【提升卷】2024年浙教版数学八年级下册5.3 正方形
一、选择题
1．（2017八下·港南期中）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等
2．（2023九上·南明期中）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是 （ ）
A．2.5 B． C． D．2
3．（2023九上·成都期中）下列说法正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
4．（2022九上·武侯期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，下列说法错误的是 （ ）
A．若AC⊥BD，四边形ABCD是菱形
B．若AC＝BD，四边形ABCD是矩形
C．若AC⊥BD且AC＝BD，四边形ABCD是正方形
D．若∠ABC＝90°，四边形ABCD是正方形
5．（2023九上·龙岗期中）下列命题中，真命题是（ ）．
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
6．（2023九上·宿州月考）有下列命题：
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线垂直且相等的四边形是正方形；④四边相等的四边形是菱形．其中，真命题有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023九上·太原月考）如图、正方形ABCD的边长为4，G是对角线BD上一动点，于点E，于点F，连接EF，给出四种情况：
①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；
②若G为BD上任意一点，则；
③点G在运动过程中，的值为定值4；
④点G在运动过程中，线段EF的最小值为．
正确的有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
8．（2023九上·永春开学考）如图，四边形中，，边，点在边上，，，则长为（ ）
A． B． C． D．或
二、填空题
9．（2023·广西） 如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为 ．
10．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习）如图，AC是正方形ABCD的对角线，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，若AB=3，则AE=
11．（2023八上·青羊月考）如图，，正方形和正方形的面积分别是169和144，则以为直径的半圆的面积是 ．
12．（2019八下·温州期中）如图，△ABC中，∠ACB =90°，AC=9，CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，已知DF=4，则AD的长是 .
13．（2023八上·天津市月考）如图，，，，连接，若，，则的面积是 ．
三、解答题
14．（2023八上·青羊月考）已知，正方形的四条边相等，四个角是直角．如图，点E，F分别在正方形的两边和上，与相交于点G，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长度．
15．（2023九上·兰州期中）在平面直角坐标系中，分别描出点，，，．
（1）试判断四边形的形状；
（2）若两点不动，你能通过变动点的位置使四边形成为正方形吗？若能，请写出变动后的点的坐标．
16．（2023九上·宿州月考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，AE⊥AF．
求证：四边形AECF是正方形．
四、综合题
17．（2022八下·鄞州期末）如图1，矩形ABCD中，过对角线AC的中点O画EF⊥AC分别交AB，CD于点E，F，连结AF，CE．
（1）[证明体验]
求证：四边形AECF是菱形．
（2）[基础巩固]
若AB=8，BC=6，求菱形AECF的边长．
（3）[拓展延伸]
如图2，在对角线AC上取点G，H，使得四边形EHFG是正方形，若正方形EHFG的边长为，且AE=5CH，求矩形ABCD的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选A．
【分析】平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接AC，如图所示：
由正方形的性质可得，∠ACD＝∠FCG＝45°，
∴∠ACF＝90°，
∵H是AF的中点，
∴，
∵AC2＝12+22＝2，CF2＝32+22＝18，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】连接AC，先根据正方形的性质得到∠ACD＝∠FCG＝45°，进而得到∠ACF＝90°，再根据勾股定理结合题意即可求解。
3．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：举反例说明即可，菱形四边相等，故A说法错误，不符合题意；等腰梯形对角线互相垂直且相等，故B说法错误，不符合题意；等腰梯形对角线相等，故C说法错误，不符合题意；对角线互相垂直平分的四边形是菱形正确，故D说法正确；
故答案为：D.
【分析】根据正方形、矩形的判定定理，举反例进行逐一判断即可求解.
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
A：若AC⊥BD，四边形ABCD是菱形 ，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
B：若AC＝BD，四边形ABCD是矩形 ，对角线相等的平行四边形是矩形；
C：若AC⊥BD且AC＝BD，四边形ABCD是正方形 ，对角线相等且垂直的平行四边形，既是菱形又是矩形，所以是正方形；
D：若∠ABC＝90°，四边形ABCD是正方形 ，有一个角是90度的平行四边形是矩形；
故D正确，A、B、C错误。
故答案为：D.
【分析】首先由题干判断对角线互相平分的四边形是平行四边形，再结合选项添加对角线的关系判断特殊的平行四边形，易知对角线互相垂直的平行四边形是菱形；对角线相等的平行四边形是矩形，两者兼而有之是正方形；特别的有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）。
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、等腰梯形是一组对边平行，另一组对边相等，但不是平行四边形，故A不符合题意；
B、对角线互相垂直平分的四边形为菱形，故B选项不符合题意；
C．对角线相等且互相平分的四边形为矩形，故C选项不符合题意；
D．一组邻边相等的矩形是正方形，故D选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】A、找出反例，即可判断出结论；
B、根据菱形的判定，即可判断出结论；
C、根据矩形的判定，即可判断出结论；
D、根据正方形的判定，即可判断出结论．
6．【答案】B
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，是真命题；
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题；
③对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形，原命题是假命题；
④四边相等的四边形是菱形，是真命题；
故答案为：B.
【分析】根据矩形的判定定理即可判断①；根据菱形的判定定理即可判定②④；根据正方形的判定定理即可判定③。
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：四边形ABCD是正方形，
，
于点E，于点F，
，
四边形GFCE是矩形，，
，
为BD的中点，
，
，
四边形GFCE是正方形，故①正确；
连接GC，
四边形GFCE是矩形，
，在与中，
，
，
，故②正确；
，
，
四边形GFCE是矩形，
，
，
即的值为定值4，故③正确：
，
当CG最小时，EF最小，
当时，CG最小，
在中，，
，
，
，
线段EF的最小值为，故④正确；
正确的有①②③④．
故选：A．
【分析】先证四边形GFCE是矩形，再求，从而可证四边形GFCE是正方形，故①正确；连接GC， 证明，结合矩形的性质可得AG=GC=EF，故②正确；由等腰三角形的性质可得GE=ED，由矩形的性质可得GF=CE，可得，据此判断③；由可知当CG最小时，EF最小，所以可知当时，CG最小，求出此时CG的长即可判断④.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图：过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，
∵AB=BC=6，∠A=∠B=90°，CG⊥AD，
∴四边形ABCG是正方形，
∴∠BCG=90°，BC=CG，
∵∠DCE=45°，
∴∠DCG+∠BCE=45°，
延长AB到BH使BH=DG，
在△CDG与△CHB中，
∴△CDG≌△CHB（SAS），
∴CH=CD，∠BCH=∠GCD，
∴∠DCE=∠HCE，
在△CEH和△CED中，
∴△CEH≌△CED（SAS），
∴DE=EH=BE+DG，
设BE=x，则BH=DG=5-x，AE=AB-BE=6-x，
∴AD=AG-DG=6-（5-x）=1+x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2=DE2，
∴（1+x）2+（6-x）2=52，
解得x=2或3．
∴BE=2或3．
故答案为：D.
【分析】根据三个角都是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形，正方形的四个角都是直角，四条边相等可得∠BCG=90°，BC=CG，推得∠DCG+∠BCE=45°，根据如果两个三角形的两边分别相等，且夹角相等，那么这两个三角形全等，全等三角形对应边相等，对应角相等可推得∠DCE=∠HCE，DE=EH=BE+DG，根据勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方即可列方程求解得出答案.
9．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AE，
∵正方形ABCD，
∴∠B=90°，AB=BC=2，
∴
∵点M、N分别是EF和AF的中点，
∴MN是△AEF的中位线，
∴NM=AE，
要使MN最大，则AE的长最大，
∴当点E和点C重合时，AE（AC）最大，
∴.
故答案为：
【分析】连接AE，利用正方形的性质可证得∠B=90°，AB=BC=2，利用勾股定理求出AC的长；利用已知易证MN是△AEF的中位线，利用三角形的中位线定理可得到NM=AE，要使MN最大，则AE的长最大，可得到当点E和点C重合时，AE（AC）最大，即可求出MN的最大值.
10．【答案】
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的判定；勾股定理；正方形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AC是正方形ABCD的对角线，AB=3，
∴AC=3 ，
∵正方形ABCD，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，
∴∠DCE=∠ECA，DC∥EB，
∴∠CEA=∠DCE，
∴∠E=∠ECA，
∴AE=AC=3 ，
故答案为：3
【分析】根据正方形的四条边相等和四个角是直角求出对角线AC的长，根据两直线平行内错角相等和角平分线的定义可得∠E=∠ECA，根据等角对等边得出AE=AC.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：正方形和正方形的面积分别是169和144，
，，
，
，
，
故答案为：
【分析】先根据正方形的性质得到AD和AE的长，进而根据勾股定理得到DE的长，再根据圆面积公式即可求解。
12．【答案】
【知识点】角平分线的性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】 在 中， CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F
，
四边形EDFC是正方形，
，
根据勾股定理可知：
可得
，
故答案为：
【分析】利用角平分线的性质，易证DE=DF，再证明四边形EDFC是正方形，利用正方形的性质求出DE、AE的长，然后利用勾股定理求出AD的长。
13．【答案】3
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形全等及其性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点E作EF⊥AD交AD的延长线于点F，过点D作DG⊥BC交BC于点G，
∵AD//BC，DG⊥BC，
∴∠FDG=∠DGB=90°，
∵∠EDC=90°，
∴∠GDC+∠CDF=∠CDF+∠EDF，
∴∠GDC=∠EDF，
∵EF⊥AD，
∴∠CGD=∠F=90°，
∵DE=DC，
∴△DGC≌△DFE，
∴EF=CG，
∵∠DAB=∠B=∠BGD=90°，
∴四边形ABGD是正方形，
∴BG=AD=3，
∵BC=5，
∴CG=BC-BG=2，
∴EF=2，
∴，
故答案为：3.
【分析】根据平行线的性质求出∠FDG=∠DGB=90°，再利用全等三角形的性质求出EF=CG，最后根据正方形的判定与性质以及三角形的面积公式计算求解即可。
14．【答案】（1）证明：∵正方形，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴
在中，由勾股定理得，
又
∴
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质得到，进而结合题意得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可求解；
（2）先结合题意运用勾股定理求出DF的长，进而运用三角形的面积即可求解。
15．【答案】（1）解：作出四个点的坐标如图所示：
由图可得：，，，
四边形是菱形；
（2）解：能，
正方形也是菱形，当时，菱形是正方形，
，
变动后的点坐标为，点坐标为或点坐标为，点坐标为．
【知识点】点的坐标；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】（1）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，即可判定四边形ABCD是菱形；
（2）只需在（1）的条件下，变动A，C的位置，满足OA=OC=OB=OD即可，所以 变动后的点坐标为，点坐标为或点坐标为，点坐标为 .
16．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是菱形，
∵AE⊥AF，
∴∠EAF＝90°，
∴四边形AECF是正方形．
【知识点】菱形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】根据菱形对角线的性质（对角线垂直且相等），证明四边形AECF是菱形，因为 AE⊥AF ，根据正方形的判定定理即可得出结论。
17．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FCO＝∠EAO，∠CFO＝∠AEO，
∵AO=CO，
∴△AOE≌△COF（AAS）
∴FC=AE，
∵FC∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
（2）解：设AE=x，则EC=x，BE=8-x，
在Rt△BEC中，
，
，
解得，
∴AE=.
（3）解：连结AF，CE，
由（1）知四边形AECF是菱形，
∵四边形EHFG是正方形，EG=3，
∴OG=OH=OF=OE=3，
∵OA=OC，
∴AG=CH，
∵AE=5CH，
∴AE=5AG，
，
，
解得：AG=1，
∴AE=CE=5，AC=8，
，
，
解得：，
∴矩形ABCD的面积=
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质和平行线的性质求出有关角或边相等，利用AAS证明△AOE≌△COF，得出FC=AE，结合FC∥AE，证出四边形AECF是平行四边形，结合AC⊥EF，则可证明四边形AECF是菱形．
(2)设AE=x，则EC=x，BE=8-x，在Rt△BEC中，根据勾股定理建立方程求解，即可解答；
(3)连结AF，CE，根据正方形的性质求出OG=OH=OF=OE=3，结合AE=5AG，在Rt△AOE中，根据勾股定理建立方程求出AG，则可求出AE和CE，然后在Rt△CBE和△ABC中，根据勾股定理建立等式求出BE长，最后根据勾股定理求出BC和AB长，即可解答.
1 / 1【提升卷】2024年浙教版数学八年级下册5.3 正方形
一、选择题
1．（2017八下·港南期中）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选A．
【分析】平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．
2．（2023九上·南明期中）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是 （ ）
A．2.5 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接AC，如图所示：
由正方形的性质可得，∠ACD＝∠FCG＝45°，
∴∠ACF＝90°，
∵H是AF的中点，
∴，
∵AC2＝12+22＝2，CF2＝32+22＝18，
∴，
∴，
故答案为：B
【分析】连接AC，先根据正方形的性质得到∠ACD＝∠FCG＝45°，进而得到∠ACF＝90°，再根据勾股定理结合题意即可求解。
3．（2023九上·成都期中）下列说法正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：举反例说明即可，菱形四边相等，故A说法错误，不符合题意；等腰梯形对角线互相垂直且相等，故B说法错误，不符合题意；等腰梯形对角线相等，故C说法错误，不符合题意；对角线互相垂直平分的四边形是菱形正确，故D说法正确；
故答案为：D.
【分析】根据正方形、矩形的判定定理，举反例进行逐一判断即可求解.
4．（2022九上·武侯期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，下列说法错误的是 （ ）
A．若AC⊥BD，四边形ABCD是菱形
B．若AC＝BD，四边形ABCD是矩形
C．若AC⊥BD且AC＝BD，四边形ABCD是正方形
D．若∠ABC＝90°，四边形ABCD是正方形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
A：若AC⊥BD，四边形ABCD是菱形 ，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
B：若AC＝BD，四边形ABCD是矩形 ，对角线相等的平行四边形是矩形；
C：若AC⊥BD且AC＝BD，四边形ABCD是正方形 ，对角线相等且垂直的平行四边形，既是菱形又是矩形，所以是正方形；
D：若∠ABC＝90°，四边形ABCD是正方形 ，有一个角是90度的平行四边形是矩形；
故D正确，A、B、C错误。
故答案为：D.
【分析】首先由题干判断对角线互相平分的四边形是平行四边形，再结合选项添加对角线的关系判断特殊的平行四边形，易知对角线互相垂直的平行四边形是菱形；对角线相等的平行四边形是矩形，两者兼而有之是正方形；特别的有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）。
5．（2023九上·龙岗期中）下列命题中，真命题是（ ）．
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、等腰梯形是一组对边平行，另一组对边相等，但不是平行四边形，故A不符合题意；
B、对角线互相垂直平分的四边形为菱形，故B选项不符合题意；
C．对角线相等且互相平分的四边形为矩形，故C选项不符合题意；
D．一组邻边相等的矩形是正方形，故D选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】A、找出反例，即可判断出结论；
B、根据菱形的判定，即可判断出结论；
C、根据矩形的判定，即可判断出结论；
D、根据正方形的判定，即可判断出结论．
6．（2023九上·宿州月考）有下列命题：
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③对角线垂直且相等的四边形是正方形；④四边相等的四边形是菱形．其中，真命题有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，是真命题；
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题；
③对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形，原命题是假命题；
④四边相等的四边形是菱形，是真命题；
故答案为：B.
【分析】根据矩形的判定定理即可判断①；根据菱形的判定定理即可判定②④；根据正方形的判定定理即可判定③。
7．（2023九上·太原月考）如图、正方形ABCD的边长为4，G是对角线BD上一动点，于点E，于点F，连接EF，给出四种情况：
①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；
②若G为BD上任意一点，则；
③点G在运动过程中，的值为定值4；
④点G在运动过程中，线段EF的最小值为．
正确的有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【答案】A
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：四边形ABCD是正方形，
，
于点E，于点F，
，
四边形GFCE是矩形，，
，
为BD的中点，
，
，
四边形GFCE是正方形，故①正确；
连接GC，
四边形GFCE是矩形，
，在与中，
，
，
，故②正确；
，
，
四边形GFCE是矩形，
，
，
即的值为定值4，故③正确：
，
当CG最小时，EF最小，
当时，CG最小，
在中，，
，
，
，
线段EF的最小值为，故④正确；
正确的有①②③④．
故选：A．
【分析】先证四边形GFCE是矩形，再求，从而可证四边形GFCE是正方形，故①正确；连接GC， 证明，结合矩形的性质可得AG=GC=EF，故②正确；由等腰三角形的性质可得GE=ED，由矩形的性质可得GF=CE，可得，据此判断③；由可知当CG最小时，EF最小，所以可知当时，CG最小，求出此时CG的长即可判断④.
8．（2023九上·永春开学考）如图，四边形中，，边，点在边上，，，则长为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图：过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，
∵AB=BC=6，∠A=∠B=90°，CG⊥AD，
∴四边形ABCG是正方形，
∴∠BCG=90°，BC=CG，
∵∠DCE=45°，
∴∠DCG+∠BCE=45°，
延长AB到BH使BH=DG，
在△CDG与△CHB中，
∴△CDG≌△CHB（SAS），
∴CH=CD，∠BCH=∠GCD，
∴∠DCE=∠HCE，
在△CEH和△CED中，
∴△CEH≌△CED（SAS），
∴DE=EH=BE+DG，
设BE=x，则BH=DG=5-x，AE=AB-BE=6-x，
∴AD=AG-DG=6-（5-x）=1+x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2=DE2，
∴（1+x）2+（6-x）2=52，
解得x=2或3．
∴BE=2或3．
故答案为：D.
【分析】根据三个角都是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形，正方形的四个角都是直角，四条边相等可得∠BCG=90°，BC=CG，推得∠DCG+∠BCE=45°，根据如果两个三角形的两边分别相等，且夹角相等，那么这两个三角形全等，全等三角形对应边相等，对应角相等可推得∠DCE=∠HCE，DE=EH=BE+DG，根据勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方即可列方程求解得出答案.
二、填空题
9．（2023·广西） 如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AE，
∵正方形ABCD，
∴∠B=90°，AB=BC=2，
∴
∵点M、N分别是EF和AF的中点，
∴MN是△AEF的中位线，
∴NM=AE，
要使MN最大，则AE的长最大，
∴当点E和点C重合时，AE（AC）最大，
∴.
故答案为：
【分析】连接AE，利用正方形的性质可证得∠B=90°，AB=BC=2，利用勾股定理求出AC的长；利用已知易证MN是△AEF的中位线，利用三角形的中位线定理可得到NM=AE，要使MN最大，则AE的长最大，可得到当点E和点C重合时，AE（AC）最大，即可求出MN的最大值.
10．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册19.3 正方形 同步练习）如图，AC是正方形ABCD的对角线，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，若AB=3，则AE=
【答案】
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的判定；勾股定理；正方形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AC是正方形ABCD的对角线，AB=3，
∴AC=3 ，
∵正方形ABCD，∠DCA的平分线交BA的延长线于点E，
∴∠DCE=∠ECA，DC∥EB，
∴∠CEA=∠DCE，
∴∠E=∠ECA，
∴AE=AC=3 ，
故答案为：3
【分析】根据正方形的四条边相等和四个角是直角求出对角线AC的长，根据两直线平行内错角相等和角平分线的定义可得∠E=∠ECA，根据等角对等边得出AE=AC.
11．（2023八上·青羊月考）如图，，正方形和正方形的面积分别是169和144，则以为直径的半圆的面积是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：正方形和正方形的面积分别是169和144，
，，
，
，
，
故答案为：
【分析】先根据正方形的性质得到AD和AE的长，进而根据勾股定理得到DE的长，再根据圆面积公式即可求解。
12．（2019八下·温州期中）如图，△ABC中，∠ACB =90°，AC=9，CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，已知DF=4，则AD的长是 .
【答案】
【知识点】角平分线的性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】 在 中， CD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F
，
四边形EDFC是正方形，
，
根据勾股定理可知：
可得
，
故答案为：
【分析】利用角平分线的性质，易证DE=DF，再证明四边形EDFC是正方形，利用正方形的性质求出DE、AE的长，然后利用勾股定理求出AD的长。
13．（2023八上·天津市月考）如图，，，，连接，若，，则的面积是 ．
【答案】3
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形全等及其性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点E作EF⊥AD交AD的延长线于点F，过点D作DG⊥BC交BC于点G，
∵AD//BC，DG⊥BC，
∴∠FDG=∠DGB=90°，
∵∠EDC=90°，
∴∠GDC+∠CDF=∠CDF+∠EDF，
∴∠GDC=∠EDF，
∵EF⊥AD，
∴∠CGD=∠F=90°，
∵DE=DC，
∴△DGC≌△DFE，
∴EF=CG，
∵∠DAB=∠B=∠BGD=90°，
∴四边形ABGD是正方形，
∴BG=AD=3，
∵BC=5，
∴CG=BC-BG=2，
∴EF=2，
∴，
故答案为：3.
【分析】根据平行线的性质求出∠FDG=∠DGB=90°，再利用全等三角形的性质求出EF=CG，最后根据正方形的判定与性质以及三角形的面积公式计算求解即可。
三、解答题
14．（2023八上·青羊月考）已知，正方形的四条边相等，四个角是直角．如图，点E，F分别在正方形的两边和上，与相交于点G，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长度．
【答案】（1）证明：∵正方形，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴
在中，由勾股定理得，
又
∴
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质得到，进而结合题意得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可求解；
（2）先结合题意运用勾股定理求出DF的长，进而运用三角形的面积即可求解。
15．（2023九上·兰州期中）在平面直角坐标系中，分别描出点，，，．
（1）试判断四边形的形状；
（2）若两点不动，你能通过变动点的位置使四边形成为正方形吗？若能，请写出变动后的点的坐标．
【答案】（1）解：作出四个点的坐标如图所示：
由图可得：，，，
四边形是菱形；
（2）解：能，
正方形也是菱形，当时，菱形是正方形，
，
变动后的点坐标为，点坐标为或点坐标为，点坐标为．
【知识点】点的坐标；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】（1）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，即可判定四边形ABCD是菱形；
（2）只需在（1）的条件下，变动A，C的位置，满足OA=OC=OB=OD即可，所以 变动后的点坐标为，点坐标为或点坐标为，点坐标为 .
16．（2023九上·宿州月考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，AE⊥AF．
求证：四边形AECF是正方形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是菱形，
∵AE⊥AF，
∴∠EAF＝90°，
∴四边形AECF是正方形．
【知识点】菱形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】根据菱形对角线的性质（对角线垂直且相等），证明四边形AECF是菱形，因为 AE⊥AF ，根据正方形的判定定理即可得出结论。
四、综合题
17．（2022八下·鄞州期末）如图1，矩形ABCD中，过对角线AC的中点O画EF⊥AC分别交AB，CD于点E，F，连结AF，CE．
（1）[证明体验]
求证：四边形AECF是菱形．
（2）[基础巩固]
若AB=8，BC=6，求菱形AECF的边长．
（3）[拓展延伸]
如图2，在对角线AC上取点G，H，使得四边形EHFG是正方形，若正方形EHFG的边长为，且AE=5CH，求矩形ABCD的面积．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FCO＝∠EAO，∠CFO＝∠AEO，
∵AO=CO，
∴△AOE≌△COF（AAS）
∴FC=AE，
∵FC∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
（2）解：设AE=x，则EC=x，BE=8-x，
在Rt△BEC中，
，
，
解得，
∴AE=.
（3）解：连结AF，CE，
由（1）知四边形AECF是菱形，
∵四边形EHFG是正方形，EG=3，
∴OG=OH=OF=OE=3，
∵OA=OC，
∴AG=CH，
∵AE=5CH，
∴AE=5AG，
，
，
解得：AG=1，
∴AE=CE=5，AC=8，
，
，
解得：，
∴矩形ABCD的面积=
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质和平行线的性质求出有关角或边相等，利用AAS证明△AOE≌△COF，得出FC=AE，结合FC∥AE，证出四边形AECF是平行四边形，结合AC⊥EF，则可证明四边形AECF是菱形．
(2)设AE=x，则EC=x，BE=8-x，在Rt△BEC中，根据勾股定理建立方程求解，即可解答；
(3)连结AF，CE，根据正方形的性质求出OG=OH=OF=OE=3，结合AE=5AG，在Rt△AOE中，根据勾股定理建立方程求出AG，则可求出AE和CE，然后在Rt△CBE和△ABC中，根据勾股定理建立等式求出BE长，最后根据勾股定理求出BC和AB长，即可解答.
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