中小学教育资源及组卷应用平台
反比例函数60道压轴题型专项训练（6大题型）
【题型目录】
题型一 反比例函数的图象与性质压轴题型
题型二 反比例函数的k值意义压轴题型
题型三 反比例函数与几何综合
题型四 一次函数与反比例函数综合
题型五 反比例函数中的存在性问题
题型六 实际问题与反比例函数
【压轴题型一 反比例函数的图象与性质压轴题型】
1．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接交图象于点，若是的中点，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，等腰直角位于第一象限，，直角顶点在直线上，点横坐标为，两条直角边分别平行于轴、轴，若双曲线与有交点，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
3．如图，的顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，与边交于点D，，则直线的表达式为 ．
4．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，E为正方形对角线的交点，反比例函数的图象经过点C，E．若正方形的面积为10，则k的值是 ．
5．在平面直角坐标系中，已知点、、．
(1)_______，四边形的面积是________；
(2)当四边形是轴对称图形时，求的值；
(3)连接，过的中点作直线，分别交线段、于点、．连接，的面积为，反比例函致的图像经过直线上两点、，求的值．
6．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形顶点A的坐标为．
(1)求过点B的反比例函数的解析式；
(2)点D在x轴上，当以B、D、O三点构成的三角形为等腰三角形时，求点D的坐标；
(3)反向延长，与反比例函数在交于点F，点Q在x轴上的一点，当以F、Q、B三点构成的三角形为直角三角形时，直接写出Q点的坐标．
7．在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足．
(1)求的值
(2)如图1，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点，记为线段、双曲线所围成的区域为（含边界），
①当时，区域的整点个数为 ；
②当区域的整点个数为4时，点横坐标满足，则纵坐标取值范围为 ；
(3)直线将分成两部分，直线上方（不包含直线）区域记为，直线下方（不包含直线）区域记为，当的整点个数之差不超过2时，则的取值范围为 ．
8．如图，反比例函数（）的图象经过线段的端点，把线段沿轴正方向平移3个单位得到线段，与上述反比例函数的图象相交于点，点的横坐标为4．
(1)求的值和直线的解析式；
(2)在轴上是否存在点，使得的值最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若为函数（）的图象上一动点，过点作直线轴于点，直线与四边形在轴上方的一边交于点，设点的横坐标为，且，当，求出的值．
9．实践探究题
【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．
例如，如图1，，线段的长度称为点A与直线之间的距离，当时，线段的长度也是与之间的距离．
【应用】
（1）如图2，在等腰中，，，点D为边上一点，过点D作交于点E．若，，则与之间的距离是______；
（2）如图3，已知直线：与双曲线：交于与B两点，点A与点B之间的距离是______，点O与双曲线之间的距离是______；
【拓展】
（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南—西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？
10．如图1，在平面直角坐标系中，点，过函数图象上一点作轴的平行线交直线于点，且．
(1)①求的长度（用含有的代数式表示）；
②求的值，并写出的解析式；
(2)过函数图象上任意一点，作轴的平行线交直线于点，是否总有成立？请说明理由；
(3)如图2，若是函数图象上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，分别过点作的垂线交轴于点，问是否存在点，使得矩形的周长取得最小值？若存在，请求出此时点的坐标及矩形的周长；若不存在，请说明理由．
【压轴题型二 反比例函数的k值意义压轴题型】
1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点、，与轴交于点，．若的面积为8，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．4
2．如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，若菱形的面积为6，则k的值为（）
A． B．6 C． D．3
3．如图，点在反比例函数上，垂直轴于，是轴负半轴上一个动点，是斜边上一点，，若的面积为9，则 ．
4．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边，分别交于点M，N，连接，，，若，，则k的值为 ．
5．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点A、B，与另一个正比例函数的图象相交于点C、D，其中点A、C在第一象限，且点A横坐标为4．若四边形的面积为24，求点C的坐标．
6．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，且，）的图像经过点两点．
(1)m与n的数量关系是( )
A． B． C． D．
(2)如图2，若点A绕x轴上的点P顺时针旋转，恰好与点B重合．
①求点P的坐标及反比例函数的表达式；
②连接、，则的面积为_____；
(3)若点M在反比例函数的图像上，点N在y轴上，在（2）的条件下，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
7．过原点作直线交双曲线于点A、C，过A、C两点分别作两坐标轴的平行线，围成矩形，如图所示．
(1)已知矩形的面积等于8，求双曲线的解析式；
(2)若已知矩形的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式？如果能，请予求出；如果不能，说明理由．
8．已知直线上点，过点作轴交轴于点，交双曲线于点，过点作轴交轴于点，交双曲线于点，若是的中点，且四边形的面积为．
(1)求的值；
(2)若，是双曲线第一象限上的任一点，求证：为常数.
(3)现在双曲线上选一处建一座码头，向，，，两地转运货物，经测算，从到，从到修建公路的费用都是每单位长度万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？提示：利用的结论转化)
9．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于第二、四象限内的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为．
(1)分别求出和的值；
(2)结合图像直接写出的解集；
(3)在轴上取一点，当取得最大值时，求点的坐标；
(4)若点是双曲线上一点，且，求点的横坐标．
10．如图，矩形的面积为8，它的边位于x轴上．双曲线经过点A，与矩形的边交于点E，点B在双曲线上，连接并延长交x轴于点F，点G与点О关于点C对称，连接，．
(1)求k的值；
(2)求的面积；
(3)求证：四边形AFGB为平行四边形．
【压轴题型三 反比例函数与几何综合】
1．如图，将矩形放在直角坐标系中，其中顶点的坐标为，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点则线段的长为（ ）
A． B．1 C． D．
2．如图，点是平行四边形内一点，与轴平行，与轴平行，，，，若反比例函数的图像经过，两点，则的值是（ ）
A． B．12 C． D．15
3．如图，正方形的顶点C，D均在双曲线在第一象限的分支上，顶点A，B分别在x轴、y轴上，则此正方形的边长为 ．
4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，坐标原点在边上，反比例函数（）的图象恰好经过顶点，，并与边交于点若：，的面积为，则的值为 ．
5．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，，（不与，重合），反比例函数的图像经过点，且与交于点，连接，，．
(1)若点的横坐标为．
①求的值；
②点在轴上，当的面积等于的面积时，试求点的坐标；
(2)延长交轴于点，连接，判断四边形的形状
6．已知直线与反比例函数（，）的图象分别交于点，，与轴交于点，与轴交于点．
(1)如图①，已知点的坐标为．
①求直线的表达式；
②若点是反比例函数在第一象限直线上方一点，当面积为时，求点的坐标．
(2)如图②将直线向右平移个单位长度得到直线，将双曲线位于下方部分沿直线翻折，若翻折后的图象（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，求的值．
7．如图，平面直角坐标系中点，，反比例函数的图象与线段交于点，．
(1)求反比例函数表达式．
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(3)（）中所作的垂直平分线分别与、线段交于点．连接，求证：是的平分线．
8．如图1，点是反比例函数图像上的一个动点，轴于点，轴于点，直线分别交轴、轴、于点．
(1)求的值；
(2)如图2，当直线经过点时，直线交轴于点，交于点，点是的中点，连接，在点运动的过程中，的值是否发生变化？证明你的结论．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线与直线交于点A、点B，点C为双曲线上点A右侧的一点，过点B作，交y轴于点D，连接
(1)如图1，求点A、B的坐标；
(2)如图2，若四边形是平行四边形，求长；
(3)如图1，当四边形的面积为4时，求直线的解析式．
10．如图，点P为一次函数与反比例函数的图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为B，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C．
(1)求m的值．
(2)点M是反比例函数的图象上的一点，且在点P的右侧，连接．
①连接．若，求点M的坐标．
②过点M作于点D，若，求M的坐标．
【压轴题型四 一次函数与反比例函数综合】
1．平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点，其中点在第三象限．设为双曲线上一点（点异于点），直线，分别交轴于，两点，则，两点横坐标的和为（ ）
A．0 B． C． D．
2．如图，直线与双曲线交于两点，点在轴上，连接，且，已知的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知点A是一次函数图象上一点，过点A作轴的垂线，是上一点在A上方，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点，，若的面积为，则的面积是 ．
4．如图，过原点且平行于的直线与反比例函数（,）的图像相交x于点C，过直线上的点，作轴于点B，交反比例函数图像于点D，且，那么点C的坐标为 .
5．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点A坐标为，点的坐标为
(1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
(2)连接、，求的面积；
(3)观察图像直接写出时的取值范围是______；
(4)若为轴上一动点，请直接写出当是以为腰的等腰三角形时，点的坐标．
6．如图，在中，点，点，双曲线与边交于，两点，点的纵坐标大于点的纵坐标．
(1)当点的坐标为时，求的值；
(2)若，求点的坐标；
(3)连接，记的面积为，若，求的取值范围．
7．已知直线与双曲线交于点和点B．直线与x轴，y轴分别交于点C和点D，点A关于y轴对称点为，点B关于x轴的对称点为，连接，，．
(1)求，的值；
(2)猜想四边形是什么特殊四边形，并证明你的猜想；
(3)上下平移直线，交双曲线交于点M、N，是否存在？若存在，求平移后的直线解析式；若不存在，请说明理由．
8．一次函数 与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，其中．
(1)求反比例函数表达式；
(2)结合图象，直接写出时，x的取值范围；
(3)若点P在x轴上，且是直角三角形，求点P的坐标．
9．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．
(1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式；
(2)在轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出点P及周长最小值；若不存在，请说明理由．
10．如图， 已知直线 与反比例函数 的图象交于 A、 B两点，且点 A 的横坐标为 4．
(1)求反比例函数解析式．
(2)直接写出当 时，自变量 x 的取值范围．
(3)过原点O的另一条直线l交双曲线于P、 Q两点 （点P在第一象限） ，若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．
【压轴题型五 反比例函数中的存在性问题】
1．如图，点是反比例函数图像上的一动点，连接并延长交图像的另一支于点．在点的运动过程中，若存在点，使得，，则，满足（ ）
A． B． C． D．
2．如图，过原点O的直线l与双曲线交于A、C两点，将直线l绕点O顺时针旋转，与双曲线交于B、D两点，以下四种说法：①存在无数个平行四边形；②存在无数个矩形；③存在菱形；④不存在正方形；其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，在平面直角坐标系内，为坐标原点，点为直线上一动点，过作轴，交轴于点（点在原点右侧），交双曲线于点，且，则当存在时，其面积为 ．
4．已知直线分别交函数与函数的图像于两点，若在函数图像上存在点，使得恰为等边三角形，则的面积为 .
5．如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图象上．已知轴于点，轴于点，原点恰好是线段的中点，连接，的面积为6，．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，求出符合条件的点、点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．一次函数与x轴交于C点，与y轴交于B点，直线与反比例函数交于点．
(1)求出a，k的值；
(2)M为线段上的点，将点M向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到N，点N恰巧在反比例函数上，求出点M坐标；
(3)在（2）的条件下，若点P是x轴上的一个动点，点Q是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点P，Q，使得四边形为菱形．若存在，请直接写出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．
7．一次函数与轴交于点，与轴交于点，直线与反比例函数交于点．
(1)求出，的值；
(2)为线段上的点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标；
(3)在（2）的条件下，若点是轴上的一个动点，点是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点，，使得四边形为菱形，若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，在直角坐标平面内，正比例函数，过点A作轴，垂足为点B，．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在直线上是否存在点C，使点C到直线的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标，请说明理由；
(3)已知点P在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
9．如图1，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接，．
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)若的面积为12，求点P的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，若点E为直线上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，一次函数的图象与反比例函数点的图象相交于、两点，点在轴正半轴上，点，连接、、、、，四边形为菱形．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时的取值范围；
(4)设点是直线上一动点，是否存在点，使，若存在，请直接写出满足条件点的坐标，若不存在，请说明理由．
【压轴题型六 实际问题与反比例函数】
1．某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻，是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01，压敏电阻的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式：，，）．则下列说法中不正确的是（ ）
A．当水箱未装水（）时，压强p为0kPa
B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N
C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m
D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻的阻值为
2．2021年新冠肺炎疫情防控形势依然严峻，严格按照防疫要求进行个人防护和环境消杀是防控的重点．已知某种环境消杀使用的消毒液中含有有效成分，每将个单位的溶解在一定量水中，则消毒液的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中当时，，当时，．若多次溶解，则某一时刻水中的浓度为每次溶解的在相应时刻溶解的浓度之和．根据科学实验，当消毒液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效消毒．则下列结论不正确的是（ ）
A．一次投放4个单位的，在2分钟时，消毒液的浓度为克/升
B．一次投放4个单位的，有效消毒时间可达8分钟
C．若第一次投放2个单位的，6分钟后再投放2个单位的，第8分钟消毒液的浓度为5克/升
D．若第一次投放2个单位的，6分钟后再投放2个单位的，接下来的4分钟能够持续有效消毒
3．瑞泰工程组安排甲、乙、丙、丁四辆货车用于一批建筑材料运输，已知这四辆货车每一次的运货量都保持不变且为整数（单位：吨），乙车每次运货量比甲车高，丙车每次运货量比甲车多12吨，甲、丙两车运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等、当甲、乙、丙、丁四辆货车运输次数之比为恰好运完这一批建筑材料，此时甲车共运输了120吨，则这批建筑材料最多有 吨．
4．如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，P(2a，a)是反比例函数y＝的图象与正方形的边的一个交点，则图中阴影部分的面积是 ．
5．实验研究发现：学生在数学课上的听课注意力指标随上课时间（分钟）的变化而变化，上课开始时，学生的注意力指标激增，中间一段时间，学生的注意力指标保持平稳状态，随后开始分散注意力．学生的注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数图象的一部分．
(1)求点对应的指标值；
(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由．
6．为了预防甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过分钟的集中药物喷洒，再封闭教室分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，与均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后与满足反比例函数的关系，如图所示．
(1)研究表明，室内空气中的含药量低于时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？
(2)当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？
7．盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下：
(1)如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题：
①函数的图象可由函数的图象向左平移 个单位，再向下平移 个单位得到，其对称中心坐标为 ；
②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？
(2)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案．
8．给定一个函数：，为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，进行如下探索：
(1)图象初探
①列表如下
1 2 3 4
3
请直接写出m，n的值；
②请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．
图①
(2)性质再探
请结合函数的图象，写出当________，y有最小值为________；
(3)学以致用
某农户要建进一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为3千元/平方米，侧面造价为千元/平方米．
设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得到y与x的函数关系式为：．
根据以上信息，请回答以下问题：
①水池总造价的最低费用为________千元；
②若该农户预算不超过千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？
9．已知某电路的电源电压，电流（A），电阻三者之间有如下的关系式：，且该电路的电源电压为恒值．
(1)该电路中，电流I与电阻R成_______关系（填“反比例函数”或“正比例函数”）；
(2)当该电路的电阻为时，测得该电路中的电流为A，写出该电路中电流I关于电阻R的函数表达式；
(3)若（2）中的电路如图所示，调节滑动变阻器，使通过灯泡的电流比（2）中测得的值减少A，那么连入电路的阻值将会发生怎样的变化？（提示：设定灯泡电阻恒定）
10．某科技小组的同学制作了一个简易台秤（如图1）用来测物体的质量，内部电路如图所示，其中电流表的表盘被改装为台秤的示数已知电源电压为，定值电阻为，电阻为力敏电阻，其阻值与所受压力符合反比例函数关系．
(1)请补全下面的表格，在图中补全点，画出与的关系图象，并写出阻值与压力的函数关系式．
______ ______
(2)已知电路中电流与电阻、电源电压的关系式，当电流表的示数达到最大值时，台秤达到量程的最大值若电流表的量程为，则该台秤最大可称多重的物体？
(3)已知力敏电阻受压力与所测物体的质量的关系为若力敏电阻阻值的变化范围为，则所测物体的质量的变化范围是______ ．中小学教育资源及组卷应用平台
反比例函数60道压轴题型专项训练（6大题型）
【题型目录】
题型一 反比例函数的图象与性质压轴题型
题型二 反比例函数的k值意义压轴题型
题型三 反比例函数与几何综合
题型四 一次函数与反比例函数综合
题型五 反比例函数中的存在性问题
题型六 实际问题与反比例函数
【压轴题型一 反比例函数的图象与性质压轴题型】
1．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接交图象于点，若是的中点，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，勾股定理，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，设，，则，把代入得到，进而推出，由反比例函数比例系数的几何意义可知，， 再根据进行求解即可得到答案．
【详解】解：如图所示，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，
设，，
∴；
∵是的中点，
∴，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去）；
由反比例函数比例系数的几何意义可知，，
∴
，
故选：C．
2．如图，等腰直角位于第一象限，，直角顶点在直线上，点横坐标为，两条直角边分别平行于轴、轴，若双曲线与有交点，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，求出两点坐标，再分别经过两点时的值即可得出取值范围，求出两点坐标是解题的关键．
【详解】解：∵点在直线上，点的横坐标为，
∴把代入得，，
∴的坐标是，
∵，
∴点的坐标是，点的坐标是，
∴的中点坐标为，
当双曲线经过点时，；
当双曲线经过点时，；
∴，
故选：．
3．如图，的顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，与边交于点D，，则直线的表达式为 ．
【答案】
【分析】把点代入，得出反比例函数的解析式；再连接并延长交轴于，构造等腰，进而得到点的坐标，根据待定系数法求得直线的解析式，再解方程组即可得到点的坐标，问题随之得解．
【详解】反比例函数图象经过点，
，
反比例函数的解析式为，
连接并延长交轴于，如图所示：
由，可得，
∵四边形是平行四边形，
，，，，
，，
，
，
，即，
，
，
设的解析式为，
将，代入可得，
解得，
的解析式为，
联立方程组，
解得或，
点的坐标为,
同求的解析式的方法，可得直线的表达式为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质的运用，求一次函数解析式，等边三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识，解决问题的关键是作辅助线构造等腰三角形，解题时注意方程思想的运用．
4．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，E为正方形对角线的交点，反比例函数的图象经过点C，E．若正方形的面积为10，则k的值是 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用全等三角形的判定与性质求出点C的坐标是解题的关键．设点C的坐标为，过点C作轴，证明，得出点E的坐标，再根据点C和点E都在反比例函数的图象上，根据正方形面积结合勾股定理即可求解．
【详解】解：设点C的坐标为，过点C作轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
则点A的坐标为，
∵点E为正方形对角线的交点，
∴点E为的中点，
∴点E的坐标为，即，
∵点C和点E都在反比例函数的图象上，
，
∴，
∴，
∵正方形的面积为10，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，
∴．
故答案为：4．
5．在平面直角坐标系中，已知点、、．
(1)_______，四边形的面积是________；
(2)当四边形是轴对称图形时，求的值；
(3)连接，过的中点作直线，分别交线段、于点、．连接，的面积为，反比例函致的图像经过直线上两点、，求的值．
【答案】(1)；
(2)或或
(3)
【分析】（1）平行线两点之间的距离，横坐标相等，用纵坐标相减即可，根据平行四边形的判定，可得四边形是平行四边形，即可求得面积；
（2）①当四边形是矩形时，根据矩形的性质得的值；②当四边形是菱形时，根据菱形的性质得，即可得出的值；
（3）为平行四边形对称中心，，可得，过作轴，垂足为，根据面积公式即可得，设直线的函数表达式为，两点确定一条直线的解析式，直线的函数表达式为，把、两点代入反比例函数，可得，即可求出的值．
【详解】（1）解：∵点、、在平面直角坐标系中，
∴，，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形的面积为：．
故答案为：；；
（2）∵、，
∴，轴，
∵，即，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
①当四边形是矩形时，
∴，
∵轴，、，
∴轴，
∴；
②当四边形是菱形时，
∴，
∴，
解得：或，
综上所述，的值为或或；
（3）∵为中点，
∴为平行四边形对称中心，
∴，
∵，
∴，
过作轴，垂足为，
∴，
即：，
∴，
设直线的函数表达式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的函数表达式为，
∴，
∵为中点，，
∴，
∵反比例函数的图像经过直线上两点，，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题是一次函数和反比例函数的应用，考查了平行四边形的判定和性质，矩形的性质，菱形的性质，两点间距离，待定系数法确定函数解析式，轴对称图形及中心对称的意义等知识点，解题的关键是要熟练掌握平行四边形的判定和性质，一次函数的性质、反比例函数的性质．
6．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形顶点A的坐标为．
(1)求过点B的反比例函数的解析式；
(2)点D在x轴上，当以B、D、O三点构成的三角形为等腰三角形时，求点D的坐标；
(3)反向延长，与反比例函数在交于点F，点Q在x轴上的一点，当以F、Q、B三点构成的三角形为直角三角形时，直接写出Q点的坐标．
【答案】(1)；
(2)或或或
(3)或
【分析】（1）过点A作轴于E，过B作轴于G．由点A的坐标可求出．再根据菱形的性质可知，轴,即得出，，即，最后利用待定系数法即可求出反比例函数解析式；
（2））根据勾股定理得到，①当O为顶点时，根据等腰三角形的性质得到，②当D 为顶点时，，根据菱形的性质得到；③当B为顶点时，根据等腰三角形的性质得到结论；
（3）反向延长，与反比例函数在第三象限交于点F，即得出，．设，则，．分类讨论：①以为斜边时，②以为斜边时和③以为斜边时，根据勾股定理分别列出关于t的等式，解出t即可．
【详解】（1）解：过点A作轴于E，过B作轴于G，如图，
∵，
∴，
∴．
∵四边形是菱形，
∴，轴,
∴，
∴，
∴．
∵过B点的反比例函数解析式为，
∴，
解得：，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵，
∴，
①当O为顶点时，，
∴或；
②当D为顶点时，，
∵四边形是菱形，
∴是的垂直平分线，
∴点D与C重合，
∴；
③当B为顶点时，，则，
∴，
∴；
综上所述：D的坐标为或或或；
（3）解：如图，反向延长，与反比例函数在第三象限交于点F，
∵，
∴，
∴．
设，则，，
①以为斜边时，，
∴，
解得，
∴Q或；
②以为斜边时，，
∴，
解得，
∴；
③以为斜边时，，
∴，
解得，
∴．
综上所述，Q的坐标为：或或或．
【点睛】本题考查反比例函数与几何综合，菱形的性质，坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识．正确的作出辅助线是解题关键．
7．在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足．
(1)求的值
(2)如图1，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点，记为线段、双曲线所围成的区域为（含边界），
①当时，区域的整点个数为 ；
②当区域的整点个数为4时，点横坐标满足，则纵坐标取值范围为 ；
(3)直线将分成两部分，直线上方（不包含直线）区域记为，直线下方（不包含直线）区域记为，当的整点个数之差不超过2时，则的取值范围为 ．
【答案】(1)4
(2)①11；②
(3)
【分析】本题考查反比例函数的性质，正确理解题目中所给出的新定义，结合图形合理的分析是解题的关键．
（）根据点A在的图象上，可求出的值；
（）标出区域，再统计区域内的整数点即可；
过定点即表示与的取值无关，则有的系数等于，便可解决问题，利用图象，求出区域内的所有整数点，再分类讨论即可
【详解】（1）解：∵双曲线经过点，
∴，
即的值为；
（2）解：当时，由图可知，
上的整点有个，
上的整点有个，
双曲线上段的整点有个，
区域内部的整点有个，
又点，，都被算了次，
所以区域的整点个数为：，
故答案为：；
∵区域的整点个数为4，且点横坐标满足，
∴区域内的整点为，，，，如图所示：
∴纵坐标的取值范围为；
（3）解：由题知，，
则不论为何值，时，即直线过定点，
如图所示，当时，区域内的整点共有个，
又被分成的区域和的整点个数之差不超过，
则当直线经过点时，的整点个数是，的整点个数是，满足要求，
此时，得，
当直线过点时，的整点个数是，的整点个数是，不满足要求，故当点在直线上方时，即可，
此时，
解得：，
故的取值范围是：．
8．如图，反比例函数（）的图象经过线段的端点，把线段沿轴正方向平移3个单位得到线段，与上述反比例函数的图象相交于点，点的横坐标为4．
(1)求的值和直线的解析式；
(2)在轴上是否存在点，使得的值最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若为函数（）的图象上一动点，过点作直线轴于点，直线与四边形在轴上方的一边交于点，设点的横坐标为，且，当，求出的值．
【答案】(1)，直线的解析式为
(2)存在，
(3)或
【分析】（1）根据题意结合待定系数法可进行求解；
（2）延长交轴于点，此时的值最大，求出的解析式，联立方程组求交点坐标，求出直线的解析式即可得到点的坐标；
（3）分两种情况，设出点，的坐标，从而得到，的表达式，根据即可得到的值．
【详解】（1）解：∵反比例函数（）的图象经过线段的端点，
∴，即反比例函数解析式为，
设直线的解析式为，则代入点A坐标得：，解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：存在，理由如下：
如图，延长交轴于点，根据三角不等关系可知：，所以此时的值最大，
把线段沿轴正方向平移3个单位得到线段，
，即，，
设的表达式为，
将代入，
，
的表达式为，
联立，解得，，
点的横坐标大于0，
的横坐标为4，
将代入得到：，
即，
设的表达式为，
将，代入得，
解得，
，
令，代入得到，
；
（3）解：①当在的上方时，
∴，，
，，
，
解得：；
②当在的上方时，
∴，，
，，
，
解得：（负根舍去），
综上所述：或．
【点睛】本题考查了反比例函数综合题，考查分类讨论的思想，设出点，的坐标，得到，的表达式是解题的关键．
9．实践探究题
【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．
例如，如图1，，线段的长度称为点A与直线之间的距离，当时，线段的长度也是与之间的距离．
【应用】
（1）如图2，在等腰中，，，点D为边上一点，过点D作交于点E．若，，则与之间的距离是______；
（2）如图3，已知直线：与双曲线：交于与B两点，点A与点B之间的距离是______，点O与双曲线之间的距离是______；
【拓展】
（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南—西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线的函数表达式为，小区外延所在双曲线的函数表达式为，那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？
【答案】（1）；（2）；（3）40米
【分析】（1）过点D作于点H，得出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出结果即可；
（2）先根据一次函数解析式求出，然后再求出反比例函数解析式，再求出点，根据两点点距离公式求出即可；作，且与双曲线只有一个交点，设直线的解析式为，求出一次函数解析式，再求出交点坐标，最后求出即可；
（3）作直线，设的解析式为，与双曲线交于点A、B，过点O作于点P，过点P作轴于点H，过点A、B分别作直线的垂线、，垂足为E、F，先求出直线的解析式，然后求出点A、B的坐标，根据两点之间距离公式求出的长，进而即可得出答案．
【详解】（1）如图，过点D作于点H，
∵，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）把代入中，
得：，
∴，
把代入，
得：，
∴，
∴双曲线的解析式为，
联立，得：，
即，
解得：，，
检验，，都是所列方程的解，不合题意，舍去，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，作，使与双曲线只有一个交点，
设直线的解析式为，
则，
整理得：，
∴，
∴或（不符合题意，舍去），
∴直线的解析式为，
由，
解得：，
检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
∴，
∴；
故答案为：，；
（3）如图，作直线，设的解析式为，与双曲线交于点A、B，过点O作于点P，过点P作轴于点H，过点A、B分别作直线的垂线、，垂足为E、F，
则，
∵直线平分第二、四象限角，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
代入，
得，
解得：，
∴
联立得：，
解得：或，
检验，或都是所列方程的解，且符合题意，
∴或，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是40米．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用．作出辅助线，熟练掌握待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数和反比例函数的性质，函数与方程，两函数图象交点个数的判定，两点之间距离公式，矩形的判定和性质，是解题的关键．
10．如图1，在平面直角坐标系中，点，过函数图象上一点作轴的平行线交直线于点，且．
(1)①求的长度（用含有的代数式表示）；
②求的值，并写出的解析式；
(2)过函数图象上任意一点，作轴的平行线交直线于点，是否总有成立？请说明理由；
(3)如图2，若是函数图象上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，分别过点作的垂线交轴于点，问是否存在点，使得矩形的周长取得最小值？若存在，请求出此时点的坐标及矩形的周长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①；②，解析式为：
(2)成立，理由见详解
(3)存在点P，且为，此时周长最小值为4
【分析】（1）用a的代数式表示出、，根据求出的值，然后利用待定系数法求出的值即可；
（2）设，则，根据两点间距离公式求出的长即可；
（3）设直线交轴于点，连接，，结合（2）可知，当且仅当、、三点共线时，矩形的周长取到最小值．
【详解】（1）解：①∵轴，
∴，
∴时，，
∴，
②∵，
∴，
解得：，
∴，
将点A代入得：，
∴解析式为：；
（2）解：成立，
设，则，
，
∴
而，
∴
．
（3）解：存在点P，使得矩形的周长取得最小值，
设直线交轴于点，连接，，由（2）得，，
∵矩形的周长，
，
当且仅当、、三点共线时，矩形的周长取到最小值，
∴，将代入得，
∴此时，点的坐标为．
【点睛】本题考查了反比例函数综合题，涉及两点间距离公式、垂线段最短、存在性问题，综合性很强，要灵活处理，同时注意从多角度解题．
【压轴题型二 反比例函数的k值意义压轴题型】
1．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点、，与轴交于点，．若的面积为8，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【分析】作轴，轴，结合，可得，，结合，可得，即：，根据的几何意义，即可求解，
本题考查了反比例函数几何意义，解题的关键是：熟练掌握数形结合的方法．
【详解】解：过点、，分别作轴于，轴于，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵点、在反比例函数上，
∴，即：，即，
∴，即：，
∴，
∴，
∵反比例函数经过第一象限，
∴，
∴，
故选：．
2．如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，若菱形的面积为6，则k的值为（）
A． B．6 C． D．3
【答案】D
【分析】本题考查菱形的性质、反比例函数系数k的几何意义，掌握菱形的性质，理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答的前提．连接交于，由菱形的性质可知，根据反比例函数中的几何意义，再根据菱形的面积为6，即可求出的值．
【详解】连接交于如图：
四边形是菱形，
，
菱形的面积，
顶点在反比例函数的图象上，
解得∶．
故选∶D．
3．如图，点在反比例函数上，垂直轴于，是轴负半轴上一个动点，是斜边上一点，，若的面积为9，则 ．
【答案】
【分析】此题重点考查反比例函数中比例系数的几何意义，解题的关键是正确地作出辅助线．
过点作轴的垂线，得到矩形，连接，则矩形的面积是面积的2倍，所以只要根据的面积求出的面积即可．
【详解】解：如图，连接，作轴于点，
∵垂直轴，，
∴四边形为矩形，
，
，
，
，，
，
，
∵，
∴．
故答案为：．
4．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边，分别交于点M，N，连接，，，若，，则k的值为 ．
【答案】
【分析】由反比例函数的图象与正方形的两边、分别交于点、，证明，即可得，可得，然后作于点，证明为等腰直角三角形，设，则，由勾股定理可求得的值，继而可设正方形的边长为，则，，由勾股定理求出a，则可得到点的坐标，继而求得答案．
【详解】解：点、都在反比例函数的图象上，
，即，
四边形为正方形，
，，
，
在和中，
，
；
，
作于点，如图，
，
为等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，
在中，，
，即，
，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
设正方形的边长为，则，，
在中，，
，
解得，（舍去），
，
，
，
点坐标为，
将点代入反比例函数，得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何计算．求出点N的坐标是解师的关键．
5．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点A、B，与另一个正比例函数的图象相交于点C、D，其中点A、C在第一象限，且点A横坐标为4．若四边形的面积为24，求点C的坐标．
【答案】点C的坐标为或
【分析】根据正比例函数可得点A的坐标，推出k值为8，根据反比例函数和正比例函数的对称性得到四边形是平行四边形，推出，根据k的几何意义可得，得到，分和两种情况讨论，即得．
【详解】∵，
∴，
∴点，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
设点，
当时，
根据对称性知，，，
∴四边形是平行四边形，如图1，
∴．
分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为点E、F，
∵点A、C在反比例函数的图象上，
∴．
，
∴，
即，
解得，，或，
检验知，，或都是所列方程的根，不合题意，舍去，
∴点．
当时，四边形是平行四边形，如图2， ，
∴，
即，
解得，或，
检验知，，或都是所列方程的根，不合题意，舍去，
∴点．
综上，点C的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与正比例函数综合．熟练掌握待定系数法求反比例函数的解析式，正比例函数与反比例函数性质，平行四边形的判定和性质，反比例函数中k的几何意义，三角形面积公式和梯形面积公式，分类讨论，是解决问题的关键．
6．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，且，）的图像经过点两点．
(1)m与n的数量关系是( )
A． B． C． D．
(2)如图2，若点A绕x轴上的点P顺时针旋转，恰好与点B重合．
①求点P的坐标及反比例函数的表达式；
②连接、，则的面积为_____；
(3)若点M在反比例函数的图像上，点N在y轴上，在（2）的条件下，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)B
(2)①，反比例函数的表达式为，②8
(3)存在，或
【分析】（1）把分别代入得：，即可解答；
（2）①过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，证明，得出，，，，根据， ， 即可求出m和n的值，进而得到点P坐标，用待定系数法可求出反比例函数的表达式； ②设所在直线函数表达式为，直线交x轴于点C，
求出所在直线函数表达式为，再求出，则，最后根据即可求解；
（3）根据M在反比例函数的图像上，点N在y轴上，设，根据平行四边形的性质和中点坐标公式，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：把分别代入得：，
∴，整理得：，
故选：B．
（2）解：①过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，
∴，
∴，
∵点A绕x轴上的点P顺时针旋转90°，恰好与点B重合
∴，，
∴，
∴，
∵在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵反比例函数的表达式为过，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
②设所在直线函数表达式为，直线交x轴于点C，
将代入得：
，解得：，
∴所在直线函数表达式为，
把代入得，
解得：，
∴，则，
∴，
故答案为：8．
（3）解：∵M在反比例函数的图象上，点N在y轴上，
∴设，
∵以A、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形，
∴以A、B、M、N为顶点的四边形对角线互相平分，
①当为对角线时，
，解得：，
∴；
②当为对角线时，
，解得：，
∴；
∵，
∴不符合题意，舍去
③当为对角线时，
，解得：，
∴
综上：存在，或．
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，割补法求面积，平行四边形的存在性问题，解决本题的关键在于各知识的综合应用，熟练掌握反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质．
7．过原点作直线交双曲线于点A、C，过A、C两点分别作两坐标轴的平行线，围成矩形，如图所示．
(1)已知矩形的面积等于8，求双曲线的解析式；
(2)若已知矩形的周长为8，能否由此确定双曲线的解析式？如果能，请予求出；如果不能，说明理由．
【答案】(1)
(2)无法确定，理由见解析
【分析】（1）设出点的坐标，可以表示出点、、的坐标，利用反比例函数的几何意义即可解决问题．
（2）同样设出点的坐标，利用矩形周长为8，只能求出点的横、纵坐标的和是一个定值，而无法确定点的横、纵坐标的乘积是定值．
【详解】（1）解：（1）设点，则，，
，，矩形的面积等于8
，即
所以双曲线的解析式为：；
（2）（2）设点，则，，
，，矩形的周长为8
，即，
则，此时会随的变化而变化，所以无法确定的值
所以不能由此确定双曲线的解析式，因为会随点的坐标变化而变化．
【点睛】本题考查了反比函数的几何意义以及方程思想，综合性较强．
8．已知直线上点，过点作轴交轴于点，交双曲线于点，过点作轴交轴于点，交双曲线于点，若是的中点，且四边形的面积为．
(1)求的值；
(2)若，是双曲线第一象限上的任一点，求证：为常数.
(3)现在双曲线上选一处建一座码头，向，，，两地转运货物，经测算，从到，从到修建公路的费用都是每单位长度万元，则码头应建在何处，才能使修建两条公路的总费用最低？提示：利用的结论转化)
【答案】(1)
(2)见解析
(3)点在连线与双曲线的交点上
【分析】（1）设，则，根据，即可求解；
（2）由（1）得，设，，根据两点距离公式，整理得出，即可求解．
（3）由知，从而得，当点在连线与双曲线的交点上时，取得最小值，据此可得．
【详解】（1）解：设，则，
∴，
；
（2）解：由（1）得，
∴，
设，
则
，
即为常数
（3）由（）知，
，
，
则当点在连线与双曲线的交点上时，取得最小值，
，
，
最低总费用为万元．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，因式分解的应用，熟练掌握待定系数法求解析式及两点间的距离公式、两点间线段最短是解题的关键．
9．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于第二、四象限内的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为．
(1)分别求出和的值；
(2)结合图像直接写出的解集；
(3)在轴上取一点，当取得最大值时，求点的坐标；
(4)若点是双曲线上一点，且，求点的横坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)点的坐标为
(4)点的横坐标为或或或
【分析】（1）根据点的坐标可知，，根据的面积为，可求出的值，从而求出反比例函数解析式，将点的坐标代入即可求出的值；
（2）由（1）求出点的坐标，代入一次函数，运用待定系数法求出一次函数解析式，及一次函数与轴的交点，根据图示，可知不同的自变量取值范围一次函数的函数值与反比例函数的函数值的大小情况不同，由此即可求解；
（3）设点，作点关于轴的对称点，当点三点共线时，取得最大值，运用待定系数法求出所在直线的解析，令，即可求解点的坐标；
（4）根据题意，先求出的面积，由此可得的面积，点在反比例函数图像上，设，根据图像（图示见详解），分类讨论，根据结几何图像的面积的计算方法，图形结合分析即可求解．
【详解】（1）解：点在第二象限，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为，
∴，
∴，解得，，即，
∵点在反比例函数的图像上，
∴，解得，，
∴反比例函数：，
∵点在反比例函数的图像上，
∴，解得，，
∴，．
（2）解：由（1）知，，且点，在一次函数的图像上，
∴，解得，，
∴一次函数解析式为，
∴令时，则，解得，即一次函数与轴的交点为，
∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于第二、四象限内的点和点，
∴当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
∴的解集为：．
（3）解：如图所示，作点关于轴的对称点，
∴，且点，
设所在直线的解析式为，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
当点三点共线时，取得最大值，且点在轴上，
∴令时，，
∴点的坐标为．
（4）解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，直线与轴交于点，
∵直线的解析式为，令，则，
∴，即，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点在反比例函数的图像上，
∴设，
①如图所示，连接，过点作轴于点，与交于点，过点作于点，过点作延长线于点，
设所在直线的解析式为，且，，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
∵，轴，
∴点的横坐标为，且点在直线的图像上，
∴当时，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，整理得，，解得，，，
∴点的坐标为或，即点的横坐标为或；
②如图所示，连接，过点作轴于点，延长交于点，过点作延长线于点，过点作于点，
设直线所在直线的解析式为，且，，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
∵点在一条直线上，且轴，
∴点的横坐标为，且点在直线的图像上，
∴当时，，即
∴，，，
∴，
∴，整理得，，解得，，，
∴点的横坐标为或；
综上所述，点的横坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求函数解析，函数交点坐标的计算方法，线段最大值的计算方法，函数图像与几何图像的综合，几何图像的面积的计算方法等知识是解题的关键．
10．如图，矩形的面积为8，它的边位于x轴上．双曲线经过点A，与矩形的边交于点E，点B在双曲线上，连接并延长交x轴于点F，点G与点О关于点C对称，连接，．
(1)求k的值；
(2)求的面积；
(3)求证：四边形AFGB为平行四边形．
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析．
【分析】（1）设，，利用点A和点B的纵坐标相等，以及矩形面积为8，即可求出k的值；
（2）求出直线的函数解析式为：，进一步可求出，再求出，，即可求出；
（3）表示出，进一步求出，，利用，，即可证明．
【详解】（1）解：设，，
根据题意可知：，整理可得：．
（2）解：∵，
∴，
∵点E在，且点B和点E的横坐标相等，
∴，即，
设直线的函数解析式为：，将和代入可得：
，解得：，
故直线的函数解析式为：，
令，可得：，
∴，
∵，即，
∴，
∵点C的横坐标和点B的横坐标相等，
∴，
∴．
（3）证明：∵，点G与点О关于点C对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查反比例函数，一次函数的综合，平行四边形的判定，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式以及平行四边形的判定定理，结合图形找出点的坐标之间的联系．
【压轴题型三 反比例函数与几何综合】
1．如图，将矩形放在直角坐标系中，其中顶点的坐标为，是边上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点则线段的长为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了反比例函数图象上的点，图形的折叠变换及性质，矩形的性质，勾股定理等，设，根据矩形的性质得，，，再由折叠的性质得，，则，利用勾股定理求出，则，进而在中由勾股定理求出，从而得点，则反比例函数的表达式为，然后根据点的纵坐标为4得点，据此可得的长,理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握图形的折叠变换及性质，矩形的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
【详解】解：设，
四边形为矩形，点，
，，，
由折叠的性质得：，，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
在中，，，，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
点的坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为：，
反比例函数的图象与边交于点，
点的纵坐标为4，
对于，当时，，
点，
．
故选：A．
2．如图，点是平行四边形内一点，与轴平行，与轴平行，，，，若反比例函数的图像经过，两点，则的值是（ ）
A． B．12 C． D．15
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何的综合，过点作轴，延长交于点，证，求得，根据，求得，得到点的纵坐标为，设，则，由反比例函数的图象经过、两点，从而求出，进而可得的值．
【详解】解：过点作轴，延长交于点，
与轴平行，与轴平行，
，，
四边形为平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
点的纵坐标为，
设，则，
反比例函数的图象经过、两点，
，
，
，
，
故选：D．
3．如图，正方形的顶点C，D均在双曲线在第一象限的分支上，顶点A，B分别在x轴、y轴上，则此正方形的边长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查反比例函数的性质和正方形的性质、坐标与图形．要注意运用数形结合的思想．
作轴于，作轴于．可以证明，，即可表示出，的坐标，即可证得是等腰直角三角形，再根据在函数的图象上，即可求解．
【详解】解：作轴于，作轴于．
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
又，
．
同理，．
设，，则，，，．
则的坐标是，的坐标是．
、的两个顶点在双曲线在第一象限的分支上，
，
，即是等腰直角三角形．
则的坐标是代入函数解析式得：
，
，
则，
故答案为：．
4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，坐标原点在边上，反比例函数（）的图象恰好经过顶点，，并与边交于点若：，的面积为，则的值为 ．
【答案】
【分析】连接，作轴于点，轴于点．根据，的面积为，可求出，再设，则，利用三角形的面积求解即可．
【详解】解：如图，连接，作轴于点，轴于点，
∴，
∵，的面积为，
∴，
设，则，
∵的面积四边形的面积的面积四边形的面积的面积梯形的面积，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数系数与几何图形的面积关系，根据已知条件求出的面积是解题的关键．
5．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，，（不与，重合），反比例函数的图像经过点，且与交于点，连接，，．
(1)若点的横坐标为．
①求的值；
②点在轴上，当的面积等于的面积时，试求点的坐标；
(2)延长交轴于点，连接，判断四边形的形状
【答案】(1)①；②或
(2)四边形是平行四边形，理由见解析
【分析】（1）①根据矩形的性质得到，得，把代入即可得到结论；
②由，都在反比例函数的图像上，得到，根据三角形的面积公式得到，设，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
（2）连接，根据题意得到，，设的函数解析式为，解方程得到，求得，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）解：①∵四边形是矩形，，
∴，，
∵，点的横坐标为，
∴，，
∵反比例函数的图像经过点，
∴，
∴的值为；
②∵，
∴，
∵，都在反比例函数的图像上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在轴上，的面积等于的面积，
设，
∴，
解得：或，
∴点的坐标为或；
（2）四边形AEFC是平行四边形．
理由：连接，
∵，，，都在反比例函数的图像上，
∴，，
设的函数解析式为：，
∴，
解得：，
∴的函数解析式为：，
当时，得：，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题是反比例函数与几何的综合，考查待定系数法确定解析式，反比例函数图像上的点的坐标的特征，矩形的性质，平行四边形的判定，三角形的面积等知识点．掌握反比例函数图像上的点的坐标的特征，矩形的性质是解题的关键．
6．已知直线与反比例函数（，）的图象分别交于点，，与轴交于点，与轴交于点．
(1)如图①，已知点的坐标为．
①求直线的表达式；
②若点是反比例函数在第一象限直线上方一点，当面积为时，求点的坐标．
(2)如图②将直线向右平移个单位长度得到直线，将双曲线位于下方部分沿直线翻折，若翻折后的图象（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，求的值．
【答案】(1)①；②或
(2)
【分析】（1）①根据点的坐标求得反比例函数的解析式，即可求得的值，代入一次函数即可求得直线的解析式；②过作，过作于；联立与反比例函数解析式，求得、的坐标，进而求得的长，根据三角形面积求得、的距离，进而求得的解析式，联立与反比例函数解析式即可求得点的坐标；
（2）过点作，交于点，交于点，由题意可知直线的解析式为，则，，，，证明为的中点，得到，则直线的解析式为，若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，则点对应的点为，则，即是的中点，求出，根据两点中点坐标公式得到，由此求解即可．
【详解】（1）解：①∵ 在上，
∴，
把代入中得：，
则直线解析式为：，反比例函数解析式为：；
②由直线与反比例函数的图象分别交于点和点，
则，
解得：或，
∴，
∴，
如图，过作分别交轴、轴于点、，过作于，
设的距离为，则，
解得：，
∴、的距离为，
∴，
∵，令，则，令，则，即，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
在中，，
∴直线是直线向右平移个单位后得到的直线，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
点的坐标为或；
（2）解：过点作于，交于点，交于点，如图，
∴，
∵直线，将直线向右平移个单位长度得到直线，
∴直线的解析式为，
∴，，，，
∴，
∵，
∴为的中点，
∴，
∴直线的解析式为，
若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，则点对应的点为，
，即是的中点，
联立，解得：或（负值舍去），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，（负值舍去），
∴的值为．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合、求一次函数与反比例函数解析式、等腰直角三角形的性质、解一元二次方程、一次函数的平移、轴对称的性质，正确作出辅助线、利用数形结合的思想求解是解题的关键．
7．如图，平面直角坐标系中点，，反比例函数的图象与线段交于点，．
(1)求反比例函数表达式．
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(3)（）中所作的垂直平分线分别与、线段交于点．连接，求证：是的平分线．
【答案】(1)；
(2)作图见解析；
(3)证明见解析．
【分析】（）先求出点坐标，代入解析式，可求解；
（）以点、点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、点，连接，则为所求图形；
（）先求出点坐标，点坐标，由面积法可求的长，由角平分线的判定即可求证；
本题考查了待定系数法，作线段的垂直平分线，角平分线的判定，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
∴点，
∵反比例函数 的图象过点，
∴，
∴反比例函数表达式为；
（2）解：如图，以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、点，连接，则为所求；
（3）解：如图，过点作于，
∵ ，，
∴点，
∴点的纵坐标为，
∴点，
∴，
∵，
∴，
∵点，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴是的平分线．
8．如图1，点是反比例函数图像上的一个动点，轴于点，轴于点，直线分别交轴、轴、于点．
(1)求的值；
(2)如图2，当直线经过点时，直线交轴于点，交于点，点是的中点，连接，在点运动的过程中，的值是否发生变化？证明你的结论．
【答案】(1)
(2)为定值，证明见解析
【分析】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，设，首先证明四边形为矩形、 、和均为等腰直角三角形，进而可得，，然后计算的值即可；
（2）连接，证明、为等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质可得，，，进而证明，由全等三角形的性质可得，即可求得．
【详解】（1）解：如下图，过点作轴于点，过点作轴于点，
设，
∵轴，轴，
∴，，，
∴四边形为矩形，
∴，
对于直线，
令，则有，即，
令，则有，即，
∴，
又∵，即，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，同理，
即和均为等腰直角三角形，
∴，，
∵轴，轴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，同理，
∴，，
∴；
（2）为定值，证明如下：
连接，如下图，
∵点为的中点，轴，
∴，
又∵，轴，
∴，
∴，
∴，即为等腰直角三角形，
∴，
同理可得也为等腰直角三角形，
又∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用、一次函数的应用、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，综合性强，熟练掌握相关知识是解题关键．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线与直线交于点A、点B，点C为双曲线上点A右侧的一点，过点B作，交y轴于点D，连接
(1)如图1，求点A、B的坐标；
(2)如图2，若四边形是平行四边形，求长；
(3)如图1，当四边形的面积为4时，求直线的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意，联立方程组，解得，结合图象，即可作答．
（2）根据平行四边形的对角线互相平分，则，把，代入，计算得，，再根据两点间距离公式列式代入数值进行计算，即可作答．
（3）先延长，交y轴于点F，证明，，根据平行线的性质，得，代入数值，得，再运用因式分解法解方程，结合“点C为双曲线上点A右侧的一点”作出判断，即可作答．
【详解】（1）解：∵双曲线与直线交于点A、点B，
∴
得
解得
是原分式方程的解，
把分别代入，得
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形
∴，
连接，交于一点E
则运用中点法列式，则
∵点C为双曲线上点A右侧的一点，
∴
∵，
∴
解得，
则；
（3）解：延长，交y轴于点F，
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
则
∵四边形的面积为4，且
∴
即
∵
∴
则
∵，
∴
∵
∴
整理得
即
∴（点C为双曲线上点A右侧的一点，故舍去）
∴
则
设直线的解析式为
把，代入
得
解得
∴
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，与一次函数的综合，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，待定系数法求解析式，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
10．如图，点P为一次函数与反比例函数的图象的交点，点P的纵坐标为4，轴，垂足为B，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C．
(1)求m的值．
(2)点M是反比例函数的图象上的一点，且在点P的右侧，连接．
①连接．若，求点M的坐标．
②过点M作于点D，若，求M的坐标．
【答案】(1)24
(2)①；②
【分析】本题考查的是反比例函数的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出P点的坐标，代入反比例函数解析式计算即可；（2）①过点M作轴于点N，先求出点，可得到，从而得到，设点M的坐标为，则，再由，求出a的值，即可求解；②过点P作交延长线于点G，作于点H，证明，可得，用t表示出点M的坐标，代入反比例函数解析式计算，得到答案．
【详解】（1）解：对于，
当时，，
解得：，
∴点，
把点代入得：
，解得：；
（2）解：①如图，过点M作轴于点N，
对于，
当时，，当时，，
∴点，
∴，
∵轴，点，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）得：反比例函数解析式为，
设点M的坐标为，则，
∵，
∴，
即，
解得：或（舍去），
∴点M的坐标为；
②如图，过点P作交延长线于点G，作于点H，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∵点M是反比例函数的图象上的一点，
∴，
解得：，
∵点M在点P的右侧，
∴点M的坐标为．
【压轴题型四 一次函数与反比例函数综合】
1．平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点，其中点在第三象限．设为双曲线上一点（点异于点），直线，分别交轴于，两点，则，两点横坐标的和为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用，确定直线，的解析式是解题的关键．设，，三点坐标，根据题意可得，易得，即，分别表示出直线，的解析式，令可计算出点和的横坐标，相加即可得到结论．
【详解】解：∵直线与双曲线相交于，两点，
设，则，
∴，
∵为双曲线上一点，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
令，可得，解得，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
令，可得，解得，
∴，
∵，
∴，两点横坐标的和为．
故选：D．
2．如图，直线与双曲线交于两点，点在轴上，连接，且，已知的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，直角三角形的性质，设点为，求出，根据点和点关于原点对称得到，，由直角三角形的性质得到，根据，得到关于方程，解方程即可求解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
【详解】解：设点，
则,
∵，
∴，
∵点和点关于原点对称，
∴，，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
整理得，，
解得，（不符合题意，舍去），
∴，
∴，
故选：．
3．如图，已知点A是一次函数图象上一点，过点A作轴的垂线，是上一点在A上方，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图象过点，，若的面积为，则的面积是 ．
【答案】
【分析】过作轴于，交于，设，根据直角三角形斜边中线是斜边一半得：，设，则，，因为、都在反比例函数的图象上，列方程可得结论．
【详解】解：如图，过作轴于，交于．
轴，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
设，则，，
，在反比例函数的图象上，
，
解得，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键．
4．如图，过原点且平行于的直线与反比例函数（,）的图像相交x于点C，过直线上的点，作轴于点B，交反比例函数图像于点D，且，那么点C的坐标为 .
【答案】()
【分析】由条件可求得D点坐标，则可求得反比例函数解析式，联立直线与反比例函数解析式可求得C点坐标．
【详解】解：A(1，3)，AB⊥x轴点B，
AB=3， OB= 1，
，
BD=1，
D(1，1)，
点D在反比例函数图象上，
，解得k=1，
反比例函数解析式为，
联立直线与反比例函数解析式可得
解得或，
C ()．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用、待定系数法求函数解析式以及，函数图象的交点，联立方程组求交点是解题的关键
5．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点A坐标为，点的坐标为
(1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
(2)连接、，求的面积；
(3)观察图像直接写出时的取值范围是______；
(4)若为轴上一动点，请直接写出当是以为腰的等腰三角形时，点的坐标．
【答案】(1)；
(2)
(3)或
(4)或或
【分析】（1）利用待定系数法求两函数的解析式；
（2）根据两三角形面积和可得到结论；
（3）直接根据图像一次函数在反比例函数上边时对应x的值；
（4）分为两种情况，根据点A的坐标综合图形可得点P的坐标．
【详解】（1）解：∵点A坐标为，
∴将点A代入到反比例函数中可得到：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为：，
∴将点B的坐标代入到反比例函数中得到：，
解得：，
∴，
将A、B的坐标代入到一次函数中可得到：
，解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：如图所示，当时，，即，
，
∴，
∴；
（3）解：根据图像可得，当时，即一次函数图像在反比例函数图像上方时，的取值范围是：或；
（4）解：当是以为腰的等腰三角形时，存在以下两种情况：
当时，如图所示：
，
∵，
∴，
∴或；
当时，如图所示：
，
根据等腰三角形的特征以及点A的坐标可得到：；
综上，P的坐标为或或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，考查了利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，等腰三角形的判定，三角形面积的公式，数形结合是解题的关键．
6．如图，在中，点，点，双曲线与边交于，两点，点的纵坐标大于点的纵坐标．
(1)当点的坐标为时，求的值；
(2)若，求点的坐标；
(3)连接，记的面积为，若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)点的坐标为
(3)
【分析】本题主要考查反比例函数及其应用，一次函数及其应用，求解一次函数关系是解题的关键．
（1）根据一次函数图象上点的坐标的特征求解点坐标，再代入反比例函数关系式计算可求解值；
（2）由值可得反比例函数解析式，将两解析式联立解析式求解交点坐标，即可求解；
（3）设点坐标为，则，根据三角形的面积公式可求得的取值范围，即可求得的取值范围，再利用反比例函数图象上点的特征可求解．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
直线的解析式为，
把代入中，解得，
点的坐标为，
双曲线过点，
；
（2）解：当时，，
，
解得，
直线与双曲线的交点坐标为，，
交点的纵坐标大于交点的纵坐标，
点坐标为，
（3）解：设点坐标为，则，
，
，
，
，
即，
，
，
当时，
．
7．已知直线与双曲线交于点和点B．直线与x轴，y轴分别交于点C和点D，点A关于y轴对称点为，点B关于x轴的对称点为，连接，，．
(1)求，的值；
(2)猜想四边形是什么特殊四边形，并证明你的猜想；
(3)上下平移直线，交双曲线交于点M、N，是否存在？若存在，求平移后的直线解析式；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)四边形是平行四边形，证明见解析
(3)存在，移后的直线为或
【分析】（1）把 代入，即可求得，从而得，再把代入，即可求出a值；
（2）联立，求解即可得点，，利用对称性即可求得，，从而求出，，，，即可得出，，即可由平行四边形的判定得出结论．
（3）设平移后的直线为，联立得，，则有，再根据根与系数的关系得，又由，则有 ，求解即可．
【详解】（1）解：把 代入，
得，
∴，
把代入，
得，
∴．
（2）解：四边形是平行四边形
证明：联立，解得，，
∴点，，
∵点A和关于y轴对称，点B和关于x轴对称，
∴，，
∴；
在中，令x=0，得y=1，
∴，
，
∴，
∴，
，
，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
（3）解：设平移后的直线为，
联立得，，
∴，
∴
∴，
∵M、N都在直线上，
∴，
即 ，
解得，
∴平移后的直线为．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数图象交点问题，求反比例函数解析式，一次函数图象的平移，轴对称的点坐标变换，根与系数的关系，平行四边形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．
8．一次函数 与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，其中．
(1)求反比例函数表达式；
(2)结合图象，直接写出时，x的取值范围；
(3)若点P在x轴上，且是直角三角形，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】(1)把代入求出，再把代入求出k的值即可；
(2)联立方程组求出B点坐标，结合图象即可得时，x的取值范围；
(3)当时，得到；当时，过点A作轴于点D，得到，根据直线的表达式为和，推出，推出， 得到，推出，得到，得到．
【详解】（1）将代入，
得，，
∴,
∴，
将代入，得，，
∴，
∴反比例函数表达式为；
（2）联立，解得，，或，
∴，
观察图象可得:当时，；
（3）①当时，轴，
∴；
②当时，
如图，过点A作轴于点D，
则，
∵，
∴，，
∵直线的表达式为，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，函数与方程与不等式，等腰直角三角形性质，分类讨论，是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．
(1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式；
(2)在轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出点P及周长最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)在x轴上存在一点，使周长的值最小,最小值是．
【分析】（1）过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，证明，则，由得到点A的坐标是，由A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上得到，解得，得到点A的坐标是，点B的坐标是，进一步用待定系数法即可得到答案；
（2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，利用轴对称的性质得到，，则，由知是定值，此时的周长为最小，利用待定系数法求出直线的解析式，求出点P的坐标，再求出周长最小值即可．
【详解】（1）解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，
则，
∵点，，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A的坐标是，
∵A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．
∴，
解得，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，
∴，
∴反比例函数的解析式是，
设直线所对应的一次函数的表达式为，把点A和点B的坐标代入得，
，解得,
∴直线所对应的一次函数的表达式为，
（2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，
∴点A与点关于x轴对称，
∴，，
∵，
∴的最小值是的长度，
∵，即是定值，
∴此时的周长为最小，
设直线的解析式是，
则，
解得，
∴直线的解析式是，
当时，，解得，
即点P的坐标是，
此时，
综上可知，在x轴上存在一点，使周长的值最小，最小值是．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
10．如图， 已知直线 与反比例函数 的图象交于 A、 B两点，且点 A 的横坐标为 4．
(1)求反比例函数解析式．
(2)直接写出当 时，自变量 x 的取值范围．
(3)过原点O的另一条直线l交双曲线于P、 Q两点 （点P在第一象限） ，若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．
【答案】(1)；
(2)或
(3)点P的坐标是或
【分析】
（1）把点A的横坐标为4代入直线，得，即得A点坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值即可；
（2）由正比例函数与反比例函数的对称性可得点B的坐标，观察图象即可确定不等式的解集；
（3）由正比例函数与反比例函数的对称性知，四边形是平行四边形，从而得；设点P的横坐标为m（），得，过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F，由反比例函数比例系数的几何意义得；分及两种情况进行考虑，利用建立方程求得m的值，即可求得点P的坐标．
【详解】（1）解：把点A的横坐标为4代入直线，得，即A点坐标为，
把点代入双曲线得，，
∴反比例函数解析式为：；
（2）解：由于正比例函数与反比例函数关于原点的中心对称图形，
则点A与点B关于原点对称，
∴点B的坐标为，
观察图象知，当时，或．
（3）解：∵反比例函数图象与正比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，
，
∴四边形是平行四边形，
；
设点P的横坐标为m（），得
过点P、A分别作x轴的垂线，垂足为E、F，
∵点P、A在双曲线上，
若，如图，
，
，
，
解得（舍去），
，
若，如图，
，
，
，
解得（舍去），
，
∴点P的坐标是或．
【点睛】
本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的图象与性质，比例系数的几何意义，平行四边形的判定等知识，注意数形结合与分类讨论思想的应用．
【压轴题型五 反比例函数中的存在性问题】
1．如图，点是反比例函数图像上的一动点，连接并延长交图像的另一支于点．在点的运动过程中，若存在点，使得，，则，满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，过点作轴于点，过点作轴于点，根据等腰直角三角形的性质得出，通过角的计算找出，结合“，”可得出，根据全等三角形的性质，可得出，进而得到，进一步得到．
【详解】解：连接，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：
由直线与反比例函数的对称性可知、点关于点对称，
，
又，，
，，
，，
，
又，，
，
，，
点，
，，
，，
，
点是反比例函数图像上，
，即，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定及性质，解题的关键是求出点的坐标．
2．如图，过原点O的直线l与双曲线交于A、C两点，将直线l绕点O顺时针旋转，与双曲线交于B、D两点，以下四种说法：①存在无数个平行四边形；②存在无数个矩形；③存在菱形；④不存在正方形；其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据双曲线和直线的中心对称性质和平行四边形，矩形，菱形和正方形的判定，结合图形即可得到答案．
【详解】∵双曲线和双曲线是关于原点O对称的中心对称图形，直线和直线是关于原点O的中心对称图形，
∴
∴四边形为平行四边形，故①正确，符合题意；
∵如图双曲线在双曲线的内侧，
∴以为圆心，为半径作圆，交双曲线于两点，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴,
∴，
∴四边形为矩形，故②正确，符合题意；
∵A，B两点都在第一象限，
∴,
∵四边形要想成为菱形和正方形，对角线都需要互相垂直即，
∴四边形不可能是菱形和正方形，故③不正确，不符合题意，④正确，符合题意．
故选：C
【点睛】本题考查了双曲线的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定和正方形的的判定等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系内，为坐标原点，点为直线上一动点，过作轴，交轴于点（点在原点右侧），交双曲线于点，且，则当存在时，其面积为 ．
【答案】1
【分析】根据点A在一次函数图像上，因此设点A(a，2a+1)，点B在反比例函数图像上，则点B(a， )，就可得到AC，BC的长，再根据AC+BC=4，建立关于a的方程，解方程求出a的值，由题意可得到符合题意的a的值，然后利用三角形的面积公式可求解.
【详解】由点A在直线y=2x+1上，可设点A(a，2a+1) （a＞0），
由点B在直线y=上，AB⊥x轴，可得点B(a， )，
∴AC=2a+1，BC=，
∵AC+BC=4，
∴2a+1+=4，即2a2-3a+1=0，
解得：a1=，a2=1，
∴A(1，3)，B(1，1)或A( ，2)，B(，2)，
由题意△OAB存在， 所以A( ，2)，B(，2)舍去，
∴S△OAB=AB·xA=×2×1=1.
故答案为1.
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合，解题的关键是根据AC+BC=4，建立关于a的方程，求出A点坐标.
4．已知直线分别交函数与函数的图像于两点，若在函数图像上存在点，使得恰为等边三角形，则的面积为 .
【答案】
【分析】先求出A,B两点的坐标，然后根据等边三角形和反比例函数求出C的坐标，利用建立关于a的方程求出a，然后利用面积公式求解即可．
【详解】∵直线分别交函数与函数的图像于两点
∴
∵恰为等边三角形
∴C的横坐标为
若点C在上，此时点C的坐标为
∵
∴
即
解得
∴
若点C在上，此时点C的坐标为
∵
∴
即
解得
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
5．如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图象上．已知轴于点，轴于点，原点恰好是线段的中点，连接，的面积为6，．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，求出符合条件的点、点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，，或，或，
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、求反比例函数解析式、等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）先求出点，，得出，再根据，求出的值即可；
（2）由（1）得，设．分三种情况：当，时，点与原点重合；当，时；当，；分别求解即可．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，，
令，则，
，即，
原点恰好是线段的中点，
，
即，
，
；
，
，
解得：，
反比例函数的解析式为．
（2）解：存在点，使得是等腰直角三角形．理由如下：
由（1）得：，
直线的表达式为，
是线段上的一个动点．
设．
①当，时，点与原点重合，
，；
②当，时，如图，
，解得，
，
，
③当，时，如图，
过点作于点N，则，
由②的解法可求得：，，
，
，；
综上所述：当，或，或，时，是等腰直角三角形．
6．一次函数与x轴交于C点，与y轴交于B点，直线与反比例函数交于点．
(1)求出a，k的值；
(2)M为线段上的点，将点M向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到N，点N恰巧在反比例函数上，求出点M坐标；
(3)在（2）的条件下，若点P是x轴上的一个动点，点Q是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点P，Q，使得四边形为菱形．若存在，请直接写出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为：，或，
【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数的性质、菱形的性质、待定系数法求函数表达式等；
（1）用待定系数法即可求解；
（2）求出点的坐标为，点的坐标为，而为线段上的点，求出点的坐标，即可求解；
（3）分为菱形的一边和菱形的对角线，两种情况分别求解即可．
【详解】（1）把点坐标代入一次函数解析式可得：，
，
点在反比例函数图象上，
；
（2）当时，，
解得，
当时，，
解得，
一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，
点的坐标为，点的坐标为，
为线段上的点，
∴设，则，
则有，
解得，或（舍去）
；
点坐标为，
（3）设点，
点，点，
∵四边形为菱形，
∴，且点向左平移4个单位向下平移2个单位得到点，点向左平移4个单位向下平移2个单位得到点，
∴，
∵
∴
∴，
解得：，
即点的坐标为：，或，．
7．一次函数与轴交于点，与轴交于点，直线与反比例函数交于点．
(1)求出，的值；
(2)为线段上的点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标；
(3)在（2）的条件下，若点是轴上的一个动点，点是平面内的任意一点，试判断是否存在这样的点，，使得四边形为菱形，若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3；6
(2)
(3)或
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与几何图形的综合应用，菱形的判定和性质：
（1）把点代入一次函数解析式，求出的值，再把点代入反比例函数解析式求出的值即可；
（2）求出点的坐标为，点的坐标为，而为线段上的点，设，得到，代入反比例函数解析式即可求解；
（3）设点，，根据菱形的性质，分2种情况讨论求解即可．
【详解】（1）把点坐标代入一次函数解析式可得：，
，
点在反比例函数图象上，
；
（2）当时，，解得，
当时，，
一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，
点的坐标为，点的坐标为，
为线段上的点，
∴设，则，
则有，
解得，或舍去
；
∴；
（3）设点，，
由（2）可知：点，点，
∴，
由题意知，为菱形的边，
则点向右平移个单位向上平移个单位得到点，
则点向右平移个单位向上平移个单位得到点，
由平移规则和得：
或，
解得：或，
即点的坐标为：或或或．
8．如图，在直角坐标平面内，正比例函数，过点A作轴，垂足为点B，．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在直线上是否存在点C，使点C到直线的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标，请说明理由；
(3)已知点P在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或或或
【分析】（1）将代入得，可得，再将点A代入反比例函数的解析式为，即可得出答案；
（2）根据点A的坐标，可知，过点C作于G，由题意得，分点C在上或的延长线上，分别根据含30°角的直角三角形的性质可得答案；
（3）由，分三种情形，分别得出答案．
【详解】（1）解：，
∴点A的纵坐标为3，
∵正比例函数的图象经过点A，
把代入得，
∴，
设反比例函数的解析式为，
将点代入得，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）解：∵轴于点B，设点C的坐标为，
在中，，
由勾股定理得：，
，
，
过点C作于G，
由题意得，
当点C在上时，
则平分，
，
，
，
当点C在延长线上时，
同理可得，
综上所述：点C的坐标为或；
（3）解：当时，则点的坐标为或，
当时，由得，，
，
当时，
，
则平分，
，
综上所述：则点的坐标为或或或．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，含角的直角三角形的性质，角平分线的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
9．如图1，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接，．
(1)求反比例函数及一次函数的表达式；
(2)若的面积为12，求点P的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，若点E为直线上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函为，一次函数表达式为
(2)
(3)存在，点E的坐标为或或
【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质等，解题关键是运用分类讨论思想解决问题，
（1）将点的坐标代入反比例函数解析式可求得，进而可得，再利用待定系数法即可求得一次函数解析式;
（2）如图，设直线交x轴于H，过点M作轴于D，过点N作轴于E，设，根据三角形的面积，建立方程求解即可，得出答案;
（3）利用待定系数法可直线PM的解析式为，设，分三种情况∶ 当、为平行四边形对角线时； 当、为平行四边形对角线时，当、为平行四边形对角线时；分别建立方程求解即可得出答案．
【详解】（1）∵反比例函数 的图象经过、两点，
，
解得：，
，
由点M、N的坐标得，直线的表达式为：；
反比例函数表达式为，一次函数表达式为；
（2）如图，设直线交x轴于H，过点M作轴于D，过点N作轴于E，
设，
，，
，
直线的表达式为：，
则，
，
，
解得：，
；
（3）存在，点E的坐标为或或．
由点P、M的坐标得，直线PM的解析式为，
设，
，，
当、为平行四边形对角线时，与的中点重合，
则，解得：，
，；
当、为平行四边形对角线时，与的中点重合，
则，解得：，
，；
当、为平行四边形对角线时，与的中点重合，
则，解得：，
，；
综上所述，点E的坐标为或或．
10．如图，一次函数的图象与反比例函数点的图象相交于、两点，点在轴正半轴上，点，连接、、、、，四边形为菱形．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时的取值范围；
(4)设点是直线上一动点，是否存在点，使，若存在，请直接写出满足条件点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为
(2)的面积为
(3)或
(4)点P的坐标为或
【分析】（1）由菱形的性质可知A、D关于x轴对称，可求得A点坐标，把A点坐标分别代入两函数解析式可求得和值；
（2）联立一次函数与反比例函数的解析式即可求解；
（3）根据图象求解即可；
（4）根据菱形的性质可求得C点坐标，可求得菱形面积，设P点坐标为，根据条件可得到关于a的方程，可求得P点坐标．
【详解】（1）如图，连接，交x轴于点E，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
将代入直线可得，
解得，
将代入反比例函数可得，
解得：；
∴一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为；
（2）设与y轴相交于F，
当时，，即，
解，得
，，
∴，
∴；
（3）由图象可知，反比例函数值大于一次函数值时的取值范围为或；
（4）∵，
∴，
∵，
∴，
设P点坐标为，
则，
∴，
∵，
当P在A的左侧时，，
∴，
∴，
当P在A的右侧时，，
∴，
∴，
综上所述，点P的坐标为或．
【点睛】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：菱形的性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点，坐标与图形性质，利用函数图象解不等式，利用了数形结合的思想，熟练掌握反比例函数性质是解本题的关键．
【压轴题型六 实际问题与反比例函数】
1．某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻，是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01，压敏电阻的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式：，，）．则下列说法中不正确的是（ ）
A．当水箱未装水（）时，压强p为0kPa
B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N
C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m
D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻的阻值为
【答案】B
【分析】根据题意结合图、图、图可得，，对各个选项进行逐个计算即可．
【详解】A. 由图得：当时，，故此项说法正确；
B. 当报警器刚好开始报警时，，解得，由图可求得：，解得，故此项说法错误；
C. 当报警器刚好开始报警时，由上得，则有，，由图求得，，解得：，故此项说法正确；
D. 当报警器刚好开始报警时：，，当时，，，，，故此项说法正确．
故选：B．
【点睛】本题跨学科考查了反比例函数、一次函数的实际应用，理解每个变量的实际意义是解题的关键．
2．2021年新冠肺炎疫情防控形势依然严峻，严格按照防疫要求进行个人防护和环境消杀是防控的重点．已知某种环境消杀使用的消毒液中含有有效成分，每将个单位的溶解在一定量水中，则消毒液的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中当时，，当时，．若多次溶解，则某一时刻水中的浓度为每次溶解的在相应时刻溶解的浓度之和．根据科学实验，当消毒液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效消毒．则下列结论不正确的是（ ）
A．一次投放4个单位的，在2分钟时，消毒液的浓度为克/升
B．一次投放4个单位的，有效消毒时间可达8分钟
C．若第一次投放2个单位的，6分钟后再投放2个单位的，第8分钟消毒液的浓度为5克/升
D．若第一次投放2个单位的，6分钟后再投放2个单位的，接下来的4分钟能够持续有效消毒
【答案】C
【分析】根据题意，对于题意根据当时，，当时，，当时，，当时，，根据题意求得时的函数值，即可判断A，令根据上述函数关系式，求得的取值范围，进而判断B选项，根据当时，求得函数关系式，求得当时的函数值即可判断C选项，根据C选项的解析式求得的最小值即可判断D选项．
【详解】对于A，由题意可得，当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，故A正确，
对于B，当时，，解得，
故，
当时，，解得，
故，
综上所述，，
若一次投放4个单位的，消毒时间可达8分钟，故B正确，
对于C，当时，
，当时，，
故C错误，
对于D，∵，
∴，当且仅当，即时取等号，
∴有最小值，
∴接下来的4分钟能够持续消毒，故D正确．
故选C
【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的应用，类比反比例函数求解是解题的关键．
3．瑞泰工程组安排甲、乙、丙、丁四辆货车用于一批建筑材料运输，已知这四辆货车每一次的运货量都保持不变且为整数（单位：吨），乙车每次运货量比甲车高，丙车每次运货量比甲车多12吨，甲、丙两车运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等、当甲、乙、丙、丁四辆货车运输次数之比为恰好运完这一批建筑材料，此时甲车共运输了120吨，则这批建筑材料最多有 吨．
【答案】376
【分析】设甲车每次运吨，可得乙车每次运（吨，丙车每次运吨，丁车每次运吨，由，，，都是整数，知是6的倍数，最小为6，设这一批建筑材料共吨，运完这一批建筑材料，丁车运输次，可得，，，故时，最大为376吨．
【详解】解：设甲车每次运吨，
乙车每次运货量比甲车高，丙车每次运货量比甲车多12吨，
乙车每次运（吨，丙车每次运吨，
甲、丙两车运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等，
丁车每次运吨，
，，，都是整数，
是6的倍数，最小为6，
设这一批建筑材料共吨，运完这一批建筑材料，丁车运输次，则甲车运输次，乙车运输次，丙车运输次，
甲车共运输了120吨，
，
，
根据题意得：
，
当最小时，取最大值，
时，最大为（吨，
这批建筑材料最多有376吨，
故答案为：376．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意设位置时，列出关系式是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，P(2a，a)是反比例函数y＝的图象与正方形的边的一个交点，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】4
【分析】先利用反比例函数解析式y＝确定P点坐标为（2，1），由于正方形的中心在原点O，则正方形的面积为16，然后根据反比例函数图象关于原点中心对称得到阴影部分的面积为正方形面积的.
【详解】解：把P(2a，a)代入y＝得:
2a a=2，解得a=1或-1，
∵点P在第一象限，∴a=1，
∴P点坐标为(2，1)，
∴正方形的面积=4×4=16，
∴图中阴影部分的面积=×正方形的面积=4．
故答案为4．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形．根据对称性理解阴影部分的面积是正方形面积的是关键.
5．实验研究发现：学生在数学课上的听课注意力指标随上课时间（分钟）的变化而变化，上课开始时，学生的注意力指标激增，中间一段时间，学生的注意力指标保持平稳状态，随后开始分散注意力．学生的注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数图象的一部分．
(1)求点对应的指标值；
(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由．
【答案】(1)24
(2)能，见解析
【分析】本题主要考查了函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，
（1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的指标值；
（2）求出解析式，得到时，，由反比例函数，可得时，，根据，即可得到答案；
解题的关键是求出和时的解析式．
【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得：，
解得，
反比例函数的解析式为，
当时，，
，
，
即对应的指标值为24；
（2）解：张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，
理由如下：
设当时，的解析式为，将、代入得，
解得，
的解析式为，
当时，，
解得，
由（1）得反比例函数的解析式为，
当时，，
解得，
时，注意力指标都不低于32，
而，
张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32．
6．为了预防甲型流感，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过分钟的集中药物喷洒，再封闭教室分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量与药物在空气中的持续时间（分钟）之间的函数关系，在药物喷洒和封闭教室期间，与均满足一次函数的关系，在打开门窗通风后与满足反比例函数的关系，如图所示．
(1)研究表明，室内空气中的含药量低于时方可进入教室，从封闭教室开始，至少经过多少分钟后学生方可返回教室？
(2)当室内空气中的含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能完全有效杀灭流感病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？
【答案】(1)分钟
(2)完全有效，见解析
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，是一个分段函数，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键．
（1）当时，设与的函数关系式为：，代入图中点的坐标求出，令，求出时间，再减去分钟即可得结果．
（2）当时，设与的函数关系式为：，代入图中点的坐标求出，令，求出，对于，令，求出时间，用两时间之差与作比较，即可得结果．
【详解】（1）解：由题意可得，故当时，设与的函数关系式为：，
把代入上式得，，
，
，
当时，，
，
（分钟）．
答：至少经过分钟后学生方可返回教室．
（2）当时，设与的函数关系式为：，
把代入上式得，，
，
，
当时，，
，
对于，当时，，
，
，
此次消毒是完全有效，
答：此次消毒完全有效．
7．盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下：
(1)如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题：
①函数的图象可由函数的图象向左平移 个单位，再向下平移 个单位得到，其对称中心坐标为 ；
②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？
(2)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案．
【答案】(1)图像见解析；①3，2，；②；
(2)，
【分析】
本题考查反比例函数的图象及性质，
（1）用描点法画出图象即可．
①根据函数图象的平移规律即可解答；
②先求出时，的取值，然后结合函数图象即可解答．
（2）写出周长的表达式，并将其中的用表示出来，再利用，当时，取最小值，从而求出和的值．
灵活运用反比例函数的性质解决问题是关键．
【详解】（1）解：画出的图象如图所示：
①函数的图象可由函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其对称中心坐标为．
故答案为：3，2，．
②当时，有，即．
由图象可得：当时，．
（2）面积扩大两倍后的这块布料周长．
当时，即当，时，取最小值．
8．给定一个函数：，为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，进行如下探索：
(1)图象初探
①列表如下
1 2 3 4
3
请直接写出m，n的值；
②请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．
图①
(2)性质再探
请结合函数的图象，写出当________，y有最小值为________；
(3)学以致用
某农户要建进一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为3千元/平方米，侧面造价为千元/平方米．
设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得到y与x的函数关系式为：．
根据以上信息，请回答以下问题：
①水池总造价的最低费用为________千元；
②若该农户预算不超过千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？
【答案】(1)①，；②见解析
(2)1，3
(3)①5；②
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象和性质，数形结合是解此题的关键．
（1）①把和分别代入解析式即可得出结论；
②把表格中，的对应值在平面直角坐标系中描出来，再用光滑的曲线连接起来；
（2）根据图形得出结论；
（3）①根据（2）可得结论；
②令，解不等式即可．
【详解】（1）①，
当时，，
当时，，
，；
②如图：
（2）由图象可得：当时，的最小值为3，
故答案为：1，3；
（3）①由（2）可知，当时，的最小值为5，
水池总造价的最低费用为5千元，
故答案为：5；
②由题意，
，
，
解得：．
9．已知某电路的电源电压，电流（A），电阻三者之间有如下的关系式：，且该电路的电源电压为恒值．
(1)该电路中，电流I与电阻R成_______关系（填“反比例函数”或“正比例函数”）；
(2)当该电路的电阻为时，测得该电路中的电流为A，写出该电路中电流I关于电阻R的函数表达式；
(3)若（2）中的电路如图所示，调节滑动变阻器，使通过灯泡的电流比（2）中测得的值减少A，那么连入电路的阻值将会发生怎样的变化？（提示：设定灯泡电阻恒定）
【答案】(1)反比例函数
(2)
(3)串入的滑动电阻需增加欧姆
【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是：
（1）根据反比例函数的定义判断即可；
（2）利用待定系数法即可求出函数表达式；
（3）利用（2）中求得的函数表达式，求出电流比（2）中测得的值减少A时的电阻，再减去即可．
【详解】（1）解：，且该电路的电源电压为恒值，
，
即该电路中，电流与电阻成反比例函数关系，
故答案为：反比例函数；
（2），
，
；
（3）A，
，
解得，
，
答：滑动电阻需增加10．
10．某科技小组的同学制作了一个简易台秤（如图1）用来测物体的质量，内部电路如图所示，其中电流表的表盘被改装为台秤的示数已知电源电压为，定值电阻为，电阻为力敏电阻，其阻值与所受压力符合反比例函数关系．
(1)请补全下面的表格，在图中补全点，画出与的关系图象，并写出阻值与压力的函数关系式．
______ ______
(2)已知电路中电流与电阻、电源电压的关系式，当电流表的示数达到最大值时，台秤达到量程的最大值若电流表的量程为，则该台秤最大可称多重的物体？
(3)已知力敏电阻受压力与所测物体的质量的关系为若力敏电阻阻值的变化范围为，则所测物体的质量的变化范围是______ ．
【答案】(1)100，40，图见解析，
(2)
(3)
【分析】（1）根据反比例函数中为定值可填表，求出函数关系式，再描点画出图象即可；
（2）求出，结合（1）可得的值；
（3）用表示出，再代入得关于的不等式组，即可解得答案．
【详解】（1），，补全表格如下：
120 100 60 50 40 30
5 6 10 12 15 20
阻值与压力的函数关系式为；
故答案为：100，40；
（2）电流表的示数为时，，
解得，
把代入得：
，
解得，
该台秤最大可称的物体；
（3），，
，
，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，理解，，，的关系．
