3．【答案】A
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：正方形四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；矩形四个角都是直角，对角线互相平分且相等，所以只有A正确.
故答案为：A.
【分析】根据正方形，矩形的四个角都是直角，正方形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不互相垂直，据此判断即可.
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、 一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故此选项不正确，不符合题意；
B、 对角线相等的平行四边形才是矩形，故此选项不正确，不符合题意；
C、 有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项不正确，不符合题意；
D、 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，据此可判断A选项；对角线相等的平行四边形是矩形，据此可判断B选项；有一个角是直角的平行四边形是矩形，据此可判断C选项；有一组邻边相等的平行四边形是菱形，据此可判断D选项.
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：由题意知，平行四边形的两组对角分别相等是真命题，故①符合要求；
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形是真命题；故②符合要求；
矩形是轴对称图形是真命题；故③符合要求；
对角线相等的菱形是正方形是真命题；故④符合要求；
∴真命题有4个，
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质可知平行四边形的两组对角分别相等，据此判断①；由菱形的判定方法可知对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，据此判断②；由矩形的性质可知矩形是轴对称图形，据此判断③；由正方形的判定方法可知对角线相等的菱形是正方形，据此可判断④.
6．【答案】D
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】∵新四边形是正方形，且正方形各边相等，各角都是90°，
又∵新四边形的各边都平行于原四边形对角线且等于原四边形对角线的一半，
∴原四边形的对角线应相等且垂直，
∴满足条件的原四边形可能是正方形，
故答案为：D．
【分析】根据三角形中位线定理与正方形的性质得出原四边形的对角线应相等且垂直，据此进行判断．
7．【答案】D
【知识点】正方形的判定与性质
【解析】【解答】当一个四边形既是菱形又是矩形时，它就是正方形.
故答案为：D.
【分析】有一个角是直角的平行四边形可以是矩形.
8．【答案】C
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形和矩形都是特殊的平行四边形，
∴正方形和矩形都具有所有平行四边形的性质，
∵正方形的对角线相等且互相垂直平分，矩形的对角线只是相等且互相平分，
∴正方形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直.
故答案为：C.
【分析】根据正方形和矩形的性质分析即可判断求解.
9．【答案】B
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AC=4，
∴AC=BD=4，
∴正方形ABCD的面积为：，
故答案为：8.
【分析】根据正方形的性质先求出AC=BD=4，再利用正方形的面积公式计算求解即可。
10．【答案】∠BAD＝90°或AC＝BD．
【知识点】菱形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：根据题意，添加一个对角线相等或者有一个角是直角，可以使菱形ABCD成为正方形，
即∠BAD＝90°或AC＝BD．
故答案为：∠BAD＝90°或AC＝BD．.
【分析】根据菱形的性质，添加一个对角线相等或者有一个角是直角，即可求解．
11．【答案】（答案不唯一）
【知识点】菱形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：菱形构造成正方形，只需要添加“一个内角为90°”，或“对角线相等”即可.
故答案为：∠ABC=90°，或∠BCD=90°，或∠CDA=90°，或∠DAB=90°，或AC=BD.
【分析】正方形的判定方法中，由菱形构造的方法有两种：（1）有一个内角为90度的菱形为正方形；（2）对角线相等的菱形为正方形.
12．【答案】有一个内角为90度，答案不唯一
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：有一个内角为90°的菱形为正方形.
故答案为：有一个内角为90°.
【分析】正方形的判定定理：有一个角是直角的菱形是正方形；
一组邻边相等的矩形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形；
四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形；
一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
四边均相等，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
13．【答案】34
【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形A和正方形B的面积分别为25和9，
∴正方形C的面积为25+9=34，
故答案为：34.
【分析】根据正方形的面积，利用勾股定理计算求解即可。
14．【答案】67.5°
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=45°，∠ABC=90°，
∵四边形AEFC是菱形，
∴∠FAB=∠BAC=22.5°，
∴∠AGB=180°-∠ABC-∠FAB=67.5°.
故答案为：67.5°.
【分析】由正方形的性质得∠CAB=45°，∠ABC=90°，由菱形的性质得∠FAB=∠BAC=22.5°，然后根据三角形的内角和定理计算即可.
15．【答案】证明：连接BD交AC于点O，
∵ABCD是正方形，
∴AP=CO，BO=DO，AC⊥BD，
∴OF=OE，
∴四边形DEBF是菱形．
【知识点】菱形的判定；正方形的性质
【解析】【分析】连接BD交AC于点O，先根据正方形的性质得到AP=CO，BO=DO，AC⊥BD，进而结合题意运用菱形的判定即可求解。
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