第6章 反比例函数 习题课件(共39张PPT) 浙教版数学八年级下册

(共39张PPT)
第6章　反比例函数
考点一　反比例函数图象上点的特征
典例1　（2023·伊春）如图①，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，反比例函数y＝的图象过A，B两点，过点C作CD∥y轴交反比例函数的图象于点D，连结BD.若S△BCD＝12，则k的值是（　　）
（典例1图①）
A. －6
B. －12
C. －
D. －9
思路导引　设点A的横坐标为a，由于点A在反比例函数y＝的图象上，故点A的纵坐标为，即点A的坐标为.由于B是直线AB与反比例函数的图象的交点，故点A与点B关于原点成中心对称，则可得点B的坐标.过点A作AH⊥BC于点H，则根据等腰三角形“三线合一”的性质，可用含a，k的代数式表示点C，D的坐标，根据S△BCD＝12可得关于a，k的方程，解之可得k的值.
（典例1图①）
规范解答　如图②，过点A作AH⊥BC于点H，设BC交y轴于点E.∵ 点A在反比例函数y＝的图象上，∴ 设点A的坐标为.∵ B是直线AB与反比例函数的图象的交点，∴ 点B的坐标为.∵ BC∥x轴，∴ 点E的坐标为，HE＝－a.由反比例函数的图象的对称性可知，OA＝OB.又∵ OE∥AH，∴ 易得EH＝BE＝－a.∴ BH＝－2a.∵ AB＝AC，AH⊥BC，∴ BC＝2BH＝－4a.∴ CE＝BC－BE＝－4a－（－a）＝－3a.∴ 点C的坐标为.∵ DC∥y轴，∴ 点D的横坐标为3a.∵ 点D在反比例函数y＝的图象上，∴ 点D的坐标为.∴ DC＝yD－yC＝－＝.∵ S△BCD＝BC·DC＝12，∴ ×（－4a）×＝12，解得k＝－.故选C.
方法归纳
运用反比例函数图象上点的特征解题的方法
　　运用反比例函数图象上点的特征解题时，一般首先设该函数图象未知点的横坐标为a，然后根据该点在反比例函数图象上，用含a，k的代数式表示该点的纵坐标，进而得到该点的坐标，最后根据其他未知点与该点的关系，表示其他点的坐标，并把坐标转化成线段的长，最后根据几何图形的性质求解.
1. （2022·无锡）一次函数y＝mx＋n（m≠0）的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，B，其中点A，B的坐标分别为，（m，1），则△OAB的面积是（　D　）
A. 3 B. C. D.
D
考点二　反比例函数的图象与性质
典例2　（2023·安徽）如图①，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB＝2，∠AOB＝30°，函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过斜边OB的中点C.
（1） k＝ 　　　　 .
（2） 若D为该函数图象上的一点，DB∥AC，则OB2－BD2的值
为 　　　　 .
思路导引　（1） 取OA的中点H，连结CH.由三角形的中位线定理，可得点C的坐标，根据反比例函数图象上点的特征可求k的值.（2） 易得OB2的值，故要求OB2－BD2的值可转化为求BD2的值.易求点B的坐标，故只要求出直线AC，BD对应的函数表达式，结合（1）求出点D的坐标，即可求得BD2的值.
规范解答　（1） 如图②，取OA的中点H，连结CH.∵ C是OB的中点，∴ CH是△OAB的中位线.∴ CH＝AB＝×2＝1，CH∥AB.∴ ∠CHO＝∠OAB＝90°.∴ CH⊥x轴.∵ ∠COH＝30°，∴ 易得OC＝2CH＝2.∴ OH＝＝＝.∴ 点C的坐标为（，1）.∵ 点C在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，∴ k＝×1＝.故填.
（2） ∵ OB＝2OC＝4， ∴ OB2＝16.∵ AO＝2OH＝2，∴ 点A的坐标为（2，0）.设直线AC对应的函数表达式为y＝ax＋b（a≠0）.∵ 点C的坐标为（，1），∴ 解得∴ 直线AC对应的函数表达式为y＝－x＋2.∵ AC∥BD，∴ 可设直线BD对应的函数表达式为y＝－x＋c.∵ ∠OAB＝90°，∴ AB⊥x轴.∴ 点B的坐标为（2，2）.∴ 2＝－×2＋c，
解得c＝4.∴ 直线BD对应的函数表达式为y＝－x＋4.解方程组得或∴ 点D的坐标为（2＋3，2－）或（2－3，2＋）.当点D的坐标为（2＋3，2－）时，BD2＝（2＋3－2）2＋（2－－2）2＝9＋3＝12，∴ OB2－BD2＝16－12＝4.当点D的坐标为（2－3，2＋）时，BD2＝（2－3－2）2＋（2＋－2）2＝9＋3＝12，∴ OB2－BD2＝16－12＝4.综上所述，OB2－BD2的值为4.故填4.
方法归纳
求函数图象交点的方法
　　求两个函数图象的交点时，若两个函数的表达式已知，则直接把两个函数表达式联立方程组，并解方程组.方程组解中的x，y的值分别为交点的横、纵坐标，进而可得到交点的坐标.若函数表达式未知，则需先求出函数表达式，然后用前面的方法求解.
2. （2022·温州）如图所示为反比例函数y＝（k≠0）的图象的一支，它经过点（3，－2）.
（1） 求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支.
解：（1） 把（3，－2）代入y＝（k≠0），得－2＝，解得k＝－6，∴ 反比例函数的表达式为y＝－.补画该函数图象的另一支如图所示.
（2） 求当y≤5，且y≠0时，自变量x的取值范围.
解：（2） 当y＝5时，易得x＝－.由图象可知，当y≤5，且y≠0时，自变量x的取值范围是x≤－或x＞0.
考点三　与反比例函数有关的综合题
典例3　（2023·宜宾）如图①，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C的坐标为（3，0），顶点A，B（6，m）恰好落在反比例函数y＝在第一象限的图象上.
（典例3图①）
（1） 分别求反比例函数的表达式和直线AB对应的函数的表达式.
（2） 在x轴上是否存在一点F，使△ABF的周长最小？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
思路导引　（1） 由于AC＝BC，故分别过点A，B作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，构造△ADC≌△CEB，据此可用含m的代数式表示点A的坐标，进而将点A，B的坐标代入反比例函数的表达式，由k建立等量关系列关于m的方程，解之即可.最后用待定系数法即可求得两函数的表达式.（2） 易知线段AB的长为定值.若AF＋BF有最小值，则△ABF的周长有最小值.易知F为定直线上的动点，A，B为这条定直线同侧的两个定点，符合“将军饮马”模型，故存在这样的点F，最后借助该模型求得△ABF的周长的最小值即可.
（典例3图①）
规范解答　（1） 如图②，
分别过点A，B作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E.
∴ ∠ADC＝∠CEB＝90°.
∵ △ABC是等腰直角三角形，C为直角顶点，
∴ AC＝BC，∠ACB＝90°.
∴ ∠ACD＝90°－∠BCE＝∠CBE.
在△ADC和△CEB中，
∴ △ADC≌△CEB.
∴ AD＝CE，CD＝BE.
∵ 点C，B的坐标分别为（3，0），（6，m），
∴ AD＝CE＝6－3＝3，CD＝BE＝m.
∴ OD＝3－m.
∴ 点A的坐标为（3－m，3）.
∵ 点A，B落在反比例函数y＝在第一象限的图象上，
∴ k＝3（3－m），k＝6m.
∴ 3（3－m）＝6m，解得m＝1.
∴ k＝6×1＝6.
∴ 反比例函数的表达式为y＝，点A，B的坐标分别为（2，3），（6，1）.
设直线AB对应的函数的表达式为y＝ax＋b（a≠0），
∴ 解得，
∴ 直线AB对应的函数的表达式为y＝－x＋4.
（2） 在x轴上存在一点F，使△ABF的周长最小.如图③，
作点A（2，3）关于x轴的对称点A'（2，－3），连结A'B，交x轴于点F，连结AF，过点B作BH⊥AA'于点H.
∵ 点A，B的坐标分别为（2，3），（6，1），
∴ AH＝yA－yB＝3－1＝2，BH＝xB－xA＝6－2＝4.
∵ BH⊥AA'，
∴ ∠AHB＝90°.
∴ AB＝＝＝2.
∵ 点A，A'关于x轴对称，
∴ AF＝A'F.
∵ 点A'，B的坐标分别为（2，－3），（6，1），
∴ A'H＝yB－yA'＝1－（－3） ＝4.
∴ A'B＝＝＝4.
∴ △ABF的周长的最小值为AB＋AF＋BF＝AB＋A'F＋BF＝AB＋A'B＝2＋4.
∴ 在x轴上存在一点F，使△ABF的周长最小，最小值为2＋4.
3. （2023·泉州惠安期末）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角边AC在x轴上，∠ACB＝90°，AC＝1，函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过边BC的中点D（3，1）.
（1） 求这个函数的表达式.
解：（1） ∵ 函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D（3，1），∴ k＝3×1＝3.∴ 这个函数的表达式为y＝（x＞0）.　
（2） 若△ABC与△EFG关于某点成中心对称，且△EFG的边FG在y轴的正
半轴上，点E在这个函数的图象上.
① 求OF的长.
② 连结AF，BE，求证：四边形ABEF是正方形.
解：（2） ① ∵ D（3，1）是边BC的中点，∠ACB＝90°，
∴ BC⊥x轴.∴ 点B的坐标为 （3，2）.∵ △ABC与△EFG关于某点成中心对称，∴ △EFG≌△ABC.∴ GE＝CA＝1，FG＝BC＝2，∠EGF＝∠ACB＝90°.∴ 点E的横坐标为1.∵ 当x＝1时，y＝＝3，∴ 点E的坐标为（1，3）.∴ OG＝3.∴ OF＝OG－FG＝3－2＝1.　
解：（2） ② ∵ D（3，1），∠ACB＝90°，∴ OC＝3.∴ AO＝OC－AC＝3－1＝2.在△AOF和△FGE中，
∴ △AOF≌△FGE.∴ AF＝FE，∠OFA＝∠GEF.∵ ∠EGF＝90°，∴ ∠GFE＋∠FEG＝90°.∴ ∠GFE＋∠OFA＝90°.∴ ∠EFA＝90°.同理，可得∠FAB＝90°.∴ ∠FAB＋∠EFA＝180°.∴ EF∥AB.∵ △ABC与△EFG关于某点成中心对称，∴ AB＝EF.∴ 四边形ABEF是平行四边形.又∵ ∠EFA＝90°，∴ 四边形ABEF是矩形.又∵ EF＝AF，∴ 四边形ABEF是正方形.
1. （2022·上海）已知反比例函数y＝（k≠0），且在图象所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则下列可能在这个函数图象上的点为（　B　）
A. （2，3） B. （－2，3）
C. （3，0） D. （－3，0）
B
1
2
3
4
5
6
7
2. （2023·齐齐哈尔）如图，点A在反比例函数y＝（k≠0）图象的一支上，点B在反比例函数y＝－图象的一支上，点C，D在x轴上.若四边形ABCD是面积为9的正方形，则k的值为 　－6　 .
（第2题）
－6
1
2
3
4
5
6
7
3. （2023·仙桃）在平面直角坐标系中，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（－1，－2）和点B（2，m），则△AOB的面积为 　 　 .
4. （2023·荆州）如图，点A（2，2）在函数y＝（x＞0）的图象上，将直线OA向上平移若干个单位，交y轴于点B，交函数y＝（x＞0）的图象于点C.若BC＝2，则点C的坐标是 　（，2）　 .

（，2）
（第4题）
1
2
3
4
5
6
7
5. （2023·威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在函数y＝（x＞0）的图象上，点A的坐标为（m，2），连结OA，OB，AB.若OA＝AB，∠OAB＝90°，则k的值为 　2－2　 .
（第5题）
2－2
1
2
3
4
5
6
7
6. （2023·遂宁）如图，一次函数y＝k1x＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（－4，1），B（m，4）两点.
（1） 求一次函数和反比例函数的表达式.
解：（1） 一次函数的表达式为y＝x＋5，反比例函数的表达式为y＝－.
1
2
3
4
5
6
7
（2） 根据图象直接写出关于x的不等式k1x＋b＞的解集.
解：（2） 关于x的不等式k1x＋b＞的解集为－4＜x＜－1或x＞0.
1
2
3
4
5
6
7
解：（3） 如图，过点A，B分别作AC⊥y轴于点C，BD⊥y轴于点D，连结AD，BC.设点P的坐标为（0，t）.∵ 易知点A，B的坐标分别为（－4，1），（－1，4），∴ AC＝4，OC＝1，BD＝1，OD＝4.∴ CD＝OD－OC＝4－1＝3.∵ AC⊥y轴，BD⊥y轴，∴ S梯形ACDB＝（BD＋AC）·CD＝，S△ABC＝AC·CD＝6，S△ABD＝BD·CD＝.∴ S△ABD＜S△PAB＝3＜ S△ABC.∴ 点P在线段CD上或在CD的延长线上，不可能在DC的延长线上.分两种情况讨论：① 如图，当点P在线段CD上时，OP＝t.∴ PD＝OD－OP＝4－t，PC＝OP－OC＝t－1.∴ S△PBD＝PD·BD＝，
（3） 若P为y轴上一点，△PAB的面积为3，求点P的坐标.
1
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3
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5
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7
S△PAC＝PC·AC＝2t－2.∵ S△PAB＝ S梯形ACDB－S△PBD－S△PAC＝3，∴ －－（2t－2）＝3，解得t＝3.∴ 点P的坐标为（0，3）.② 当点P在CD的延长线上的点P'处时，OP'＝t.∴ P'D＝t－4，P'C＝t－1.∴ S△P'AC＝AC·P'C＝2（t－1），S△P'BD＝BD·P'D＝（t－4）.又∵ S△P'AB＝S△P'AC－S△P'BD－S梯形ACDB＝3，∴ 2（t－1）－（t－4）－＝3，解得t＝7.∴ 点P'的坐标为（0，7）.综上所述，点P的坐标为（0，3）或（0，7）.
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7
7. （2023·宁波南三期末）定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形.
（1） 矩形 　是　 勾股四边形（填“是”或“不是”）.
（第7题）
（2） 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋1与双曲线y＝－相交于A，B两点，点P（－3，0）在x轴的负半轴上，Q为坐标平面上一点.
是
1
2
3
4
5
6
7
① 分别求出A，B两点的坐标.
② 连结AP，PQ，BQ，PB，当四边形APQB是平行四边形时，求证： APQB是勾股四边形.
解：（2） ① 点A的坐标为（－2，3），点B的坐标为（3，－2）.　
（第7题）
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3
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5
6
7
② ∵ 四边形APQB是平行四边形，∴ BQ∥AP，AP＝QB.易得△APB为直角三角形，且∠APB＝90°.∵ BQ∥AP，
∴ ∠APB＝∠QBP＝90°.∴ △QPB为直角三角形.又∵ AP＝QB，PB＝BP，∴ △APB≌△QBP.又∵ △APB与△QBP均为直角三角形，∴ APQB为勾股四边形.　
（3） 在（2）的条件下，当以A，B，P，Q为顶点的四边形是勾股四边形时，求点Q的坐标.
（第7题）
解：（3） 由（2）可知，∠APB＝90°，∴ 当以A，B，P，Q为顶点的四边形是勾股四边形时，分三种情况讨论：① 由（2）②可知，当AB，AP为勾股四边形的边时，如题图.易得直线AP对应的函数表达式为y＝3x＋9.∵ 四边形APQB是平行四边形，∴ BQ∥AP，PQ∥AB，AP＝QB，AB＝QP.易得直线BQ对应的函数表达式为y＝3x－11，直线PQ对应的函数表达式为y＝－x－3.联立解得∴ 点Q的坐标为（2，－5）.　② 当AB为勾股四边形的边，AP为对角线时，如图①，
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5
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过点A作PB的平行线AQ，过点P作AB的平行线PQ，AQ与PQ交于点Q，则四边形ABPQ为平行四边形.∴ ∠APB＝∠PAQ＝90°，PB＝AQ.∴ △APB≌△PAQ.又∵ △APB与△PAQ均为直角三角形，∴ 四边形ABPQ为勾股四边形.设点Q的坐标为（k，t），连结BQ，交AP于点E，则E既是AP的中点，又是BQ的中点.∵ A（－2，3），P（－3，0），∴ 点E的坐标为（－2.5，1.5）.又∵ 点Q，B的坐标分别为（k，t），（3，－2），∴ （k＋3）＝－2.5，（t－2）＝1.5.∴ k＝－8，t＝5.∴ 点Q的坐标为（－8，5）.　
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（第7题）
③ 当AP为勾股四边形的边，AB为对角线时，如图②，过点A作PB的平行线AQ，过点B作AP的平行线BQ，AQ与BQ交于点Q，则四边形APBQ为平行四边形.∵ ∠APB＝90°，∴ 四边形APBQ为矩形.由（1）知，矩形为勾股四边形，∴ 四边形APBQ为勾股四边形.同②，可得点Q的坐标为（4，1）.综上所述，当以A，B，P，Q为顶点的四边形是勾股四边形时，点Q的坐标为（2，－5）或（－8，5）或（4，1）.
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