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反比例函数k值意义60题重难点题型专训（2大题型）
【经典例题一 已知比例系数求图形面积】
1．如图，第一象限的点A、B均在反比例函数的图象上，作轴于点C，轴于点D，连接，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，交轴于点，连结，取的中点，连结，则（阴影部分）的面积为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
3．如图，已知为反比例函数图象上的两点，连接，则三角形的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线过原点，与反比例函数图象交两点，轴于点，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
5．如图，B、C两点分别在函数 和（）的图象上，线段轴，点A在x轴上，则的面积为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．4
6．如图，已知点，点在双曲线上，点，点双曲线上，四边形为平行四边形若轴，则平行四边形的面积等于（ ）
A． B． C．5 D．10
7．若函数与函数的图象相交于两点，垂直轴于，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
8．如图，反比例函数（）、（）的图象分别经过正方形、正方形的顶点D、A，连接、、．则的面积可表示为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，O是斜边的中点，点A、E均在反比例函数图象上，延长线交x轴于点D，且，．则的面积为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
10．如图，P是反比例函数的图象上一点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交反比例函数的图象于点M，N，则的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
11．如图，正六边形的顶点在轴上，边与轴重合．反比例函数的图象经过正六边形的中心，则正六边形的面积等于 ．
12．如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．
13．如图，反比例函数的图象经过正的顶点P，则的面积为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过平行四边形的顶点A，将该反比例函数图象沿轴对称，所得图象恰好经过中点，则平行四边形的面积为 ．
15．如图，点是反比例函数图象上一点，连接．过点作轴于点，为的中点，连接并延长交反比例函数的图象于点，过点作轴于点，则四边形的面积为 ．
16．在平面直角坐标系中，对于任意一个不在坐标轴上的点，我们把点称为点P的“和差点”．若直线上有两个点A和B，它们的和差点和均在反比例函数上，则的面积为 ．
17．如图，点，是反比例函数图像上任意两点，过点，分别作轴、轴的垂线，， ．
18．如图，双曲线与在第一象限内的图象依次是和设点在图象上，垂直于轴于点，交图象于点，垂直于轴于点，交图象于点，则四边形的面积为
19．如图，直线与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，连接、，则的面积是 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交反比例函数的图像于点A，B（点A在B的左上方），分别交x轴，y轴于点C，D，轴于点E，交于点F．若图中四边形与的面积差为，则与的面积差为 ．
21．如图，点在反比例函数的图象上，过点P作轴交反比例函数的图象于点M，作轴交反比例函数的图象于点N，连接．
(1)求k的值；
(2)求的面积；
(3)连接，直接写出的面积．
22．已知点，点B的横坐标为均在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点A，过点B作轴于D，交反比例函数的图象于点C，连接
(1)当时，求直线AC的解析式；
(2)是否存在一个m，使得，若存在，求出m的值，不存在，说明理由．
23．如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数的图象交于A，B两点，轴，垂足是C．求：
(1)反比例函数上的解析式；
(2)的面积．
24．如图，矩形的边在x轴上，反比例函数的图象经过点D，交于点E，且．
(1)若矩形的对角线相交于点F，试判断点F是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
(2)连接，求四边形的面积．
25．如图，以平行四边形的顶点O为原点，边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是，过点A的反比例函数的图象交于D．
(1)点B的坐标为______．
(2)点D是的中点吗？请说明理由；
(3)连接，求四边形的面积．
26．如图，点A、B分别在反比例函数（）和反比例函数的图象上，轴，求的面积．
27．在反比例函数的图象上有不重合的两点、，点的纵坐标为2．
(1)求点的横坐标；
(2)过点向轴作垂线，垂足是，试求．
28．如图，已知反比例函数的图象经过点．
(1)求k的值．
(2)若点B在x轴上，且，则的面积为______．
29．如图，、是反比例函数图象上两点，连接、，求的面积．
30．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（其中）的图象相交于，两点，
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)过点B作轴，交y轴于点P，过点P作交x轴于点Q，连接，求四边形的面积．
【经典例题二 根据图形面积求比例系数】
1．如图，直线交轴于点，交反比例函数的图象于、两点，过点作轴，垂足为点，若，则的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．如图，已知P，Q分别是反比例函数与，且轴，点P的坐标为，分别过点P，Q作轴于点M，轴于点N．若四边形的面积为2，则的值为（ ）．
A．5 B． C．1 D．
3．如图，点A是反比例函数在第一象限图象上的任意一点，点B、C分别在x、y正半轴上，且轴，若的面积为2，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，已知点，过点P作轴于点M，轴于点N，反比例函数的图象 交于点A，交于点B．若四边形的面积为12，则k的值为（ ）
A．6 B． C．12 D．
5．反比例函数和在第一象限的图象如图所示，A，B分别为图象上两点，且轴，若的面积为2，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．10 D．12
6．如图，点A为反比例函数图象上一点，点B为反比例函数图象上一点，连接，，若线段的中点C恰好落在x轴上，且，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的长方形被坐标轴分割成四个小长方形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数（k为常数，，）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接．若的面积为，则k的值（ ）
A． B． C． D．
9．如图，矩形的边轴，对角线的交点O为坐标原点，，垂足是G．若反比例函数的图象经过点A，且，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图在平面直角坐标系中，点、点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，点作轴于点，若，且的面积为，则的值是( )
A． B． C． D．
11．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点．在轴上，垂直于轴，点分别在函数和的图象上．若的面积为，且，则的值为 ．
12．如图，点A，B分别在反比例函数 的图像上，点C在x轴的负半轴上，若平行四边形ACOB 的面积是4，则k的值为 ．
13．如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，若点C是x轴上一点，，则k的值为 ．
14．如图，点A在反比例函数图象的第一象限的那一支上，垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且，点D为的三等分点，若的面积为5，则k的值为 ．
15．如图，的顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在反比例函数的图象上，轴，且的对角线交点为坐标原点O．若，则 ．
16．已知在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限内，的边与反比例函数有交点．
（1）如图①，点A在反比例函数的图象上，轴，垂足为点B，的面积为6，则k的值为 ．
（2）如图②，反比例函数的图象经过的顶点A和边的中点C．若的面积为6，则k的值为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点作轴交反比例函数的图象于点，点为轴上一点，连接、，若的面积为，则的值为 ．
18．如图，、是反比例函数图象上的两点，、两点的横坐标分别是、，直线与轴交于点，若的面积为，则 ．
19．如图，矩形，双曲线分别交、于F、E两点，已知，求：
（1）当E为中点，则的面积为 ．
（2）当，则k的值为 ．
20．如图，顶点A落在轴上，斜边上的中线轴于点D、O为坐标原点，反比例函数经过直角顶点，若的面积为，则的值为 ．
21．如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，，求点所在的反比例函数解析式．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，与双曲线交于点C，且点A为的中点，设的面积为S．
(1)若，求k的值；
(2)试探究S与b的数量关系．
23．如图，的顶点是双曲线与直线在第二象限的交点，轴于点，．
(1)的值为__________；点坐标为__________．
(2)若点是图象上的一点，当时，求的取值范围．
(3)根据图象直接写出时的取值范围．
24．如图，O为坐标原点，反比例函数的图象交直线于和B．
(1)求A和B两点的坐标；
(2)求的面积；
(3)直接写出不等式的x的取值范围．
25．如图，已知点A在正比例函数图象上，过点A作轴于点B，四边形是正方形，点D是反比例函数图象上．
(1)若点A的横坐标为，求k的值；
(2)若设正方形的面积为m，试用含m的代数式表示k值．
26．如图，直线与反比例函数的图象交于点，过点A作轴交轴于点，在轴正半轴上取一点，使，连接．若的面积是9．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)点为直线上一点，且的面积等于面积的2倍，求点的坐标．
27．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于、两点，，轴，交轴于点．
(1)若，则 ．
(2)若，则点坐标 ；当 时，的取值范围 ．
(3)点在第一象限反比例函数图像上，，设，，用含或的式子表示和长，并求值．
28．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线l与y轴平行，且直线l与反比例函数和的图象分别交于点A、B．
(1)求点A的坐标；
(2)若的面积为24，求k的值．
(3)在（2）的条件下，若x轴上有一点M，使为等腰三角形，请直接写出所有满足条件M点的坐标．
29．如图双曲线 与矩形的边 、分别交于 E 、 F 点， OA 、 OC 在坐标轴上，且，求 k ．
30．如图1，点，在反比例函数的图象上，过点作轴于点，过作轴于点．
探究发现
（1）①若，则的面积为________，的面积为________；
②若，则的面积为________，的面积为________．
猜想验证
（2）①如图1，与的位置关系为________；
②如图2，题中的其他条件不变，只改变点，的位置，请判断与的位置关系，并说明理由．
图1 图2
推广应用
（3）如图3，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，反比例函数的图象分别与，交于点，，为线段上的动点，反比例函数的图象经过点交于点，连接．将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，求的值．中小学教育资源及组卷应用平台
反比例函数k值意义60题重难点题型专训（2大题型）
【经典例题一 已知比例系数求图形面积】
1．如图，第一象限的点A、B均在反比例函数的图象上，作轴于点C，轴于点D，连接，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义坐标与图形，熟知反比例函数k的几何意义是解本题的关键．设，则，列示求出即可求出结论．
【详解】解：设，则，
∴，
∵点A、B均在反比例函数的图象上，作轴于点C，轴于点D，
∴点，四边形为直角梯形，
∴，
∴，
根据反比例函数比例系数的几何意义得：，
∵．
故选：D．
2．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，交轴于点，连结，取的中点，连结，则（阴影部分）的面积为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，三角形中线的性质，根据题意求得，进而根据三角形中线的性质，即可求解．
【详解】解：连接，如图所示，
依题意，
∵是的中点，
∴（阴影部分）的面积为，
故选：D．
3．如图，已知为反比例函数图象上的两点，连接，则三角形的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例图象上点的坐标特征，分别过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，且的延长线交于点．根据求得即可．
【详解】解：分别过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，且的延长线交于点，
都是反比例函数图象上的两点，
，
，
，
，
，
故选：D．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线过原点，与反比例函数图象交两点，轴于点，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数的对称性和反比例函数系数的几何意义，可求出，再根据的值求面积即可．
【详解】解：由对称性可知，，
，
轴，，
，
．
故答案为．
5．如图，B、C两点分别在函数 和（）的图象上，线段轴，点A在x轴上，则的面积为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的意义，三角形等积求解；连接、，由等底同高的三角形面积相等得，再由反比例函数的意义得，即可求解；理解“过反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线，连接此点与坐标原点，所围成的三角形面积为．”是解题的关键．
【详解】解：如图，连接、，
轴，
轴，
，
，
；
故选：C．
6．如图，已知点，点在双曲线上，点，点双曲线上，四边形为平行四边形若轴，则平行四边形的面积等于（ ）
A． B． C．5 D．10
【答案】A
【分析】
本题考查了反比例函数的综合运用，先设的坐标为，然后表示出点的坐标，即可表示出的长，先求出轴上方的面积，同理求出下方的面积即可解答．
【详解】
解：设，与轴的交点分别是，，
设的坐标为，
轴，
点的坐标为，
，
，
同理可得四边形的面积是，
平行四边形的面积等于，
故选：A．
7．若函数与函数的图象相交于两点，垂直轴于，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，
【详解】解：如图：
设点A的坐标为，则，
故的面积为，
与同底等高，
，
故选：A．
【点睛】主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义，图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即．
8．如图，反比例函数（）、（）的图象分别经过正方形、正方形的顶点D、A，连接、、．则的面积可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，根据即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：
四边形与四边形都是正方形，
，，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、反比例函数k的几何意义，证明是解决问题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，O是斜边的中点，点A、E均在反比例函数图象上，延长线交x轴于点D，且，．则的面积为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【分析】连接，过点E作于点F，过点A作于点G，根据．可得，，再根据反比函数比例系数的几何意义可得，从而得到，进而得到，可得到，再证明，即可求解．
【详解】解：如图，连接，过点E作于点F，过点A作于点G，
∵．
∴点E的横纵坐标等于点A、D的横纵坐标之和的一半，
∴，，
∵点A、E均在反比例函数上，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵O是斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义，平行线的判断和性质，直角三角形斜边中线的性质，等高模型等知识，解题的关键是证明，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
10．如图，P是反比例函数的图象上一点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交反比例函数的图象于点M，N，则的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】
设点P的坐标为，则点N的坐标为，点的坐标为，即可求得，，再根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：设点P的坐标为，
轴，轴，
点N的坐标为，点的坐标为纵坐标为，
，解得，
点的坐标为，
，，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形，反比例函数的应用，三角形的面积公式，分别求得点M、N的坐标是解决本题的关键．
11．如图，正六边形的顶点在轴上，边与轴重合．反比例函数的图象经过正六边形的中心，则正六边形的面积等于 ．
【答案】9
【分析】此题主要考查了正多边形与反比例函数的应用，正确得出G点坐标是解题关键．设正六边形的边长为，连接，，，过点作于点，根据正六边形的性质得到，进而得到点的坐标为，将点的坐标代入，得，根据即可求解．
【详解】解：设正六边形的边长为．
如图，连接，，，过点作于点，
则，，
，
点的坐标为．
的图象经过点，
将点的坐标代入，得，
解得，
．
12．如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．
【答案】24
【分析】设，则，从而可得、，由正方形的性质可得，由轴，点P在上，可得，由于Q为的中点，轴，可得，则，由于点Q在反比例函数的图象上可得，根据阴影部分为矩形，且长为，宽为a，面积为6，从而可得，即可求解．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
在正方形中，，
∵Q为的中点，
∴，
∴，
∵Q在反比例函数的图象上，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵P在上，
∴P点纵坐标为，
∵P点在反比例函数的图象上，
∴P点横坐标为，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：24．
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
13．如图，反比例函数的图象经过正的顶点P，则的面积为 ．
【答案】
【分析】过点作，设，则，，由为正三角形可得，，求解即可．
【详解】解：过点作，如下图：
设，则，，
∵为正三角形，，
∴，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了反比例函数的性质和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的有关性质．
14．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过平行四边形的顶点A，将该反比例函数图象沿轴对称，所得图象恰好经过中点，则平行四边形的面积为 ．
【答案】10
【分析】设，根据平行四边形对边平行得到点B的纵坐标为，根据图象沿轴对称所得图象为及中点性质得到，根据点O、A的水平距离为x及平行四边形对边平行且相等，推出点M、B的水平距离为，推出，得到，得到．
【详解】∵（）的图象经过平行四边形的顶点A，
∴设，
∵轴，
∴点B的纵坐标为，
∵图象沿轴对称所得图象为，这个图象恰好经过中点，
∴，
∵点O、A的水平距离为x，，，
∴点B、C的水平距离也为x，
∴点M、B的水平距离为，
∴，
∴，
∴．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了反比例函数，轴对称，平行四边形．解决问题的关键是熟练掌握反比例函数图象上点的性质，关于y轴对称的函数的性质，平行四边形边的性质，中点坐标的性质．
15．如图，点是反比例函数图象上一点，连接．过点作轴于点，为的中点，连接并延长交反比例函数的图象于点，过点作轴于点，则四边形的面积为 ．
【答案】3
【分析】根据反比例函数的几何意义可得，，根据中线的性质得出，进而即可求解．
【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，轴于点，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵点是反比例函数图象上一点，轴于点，
∴，
∴四边形的面积为，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
16．在平面直角坐标系中，对于任意一个不在坐标轴上的点，我们把点称为点P的“和差点”．若直线上有两个点A和B，它们的和差点和均在反比例函数上，则的面积为 ．
【答案】/
【分析】设，则，，由和均在反比例函数上，可得，，从而求出或，或，即可求出结果．
【详解】解：设点A的坐标为：，点B的坐标为：，则，，
∵和均在反比例函数上，
∴，，
解得：、，、，
当时，；
当时，，
∴点A的坐标为：或，点B的坐标为：或，
设一次函数与x的轴相交于点C，
当时，，即，
∴点C的坐标为：，
∴，
如图所示：，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数和一次函数图象的点的坐标特征及解一元二次方程，熟练掌握反比函数上的点的横坐标与纵坐标的积等于反比例的比例系数是解题的关键．
17．如图，点，是反比例函数图像上任意两点，过点，分别作轴、轴的垂线，， ．
【答案】
【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义得，即可求得结果．
【详解】解：∵点，是反比例函数图像上任意两点，过点，分别作轴、轴的垂线，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数中的几何意义，即图像上的点向坐标轴作垂线与坐标轴所围成的矩形面积．掌握反比例函数中的几何意义是解题的关键．
18．如图，双曲线与在第一象限内的图象依次是和设点在图象上，垂直于轴于点，交图象于点，垂直于轴于点，交图象于点，则四边形的面积为
【答案】/
【分析】根据反比例函数系数的几何意义得到，，然后利用四边形的面积进行计算．
【详解】
解：轴，轴，
，，
四边形的面积．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
19．如图，直线与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，连接、，则的面积是 ．
【答案】5
【分析】依据轴，可得与的面积相等，再根据反比例函数和的图象分别过A、B两点，即可得到，，进而得出的面积为5．
【详解】解：如图，连接，，
∵轴，
∴与的面积相等，
又∵反比例函数和的图象分别过A、B两点，
∴，，
∴，
∴的面积5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了反比例函数中比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
20．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交反比例函数的图像于点A，B（点A在B的左上方），分别交x轴，y轴于点C，D，轴于点E，交于点F．若图中四边形与的面积差为，则与的面积差为 ．
【答案】
【分析】作于点H，根据反比例函数面积性质及四边形与的面积差为推出面积为，可求出，确定直线解析式，得到，从而将与的面积差转化为与的面积之差计算即可．
【详解】解：作于点H，
∵四边形与的面积差为，反比例函数
∴，，
∴，
∴，
∴．
∵直线分别交x轴，y轴于点C，D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴直线，，
∴，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，反比例函数图像上点的坐标特征，待定系数法确定解析式，熟练掌握交点的意义，反比例函数的性质和k的几何意义，正确进行图形分割是解题的关键．
21．如图，点在反比例函数的图象上，过点P作轴交反比例函数的图象于点M，作轴交反比例函数的图象于点N，连接．
(1)求k的值；
(2)求的面积；
(3)连接，直接写出的面积．
【答案】(1)6
(2)
(3)
【分析】本题考查反比例函数解析式，反比例函数k的几何意义．掌握反比例函数图象上的任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为k的绝对值是解题关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）延长交y轴、x轴分别为A、B，得到，进而得到，求出即可求解；
（3）根据题意得到，由即可求解．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
k的值为6；
（2）解：如图，延长交y轴、x轴分别为A、B，
∵点
∴，
∵点M、点N在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
的面积为；
（3）解：的面积为．理由：
∵点M、点N在反比例函数的图象上，
∴，
∴
，
的面积是．
22．已知点，点B的横坐标为均在正比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点A，过点B作轴于D，交反比例函数的图象于点C，连接
(1)当时，求直线AC的解析式；
(2)是否存在一个m，使得，若存在，求出m的值，不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）先求出，坐标，然后用待定系数法求出结果即可；
（2）根据点B的横坐标为，得出，，根据，得出，即，求出即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
∴，
把代入得：，
∴反比例函数的解析式为，
当时，点C的横坐标为2，
∴把代入得：，
∴，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：存在；此时．
∵点B的横坐标为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：，（舍去）．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键．
23．如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数和反比例函数的图象交于A，B两点，轴，垂足是C．求：
(1)反比例函数上的解析式；
(2)的面积．
【答案】(1)
(2)的面积是2
【分析】本题考查的知识点是正比例函数以及反比例函数图象上点的坐标．
（1）根据题意A的纵坐标为2，代入，求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值；
（2）分别求出和即可求解．
【详解】（1）解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交点A的纵坐标为2，
，
解得：，
把代入，得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：轴，垂足是C，
，
∵点A和点B关于原点对称，
，
∴，，
∴，
的面积是2．
24．如图，矩形的边在x轴上，反比例函数的图象经过点D，交于点E，且．
(1)若矩形的对角线相交于点F，试判断点F是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
(2)连接，求四边形的面积．
【答案】(1)在，理由见解析
(2)
【分析】
题目主要考查反比例函数的基本性质及矩形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键
（1）根据矩形的性质及坐标与图形得出，然后确定反比例函数解析式，再由矩形的性质得出，代入进行判断即可；
（2）过点D作轴于点G，根据矩形的性质结合反比例函数求面积即可．
【详解】（1）
解：点F在该反比例函数的图象上．理由如下：
∵，四边形为矩形．
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为
又∵点F为的交点．
∴F为的中点
∴
又∵，
∴点F在该反比例函数的图象上．
（2）
如图，过点D作轴于点G．
∴四边形为矩形．
又∵，
∴，
又∵D，E在反比例函数的图象上．
．
25．如图，以平行四边形的顶点O为原点，边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是，过点A的反比例函数的图象交于D．
(1)点B的坐标为______．
(2)点D是的中点吗？请说明理由；
(3)连接，求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)理由见解析
(3)四边形的面积为
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的性质，反比例函数的解析式，一次函数的解析式．
（1）根据平行四边形的性质即可求出B点坐标；
（2）由点A的坐标进可得出反比例函数的解析式，利用待定系数法求出直线的解析式，即可求出D点坐标，即可得出结论；
（3）由（2）知点D为的中点，的面积平行四边形的面积，即可求出四边形的面积．．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，A、C的坐标分别是，
∴，
∴点B的坐标为：；
（2）解：把点代入反比例函数得：，
∴反比例函数的解析式为：；
设直线的解析式为：，
把点代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
解方程组
得：或 （不合题意，舍去），
∴点D的坐标为：，
即点D为的中点；
（3）解：如图，连接，
点D为的中点，
的面积平行四边形的面积，
∴四边形的面积平行四边形的面积的面积；
四边形的面积为．
26．如图，点A、B分别在反比例函数（）和反比例函数的图象上，轴，求的面积．
【答案】1
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，延长交y轴于C，得到轴，设，则，即可得到，，根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：如图，延长交y轴于C，
∵轴，
∴轴，
设，则，
∴，，
∴．
27．在反比例函数的图象上有不重合的两点、，点的纵坐标为2．
(1)求点的横坐标；
(2)过点向轴作垂线，垂足是，试求．
【答案】(1)点的横坐标为4；
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．
（1）将点的横坐标代入求解即可；
（2）设，则有，，根据三角形面积公式可得答案．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象上的点纵坐标为2，
∴，
∴，
∴点的横坐标为4；
（2）解：设则有，
，，
∴．
28．如图，已知反比例函数的图象经过点．
(1)求k的值．
(2)若点B在x轴上，且，则的面积为______．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）把点A坐标代入即可；
（2）过A作与C，设点A的坐标为，得到，根据得到，将的面积用m，n来表示即可．
【详解】（1）解：把代入到，得
，
解得，；
（2）如图，过A作于点C，设点A的坐标为，
设点A的坐标为，
∴
∵，，
∴，
∴的面积为，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了学生对于待定系数法，等腰三角形三线合一性质的应用和反比例函数系数k的几何意义的掌握情况．解得关键是用找到三角形面积与k之间的关系．
29．如图，、是反比例函数图象上两点，连接、，求的面积．
【答案】
【分析】根据反比例函数的坐标特征得到，解得，；由反比例函数系数的几何意义，根据求得即可．
【详解】解：点、是函数图象上的两点，
，
解得，，
、，
作轴于，轴于，
∴由反比例函数k的几何意义可知，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例图象上点的坐标特征，根据图象得到是解题的关键．
30．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（其中）的图象相交于，两点，
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)过点B作轴，交y轴于点P，过点P作交x轴于点Q，连接，求四边形的面积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数中可得到系数的值，再把点B代入即可求得点B的坐标，进而将两点坐标代入一次函数求解即可；
（2）四边形的面积可看做是一个四边形和一个直角三角形的面积和，经证明可得四边形为平行四边形，进而根据面积公式求得．
【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数（其中）的图象相交于，两点，
，
∴反比例函数表达式为，，
，
将、两点的坐标代入，
得，解得，
∴一次函数表达式为；
（2）解：令一次函数的图象与轴交于点，
轴，，
∴四边形为平行四边形，
，
．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解答的关键是结合图形分析问题与条件之间的关系．
【经典例题二 根据图形面积求比例系数】
1．如图，直线交轴于点，交反比例函数的图象于、两点，过点作轴，垂足为点，若，则的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，准确识图，理解反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键．设点的坐标为，然后根据三角形面积公式列方程求解．
【详解】解：设点的坐标为，
，且，
，
解得：，
故选：B
2．如图，已知P，Q分别是反比例函数与，且轴，点P的坐标为，分别过点P，Q作轴于点M，轴于点N．若四边形的面积为2，则的值为（ ）．
A．5 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是运用数形结合的思想来解答．
根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．先求出过点P时，与坐标轴围成的矩形的面积；再根据四边形的面积，求出过点Q时，的值．
【详解】∵点P是反比例函数上的点
∴过点P与坐标轴围成的矩形的面积为，
∴过点Q与坐标轴围成的矩形的面积为，
∵反比例函数在第二象限，
∴．
故选：D．
3．如图，点A是反比例函数在第一象限图象上的任意一点，点B、C分别在x、y正半轴上，且轴，若的面积为2，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的几何意义以及同底等高的三角形的面积相等，是解决问题的前提．连接，可得，根据反比例函数的几何意义，可求出的值．
【详解】解：连接，如图所示：
∵轴，的面积为2，
，
即：，
，
∵反比例函数在第一象限图象上，
∴．
故选：D．
4．如图，已知点，过点P作轴于点M，轴于点N，反比例函数的图象 交于点A，交于点B．若四边形的面积为12，则k的值为（ ）
A．6 B． C．12 D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解答本题的关键是学会用方程的思想思考问题．
根据反比例函数系数k的几何意义，利用，即可解决问题．
【详解】解： 轴于点M，轴于点N，
四边形是矩形，
又
点A、B在反比例函数的图象上，
即，
，
故选：A
5．反比例函数和在第一象限的图象如图所示，A，B分别为图象上两点，且轴，若的面积为2，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．10 D．12
【答案】A
【分析】此题考查反比例函数比例系数与几何图形及面积关系，延长交y轴于点C，根据比例系数的几何意义，得到，进而得到，即可求出．
【详解】解：延长交y轴于点C，
∵点A在图象上，
∴，
∵，
∴，
∵点B在图象上，
∴，
故选：A．
6．如图，点A为反比例函数图象上一点，点B为反比例函数图象上一点，连接，，若线段的中点C恰好落在x轴上，且，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，全等三角形的判定和性质，过点A作轴，垂足为E，过点B作轴，垂足为F，连接，先证明，再根据反比例函数上过任意一点作两坐标轴的垂线，所得的矩形面积是作答即可，熟练掌握知识点并添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】过点A作轴，垂足为E，过点B作轴，垂足为F，连接，
∴
∵C是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点A为反比例函数图象上一点，
∴，
∴，
∴，
∵点B为反比例函数图象上一点，
∴，
故选：D．
7．如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的长方形被坐标轴分割成四个小长方形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．设，在中，令得，进而得出，，，根据得到，即可得到答案．
【详解】解：设，在中，令得，
令得，
，，
，
，，
，
，
．
故选：A
8．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数（k为常数，，）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接．若的面积为，则k的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了的几何意义．用表示的面积是本题的解题关键．
【详解】解：的面积为，
所以．
故选：A．
9．如图，矩形的边轴，对角线的交点O为坐标原点，，垂足是G．若反比例函数的图象经过点A，且，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合题．由已知求得，设点A的坐标为，求得，，利用矩形面积公式列式计算即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵矩形，
∴，
∵反比例函数的图象经过点A，设点A的坐标为，
∵矩形的边轴，
∴点B的坐标为，点C的坐标为，
∴，，
∴，
解得，
故选：C．
10．如图在平面直角坐标系中，点、点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，点作轴于点，若，且的面积为，则的值是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例数的几何意义，过点作轴于点，设，，根据题意可得，建立方程，解方程，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，
∵
∴，则，
∵点、点在反比例函数的图象上，
设，
依题意，，
∵
∴
∴
解得：（负值舍去）
故选：B．
11．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点．在轴上，垂直于轴，点分别在函数和的图象上．若的面积为，且，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，连接，利用平行线间的距离相等，即可求得，利用反比例函数系数的几何意义得出，，即可得出即 ，与构成方程组，解方程组即可求解，明确是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵的顶点在轴上，垂直于轴，
∴轴，
∴，
∵点分别在函数和的图象上，
∴，，
∴，
∴，
∵，
得，即 ，
故答案为：．
12．如图，点A，B分别在反比例函数 的图像上，点C在x轴的负半轴上，若平行四边形ACOB 的面积是4，则k的值为 ．
【答案】6
【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，先求出，，得到，根据反比例函数系数k的几何意义即可得到答案．
【详解】解：如图，延长交y轴于点D，连接，
∵平行四边形的面积是4，
∴
∵点A在反比例函数的图象上，
∴
∴，
∵点B在的图象上，
∴
故答案为：6
13．如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，若点C是x轴上一点，，则k的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，根据已知条件得到三角形的面积，由于，得到，即可得到结论．
【详解】解：轴，
，
∴三角形的面积，
，
，
，
．
故答案为：2．
14．如图，点A在反比例函数图象的第一象限的那一支上，垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且，点D为的三等分点，若的面积为5，则k的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：设A点坐标为，则，利用得，整理可得，即可得到k的值．
【详解】解：设A点坐标为，则，，
∵点D为的三等分点，
∴，
∵，
∴，
∴，
把代入双曲线，
∴．
故答案为：．
15．如图，的顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在反比例函数的图象上，轴，且的对角线交点为坐标原点O．若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，反比例函数的应用，如图，连接，，设，与轴的交点分别为M，N，由平行四边形的性质可得，再建立方程求解即可．
【详解】解：如图，连接，，
设，与轴的交点分别为M，N，轴，
∵，
∴，
根据题意，可得．
，，
，解得：，
故答案为3．
16．已知在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，点A在第一象限内，的边与反比例函数有交点．
（1）如图①，点A在反比例函数的图象上，轴，垂足为点B，的面积为6，则k的值为 ．
（2）如图②，反比例函数的图象经过的顶点A和边的中点C．若的面积为6，则k的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何图形的综合，k的几何意义，以及三角形中位线性质．
（1）根据k的几何意义得到求解，再结合，即可解题；
（2）根据三角形中位线性质得到的面积为6，的面积为12，设，表示出点B，点C的坐标，利用点A，点C都在反比例函数图象上建立等式求解出，即可解题．
【详解】（1）解：的面积为6，
，
，
，
．
故答案为：．
（2）解：边的中点为C．的面积为6，
的面积为6，的面积为12，
设，
，
，即，
，
，
整理得，
解得，
k的值为，
故答案为：．
17．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点作轴交反比例函数的图象于点，点为轴上一点，连接、，若的面积为，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，根据三角形面积公式和反比例系数列式可得结论．
设点坐标为，点坐标为，则可得出和的长度，从而列式，化简即可求出的值．
【详解】解：由题意可设点坐标为，点坐标为，
由图可得，，
的面积为，
，
化简可得，
则的值为．
故答案为：.
18．如图，、是反比例函数图象上的两点，、两点的横坐标分别是、，直线与轴交于点，若的面积为，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，根据图中面积关系列出方程式是解题的关键．作轴，垂足为，作轴，垂足为，轴，垂足为，代入求出点和点的坐标，根据，列方程求解即可．
【详解】解：作轴，垂足为，作轴，垂足为，轴，垂足为，如图：
∵、是反比例函数图象上的两点，、两点的横坐标分别是、，
故将代入得：，即坐标为，
故将代入得：，即坐标为，
∵，
即，
解得：．
故答案为：．
19．如图，矩形，双曲线分别交、于F、E两点，已知，求：
（1）当E为中点，则的面积为 ．
（2）当，则k的值为 ．
【答案】 3
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象及性质和矩形的性质等知识点，
(1) 由E为的中点，得到，进而可得，利用面积的和差即可得解；
(2)设F点坐标为，则E点坐标为，根据三角形面积公式得到，解得m的值，即可求得F点的坐标，根据即可求得；
利用面积求得点坐标是解题的关键．
【详解】（1）∵E为的中点，
∴，
即反比例函数解析式为，
∴，
，
故答案为：；
（2） ∵四边形是矩形，，，
∴设F点坐标为，点E的坐标为，
∴，解得，
∴E点坐标为，
则，
整理得：，解得或（不合题意，舍去），
∴，
∵双曲线分别交、于F、E两点，
∴，
故答案:．
20．如图，顶点A落在轴上，斜边上的中线轴于点D、O为坐标原点，反比例函数经过直角顶点，若的面积为，则的值为 ．
【答案】10
【分析】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，直角三角形中线的性质，面积法，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义，直角三角形的性质是解决问题的关键．
连接，依题意得，再根据和的公共边上的高相等得，再根据反比例函数比例系数的几何意义得，据此可得的值．
【详解】解：连接，如下图所示：
在中，斜边上的中线轴于点，的面积为5，
，轴，
和的公共边上的高相等，
，
反比例函数经过直角顶点，
根据反比例函数比例系数的几何意义得：，
，
反比例函数的图象在第一象限，
．
故答案为：10．
21．如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，，求点所在的反比例函数解析式．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．利用反比例函数中值的几何意义，求出三角形的面积就可推导出值，写出解析式．
【详解】解：设点所在的反比例函数解析式为：，
过点作，垂足为，
，，
，
；
，且图象在第四象限，
．
点所在的反比例函数解析式为：．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，与双曲线交于点C，且点A为的中点，设的面积为S．
(1)若，求k的值；
(2)试探究S与b的数量关系．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用：
（1）过点作轴，证明，得到，根据值的几何意义求解即可；
（2）用表示出的坐标，进而得到的长，根据三角形的中线平分面积结合三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：过点作轴，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点为的中点，
∵的面积为S，
∴，
当，，
∵在双曲线上，
∴，
∴，
∵双曲线过第一象限，
∴，
∴；
（2）∵，当时，，当时，，
∴，，
∴，，
∵点A为的中点，
∴，
∴．
23．如图，的顶点是双曲线与直线在第二象限的交点，轴于点，．
(1)的值为__________；点坐标为__________．
(2)若点是图象上的一点，当时，求的取值范围．
(3)根据图象直接写出时的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或
(3)或，
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数比例系数的几何意义：
（1）根据反比例函数比例系数的几何意义进行求解即可；
（2）根据（1）所求求出当时，x的值， 进而结合函数图象可得答案；
（3）先求出点B坐标，再根据函数图象找到反比例函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵，轴，且点A在双曲线的图象上，
∴，
∵双曲线的图象经过第二、四象限，
∴，
∴，
故答案为：；；
（2）解：由（1）知反比例函数解析式为，
在中，当时，，
∴由函数图象可知，当时，或，
∴当时，的取值范围为或；
（3）解：由（1）得直线解析式为，
联立，解得或，
∴，
由函数图象可知，当反比例函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或，
∴当时，的取值范围为或．
24．如图，O为坐标原点，反比例函数的图象交直线于和B．
(1)求A和B两点的坐标；
(2)求的面积；
(3)直接写出不等式的x的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
（1）将A点坐标代入，即可求得A的坐标，再把点A代入反比例函数，即可求出k，进而可求出点B；
（2）过点A作x轴的垂线且，由即可求解；
（3）根据x不等于0，把不等式两边同除，再根据反比例函数和一次函数图象的交点即可求解；
【详解】（1）解：将A点坐标代入得，
将A点坐标带入得；
联立和得，
解得或，
所以；
（2）解：过点A作x轴的垂线且，
则，
因为点A，B在反比例函数上，
所以，
所以．
（3）解：明显不在不等式的解集里，所以，
不等式两边同除得
所以要求的解集，即求的解集，
由图可知解集为或．
25．如图，已知点A在正比例函数图象上，过点A作轴于点B，四边形是正方形，点D是反比例函数图象上．
(1)若点A的横坐标为，求k的值；
(2)若设正方形的面积为m，试用含m的代数式表示k值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数图象上点的坐标特征，利用正方形的边长相等来表示各个点坐标是解题的关键；
（1）先求A的横坐标，就可以得到D的坐标，即可得出结论；
（2）由正方形的面积为m，得出边长，可表示出D和A的纵坐标，进而求出D的坐标，代入反比例函数即可．
【详解】（1）点A的横坐标为，在正比例函数图象上，
当时，，
A的坐标为：，
点A作轴于点B，四边形是正方形，
，
，
D的坐标为：，
点D是反比例函数图象上
，
（2）正方形的面积为m，
，
点D和A得纵坐标为，
A的坐标为：，
，
D的坐标为：，
代入得：
26．如图，直线与反比例函数的图象交于点，过点A作轴交轴于点，在轴正半轴上取一点，使，连接．若的面积是9．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)点为直线上一点，且的面积等于面积的2倍，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求一次函数解析式，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，根据三角形面积，先求出反比例函数解析式．
（1）连接，根据的面积是9，，得出，再根据图象在第二象限，求出，即可得出答案；
（2）先求出直线的解析式为，得出，求出，设直线上的点，根据的面积等于面积的2倍，得出，求出m的值即可得出答案．
【详解】（1）解：连接，如图所示：
的面积是9，
，
，
图象在第二象限，
，
反比例函数解析式为：；
（2）解：点，在的图象上，
，
．
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
轴交轴于点，
，
，
设直线上的点，
，
或，
或
27．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于、两点，，轴，交轴于点．
(1)若，则 ．
(2)若，则点坐标 ；当 时，的取值范围 ．
(3)点在第一象限反比例函数图像上，，设，，用含或的式子表示和长，并求值．
【答案】(1)
(2)；或
(3)；
【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，交点问题，反比例函数与结合图形，的几何意义；
（1）根据的几何意义，即可求解；
（2）联立正比例与反比例函数解析式，得出点的坐标，进而根据函数图象写出不等式的解集范围；
（3）设，则，过点作交于点，设交轴于点，，根据等腰三角形的性质得出，即可得出，，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：∵，平行于轴，
∴，
又∵
∴，
故答案为：．
（2）∵
∴
解得：或
∴，；
根据函数图象，可得当 时，的取值范围为或
故答案为：；或．
（3）解：设，则，
如图所示，过点作交于点，设交轴于点，
又，
∴，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
则，
∴，
∴，
∴．
28．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线l与y轴平行，且直线l与反比例函数和的图象分别交于点A、B．
(1)求点A的坐标；
(2)若的面积为24，求k的值．
(3)在（2）的条件下，若x轴上有一点M，使为等腰三角形，请直接写出所有满足条件M点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质、勾股定理以及两点间的距离等知识，具有一定的综合性，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）把代入，即可求解；
（2）由结合反比例函数k的几何意义可得，进一步即可求出结果；
（3）先求出点B的坐标和的长，然后分三种情况：①若，可直接写出点M的坐标；②若，根据两点间的距离解答；③若，根据两点间的距离解答即可．
【详解】（1）解：把代入，得，
∴点A的坐标为；
（2）解：∵，，，
∴，
解得，
∵，
∴；
（3）解：由（2）知：
把代入，得，
∴点B的坐标为，
∴，
设，
①若，则点M的坐标为或；
②若，
则，
解得或（舍去）
∴点M的坐标为；
③若，
则，
解得，
∴点M的坐标为，
综上，当点M的坐标为或或或时，为等腰三角形．
29．如图双曲线 与矩形的边 、分别交于 E 、 F 点， OA 、 OC 在坐标轴上，且，求 k ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数与几何图形面积的综合问题，即利用图形面积求值，以及矩形的性质等知识，连接，利用双曲线，设点E的坐标，利用矩形的性质及，用含m的代数式表示出点B的坐标，由点B和F的纵坐标相等，可得出点F的坐标，然后根据四边形的面积矩形的面积减去的面积减去的面积，建立关于k的方程，解方程求出k的值，再根据函数图象的位置，可得出符合题意的k的值．
【详解】解：如图，连接，设，
∵，
∴ ，
∵矩形，点在上，且在反比例函数图象上，
当 时，，
∴，
∴，
解得：．
30．如图1，点，在反比例函数的图象上，过点作轴于点，过作轴于点．
探究发现
（1）①若，则的面积为________，的面积为________；
②若，则的面积为________，的面积为________．
猜想验证
（2）①如图1，与的位置关系为________；
②如图2，题中的其他条件不变，只改变点，的位置，请判断与的位置关系，并说明理由．
图1 图2
推广应用
（3）如图3，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，反比例函数的图象分别与，交于点，，为线段上的动点，反比例函数的图象经过点交于点，连接．将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，求的值．
【答案】（1）①②；（2）①②，理见详解；（3）
【分析】（1）根据反比例函数的k的几何意义，结合三角形的面积公式可得，，①中的k的值为4，代入计算，同理，当时，代入计算，即可作答．
（2）①由（1）知，，分别过点作，垂足为，则．根据面积相等可得，则四边形为平行四边形，由此可得结论；
②连接，分别过点作，垂足为，则．证和的面积相等，根据（1）即可推出答案；
（3）先求出点D和点E的坐标，再运用待定系数法求解的解析式，如图，连接交于点K，利用待定系数法可求得直线的解析式为，根据一次函数的k值相等，得两直线平行，即，再根据翻折的性质即可得出答案；
【详解】解：（1）设点M的坐标为，点N的坐标为，
∵点在反比例函数的图象上，
∴
∵轴，轴，
∴，
∴，
①当时，，
②当，；
（2）①由（1）知，，
分别过点作，垂足为，则．
∴．
∵与的面积相等，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴．
②，理由如下：
连接，分别过点作，垂足为，则．
∴，
由（2）①知，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴．
（3）因为点的坐标为，反比例函数的图象分别与，交于点，，且四边形为矩形，
∴
设的解析式为，
把代入，
得
解得
即
如图，连接交于点K，
∵反比例函数的图象经过点交于点，
∴
∴，
设直线的解析式为，
则，解得：
∴直线的解析式为
∴，
∵将沿所在直线翻折得到，
∴，
∴，
∴点分别为的中点，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合：翻折性质，反比例函数的k的几何意义，矩形性质，一次函数的解析式，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
