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反比例函数与一次函数综合解答题分类训练
（5种类型50道）
目录
【题型1 求面积】 1
【题型2 求不等式解集】 4
【题型3 利用面积求点的坐标】 8
【题型4 平移变换】 12
【题型5 最值问题】 16
【题型1 求面积】
1．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．
(1)分别求出两个函数的解析式；
(2)连接，求的面积．
2．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)当时，求的面积．
3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于，交轴于．
(1)求m、n的值及反比例函数的表达式；
(2)求的面积：
(3)将直线向下平移个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求的值．
4．如图，在平面直角坐标系中，等边的边长为，顶点在轴上，延长至点．使，过点作交轴于点，反比例函数，经过点交于点，反比例函数经过点．
(1)求反比例函数，的解析式；
(2)连接，，计算的面积．
5．如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，点B到x轴的距离为2，点C的坐标为，连接，．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求点A的坐标和的面积．
6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴于点B，反比例函数的图像一支分别交，于点C，D．延长交反比例函数的图像的另一支于点E．已知点D的纵坐标为．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求直线的函数表达式；
(3)求的面积．
7．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，且点纵坐标为．
(1)求这个反比例函数的解析式．
(2)点，连接，求的面积．
8．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点和，点的纵坐标为，点在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的表达式和的值；
(2)求的面积．
9．如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点E，点在该直线上，的顶点D在x轴上，反比例函数的图象经过点B，C．
(1)求a，k的值；
(2)求的面积．
10．如图，反比例函数的图象过和两点．
(1)求k的值．
(2)连接，过点B作，交x轴于点C，连接，求的面积．
【题型2 求不等式解集】
11．如图，一次函数()的图象与反比例函数()的图象相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，点A的坐标是，点B的坐标是 ．
(1)求m，n，k；
(2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集．
12．如图，已知， 是一次函数图像与反比例函数图像的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求直线与轴的交点的坐标及的面积；
(3)请结合图像直接写出不等式的解集为 ．
13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B．
(1)求a，k的值；
(2)直线过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，，连接．
①求的面积；
②直接写出不等式的解集．
14．如图，直线与双曲线相交于点．
(1)求直线及双曲线对应的函数表达式；
(2)直接写出关于x的不等式的解集；
(3)求的面积．
15．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数的解析式和n的值；
(2)根据图象直接写出不等式的解集．
16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)已知点的横坐标为，请结合图象直接写出不等式的解集．
17．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点和，点在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的解析式和点的坐标．
(2)直接写出不等式的解集．
(3)连接，直接写出的面积．
18．如图在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，已知点的坐标为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)请求出不等式的解集．
19．已知一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A的坐标为．
(1)求m的值及反比例函数的解析式；
(2)连接，，求的面积；
(3)观察图象，请直接写出的解集．
20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限两点与坐标轴交于、两点连接是坐标原点．
(1)求反比例函数的表达式及的值；
(2)根据函数图象，直接写出不等式的解集为 ．
【题型3 利用面积求点的坐标】
21．如图，已知一次函数与反比例函数的图像交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)P为y轴上一点，，求点P的坐标．
22．如图，一次函数与反比例函数 的图象相交于，两点．过点作轴，垂足为，
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)根据所给条件，请直接写出不等式 的解集；
(3)一次函数的图像上是否存在一点，使得求．若存在，求出点坐标，若不存在说明理由．
23．如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标为6．
(1)求k的值；
(2)结合图象，直接写出不等式的解集；
(3)点P是y轴上一点，连接 ， ，若，求点P的坐标．
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与反比例函数（为常数，且）的图象交于点，．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)当时，直接写出自变量的取值范围；
(3)已知一次函数的图象与轴交于点，点在轴上，若的面积为8，求点的坐标．
25．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)点P是y轴上一点，且，求点P的坐标．
26．如图所示，双曲线的图象与一次函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)设直线与轴交于点，若为轴正半轴上一点，当的面积为3时，求点的坐标．
27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)直接写出时，x的取值范围；
(3)若P点在x轴上，且满足的面积等于4，请求出点P的坐标．
28．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，在中，，，点C坐标为．
(1)求反比例函数和所在直线的解析式；
(2)P是x轴上一点，当的面积为5时，求点P的坐标
29．如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与轴交于点，与反比例函数的图象的一个交点为，过点作的垂线．
(1)求点的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点在直线上，且的面积为5，求点的坐标；
30．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点，，与两坐标轴分别交于，两点，连接，．
(1)求出一次函数的表达式和的值；
(2)请直接写出当时，的解集；
(3)若点在轴上，且，求点的坐标．
【题型4 平移变换】
31．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B．
(1)求k的值；
(2)把一次函数向下平移个单位长度后，与y轴交于点C，与x轴交于点D．
①若，求的面积；
②若四边形为平行四边形，求m的值．
32．已知直线与反比例函数（，）的图象分别交于点，，与轴交于点，与轴交于点．
(1)如图①，已知点的坐标为．
①求直线的表达式；
②若点是反比例函数在第一象限直线上方一点，当面积为时，求点的坐标．
(2)如图②将直线向右平移个单位长度得到直线，将双曲线位于下方部分沿直线翻折，若翻折后的图象（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，求的值．
33．已知直线与反比例函数的图象在第一象限交于点M．
(1)如图，将直线向上平移b个单位后与的图象交于点和点，求A、B的坐标和b的值；
(2)在（1）的条件下，设直线与x轴、y轴分别交于点C、D，求的面积．
34．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点D，与反比例函数在第二象限内的图象相交于点．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)当时，求的函数值的取值范围；
(3)将直线向上平移后与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，且的面积为18，求平移后直线的关系式．
35．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)当时，直接写出的取值范围；
(3)将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？
36．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，点的坐标为．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)一次函数的图象与轴交于点，为反比例函数的图象在第一象限内的一点．若的面积为面积的倍，求点的坐标．
(3)将一次函数的图象平移，使其经过坐标原点，当另一反比例函数的图象与平移后的一次函数图象无交点时，请直接写出的取值范围．
37．已知反比例函数与正比例函数相交于A，B两点，A点横坐标为2．
(1)______；当，x取值范围是______．
(2)若A点坐标为，则B点坐标为______；（用a，b表示）
(3)将正比例函数图象向下平移3个单位长度，分别交反比例函数图象于点C，D．交y轴于点E．连接，，求的面积．
38．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴相交于点，连接的面积为．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)连接，并求的面积；
(3)将直线向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，请直接写出：直线向下平移了几个单位长度？
39．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，将直线向上平移个单位，与轴交于点，与双曲线交于点．
(1)求反比例函数和直线的表达式；
(2)求点的坐标；
(3)在轴上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
40．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在轴上，，将线段向右下方平移，得到线段，此时点落在函数的图象上，点落在轴正半轴上，且．
(1)求的值；
(2)求直线所对应的函数表达式．
【题型5 最值问题】
41．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点．
(1)求反比例函数的关系式与的值；
(2)根据图象直接写出不等式时的取值范围；
(3)若动点在轴上，求的最小值．
42．如图，反比例函数与直线交于两点．
(1)求m和n的值；
(2)点C是直线上一点，求的周长的最小值，并求出此时点C的坐标．
43．如图，一次函数的图像与反比例函数（k为常数，且）的图像交于，B两点．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)在x轴上找一点P，使的值最小，求的最小值．
44．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)请直接写出时，的取值范围；
(3)在平面内存在一点，且，请直接写出的最小值．
45．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．
(1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式；
(2)在轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出点P及周长最小值；若不存在，请说明理由．
46．【思路点拨】：如图1，点是点关于直线的对称点，分别过点，作轴，轴的垂线，垂足为，，连结，，．可以利用轴对称图形的性质证明，从而由点的坐标可求点的坐标．
【应用拓展】：如图2，若点横坐标为，且在函数的图象上．
(1)求点关于直线的对称点的坐标．
(2)若点的坐标为，点是直线．上的任意一点，连结，，求的最小值．
47．如图，在矩形中，，，点是边的中点，反比例函数的图象经过点，交边于点，直线的解析式为 ．
(1)求反比例函数的解析式和直线的解析式；
(2)在轴上找一点，使的周长最小，求出此时的周长最小值和点的坐标．
48．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)直接写出不等式的解集；
(3)点P在x轴上，求的最大值．
49．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，交于点，连接．
(1)反比例函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出当时，不等式的解集；
(3)直线沿轴方向平移，当为何值时，的面积最大？最大值是多少？
50．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于第二、四象限内的，两点，与轴交于点．
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；
(2)在轴上找一点，使最大，求的最大值及点的坐标．中小学教育资源及组卷应用平台
反比例函数与一次函数综合解答题分类训练
（5种类型50道）
目录
【题型1 求面积】 1
【题型2 求不等式解集】 15
【题型3 利用面积求点的坐标】 27
【题型4 平移变换】 46
【题型5 最值问题】 63
【题型1 求面积】
1．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．
(1)分别求出两个函数的解析式；
(2)连接，求的面积．
【答案】(1)，
(2)3
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，坐标与图形面积，掌握待定系数法求解函数解析式是解本题的关键；
（1）先把代入反比例函数解析式可得，再求解D的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（2）先求解B的坐标，再利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：由过点和可得：
∴，，
∴，
又由过点和可得：
∴，
解得，
∴．
（2）由过点B，可知，
∴，
而点D到y轴的距离为2，
∴．
2．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)当时，求的面积．
【答案】(1)反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为
(2)
【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法是求函数解析式的基本方法．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求得直线的表达式为，再分别求得的坐标，据此即可求出面积．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
∵一次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：∵，
∴，
∴直线的表达式为，
∵时，，
解得，则，
∵时，，
解得，则，
∴，
，
．
3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，交轴于，交轴于．
(1)求m、n的值及反比例函数的表达式；
(2)求的面积：
(3)将直线向下平移个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求的值．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键．
（1）将，代入求出，的值，再把点坐标代入反比例函数，求出的值即可；
（2）先求出的长，再利用即可得出结论；
（3）先得出直线平移后的解析式，再与反比例函数的解析式联立得出关于的一元二次方程，由直线与反比例函数的图象有唯一交点得出的值，再由即可得出结论．
【详解】（1）解：将，代入得，
，，
解得，，
将代入，得，即；
（2）解：，当时，，
即，
，
，
；
（3）解：直线向下平移个单位得新直线，
与联立得，
消得，化简得，
直线与反比例函数的图象有唯一交点，
，
解得或，
，
（舍去），
即．
4．如图，在平面直角坐标系中，等边的边长为，顶点在轴上，延长至点．使，过点作交轴于点，反比例函数，经过点交于点，反比例函数经过点．
(1)求反比例函数，的解析式；
(2)连接，，计算的面积．
【答案】(1)，；
(2)的面积为．
【分析】（）过点作，垂足为，由等边的边长为，可得，，，而，知，即可得，；
（）连接，由，，得，，，求出直线解析式为，联立联立，解得，则，故；
本题考查反比例函数图象上点坐标的特征，待定系数法，三角形面积等，解题的关键是掌握待定系数法，能求出点的坐标．
【详解】（1）过点作，垂足为，如图：
∵等边的边长为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
把点，分别代入和
得： ，
解得，，
∴，；
（2）连接，如图：
∵，，
∴，，
∴，
由，可得直线解析式为，
联立 ，解得 或 (舍去)，
∴，
∴，
∴的面积为．
5．如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，点B到x轴的距离为2，点C的坐标为，连接，．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求点A的坐标和的面积．
【答案】(1)，
(2),
【分析】本题考查了求一次函数解析式，反比例函数，三角形面积公式；
（1）把点代入，解，于是得到一次函数解析式；然后利用一次函数图象上点的坐标特征确定，从而得到反比例函数解析式；
（2）通过解方程组得，然后根据三角形面积公式，利用进行计算即可．
【详解】（1）解：∵一次函数与x轴交于点，
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为．
∵点B到x轴的距离为2，
∴点B的纵坐标为，
将代入，得，
解得，
∴．
将点代入，
得，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：联立，
解得，，
∵点A在第一象限，
∴，
．
6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，轴于点B，反比例函数的图像一支分别交，于点C，D．延长交反比例函数的图像的另一支于点E．已知点D的纵坐标为．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求直线的函数表达式；
(3)求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)12
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式及计算图形面积的问题．
（1）利用待定系数法求反比例函数的解析式；
（2）根据点A的坐标可求得直线的解析式，联立直线和反比例函数解析式列方程组可得点E的坐标，再利用待定系数法求的解析式；
（3）根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：∵A点的坐标为，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，，
∴，
∵点D在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）解：设直线的解析式为：，
∵，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为：，则，
∴，
∴，
设直线的解式为：，
把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解式为：；
（3）解：．
7．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，且点纵坐标为．
(1)求这个反比例函数的解析式．
(2)点，连接，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，求函数解析式，解一元二次方程等知识，正确求出反比例函数解析式是关键．
（1）把点B的纵坐标代入一次函数解析式中，求得点B的横坐标，从而得点B的坐标，把点B坐标代入反比例函数式中即可求解；
（2）由题意可求得点A的坐标，由点A、C的坐标知轴，由三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：把点B的纵坐标代入一次函数解析式中，得，
∴，
∴点B的坐标为，
把点B坐标代入反比例函数中，得，即，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：联立一次函数与反比例函数解析式得：，
整理得：，
解得：，
当时，，
即，
∵，
∴轴，；
∴．
8．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点和，点的纵坐标为，点在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的表达式和的值；
(2)求的面积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题；
（1）根据题意先求得点，根据待定系数法求出反比例函数的解析式，然后把代入到解析式，即可求得的值；
（2）根据函数的对称性求得的坐标，再根据待定系数法求得直线的解析式，从而求得直线与轴的交点的坐标，然后根据求得即可．
【详解】（1）解：∵点的纵坐标为，点在正比例函数图象上，
则的横坐标为
∴点
把点代入，得
∴反比例函数的表达式为
∵把代入得：
（2）∵点与点关于原点对称，点
∴点
设与轴交于点，
直线的函数关系式为，
把点、分别代入得：
，
解得
∴直线的函数关系式为
∴点的坐标
∴
9．如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点E，点在该直线上，的顶点D在x轴上，反比例函数的图象经过点B，C．
(1)求a，k的值；
(2)求的面积．
【答案】(1)，
(2)6
【分析】（1）将代入可求，则，将代入，可求；
（2）由题意求，，由题意知，点A向上平移2个单位，向右平移1个单位得到B，设，则，将点C代入，可求，则，，如图，延长交x轴于点F， 待定系数法求直线的解析式为，进而可求，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：将代入得，，
解得，
∴，
将代入得，，
解得；
（2）解：当时，，即，
当时，，
解得，，
∴，
由题意知，点A向上平移2个单位，向右平移1个单位得到B，
设，则．
将点C代入，得，解得，
∴，，
如图，延长交x轴于点F，
设直线的解析式为，
将，代入得，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得，，
∴，
∴ ，
∴的面积为6．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式，一次函数解析式，坐标与图形，点坐标的平移，平行四边形的性质．熟练掌握反比例函数解析式，一次函数解析式，坐标与图形，点坐标的平移，平行四边形的性质是解题的关键．
10．如图，反比例函数的图象过和两点．
(1)求k的值．
(2)连接，过点B作，交x轴于点C，连接，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，三角形的面积计算，解答本题的关键是求出反比例函数解析式．
（1）将代入求解即可；
（2）首先求出，然后求出所在直线表达式为，求出，得到，然后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上，
∴
∴；
（2）由（1），得，
∵在反比例函数图象上，
∴
∴
设所在直线表达式为，则
设所在直线表达式为
∵，
∴
将代入，
得，解得
∴所在直线表达式为
令，得
∴点
∴
∴．
【题型2 求不等式解集】
11．如图，一次函数()的图象与反比例函数()的图象相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，点A的坐标是，点B的坐标是 ．
(1)求m，n，k；
(2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集．
【答案】(1)，，
(2)或．
【分析】（1）根据点B的坐标，先确定反比例函数解析式，再确定点A的坐标，最后确定一次函数的解析式，即可．
（2）根据函数的图象，结合交点的横坐标写出解集即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的综合，数形结合确定解析式构成不等式的解集，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
【详解】（1）将点代入反比例函数，
得，
，
将点代入，
得，
解得，
，
将点坐标代入一次函数，
得，
解得．
（2）关于x的不等式的解集是：或．
12．如图，已知， 是一次函数图像与反比例函数图像的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求直线与轴的交点的坐标及的面积；
(3)请结合图像直接写出不等式的解集为 ．
【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
(2)，的面积为
(3)或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的图像与性质．
（1）先根据点求出反比例函数的解析式，进而求出点的坐标，最后将点、的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数的解析式；
（2）先求出点的坐标，最后根据三角形的面积公式即可求解；
（3）结合图像即可求解．
【详解】（1）解：将代入，得：，
反比例函数的解析式为：，
将代入，得：，
，
将、代入，
得：，
解得：，
一次函数的解析式为；
（2）在中，令，则，
，
，
；
（3） ，
，即求一次函数图像在反比例函数图像下方时的自变量取值范围，
或，
故答案为：或．
13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B．
(1)求a，k的值；
(2)直线过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，，连接．
①求的面积；
②直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)①9；②
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，等腰三角形的定义，中点坐标公式，数形结合是本题的解题关键．
（1）将点的坐标代入求得，再把点坐标代入求出；
（2）①设，，利用中点坐标公式求出，，的坐标，进而求得的面积；
②根据图象求解即可．
【详解】（1）将代入，得，
，
将代入，
．
（2）①，，设，，
由中点公式知：，，
解得，
将代入，得，
，
将代入，得，
∴，
∴的面积；
②根据图象信息得，
当时，．
14．如图，直线与双曲线相交于点．
(1)求直线及双曲线对应的函数表达式；
(2)直接写出关于x的不等式的解集；
(3)求的面积．
【答案】(1)直线：，双曲线：
(2)
(3)8
【分析】本题主要考查了一次函数，反比例函数的交点坐标，将点的坐标代入函数关系式是确定函数关系式的常用方法，理解交点坐标与不等式解集之间的关系是解本题的关键．
（1）将代入到反比例函数解析式可得其解析式；先根据反比例函数解析式求得点的坐标，再由，坐标可得直线解析式；
（2）根据图象得出不等式的解集即可；
（3）设一次函数的图象与坐标轴交于，两点，分别过，两点作轴于，作轴于，根据题意可得，，从而求出，和，进而求出的值．
【详解】（1）把代入，得：，
∴反比例函数的解析式为；
把代入，得：，
∴，
把、代入，得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
故答案为：；．
（2）由图象可知当时，，
∴不等式的解集是，
（3）设一次函数的图象与坐标轴交于，两点，分别过，两点作轴于，作轴于，
∵、，
∴，
∵一次函数的解析式为，当时，，
当当时，，解得，，
∴点C的坐标是，点D的坐标是
∴．
∴，，
∴．
15．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数的解析式和n的值；
(2)根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
（1）把代入求出反比例函数解析式即可，把代入反比例函数解析式求出n的值即可；
（2）根据函数图象求出不等式的解集即可．
【详解】（1）解：∵，在的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式是，
∴；
（2）解：根据函数图象可知：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上面，
∴当或时，．
16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)已知点的横坐标为，请结合图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为
(2)或
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合：
（1）利用待定系数法求解；
（2）利用数形结合思想求解．
【详解】（1）解：将代入，得，
解得，
反比例函数解析式为；
将代入，得，
解得，
一次函数解析式为；
（2）解：点的横坐标为，点的横坐标为3，
结合图形可知，当或时，反比例函数的图象在一次函数的上方，
因此不等式的解集为或．
17．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点和，点在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的解析式和点的坐标．
(2)直接写出不等式的解集．
(3)连接，直接写出的面积．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
由正比例函数的解析式求得、的坐标，即可求得反比例函数的解析式，把点代入即可求得的坐标；
根据图象和两个函数交点的坐标直接写出即可；
过点作轴的垂线，交于点则，根据计算即可．
【详解】（1）解：把点和代入得，，，
，，
点，，
反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点和，
，
反比例函数的解析式为，
点在反比例函数的图象上．
，
；
（2）解：由图象可知：不等式的解集或；
（3）解：如图：过点作轴的垂线，交于点，则，
，
，
．
18．如图在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，已知点的坐标为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)请求出不等式的解集．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题：
（1）先通过一次函数求出点A坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式；
（2）求出点B的坐标，根据图像求解即可
【详解】（1）解：把点代入，得：
，解得：，
∴点的坐标为，
把点代入得：，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：联立得：，
解得：或，
∴点B的坐标为，
观察图象得：当或时，，
即不等式的解集为或．
19．已知一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A的坐标为．
(1)求m的值及反比例函数的解析式；
(2)连接，，求的面积；
(3)观察图象，请直接写出的解集．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的解析式，函数的图形等知识点的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）把点A的坐标代入一次函数与反比例函数的解析式即可m的值及反比例函数的解析式；
（2）首先把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组，求出B点坐标，然后利用代入求解即可；
（3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．
【详解】（1）解： 点是直线与的交点，
把，，代入得
．
，．
（2）解：设一次函数的图象分别与x轴，y轴交于M，N两点
由得，．
由与得B的坐标为
．
（3）解：由图像可得，x的取值范围为或时，．
20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限两点与坐标轴交于、两点连接是坐标原点．
(1)求反比例函数的表达式及的值；
(2)根据函数图象，直接写出不等式的解集为 ．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象交点问题．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据不等式 的解集即是的图象在反比例函数上方时对应的自变量值求解即可．
【详解】（1）解：把代入，得：，
∴，
当时，；
（2）∵，
∴，
∵，不等式 的解集即是的图象在反比例函数上方时对应的自变量值，
∴，
故答案为．
【题型3 利用面积求点的坐标】
21．如图，已知一次函数与反比例函数的图像交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)P为y轴上一点，，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，三角形面积．
（1）将点坐标代入反比例函数，可求得反比例函数解析式，再根据反比例函数求出点坐标，然后利用待定系数法，将点，坐标代入一次函数，求解即可得一次函数解析式，解题关键是掌握待定系数法；
（2）求出与轴的交点的坐标，然后利用割补法，得，根据三角形面积公式可得，求出，再根据求解即可得到点的坐标，解题关键是利用割补法求三角形面积．
【详解】（1）解：将代入，得，
∴反比例函数的解析式为，
将代入，得，
，
将，代入，
得，
解得，
一次函数的解析式为．
（2）解：如图，设一次函数与轴的交点为，
令，则，
，
，
，
，
，
或，
点坐标为或．
22．如图，一次函数与反比例函数 的图象相交于，两点．过点作轴，垂足为，
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)根据所给条件，请直接写出不等式 的解集；
(3)一次函数的图像上是否存在一点，使得求．若存在，求出点坐标，若不存在说明理由．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为
(2)或
(3)或
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题；
（1）由一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，首先求得反比例函数的解析式，则可求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）根据图象，观察即可求得答案；
（3）先求出直线与轴的交点的坐标，然后设点为，利用三角形的面积分别求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上，
∴，得，
即；
把代入得，
，
∴；
把、代入中得
，
解得：；
∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）根据函数图象可得：不等式的解集是：或；
（3）设直线与轴交于点，
把代入可得： ，
即；
，轴，垂足为，
，
设点坐标为，
解得：或；
因此，存在在点使得，点的坐标为或．
23．如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标为6．
(1)求k的值；
(2)结合图象，直接写出不等式的解集；
(3)点P是y轴上一点，连接 ， ，若，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．
（1）把A的横坐标为6代入，可得点的坐标，再根据待定系数法，即可得到反比例函数的表达式；
（2）依据函数图象，即可得到不等式的解集；
（3）设，依据，列方程求解即可得到点的坐标．
【详解】（1），
∴，
∴
（2）∵点A与点B是关于原点成中心对称
∴，
∴不等式的解集为：或
（3）设，依题意得：
∴或
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与反比例函数（为常数，且）的图象交于点，．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)当时，直接写出自变量的取值范围；
(3)已知一次函数的图象与轴交于点，点在轴上，若的面积为8，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，一次函数与几何图形；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据函数图象，写出反比例函数图象在一次函数上方时且在轴上方时，自变量的取值范围，即可求解；
（3）先求得点的坐标，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）点在反比例函数的图象上，
，
解得．
反比例函数的表达式为．
代入，
，
解得．
点的坐标为．
点，在一次函数的图象上，
把点，分别代入，
得，
解得，
一次函数的表达式为．
（2）∵，
根据函数图象可得：当时，；
（3）对于，当时，；当时，．
直线与轴交点，与轴交点
．
或
点坐标为或．
25．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)点P是y轴上一点，且，求点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，掌握交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键．
（1）待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式即可；
（2）根据直线解析式求出点坐标，再求出三角形的面积，再设点的坐标为代入面积公式求出值即可．
【详解】（1）解：∵点，在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∴，，
∴反比例函数解析式为：，
∵点，在一次函数的图象上，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：设直线与y轴交于点C，
∴点C的坐标为，
∴，
设点P的坐标为，
∵，
∴，
解得，，
∴点P的坐标为或．
26．如图所示，双曲线的图象与一次函数的图象交于，两点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)设直线与轴交于点，若为轴正半轴上一点，当的面积为3时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据直线经过，两点．确定，，代入解析式计算即可．
(2) 设点，直线与轴交于点，结合，确定 ，，利用，列式计算即可．
本题考查了反比例函数与一次函数综合，熟练掌握交点的意义，是解题的关键．
【详解】（1）∵直线经过，两点．
∴，，
∴，
解得，
故反比例函数解析式为．
（2）设点，直线与轴交于点，
∵，
∴ ，，
∵，
∴，
∴，
解得，
故．
27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)直接写出时，x的取值范围；
(3)若P点在x轴上，且满足的面积等于4，请求出点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，熟练数形结合是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）根据点、的坐标结合图象即可求得；
（3）设，求得直线与坐标轴的交点，然后利用三角形面积公式得出关于的方程，进而方程即可求得．
【详解】（1）把代入可得，
反比例函数的解析式为，
把点代入，可得，
．
把，代入，
可得，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）由图象可得，
当时或；
（3）如图，
一次函数的解析式为，令，则，
一次函数与轴的交点，
令，则，
一次函数与轴的交点，
，
设，
，
的面积为5，
，
或，
或．
28．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，在中，，，点C坐标为．
(1)求反比例函数和所在直线的解析式；
(2)P是x轴上一点，当的面积为5时，求点P的坐标
【答案】(1)反比例函数解析式为；所在直线的解析式为；
(2)点P的坐标为或
【分析】（1）将点代入正比例函数，得到点的坐标，再将点代入反比例函数解析式，求出的值即可；过点作轴于点，过点作轴于点，证明，得到，，进而得到点的坐标，再利用待定系数法即可求出所在直线的解析式；
（2）令直线与轴的交点为，求出，再根据坐标两点的距离公式，求出边上的高为，分两种情况讨论：①当点在直线下方时，过点作于点，根据等腰直角三角形的性质，得出，即点与点重合；②当点在直线上方时，过点作直线，证明，进而得到，即可得到点的坐标．
【详解】（1）解：点在正比例函数的图象上，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数解析式为；
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，，
，，
，
设所在直线的解析式为，
，解得：，
所在直线的解析式为；
（2）解：如图，令直线与轴的交点为，
所在直线的解析式为，
当时，，解得：，
，
，
，，
，
的面积为5，
令边上的高为，
则，即，
解得：，
①当点在直线下方时，过点作于点，
，，
，
此时点与点重合时，点P的坐标为；
②当点在直线上方时，过点作直线，
，
，
为的边上的高为，
，
，
又，
，
，
，
点P的坐标为，
综上可知，点P的坐标为或
【点睛】本题是反比例函数与一次函数综合题，考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，坐标两点的距离公十年，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．
29．如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与轴交于点，与反比例函数的图象的一个交点为，过点作的垂线．
(1)求点的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点在直线上，且的面积为5，求点的坐标；
【答案】(1)，
(2)点C的坐标为或
【分析】（1）利用直线解析式可的点C的坐标，将点代入可得a的值，再将点代入反比例函数解析式可得k的值，从而得解；
（2）设直线l于y轴交于点M，由点B的坐标和直线l是的垂线先求出点M的坐标，再用待定系数法求直线l的解析式，C点坐标为，根据(分别代表点B与点C的横坐标)可得点C的横坐标，从而得解；
【详解】（1）解：令，则
∴点A的坐标为，
将点代入得：
解得：
∴
将点代入得：
解得：
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：设直线l于y轴交于点M，直线与x轴得交点为N，
令解得：
∴，
∴，
又∵，
∴
∵，
∴
又∵直线l是的垂线即，，
∴，
∴
设直线l的解析式是：，
将点，点代入得：
解得：
∴直线l的解析式是：，
设点C的坐标是
∵，(分别代表点B与点C的横坐标)
解得： 或6，
当时，；
当时，，
∴点C的坐标为或
【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综合几何问题，三角形的面积公式，综合性较强，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
30．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点，，与两坐标轴分别交于，两点，连接，．
(1)求出一次函数的表达式和的值；
(2)请直接写出当时，的解集；
(3)若点在轴上，且，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）把点，代入一次函数解析式求出的值即可得出解析式，利用待定系数法即可得出的值；
（2）结合函数图象即可得出答案；
（3）先求出的面积，再根据三角形面积公式计算即可得出答案．
【详解】（1）解：点，在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数的解析式为，
点在反比例函数的图象上，
；
（2）解：由图象可得：当时，的解集为或；
（3）解：由直线可知，
，
，，
设，由得，
，
，
，
点的坐标为或．
【题型4 平移变换】
31．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B．
(1)求k的值；
(2)把一次函数向下平移个单位长度后，与y轴交于点C，与x轴交于点D．
①若，求的面积；
②若四边形为平行四边形，求m的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，一次函数的平移，平行四边形的性质，掌握一次函数的平移规律和中点坐标公式是解题的关键．
（1）把点的坐标代入一次函数和反比例函数的解析式，求出和的值即可；
（2）①一次函数的平移遵循“上加下减”，据此求出平移后的解析式，进而确定点和的坐标，用求面积；②用含的代数式表示点和的坐标，根据平行四边形的对角线互相平分，结合中点坐标公式求解即可．
【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，
，
解得：
的值；
（2）把一次函数向下平移个单位长度后，则其解析式为
则直线与y轴交于点C坐标为，与x轴交于点D坐标为
时，C坐标为，D坐标为.
连接，如图所示，
②直线与x轴交于点B坐标为
，，
四边形为平行四边形，
对角线、互相平分.
由或由，
解得．
的值为．
32．已知直线与反比例函数（，）的图象分别交于点，，与轴交于点，与轴交于点．
(1)如图①，已知点的坐标为．
①求直线的表达式；
②若点是反比例函数在第一象限直线上方一点，当面积为时，求点的坐标．
(2)如图②将直线向右平移个单位长度得到直线，将双曲线位于下方部分沿直线翻折，若翻折后的图象（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，求的值．
【答案】(1)①；②或
(2)
【分析】（1）①根据点的坐标求得反比例函数的解析式，即可求得的值，代入一次函数即可求得直线的解析式；②过作，过作于；联立与反比例函数解析式，求得、的坐标，进而求得的长，根据三角形面积求得、的距离，进而求得的解析式，联立与反比例函数解析式即可求得点的坐标；
（2）过点作，交于点，交于点，由题意可知直线的解析式为，则，，，，证明为的中点，得到，则直线的解析式为，若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，则点对应的点为，则，即是的中点，求出，根据两点中点坐标公式得到，由此求解即可．
【详解】（1）解：①∵ 在上，
∴，
把代入中得：，
则直线解析式为：，反比例函数解析式为：；
②由直线与反比例函数的图象分别交于点和点，
则，
解得：或，
∴，
∴，
如图，过作分别交轴、轴于点、，过作于，
设的距离为，则，
解得：，
∴、的距离为，
∴，
∵，令，则，令，则，即，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
在中，，
∴直线是直线向右平移个单位后得到的直线，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
点的坐标为或；
（2）解：过点作于，交于点，交于点，如图，
∴，
∵直线，将直线向右平移个单位长度得到直线，
∴直线的解析式为，
∴，，，，
∴，
∵，
∴为的中点，
∴，
∴直线的解析式为，
若翻折后的图像（图中虚线部分）与直线有且只有一个公共点，则点对应的点为，
，即是的中点，
联立，解得：或（负值舍去），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，（负值舍去），
∴的值为．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合、求一次函数与反比例函数解析式、等腰直角三角形的性质、解一元二次方程、一次函数的平移、轴对称的性质，正确作出辅助线、利用数形结合的思想求解是解题的关键．
33．已知直线与反比例函数的图象在第一象限交于点M．
(1)如图，将直线向上平移b个单位后与的图象交于点和点，求A、B的坐标和b的值；
(2)在（1）的条件下，设直线与x轴、y轴分别交于点C、D，求的面积．
【答案】(1)，
(2)
【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形面积问题，熟练掌握一次函数及反比例函数基本性质是解题的关键．
（1）先求出A、B的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式计算即可；
（2）根据（1）中结果确定，然后结合图形求面积即可
【详解】（1）点在的图象上，
，
，
由平移得，平移后直线的解析式为，
将代入中，得；
（2）∵由（1）得一次函数的解析式为：，
当时，，当时，，
与轴、轴的交点坐标为，
，
．
34．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点D，与反比例函数在第二象限内的图象相交于点．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)当时，求的函数值的取值范围；
(3)将直线向上平移后与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，且的面积为18，求平移后直线的关系式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查待定系数法反比例函数解析式、反比例函数与一次函数的交点、一次函数平移问题、一次函数图象与反比例函数图象的综合判断，用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
（1）把点代入求得点C坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）首先求出和时的函数值，然后判断出在第二象限内，y随x的增大而减小，进而求解即可；
（3）设平移后的直线交y轴于点M，设点M坐标为，连接，由的面积为18，求得，再根据一次函数平移的性质即可求解．
【详解】（1）解：设反比例函数解析式为，
∵直线图象经过点，
∴，
∴，
又∵反比例函数图象经过点，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：当时，，
当时，，
∵
∴在第二象限内，y随x的增大而减小
∴当时，；
（3）解：设平移后的直线交y轴于点M，设点M坐标为，连接，如图，
则，即
∴，
∴，
∴，
∴平移后直线解析式为．
35．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)当时，直接写出的取值范围；
(3)将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？
【答案】(1)，
(2)或
(3)1或9
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键．
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）结合图象找出反比例函数图象高于直线部分对应的x的范围即可；
（3）设出平移后直线的解析式结合一元二次方程的根的判别式解答即可；
【详解】（1）∵反比例函数过点，，
∴，解得：，，
反比例函数解析式为：，点，
∵一次函数解析式过点，，
∴，
解得：．
∴一次函数解析式为：；
（2）根据图象，不等式的解集为：或；
（3）设直线向下平移n个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点，
则平移后的解析式为，
联立两个函数得：，
整理得：，
，
∴，或，
∴直线向下平移1个单位长度或向下平移9个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点．
36．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，点的坐标为．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)一次函数的图象与轴交于点，为反比例函数的图象在第一象限内的一点．若的面积为面积的倍，求点的坐标．
(3)将一次函数的图象平移，使其经过坐标原点，当另一反比例函数的图象与平移后的一次函数图象无交点时，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（）把代入得到，代入反比例函数即可求解；
（）求出点的坐标为，再由得到点的坐标为，得到，设点的纵坐标为，由的面积为面积的倍，得到，即可求解；
（）求出平移后一次函数为，即可得到反比例函数的图象位于第二、四象限，进而得到的取值范围；
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积问题，一次函数的平移，反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：把代入得，，
∴，
∴，
把代入得，，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：当时，，
∴点的坐标为，
∴，
由得，，
解得，，
∴点的坐标为，
∴，
设点的纵坐标为，
则，
∵的面积为面积的倍，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
（3）解：将一次函数的图像平移，使其经过坐标原点，得到的一次函数为，
∴平移后的一次函数图象经过第一、三象限，
∵反比例函数的图象与平移后的一次函数图象无交点，
∴反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴．
37．已知反比例函数与正比例函数相交于A，B两点，A点横坐标为2．
(1)______；当，x取值范围是______．
(2)若A点坐标为，则B点坐标为______；（用a，b表示）
(3)将正比例函数图象向下平移3个单位长度，分别交反比例函数图象于点C，D．交y轴于点E．连接，，求的面积．
【答案】(1)4，或
(2)
(3)
【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围，属于中考常考题型．
（1）把A点横坐标代入正比例函数可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式；根据图象反比例函数的图象在正比例函数图象的上方，即可写出x的取值范围．
（2）根据点A和点B关于原点对称即可得点B的坐标；
（3）过点B作轴交于点I，由条件可求得D、C的坐标，用的面积减去的面积即可求出．
【详解】（1）解：A点横坐标为2，
，
即，
，即，
∵点A和点B关于原点对称，
∴，
由图像可知，时，或；
故答案为：4，或；
（2）解：∵点A和点B关于原点对称，A点坐标为，
∴B点坐标为，
故答案为：；
（3）解：由题意可得，
，
，
联立得，
即，
解得，
，
过点B作轴交于点I，
则，，
的高为6，底为3，的高为1，底为3，
．
38．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴相交于点，连接的面积为．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)连接，并求的面积；
(3)将直线向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，请直接写出：直线向下平移了几个单位长度？
【答案】(1)反比例函数的表达式为
(2)
(3)直线向下平移了1个单位长度或9个单位长度
【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的图象和性质，以及一元二次方程．
（1）设点的坐标为，根据，可求得点的坐标，进而可求得答案；
（2）根据一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，可得，进而可求得点的坐标；
（3）设直线平移后的表达式为，根据一次函数的图象与反比例函数的图象相交于一点，可得，利用根的判别式解答即可．
【详解】（1）解：设点B的坐标为．
令，则，
解得，
∴点C的坐标为，
∵，解得．
∴点B的坐标为．
因为反比例函数的图象过点B，得，
解得．
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：联立得，
变形，得，
解得，．
∴点A的坐标为．
∴；
（3）解：直线向下平移了1个单位长度或9个单位长度，理由如下：
设直线平移后的表达式为，
由一次函数的图象与反比例函数的图象相交于一点，得，
变形，得，
∵一次函数的图象与反比例函数的图象只有一个交点，
∴，
解得：，，
∴或，
∴直线向下平移了1个单位长度或9个单位长度．
39．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，将直线向上平移个单位，与轴交于点，与双曲线交于点．
(1)求反比例函数和直线的表达式；
(2)求点的坐标；
(3)在轴上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数的表达式为，直线的表达式为
(2)
(3)存在，点坐标为或
【分析】（1）把点A的坐标代入中，求得a的值，再代入中，求得k的值，即得反比例函数的表达式，再根据直线向上平移个单位，即可求得直线的表达式；
（2）因B是直线BC与双曲线的交点，故得方程，求解方程，即得答案；
（3）设，分和两种情况，分别列方程求解，即得答案．
【详解】（1）把代入中，得，
解得，
，
，
，
，且直线向上平移个单位，
∴直线表达式为；
（2）由题意得：，
，
，（舍去），
∴，
；
（3）设，
当时，，
解得，
；
当时，，
解得，
；
综上所述，点坐标为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求一次函数与反比例函数的解析式，一次函数的平移，直线上与已知两点组成等腰三角形的点的探求等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
40．如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，点在轴上，，将线段向右下方平移，得到线段，此时点落在函数的图象上，点落在轴正半轴上，且．
(1)求的值；
(2)求直线所对应的函数表达式．
【答案】(1)6
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，平移的性质：
（1）根据可得点，根据可得点，由平移规律可得点的坐标，根据点和点在函数的图象上，列方程可得的值，从而得的值；
（2）利用待定系数法可得直线的解析式．
根据题意得出平移的规律，从而正确表示点的坐标是解题关键．
【详解】（1）解：，，
，，
由平移可知：线段向下平移个单位，再向右平移个单位，得到线段，
，
，
点和点在函数的图象上，
，
，
（2）设直线所对应的函数表达式为．
将，代入得：，
解得：，
直线所对应的函数表达式为．
【题型5 最值问题】
41．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点．
(1)求反比例函数的关系式与的值；
(2)根据图象直接写出不等式时的取值范围；
(3)若动点在轴上，求的最小值．
【答案】(1)反比例函数解析式为；；
(2)或；
(3)10
【分析】（1）本题将代入反比例函数中，即可解出，得到反比例函数的关系式，再将代入反比例函数解析式，即可解题．
（2）本题根据不等式的解集为一次函数的图象在反比例函数图象的上方的部分，再结合，即可解题．
（3）本题利用将军饮马模型求线段和的最小值，作关于轴的对称点，连接，则的最小值．过作于，再利用勾股定理即可解题．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，解得．
所以反比例函数解析式为；
点在反比例函数的图象上，
，解得；
（2）解： ，
其解集为一次函数的图象在反比例函数图象的上方的部分，
即轴左侧和，之间的图象，
，，
或；
（3）解：作关于轴的对称点，，
连接交轴于，则的最小值．
过作于．
因为，，
所以．
【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、反比例函数与一次函数的交点问题、利用图象求不等式的解集、轴对称性质、勾股定理，解题关键是熟练利用待定系数法求函数解析式，利用图象求不等式的解集，以及利用轴对称求最短路径．
42．如图，反比例函数与直线交于两点．
(1)求m和n的值；
(2)点C是直线上一点，求的周长的最小值，并求出此时点C的坐标．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，然后联立解析式，即可求得m、n的值；
（2）作出B点关于直线的对称点，连接，交直线于点C，此时的周长，求得直线的解析式，进一步即可求得C的坐标．
【详解】（1）∵点是反比例函数上点，
．
把点代入，得
，
解得．
令，
解得，
．
（2）作点A关于直线的对称点D，则点D的坐标为．
连接交直线于点C，此时的周长最小，
最小值为．
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
把代入得，
∴点C的坐标为．
故的周长最小值为，此时点C的坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短路线问题，确定C点的坐标是解题的关键．
43．如图，一次函数的图像与反比例函数（k为常数，且）的图像交于，B两点．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)在x轴上找一点P，使的值最小，求的最小值．
【答案】(1)，B坐标
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数的综合，线段和的最小值．
（1）把点代入一次函数，即可得出a，再把点A坐标代入反比例函数，即可得出k，两个函数解析式联立求得点B坐标；
（2）作点B作关于x轴的对称点D，连接，交x轴于点P，此时的值最小，然后根据勾股定理即可求得．
【详解】（1）解：把点代入一次函数，
得，
解得，
∴，
点代入反比例函数，
得，
∴反比例函数的表达式,
两个函数解析式联立列方程组得，
解得，
∴点B坐标．
（2）解：作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接，交x轴于点P，
此时的值最小，
∴，
∵,
∴
∴的最小值为．
44．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)请直接写出时，的取值范围；
(3)在平面内存在一点，且，请直接写出的最小值．
【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数的解析式为
(2)，或
(3)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，勾股定理和圆周角定理；掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤和数形结合思想是解题的关键．
（1）先把点A代入反比例函数求得解析式，然后把点B代入反比例函数求得m的值，然后把A、B两点分别代入一次函数解析式即可；
（2）根据函数图象即可得到结论；
（3）根据圆周角定理确定点P的运动轨迹，设的中点为，当，，三点共线且，在的同侧时有最小值，由勾股定理求出和的长，由的中点Q求得，即可求出．
【详解】（1） 在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为，
在反比例函数的图象上．
，
，
把，代入得
，
解得，
一次函数解析式为；
（2）由图象知，当时，，或，
x的取值范围是：，或，
（3） ，
点在以为直径的圆上运动，
设的中点为，
当，，三点共线且，在的同侧时有最小值，
，，
，
，
的中点为，
，
∴，
，
故的最小值为．
45．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．
(1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式；
(2)在轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出点P及周长最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)在x轴上存在一点，使周长的值最小,最小值是．
【分析】（1）过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，证明，则，由得到点A的坐标是，由A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上得到，解得，得到点A的坐标是，点B的坐标是，进一步用待定系数法即可得到答案；
（2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，利用轴对称的性质得到，，则，由知是定值，此时的周长为最小，利用待定系数法求出直线的解析式，求出点P的坐标，再求出周长最小值即可．
【详解】（1）解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，
则，
∵点，，
∴ ，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A的坐标是，
∵A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上．
∴，
解得，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，
∴，
∴反比例函数的解析式是，
设直线所对应的一次函数的表达式为，把点A和点B的坐标代入得，
，解得,
∴直线所对应的一次函数的表达式为，
（2）延长至点，使得，连接交x轴于点P，连接，
∴点A与点关于x轴对称，
∴，，
∵，
∴的最小值是的长度，
∵，即是定值，
∴此时的周长为最小，
设直线的解析式是，
则，
解得，
∴直线的解析式是，
当时，，解得，
即点P的坐标是，
此时，
综上可知，在x轴上存在一点，使周长的值最小，最小值是．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
46．【思路点拨】：如图1，点是点关于直线的对称点，分别过点，作轴，轴的垂线，垂足为，，连结，，．可以利用轴对称图形的性质证明，从而由点的坐标可求点的坐标．
【应用拓展】：如图2，若点横坐标为，且在函数的图象上．
(1)求点关于直线的对称点的坐标．
(2)若点的坐标为，点是直线．上的任意一点，连结，，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别过点，作轴，轴的垂线，垂足为，，连结，，．设交直线于点，作轴于点，由轴对称的性质得，，则，根据等腰直角三角形的判定和性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，，求得点的坐标，即可求解；
（2）连结，交直线于点，连结，此时为最小值，分别过点，作轴的垂线，垂足为，，过点作的垂线，垂足为．根据矩形的判定可得四边形是矩形，推得，，根据勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）解：（1）分别过点，作轴，轴的垂线，垂足为，，连结，，．
设交直线于点．作轴于点，如图1：
∵点，关于直线对称，
∴直线是线段的中垂线，
∴，，
∴，
∵点在直线上，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵点的横坐标为，且点在函数的图象上，
故将代入，解得：，
∴点坐标为，
∴，．
∴点坐标为．
（2）解：如图2，连结，交直线于点，连结，此时为最小值，分别过点，作轴的垂线，垂足为，，过点作的垂线，垂足为．
∵由（1）知点坐标为，
∴，．
∵点的坐标为，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是矩形．
∴，，
∴．
即的最小值为．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握反比例函数的图象与性质以及轴对称的性质是解题的关键．
47．如图，在矩形中，，，点是边的中点，反比例函数的图象经过点，交边于点，直线的解析式为 ．
(1)求反比例函数的解析式和直线的解析式；
(2)在轴上找一点，使的周长最小，求出此时的周长最小值和点的坐标．
【答案】(1)反比例函数的解析式为，直线的解析式为；
(2)的周长最小值是，点的坐标为．
【分析】
本题考查了一次函数和反比例函数综合，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤．
（1）易得，把代入求出k的值，即可得出反比例函数的解析式为，进而得出，把和代入求出m和n的值，即可得出直线的解析式为．
（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时，的周长最小．用待定系数法求出直线的解析式为，即可得出点的坐标为，再求出，，即可求出的周长最小．
【详解】（1）解：点是边的中点，，，
，则，
把代入得，
，
反比例函数的解析式为，
当时，，
，
把和代入得，
，
，
直线的解析式为．
（2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时，的周长最小．
点的坐标为，
的坐标为，，
设直线的解析式为，
，
解得：．
直线的解析式为，
令，得，
点的坐标为，
，，，
，，
所以的周长最小值．
综上所述，的周长最小值为，点的坐标为．
48．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)直接写出不等式的解集；
(3)点P在x轴上，求的最大值．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】本题考查了待定系数法的应用，一次函数与反比例函数的综合，轴对称的性质；
（1）把点B坐标分别代入反比例函数和一次函数的表达式求出k，b的值即可；
（2）求出点A坐标，找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围即可；
（3）作点B 关于x轴的对称点，作直线交x轴于点P，证明的最大值为，求出坐标，然后计算即可．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数和一次函数的图象上，
，，
解得：，，
∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为；
（2）把代入得：，
∴，
∴，
由函数图象得，不等式的解集为：或 ；
（3）如图，作点B 关于x轴的对称点，作直线交x轴于点P，
由对称性可知，
∴，
在x轴上任意取一点N，若点N是x轴上异于点P的点，则，
∵，
∴的最大值为，
∵，
∴
∴的最大值．
49．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点，交于点，连接．
(1)反比例函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出当时，不等式的解集；
(3)直线沿轴方向平移，当为何值时，的面积最大？最大值是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)时，的面积最大，最大值为．
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、二次函数的最值问题、反比例函数与几何综合等知识点，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）先把点A的坐标代入一次函数解析式求出m的值即可得到点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式求出k，即可确定反比例函数解析式；
（2）只需要找到当时，一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可解答；
（3）先求出，，进而得到，再根据三角形面积公式得到，利用二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵直线经过点，
∴，
∴，
∵反比例函数经过点，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：由函数图象可知，当时一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
∴当时，，即，
∴不等式的解集为；
（3）解：由题意，点，的坐标为，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴时，的面积最大，最大值为．
50．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于第二、四象限内的，两点，与轴交于点．
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；
(2)在轴上找一点，使最大，求的最大值及点的坐标．
【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
(2)的最大值为，
【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、动点最值问题-三边关系模型、一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质、勾股定理等知识，熟练掌握一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质是解决问题的关键．
（1）本题考查待定系数法确定函数关系式即可得到答案；
（2）在轴上找一点，由三角形三边关系可知，故当三点共线时，的值最大，为，求出一次函数的解析式为与轴的交点即是，再求出，过点作轴于，如图所示，利用勾股定理即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入 ，解得，
∴反比例函数的解析式为；
把点代入，解得，
∴，
把，代入得，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：在轴上找一点，由三角形三边关系可知，故当三点共线时，的值最大，为，
一次函数的解析式为，令，则，
∴一次函数与轴的交点为，即为所求，
令，则，
∴，
过点作轴于，如图所示：
在中，由勾股定理可得，
∴的最大值为．
