【培优卷】2024年浙教版数学八年级下册6.2 反比例函数的图象和性质
一、选择题
1．（2023八下·南岸期末）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点点A、点D分别在y轴与x轴上．且与反比例函数交于点B、点C，且，面积为3，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点B和点C分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，连接OM，
∴BM//CN，
∴，
∵，的面积为3，
∴，
∴△BOC的面积为6，
设点B的坐标为（a，），则点C的坐标为（3a，），
∴MN=2a，
∵S△BOC=S梯形BMNC，
∴（）×=6，
∴k=
故答案为：D.
【分析】过点B和点C分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，连接OM，先求出，可得△BOC的面积为6，再结合S△BOC=S梯形BMNC，可得（）×=6，再求出k的值即可.
2．（2022八下·镇海区期末）如图，菱形的四个顶点均在坐标轴上，对角线交于原点O，交于点G，反比例函数的图象经过线段的中点E，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过E作y轴和x的垂线EM，EN，垂足分别为M，N， 设E（b，a），
∵反比例函数（x＞0）经过点E，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，DO=BD=4，
∵EN⊥x，EM⊥y，
∴四边形MENO是矩形，
∴，，
∵E为CD的中点， 轴， 连接OE，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
为等边三角形，而
∴
∴DG=AG， 设DG=r，则AG=r，
在Rt△DOG中，DG2=GO2+DO2，
∴，
解得：，
∴AG= .
故答案为：B.
【分析】过E作y轴和x的垂线EM，EN，垂足分别为M，N， 设E（b，a），根据点E在反比例函数图象上可得ab=，根据菱形的性质可得BD⊥AC，DO=BD=4， 易得四边形MENO是矩形， 则ME∥x轴，EN∥y轴，连接OE，则OE=DE=CE，进而推出DM=OM，ON=CN，则DO·CO=4ab=，据此可得CO、CD，由菱形的性质可得AB=AD=BD=8，推出△ABD为等边三角形，得到∠1=∠2=30°，设DG=r，则AG=r，GO=-r，根据勾股定理可得r的值，据此解答.
3．（2021八下·吴兴期末）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数 在第一象限的图象经过点B，若 ，则 的值为（ ）．
A．6 B．3 C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：由题意可知，OC＝AC，DB＝DA，OA＝OC，AB＝BD，
点B的横坐标为：OC＋BD，纵坐标为OC BD，
∵OA2 AB2＝6，
∴OC2 DB2＝3，
即（OC＋BD）（OC BD）＝3
∴k=3
故答案为：B.
【分析】由题意可知OA＝OC，AB＝BD，又OA2 AB2＝6，因为点B的横坐标为：OC＋BD，纵坐标为OC BD，故可求K的值.
4．（2021八下·淮阴期末）如图所示，已知 为反比例函数 图象上的两点，动点 在 轴正半轴上运动，当 的值最大时，连结 ， 的面积是 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】当 时， ，当 时， ，
∴ .
连接AB并延长AB交x轴于点 ，当P在 位置时， ，即此时 的值最大.
设直线AB的解析式为 ，
将 代入解析式中得
解得 ，
∴直线AB解析式为 .
当 时， ，即 ，
.
故答案为：D.
【分析】先根据反比例函数解析式求出A，B的坐标，然后连接AB并延长AB交x轴于点P’，当P在P'位置时，PA- PB= 4B ，即此时|AP - BP|的值最大，利用待定系数法求出线AB的解析式，从而求出P'的坐标，进而利用面积公式求面积即可.
二、填空题
5．（2019八下·北京期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A是双曲线 在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长与这个双曲线的另一分支交于点B，以AB为底边作等腰直角三角形ABC，使得点C位于第四象限。
（1）点C与原点O的最短距离是 ；
（2）没点C的坐标为（ ，点A在运动的过程中，y随x的变化而变化，y关于x的函数关系式为 。
【答案】（1）
（2）
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象的对称性；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：（1）连接OC，过点A作AD⊥y轴，如图，
，
∵A是双曲线 在第一象限的分支上的一个动点，延长AO交另一分支于点B，
∴OA=OB，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴OC=OA=OB，
∴当OA的长最短时，OC的长为点C与原点O的最短距离，
设A（m， ），
∴AD=m，OD= ，
∴OA= = = ，
∵ ，
∴当 时，OA= 为最小值，
∴点C与原点O的最短距离为 .
故答案为 ；（2）过点C作x轴的垂线，垂足为E，如上图，
∴∠ADO=∠CEO=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴OC=OA=OB，OC⊥AB，
∴∠COE+∠AOE=90°，
∵∠AOD+∠AOE=90°，
∴∠AOD=∠COE，
∴△AOD≌△COE（AAS），
∴AD=CE，OD=OE，
∵点C的坐标为(x，y)(x＞0)，
∴OE=x，CE=-y，
∴OD=x，AD=-y，
∴点A的坐标为（-y，x），
∵A是双曲线 第一象限的一点，
∴ ，即 ，
∴y关于x的函数关系式为 （x>0）.
故答案为 （x>0）.
【分析】（1）先根据反比例函数的对称性及等腰直角三角形的性质可得OC=OA=OB，利用勾股定理求出AO的长为 ，再配方得 ，根据非负性即可求出OA的最小值，进而即可求解；（2）先证明△AOD≌△COE可得AD=CE，OD=OE，然后根据点C的坐标表示出A的坐标，再由反比例函数的图象与性质即可求出y与x 的函数解析式.
6．（2023八下·余姚期末）如图，菱形的边在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过菱形对角线的中点D和顶点C，若菱形的面积为，则点C的坐标为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，作轴，
点在 的图象上，
设，
点是的中点，
，
四边形是菱形，
轴，，
点在 的图象上，
，
，
，
轴，
，，
菱形的面积为，
，
，
，
，
，
，
故答案为：.
【分析】设，利用中点公式表示出点B的坐标，再通过平行的性质表示出点C坐标，进而得到BC的长度，然后由菱形的面积公式求得k的值，最后利用两点之间的距离公式列方程解得a的值得到点C的坐标.
7．（2021八下·吴兴期末）如图，已知菱形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，AF⊥AC交x轴于点F，反比例函数 的图象经过点A，与AF交于点E，且AE=EF，△ADF的面积为6，则k的值为 ．
【答案】-4
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：连结BD，则BO⊥AC，又 AF⊥AC ，所以AF//BD，又点O在BD上，
所以S△AFO=S △ADF =6
过点E，点A分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，
则EM//AN，又 AE=EF 所以FM=MN
根据题意设E（，a），则A（，2a），M（，0），N（，0）
S△AFO=FO×AN=FO×2a=6 ，得FO= 所以 F（-，0）
FM=-（-）=+，MN=-
所以+ =- 解得k=-4
故答案为：-4
【分析】连结BD，证明AF//BD即可得到S△AFO=S △ADF=6，过点E，点A分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，再结合题意即可得到FM=MN根据题意设E（，a），则A（，2a），M（，0），N（，0），再运用S△AFO=FO×AN即可求出F点坐标的表达式，再写出FM、MN的表达式即可求解.
8．（2022八下·越城期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为 ．
【答案】12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质；角平分线的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD与AC交于点O，过点A作AG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，连接OF，
∴FH∥AG，
∵AE=EF，
∴FH是△AGE的中位线，
∴GH=HE，AG=2FH
∵点A、F在反比例函数y=（k＞0，x＞0）图象上，
∴S△AOG=S△FOH=，
∴OG·AG=OH·FH，
∴OH=2OG，
∴OG=GH=HE，
∵矩形ABCD，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
又∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠ODA=∠EAD，
∴AE∥BD，
∴S△AOE=S△ABE=18，
∴S△AOG=S△AOE=6，
∴=6，
∴k=12.
故答案为：12.
【分析】如图，连接BD与AC交于点O，过点A作AG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，连接OF，则FH∥AG，又AE=EF，易得FH是△AGE的中位线，即得GH=HE，AG=2FH，在根据k的几何意义可得S△AOG=S△FOH=，从而得OG·AG=OH·FH，进而推出OG=GH=HE，再由矩形的性质得OA=OD，结合角平分线的定义，可推出∠ODA=∠EAD，从而推出AE∥BD，易得S△AOE=S△ABE=18，进而可得S△AOG=S△AOE=6，则=6，即可求出k值.
9．（2022八下·浙江期末）如图， 的顶点 的坐标为 在第一象限.反比例函数 和 的图象分别经过 ， 两点，延长BC交 轴于点 .设 是反比例函数 图象上的动点.若 的面积是 面积的2倍， 的面积等于 ，则 的值为 .
【答案】6.4
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵ 的顶点 的坐标为 ，
∴ 轴， .
∵反比例函数 和 的图象分别经过C，B两点，
∴
∴
∴
∴
∴
∵ 的面积是 面积的2倍，
∴
∴
∵ 的面积等于 ，
∴ ，即 ，解得 .
故答案为：6.4.
【分析】根据反比例函数的性质求出CD=BC=2，则可求得OD= ，然后根据△POA的面积是△PCD面积的2倍列式求出xp=3， 根据△POD的面积等于2k - 8，建立关于k的方程求解，即可解答.
10．如图，直线 与 轴、 轴分别相交于点A，B，四边形ABCD是正方形，曲线 在第一象限经过点D，则 = .
【答案】3
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；全等三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当x=0， y=2×0+2=2，
∴B点坐标为（0，2），
当y=0时，0=-2x+2，
∴x=1，
如图，作DE⊥x轴，
∵∠BAO+∠DAE=∠BAO+∠ABO，
∴∠ABO=∠DAE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，
∴Rt△AOB≌Rt△DAE(AAS)，
∴DE=OA=1，
AE=OB=2，
∴OE=OA+AE=3，
∴D（3，1），
∴k=xy=3×1=3.
故答案为：3.
【分析】先求出一次函数图象与坐标轴交点的坐标，然后过D作DE垂直x轴，利用角角边定理证明Rt△AOB≌Rt△DAE，得出DE和AE的长，则D点坐标可求，于是反比例函数式中的k值可求.
11．（2023八下·盐城月考）如图，已知点、、．直线轴，垂足为点．其中，若△与关于直线对称，且△有两个顶点在函数的图象上，则的值为 ．
【答案】或
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：，
直线l的解析式为x=m，
△与关于直线对称，
点A和点A'到直线x=m的距离相等为5-m，点B和点A的横坐标相同，
点A'和点B'的横坐标为2m-5，点A'纵坐标为3，点B'的纵坐标为6，
，
点C和点C'到直线x=m的距离为8-m，
，
△有两个顶点在函数的图象上，点A'和点B'横坐标相同，不可能同时在函数图象上，
可能为点A'，C'在函数的图象上，或可能为B'，C'在函数的图象上，
，
解得或，
，
或，符合题意，
当时，，故k=，
当时，，故k=.
故答案为：或.
【分析】根据题意求得，，分两种情况点A'，C'在函数的图象上，或可能为B'，C'在函数的图象上，分别求出k值即可.
三、解答题
12．如图，D为反比例函数 的图象上一点，过D作DE⊥ 轴于点E，DC⊥ 轴于点C，一次函数 的图象经过C点，与 轴相交于A点，四边形DCAE的面积为4，求 的值.
【答案】解：当x=0时，y=-x+2=2
，∴C（0，2），
当y=0时，0=-x+2，
解得x=2，∴A（2，0），
四边形DCAE的面积=（DC+EA）×OC÷2=4，
∴（DC+DC+OA）×OC=8，
即（2DC+2）×2=8，
解得DC=1，
∴D（-1，2），
∴k=xy=-2.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】分别求出直线与坐标轴的交点坐标，则OC和OA的线段长可知，然后根据四边形DCAE的面积列关系式即可求出DC的长，则D点坐标可知，反比例函数函数k值也可求.
四、综合题
13．如图，在平面直角坐标系中， 的边 2，且 轴，顶点 的坐标为 ，点 的坐标为 .
（1）点 的坐标是 ，点 的坐标是 ；(用含 的式子表示)
（2）若双曲线 过 的顶点 和 ，求该双曲线的表达式；
（3）若 与双曲线 总有公共点，写出 的取值范闱.
【答案】（1）（3，b）；（4，b+1）
（2）解：∵双曲线 过点 和 ，
∴ ，解得 ，
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
把点 的坐标 代入 ，解得 ，
∴双曲线的表达式为 .
（3）解：∵ ABCD与双曲线 总有公共点，
∴当点 在双曲线 上时，得到 ；
当点 在双曲线 上时，得到 ，
∴ 的取值范围是 .
【知识点】反比例函数的图象；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：(1)根据题意得 .
故答案为 .
【分析】(1)由四边形ABCD为平行四边形，AB∥x轴，得到A点与B点的纵坐标相同，C与D纵坐标相同，横坐标相差2，则可求出B、C坐标；
(2)由于B与D在反比例图象上，根据C与D横纵坐标乘积相等，建立关于b的方程求解，则可确定B坐标，然后利用待定系数法求双曲线解析式即可；
(3)抓住A、C两个关键点，将A、C两点的坐标分别代入双曲线解析式求出b的值，则可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时b的范围.
14．（2023八下·射阳月考）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx（k＞0）与反比例函数y＝的图象分别交于A、C两点，已知点B与点D关于坐标原点O成中心对称，且点B的坐标为（m，0）．其中m＞0．
（1）四边形ABCD是 ．（填写四边形ABCD的形状）
（2）当点A的坐标为（n，3）时，四边形ABCD是矩形，求m，n的值．
（3）试探究：随着k与m的变化，四边形ABCD能不能成为菱形？若能，请直接写出k的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）平行四边形
（2）解：把A（n，3） 代入 y＝ 中，得3n=3，
∴n=1，
∴A（1，3），
∴OA=，
∵ 四边形ABCD是矩形 ，
∴OB=OA=，
∴m=；
（3）不能，理由如下：
∵点A在第一象限，B在x轴上，
∴∠AOB＜90°，即得AC与BD不可能垂直，
∴ 四边形ABCD不能成为菱形 ；
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数图象的对称性；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵ 正比例函数y＝kx（k＞0）与反比例函数y＝的图象分别交于A、C两点，
∴点A、C关于原点对称，即OA=OC，
∵点B与点D关于坐标原点O成中心对称 ，
∴OB=OD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形；
故答案为：平行四边形.
【分析】（1）根据正比例函数与反比例函数的对称性可知OA=OC，结合题意知OB=OD，根据对角线互相平分可证四边形ABCD是平行四边形；
（2）将A（n，3） 代入 y＝ 中求出n值，即得A（1，3），利用勾股定理求出OA的长，根据矩形的性质可得OB=OA，据此即得m值；
（3）由点A在第一象限，B在x轴上，可知∠AOB＜90°，即得AC与BD不可能垂直，根据菱形的性质即可判断.
15．（2022八下·汽开区）如图，点是函数图像上的任意一点，过点作ABx轴，交另一个函数的图像于点．
（1）若，则k= ．
（2）当时，若点的横坐标是1，则线段 ．
（3）若无论点在何处，函数图像上总存在一点，使得四边形为平行四边形，求的值．
【答案】（1）－6
（2）
（3）解：存在，点在点上方，
如图，作轴于点，于点，
设，则，则，，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
解得．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（1）解：如图：AB交y轴于M，
∵点是函数，点是函数，
∴由反比例函数的比例系数的几何意义得：，，
∵，
∴，
∴；
故答案为：-6；
（2）由题意得：
当时，，
∴，
当时，，
当时，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）由反比例函数的比例系数的几何意义得：，，再结合，可得，再求出即可；
（2）先求出点B的坐标，再利用两点之间的距离公式求出OB的长即可；
（3）作轴于点，于点，设，则，则，，先求出，再求出，即可得到。
16．（2023八下·静安期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别相交于点A和点B，的平分线交于点C，点C坐标，点P与点B关于点C对称．
（1）求m的值；
（2）求图象经过点P的反比例函数解析式；
（3）已知点D是坐标平面内一点，如果四边形是平行四边形，那么点D的坐标是 ．（请将点D的坐标直接填写在空格内）
【答案】（1）解：过点C作与点M，如图所示：
∵直线与x轴和y轴分别相交于点A和点B，
∴令得，
令得，
∴，，
∴，
根据，
∵是的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴在中，得，
解得：；
（2）解：由（1）可得，
∵点P与点B关于点C对称，
∴点P的横坐标为，纵坐标为，
∴，
设反比例函数为（k为常数，），
∵图象经过点P，
∴，解得：，
∴经过点P的反比例函数解析式为；
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等及其性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（3）如下图所示：连接PA，过点B作BD//PA，过点A作AD//PB，BD与AD交于一点D，连接BD，AD，
M
，
由（1）（2） 可得A(8，0)，B(0，-6)，P(6，6)，
∵四边形ADBP是平行四边形，
∴设BP所在的直线为y=k1x+b1，
∴，
解得：，
∵BP//AD，
∴设AD所在的直线为y=2x+b2，
将点A的坐标代入可得b2=-16，
∴AD所在的直线为y=2x-16，
设AP所在的直线为y=k2x+b3，
∴，
解得：，
∵APIBD，
∴设BD所在的直线为y=-3x-6，
由，得：，
∴D（2，-12），
故答案为：D（2，-12）.
【分析】（1）先求出 ，再利用勾股定理求出AB=10，最后利用全等三角形的判定与性质计算求解即可；
（2）根据题意象求出， 再利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）结合图形，利用平行四边形的性质，待定系数法求函数解析式即可。
17．（2023八下·锡山期末）在平面直角坐标系中，已知点、、．
（1） ，四边形的面积是 ；
（2）当四边形是轴对称图形时，求的值；
（3）连接，过的中点作直线，分别交线段、于点、连接，的面积为，反比例函数的图象经过直线上两点、，求的值．
【答案】（1）10；60
（2）解：、，
，轴，
，
，，
四边形为平行四边形，
当四边形是矩形时，；
当四边形是菱形时，
，
，
即或
（3）解：为中点，
为平行四边形对称中心，
，
，
，
过作轴，垂足为，
，
即：，
，
设直线的函数表达式为：，
过，，
直线的函数表达式为，
，
为中点，，
，
反比例函数的图象经过直线上两点，，
，
解得，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据点B、C的横坐标相同可知BC∥y轴，于是根据BC的长等于这两点纵坐标之差的绝对值可求得第一空的值；由题意易得OA=BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形OABC是平行四边形，于是根据S四边形OABC=OA×XB可求得第二空的值；
（2）由（1）知，BC∥y轴，且OA=BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形OABC是平行四边形，由题意易知可分两种情况：①当四边形OABC是矩形时，a=0；
②当四边形OABC是菱形时，OC=OA=10，根据勾股定理可得关于a的方程，解方程可求解；
（3）由题意易知点E为平行四边形OABC的对称中心，则S四边形AOGF=S四边形OABC，结合三角形OFG的面积可求得三角形OFA的面积；过F作FH⊥y轴，垂足为H，根据三角形OFA的面积可求得FH的值，用待定系数法可求得直线AB的解析式为：y=，则可将点F的坐标用含a的代数式表示出来，根据E为OB的中点也可将点E的坐标用含a的代数式表示出来，由题意把点E、F代入反比例函数的解析式可得关于a、k的方程组，解方程组可求解.
1 / 1【培优卷】2024年浙教版数学八年级下册6.2 反比例函数的图象和性质
一、选择题
1．（2023八下·南岸期末）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点点A、点D分别在y轴与x轴上．且与反比例函数交于点B、点C，且，面积为3，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022八下·镇海区期末）如图，菱形的四个顶点均在坐标轴上，对角线交于原点O，交于点G，反比例函数的图象经过线段的中点E，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八下·吴兴期末）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数 在第一象限的图象经过点B，若 ，则 的值为（ ）．
A．6 B．3 C． D．
4．（2021八下·淮阴期末）如图所示，已知 为反比例函数 图象上的两点，动点 在 轴正半轴上运动，当 的值最大时，连结 ， 的面积是 （ ）
A． B．1 C． D．
二、填空题
5．（2019八下·北京期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A是双曲线 在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长与这个双曲线的另一分支交于点B，以AB为底边作等腰直角三角形ABC，使得点C位于第四象限。
（1）点C与原点O的最短距离是 ；
（2）没点C的坐标为（ ，点A在运动的过程中，y随x的变化而变化，y关于x的函数关系式为 。
6．（2023八下·余姚期末）如图，菱形的边在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过菱形对角线的中点D和顶点C，若菱形的面积为，则点C的坐标为 ．
7．（2021八下·吴兴期末）如图，已知菱形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，AF⊥AC交x轴于点F，反比例函数 的图象经过点A，与AF交于点E，且AE=EF，△ADF的面积为6，则k的值为 ．
8．（2022八下·越城期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为18，则k的值为 ．
9．（2022八下·浙江期末）如图， 的顶点 的坐标为 在第一象限.反比例函数 和 的图象分别经过 ， 两点，延长BC交 轴于点 .设 是反比例函数 图象上的动点.若 的面积是 面积的2倍， 的面积等于 ，则 的值为 .
10．如图，直线 与 轴、 轴分别相交于点A，B，四边形ABCD是正方形，曲线 在第一象限经过点D，则 = .
11．（2023八下·盐城月考）如图，已知点、、．直线轴，垂足为点．其中，若△与关于直线对称，且△有两个顶点在函数的图象上，则的值为 ．
三、解答题
12．如图，D为反比例函数 的图象上一点，过D作DE⊥ 轴于点E，DC⊥ 轴于点C，一次函数 的图象经过C点，与 轴相交于A点，四边形DCAE的面积为4，求 的值.
四、综合题
13．如图，在平面直角坐标系中， 的边 2，且 轴，顶点 的坐标为 ，点 的坐标为 .
（1）点 的坐标是 ，点 的坐标是 ；(用含 的式子表示)
（2）若双曲线 过 的顶点 和 ，求该双曲线的表达式；
（3）若 与双曲线 总有公共点，写出 的取值范闱.
14．（2023八下·射阳月考）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx（k＞0）与反比例函数y＝的图象分别交于A、C两点，已知点B与点D关于坐标原点O成中心对称，且点B的坐标为（m，0）．其中m＞0．
（1）四边形ABCD是 ．（填写四边形ABCD的形状）
（2）当点A的坐标为（n，3）时，四边形ABCD是矩形，求m，n的值．
（3）试探究：随着k与m的变化，四边形ABCD能不能成为菱形？若能，请直接写出k的值；若不能，请说明理由．
15．（2022八下·汽开区）如图，点是函数图像上的任意一点，过点作ABx轴，交另一个函数的图像于点．
（1）若，则k= ．
（2）当时，若点的横坐标是1，则线段 ．
（3）若无论点在何处，函数图像上总存在一点，使得四边形为平行四边形，求的值．
16．（2023八下·静安期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别相交于点A和点B，的平分线交于点C，点C坐标，点P与点B关于点C对称．
（1）求m的值；
（2）求图象经过点P的反比例函数解析式；
（3）已知点D是坐标平面内一点，如果四边形是平行四边形，那么点D的坐标是 ．（请将点D的坐标直接填写在空格内）
17．（2023八下·锡山期末）在平面直角坐标系中，已知点、、．
（1） ，四边形的面积是 ；
（2）当四边形是轴对称图形时，求的值；
（3）连接，过的中点作直线，分别交线段、于点、连接，的面积为，反比例函数的图象经过直线上两点、，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点B和点C分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，连接OM，
∴BM//CN，
∴，
∵，的面积为3，
∴，
∴△BOC的面积为6，
设点B的坐标为（a，），则点C的坐标为（3a，），
∴MN=2a，
∵S△BOC=S梯形BMNC，
∴（）×=6，
∴k=
故答案为：D.
【分析】过点B和点C分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，连接OM，先求出，可得△BOC的面积为6，再结合S△BOC=S梯形BMNC，可得（）×=6，再求出k的值即可.
2．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过E作y轴和x的垂线EM，EN，垂足分别为M，N， 设E（b，a），
∵反比例函数（x＞0）经过点E，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，DO=BD=4，
∵EN⊥x，EM⊥y，
∴四边形MENO是矩形，
∴，，
∵E为CD的中点， 轴， 连接OE，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
为等边三角形，而
∴
∴DG=AG， 设DG=r，则AG=r，
在Rt△DOG中，DG2=GO2+DO2，
∴，
解得：，
∴AG= .
故答案为：B.
【分析】过E作y轴和x的垂线EM，EN，垂足分别为M，N， 设E（b，a），根据点E在反比例函数图象上可得ab=，根据菱形的性质可得BD⊥AC，DO=BD=4， 易得四边形MENO是矩形， 则ME∥x轴，EN∥y轴，连接OE，则OE=DE=CE，进而推出DM=OM，ON=CN，则DO·CO=4ab=，据此可得CO、CD，由菱形的性质可得AB=AD=BD=8，推出△ABD为等边三角形，得到∠1=∠2=30°，设DG=r，则AG=r，GO=-r，根据勾股定理可得r的值，据此解答.
3．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：由题意可知，OC＝AC，DB＝DA，OA＝OC，AB＝BD，
点B的横坐标为：OC＋BD，纵坐标为OC BD，
∵OA2 AB2＝6，
∴OC2 DB2＝3，
即（OC＋BD）（OC BD）＝3
∴k=3
故答案为：B.
【分析】由题意可知OA＝OC，AB＝BD，又OA2 AB2＝6，因为点B的横坐标为：OC＋BD，纵坐标为OC BD，故可求K的值.
4．【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】当 时， ，当 时， ，
∴ .
连接AB并延长AB交x轴于点 ，当P在 位置时， ，即此时 的值最大.
设直线AB的解析式为 ，
将 代入解析式中得
解得 ，
∴直线AB解析式为 .
当 时， ，即 ，
.
故答案为：D.
【分析】先根据反比例函数解析式求出A，B的坐标，然后连接AB并延长AB交x轴于点P’，当P在P'位置时，PA- PB= 4B ，即此时|AP - BP|的值最大，利用待定系数法求出线AB的解析式，从而求出P'的坐标，进而利用面积公式求面积即可.
5．【答案】（1）
（2）
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象的对称性；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：（1）连接OC，过点A作AD⊥y轴，如图，
，
∵A是双曲线 在第一象限的分支上的一个动点，延长AO交另一分支于点B，
∴OA=OB，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴OC=OA=OB，
∴当OA的长最短时，OC的长为点C与原点O的最短距离，
设A（m， ），
∴AD=m，OD= ，
∴OA= = = ，
∵ ，
∴当 时，OA= 为最小值，
∴点C与原点O的最短距离为 .
故答案为 ；（2）过点C作x轴的垂线，垂足为E，如上图，
∴∠ADO=∠CEO=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴OC=OA=OB，OC⊥AB，
∴∠COE+∠AOE=90°，
∵∠AOD+∠AOE=90°，
∴∠AOD=∠COE，
∴△AOD≌△COE（AAS），
∴AD=CE，OD=OE，
∵点C的坐标为(x，y)(x＞0)，
∴OE=x，CE=-y，
∴OD=x，AD=-y，
∴点A的坐标为（-y，x），
∵A是双曲线 第一象限的一点，
∴ ，即 ，
∴y关于x的函数关系式为 （x>0）.
故答案为 （x>0）.
【分析】（1）先根据反比例函数的对称性及等腰直角三角形的性质可得OC=OA=OB，利用勾股定理求出AO的长为 ，再配方得 ，根据非负性即可求出OA的最小值，进而即可求解；（2）先证明△AOD≌△COE可得AD=CE，OD=OE，然后根据点C的坐标表示出A的坐标，再由反比例函数的图象与性质即可求出y与x 的函数解析式.
6．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，作轴，
点在 的图象上，
设，
点是的中点，
，
四边形是菱形，
轴，，
点在 的图象上，
，
，
，
轴，
，，
菱形的面积为，
，
，
，
，
，
，
故答案为：.
【分析】设，利用中点公式表示出点B的坐标，再通过平行的性质表示出点C坐标，进而得到BC的长度，然后由菱形的面积公式求得k的值，最后利用两点之间的距离公式列方程解得a的值得到点C的坐标.
7．【答案】-4
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：连结BD，则BO⊥AC，又 AF⊥AC ，所以AF//BD，又点O在BD上，
所以S△AFO=S △ADF =6
过点E，点A分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，
则EM//AN，又 AE=EF 所以FM=MN
根据题意设E（，a），则A（，2a），M（，0），N（，0）
S△AFO=FO×AN=FO×2a=6 ，得FO= 所以 F（-，0）
FM=-（-）=+，MN=-
所以+ =- 解得k=-4
故答案为：-4
【分析】连结BD，证明AF//BD即可得到S△AFO=S △ADF=6，过点E，点A分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，再结合题意即可得到FM=MN根据题意设E（，a），则A（，2a），M（，0），N（，0），再运用S△AFO=FO×AN即可求出F点坐标的表达式，再写出FM、MN的表达式即可求解.
8．【答案】12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质；角平分线的定义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接BD与AC交于点O，过点A作AG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，连接OF，
∴FH∥AG，
∵AE=EF，
∴FH是△AGE的中位线，
∴GH=HE，AG=2FH
∵点A、F在反比例函数y=（k＞0，x＞0）图象上，
∴S△AOG=S△FOH=，
∴OG·AG=OH·FH，
∴OH=2OG，
∴OG=GH=HE，
∵矩形ABCD，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
又∵AD平分∠OAE，
∴∠OAD=∠EAD，
∴∠ODA=∠EAD，
∴AE∥BD，
∴S△AOE=S△ABE=18，
∴S△AOG=S△AOE=6，
∴=6，
∴k=12.
故答案为：12.
【分析】如图，连接BD与AC交于点O，过点A作AG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，连接OF，则FH∥AG，又AE=EF，易得FH是△AGE的中位线，即得GH=HE，AG=2FH，在根据k的几何意义可得S△AOG=S△FOH=，从而得OG·AG=OH·FH，进而推出OG=GH=HE，再由矩形的性质得OA=OD，结合角平分线的定义，可推出∠ODA=∠EAD，从而推出AE∥BD，易得S△AOE=S△ABE=18，进而可得S△AOG=S△AOE=6，则=6，即可求出k值.
9．【答案】6.4
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵ 的顶点 的坐标为 ，
∴ 轴， .
∵反比例函数 和 的图象分别经过C，B两点，
∴
∴
∴
∴
∴
∵ 的面积是 面积的2倍，
∴
∴
∵ 的面积等于 ，
∴ ，即 ，解得 .
故答案为：6.4.
【分析】根据反比例函数的性质求出CD=BC=2，则可求得OD= ，然后根据△POA的面积是△PCD面积的2倍列式求出xp=3， 根据△POD的面积等于2k - 8，建立关于k的方程求解，即可解答.
10．【答案】3
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；全等三角形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当x=0， y=2×0+2=2，
∴B点坐标为（0，2），
当y=0时，0=-2x+2，
∴x=1，
如图，作DE⊥x轴，
∵∠BAO+∠DAE=∠BAO+∠ABO，
∴∠ABO=∠DAE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，
∴Rt△AOB≌Rt△DAE(AAS)，
∴DE=OA=1，
AE=OB=2，
∴OE=OA+AE=3，
∴D（3，1），
∴k=xy=3×1=3.
故答案为：3.
【分析】先求出一次函数图象与坐标轴交点的坐标，然后过D作DE垂直x轴，利用角角边定理证明Rt△AOB≌Rt△DAE，得出DE和AE的长，则D点坐标可求，于是反比例函数式中的k值可求.
11．【答案】或
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：，
直线l的解析式为x=m，
△与关于直线对称，
点A和点A'到直线x=m的距离相等为5-m，点B和点A的横坐标相同，
点A'和点B'的横坐标为2m-5，点A'纵坐标为3，点B'的纵坐标为6，
，
点C和点C'到直线x=m的距离为8-m，
，
△有两个顶点在函数的图象上，点A'和点B'横坐标相同，不可能同时在函数图象上，
可能为点A'，C'在函数的图象上，或可能为B'，C'在函数的图象上，
，
解得或，
，
或，符合题意，
当时，，故k=，
当时，，故k=.
故答案为：或.
【分析】根据题意求得，，分两种情况点A'，C'在函数的图象上，或可能为B'，C'在函数的图象上，分别求出k值即可.
12．【答案】解：当x=0时，y=-x+2=2
，∴C（0，2），
当y=0时，0=-x+2，
解得x=2，∴A（2，0），
四边形DCAE的面积=（DC+EA）×OC÷2=4，
∴（DC+DC+OA）×OC=8，
即（2DC+2）×2=8，
解得DC=1，
∴D（-1，2），
∴k=xy=-2.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】分别求出直线与坐标轴的交点坐标，则OC和OA的线段长可知，然后根据四边形DCAE的面积列关系式即可求出DC的长，则D点坐标可知，反比例函数函数k值也可求.
13．【答案】（1）（3，b）；（4，b+1）
（2）解：∵双曲线 过点 和 ，
∴ ，解得 ，
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
把点 的坐标 代入 ，解得 ，
∴双曲线的表达式为 .
（3）解：∵ ABCD与双曲线 总有公共点，
∴当点 在双曲线 上时，得到 ；
当点 在双曲线 上时，得到 ，
∴ 的取值范围是 .
【知识点】反比例函数的图象；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：(1)根据题意得 .
故答案为 .
【分析】(1)由四边形ABCD为平行四边形，AB∥x轴，得到A点与B点的纵坐标相同，C与D纵坐标相同，横坐标相差2，则可求出B、C坐标；
(2)由于B与D在反比例图象上，根据C与D横纵坐标乘积相等，建立关于b的方程求解，则可确定B坐标，然后利用待定系数法求双曲线解析式即可；
(3)抓住A、C两个关键点，将A、C两点的坐标分别代入双曲线解析式求出b的值，则可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时b的范围.
14．【答案】（1）平行四边形
（2）解：把A（n，3） 代入 y＝ 中，得3n=3，
∴n=1，
∴A（1，3），
∴OA=，
∵ 四边形ABCD是矩形 ，
∴OB=OA=，
∴m=；
（3）不能，理由如下：
∵点A在第一象限，B在x轴上，
∴∠AOB＜90°，即得AC与BD不可能垂直，
∴ 四边形ABCD不能成为菱形 ；
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数图象的对称性；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵ 正比例函数y＝kx（k＞0）与反比例函数y＝的图象分别交于A、C两点，
∴点A、C关于原点对称，即OA=OC，
∵点B与点D关于坐标原点O成中心对称 ，
∴OB=OD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形；
故答案为：平行四边形.
【分析】（1）根据正比例函数与反比例函数的对称性可知OA=OC，结合题意知OB=OD，根据对角线互相平分可证四边形ABCD是平行四边形；
（2）将A（n，3） 代入 y＝ 中求出n值，即得A（1，3），利用勾股定理求出OA的长，根据矩形的性质可得OB=OA，据此即得m值；
（3）由点A在第一象限，B在x轴上，可知∠AOB＜90°，即得AC与BD不可能垂直，根据菱形的性质即可判断.
15．【答案】（1）－6
（2）
（3）解：存在，点在点上方，
如图，作轴于点，于点，
设，则，则，，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
解得．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（1）解：如图：AB交y轴于M，
∵点是函数，点是函数，
∴由反比例函数的比例系数的几何意义得：，，
∵，
∴，
∴；
故答案为：-6；
（2）由题意得：
当时，，
∴，
当时，，
当时，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）由反比例函数的比例系数的几何意义得：，，再结合，可得，再求出即可；
（2）先求出点B的坐标，再利用两点之间的距离公式求出OB的长即可；
（3）作轴于点，于点，设，则，则，，先求出，再求出，即可得到。
16．【答案】（1）解：过点C作与点M，如图所示：
∵直线与x轴和y轴分别相交于点A和点B，
∴令得，
令得，
∴，，
∴，
根据，
∵是的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴在中，得，
解得：；
（2）解：由（1）可得，
∵点P与点B关于点C对称，
∴点P的横坐标为，纵坐标为，
∴，
设反比例函数为（k为常数，），
∵图象经过点P，
∴，解得：，
∴经过点P的反比例函数解析式为；
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等及其性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（3）如下图所示：连接PA，过点B作BD//PA，过点A作AD//PB，BD与AD交于一点D，连接BD，AD，
M
，
由（1）（2） 可得A(8，0)，B(0，-6)，P(6，6)，
∵四边形ADBP是平行四边形，
∴设BP所在的直线为y=k1x+b1，
∴，
解得：，
∵BP//AD，
∴设AD所在的直线为y=2x+b2，
将点A的坐标代入可得b2=-16，
∴AD所在的直线为y=2x-16，
设AP所在的直线为y=k2x+b3，
∴，
解得：，
∵APIBD，
∴设BD所在的直线为y=-3x-6，
由，得：，
∴D（2，-12），
故答案为：D（2，-12）.
【分析】（1）先求出 ，再利用勾股定理求出AB=10，最后利用全等三角形的判定与性质计算求解即可；
（2）根据题意象求出， 再利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）结合图形，利用平行四边形的性质，待定系数法求函数解析式即可。
17．【答案】（1）10；60
（2）解：、，
，轴，
，
，，
四边形为平行四边形，
当四边形是矩形时，；
当四边形是菱形时，
，
，
即或
（3）解：为中点，
为平行四边形对称中心，
，
，
，
过作轴，垂足为，
，
即：，
，
设直线的函数表达式为：，
过，，
直线的函数表达式为，
，
为中点，，
，
反比例函数的图象经过直线上两点，，
，
解得，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据点B、C的横坐标相同可知BC∥y轴，于是根据BC的长等于这两点纵坐标之差的绝对值可求得第一空的值；由题意易得OA=BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形OABC是平行四边形，于是根据S四边形OABC=OA×XB可求得第二空的值；
（2）由（1）知，BC∥y轴，且OA=BC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形OABC是平行四边形，由题意易知可分两种情况：①当四边形OABC是矩形时，a=0；
②当四边形OABC是菱形时，OC=OA=10，根据勾股定理可得关于a的方程，解方程可求解；
（3）由题意易知点E为平行四边形OABC的对称中心，则S四边形AOGF=S四边形OABC，结合三角形OFG的面积可求得三角形OFA的面积；过F作FH⊥y轴，垂足为H，根据三角形OFA的面积可求得FH的值，用待定系数法可求得直线AB的解析式为：y=，则可将点F的坐标用含a的代数式表示出来，根据E为OB的中点也可将点E的坐标用含a的代数式表示出来，由题意把点E、F代入反比例函数的解析式可得关于a、k的方程组，解方程组可求解.
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