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反比例函数与几何综合题分类训练（5种类型50道）
目录
【题型1 利用面积求反比例系数】 1
【题型2 利用其他条件求反比例系数】 4
【题型3 求其他参数】 7
【题型4 求点的坐标】 11
【题型5 求面积】 14
【题型1 利用面积求反比例系数】
1．如图，点是平行四边形内一点，与轴平行，与轴平行，，，，若反比例函数的图像经过，两点，则的值是（ ）
A． B．12 C． D．15
2．如图在平面直角坐标系中，点、点在反比例函数 的图象上，过点作轴于点，点作轴于点，若，且的面积为，则的值是( )
A． B． C． D．
3．如图，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数的图象经过矩形的对称中心，与边交于点，且，连接，，，若的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形矩形，点A在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，对角线交于点D．双曲线经过点D与边分别交于点E，点F，连接，若四边形的面积为5，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，线段的延长线与x轴正半轴交于点C．若点B是线段的中点，的面积是6，则k的值为（ ）
A．8 B． C．16 D．
6．如图，在平面直角坐标系中，在第一象限内，边与轴平行，点，均在函数的图象上．若，两点的纵坐标分别为，，且，的面积为，则值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标中，点在函数的图象上，轴于点，点在轴正半轴上，且，点在线段上，且，点为的中点，若的面积为3，则的值为（ ）
A．8 B．6 C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与边长是的正方形的两边，分别相交于，两点，的面积为，若动点在轴上、则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，双曲线（，）经过的对角线交点P，已知边在y轴上，且，若的面积是12，则k的值是（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
10．矩形中，，，以为原点，分别以，所在直线为轴和轴，建立如图所示的直角坐标系，双曲线的图象分别交，于点，，连接，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【题型2 利用其他条件求反比例系数】
11．如图，菱形的边在x轴上，边交y轴于点D，点B的横坐标为1，，点C在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A．12 B． C．15 D．
12．如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若点坐标为，反比例函数恰好经过点，则的值是（ ）
A． B．6 C． D．
13．如图，在平面直角坐标系中，，将沿y轴向上平移3个单位长度至，连接，若反比例函数的图象恰好经过点A及的中点D，则k值等于（ ）
A．6 B． C．3 D．
14．如图，反比例函数的图像经过平行四边形顶点C，D，若点A、点B、点C的坐标分别为，，，且，则k的值是（ ）
A．9 B．10 C．12 D．15
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点D，且，，反比例函数的图像经过点E，若 ，，则k的值是（ ）
A．6 B． C．12 D．18
16．如图，边长为1的正方形的顶点C，D在y轴上，反比例函数的图像经过点B和的中点E，则k的值是（ ）
A． B． C． D．1
17．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，垂足为、顶点在第二象限，顶点在轴正半轴上，反比例函数的图象同时经过点、．若点的横坐标为5，，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
18．如图，是坐标原点，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴的负半轴上，函数的函数图象经过顶点，则的值为（ ）
A． B．32 C． D．16
19．如图，在中，，，轴，点D是的中点，点C、D在的图象上，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
20．如图，的顶点A，C的坐标分别为，，，函数的图象经过点B，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 求其他参数】
21．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点恰好落在双曲线上，现将正方形沿轴向右平移个单位，可以使得顶点落在双曲线上，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点恰好落在双曲线，现将正方形向下平移个单位，可以使得顶点落在双曲线上，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．2
23．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点的坐标为，将菱形向右平移个单位，使点刚好落在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点．正方形的顶点在第一象限，顶点在反比例函数的图象上．若正方形向左平移个单位后，顶点恰好落在反比例函数的图象上，则的值是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
25．如图，已知，．以线段为边，在第一象限内作正方形，点C落在函数的图象上，将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在函数的图象上的点处，则a的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，以为边在第二象限作正方形，点D在双曲线上，将正方形沿x轴正方向平移a个单位长度后，点C恰好落在此双曲线上，则a的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
27．如图，在y轴的右侧作正方形，其对角线交点在第一象限，反比例的图像经过点A和I，则的值为（ ）
A． B． C． D．
28．如图，在x轴的上方作正方形，其对角线的交点在第一象限，反比例函数经过点N和点I，则的值为（ ）
A． B． C． D．
29．如图，已知正方形的面积为4，它的两个顶点B，D是反比例函数的图象上两点，若点D的坐标是，则的值为( )
A． B． C．2 D．
30．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且AB＝2，AD＝4，点A的坐标为（2，6）．将矩形向下平移，若矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，则矩形的平移距离a的值为（ ）
A．a＝2.5 B．a＝3 C．a＝2 D．a＝3.5
【题型4 求点的坐标】
31．如图，等腰的斜边在x轴上，顶点A在反比例函数的图像上，连接，若，则点的坐标为 ．
32．如图，在平面直角坐标系中，对角线的交点为坐标原点O，点B在第一象限，点、D均在反比例函数的图象上，则点D的坐标为 ．
33．如图，在中，轴，，，反比例函数的图象经过点，且与交于点．若，则点的坐标为 ．
34．如图，正方形的顶点在坐标轴上，点在上，点在函数的图象上，则点的坐标是 ．
35．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，垂足为，，分别与反比例函数的图象相交于，两点．若为的中点，则点的坐标为 ．
36．如图①，已知点，，的边与轴交于点，且为的中点，双曲线经过两点．点在双曲线上，点在轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为 ．
37．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A 在 x 轴的正半轴上，反比例函数的图像经过点．则点的坐标是 ．
38．如图所示，为等腰直角三角形，点A的坐标为，动点B在x轴上，当点C在双曲线上，则点C的坐标为
39．如图，点、、在反比例函数的图像上，点D在直线上，四边形是平行四边形，则点D的坐标为 ．
40．如图，反比例函数的图象经过A、两点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足为点C，D，过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足为点E、F、若四边形和四边形不重合部分的面积和为6，则点A的坐标为 ．
【题型5 求面积】
41．如图，过点作轴，垂足为C，轴，垂足为D．，分别交反比例函数 （）的图象于点A，B，则阴影部分的面积是 ．
42．如图，A，B是反比例函数 的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是1和4，点C是x轴负半轴上一点，且其横坐标是方程的一个根，则的面积是 ．
43．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（其中）相交于，两点，过点B作轴，交y轴于点P，则的面积是 ．
44．如图，已知点A是一次函数的图像上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图像过点B，C，若的面积为14，则的面积是 ．
45．如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的中点P，与交于E、F两点，则四边形的面积是 ．
46．如图，已知点是反比例函数图象上的动点，轴，轴，分别交反比例函数（）的图象于点、，交坐标轴于点、，连接．则的面积是 ．
47．如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上的一个点，以点为顶点作等边，使A，B落在轴上点在点的左边若点坐标为，则的面积是 ．
48．点A、M在函数图象上，点B、N在函数图象上，分别过A、B作x轴的垂线，垂足为D、C，再分别过M、N作线段的垂线，垂足为Q、P，若四边形与四边形均为正方形，则正方形的面积是 ．
49．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的顶点A在反比例函数的图像上，顶点B在反比例函数的图像上，顶点C在x轴的正半轴上，则的面积是 ．
50．如图，A是双曲线上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是 ．中小学教育资源及组卷应用平台
反比例函数与几何综合题分类训练（5种类型50道）
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【题型1 利用面积求反比例系数】 1
【题型2 利用其他条件求反比例系数】 12
【题型3 求其他参数】 22
【题型4 求点的坐标】 36
【题型5 求面积】 48
【题型1 利用面积求反比例系数】
1．如图，点是平行四边形内一点，与轴平行，与轴平行，，，，若反比例函数的图像经过，两点，则的值是（ ）
A． B．12 C． D．15
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何的综合，过点作轴，延长交于点，证，求得 ，根据，求得，得到点的纵坐标为 ，设 ，则 ，由反比例函数的图象经过、两点，从而求出，进而可得的值．
【详解】解：过点作轴，延长交于点，
与轴平行，与轴平行，
，，
四边形为平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
点的纵坐标为 ，
设 ，则 ，
反比例函数的图象经过、两点，
，
，
，
，
故选：D．
2．如图在平面直角坐标系中，点、点在反比例函数 的图象上，过点作轴于点，点作轴于点，若，且的面积为，则的值是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例数的几何意义，过点作轴于点，设，，根据题意可得，建立方程，解方程，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，
∵
∴，则，
∵点、点在反比例函数 的图象上，
设，
依题意，，
∵
∴
∴
解得：（负值舍去）
故选：B．
3．如图，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数的图象经过矩形的对称中心，与边交于点，且，连接，，，若的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数的图像上顶点的坐标特征，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握这些知识．设点，根据矩形的对称中心的性质得出延长恰好经过点，，确定，然后结合图像及反比例函数的意义，得出，代入求解即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，，设点，
矩形的对称中心，
延长经过点，，
，
，
，
，
点在反比例函数图像上，
，
，
，
，
故选：B．
4．如图，四边形矩形，点A在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，对角线交于点D．双曲线经过点D与边分别交于点E，点F，连接，若四边形的面积为5，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数的几何应用，矩形的性质，解题的关键是设出点D的坐标表示出点E和F的坐标，利用四边形的面积列方程；设点D的坐标为，则 ，根据四边形的面积为：即可求解．
【详解】解：设点D的坐标为，
∵对角线交于点D，
∴点D为对角线的中点 ，
∴，
∵四边形为矩形 ，
∴点F的横坐标为，E点的纵坐标为，
∴，
∵四边形的面积为：，
∴，
解得：，
故选：A．
5．如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，线段的延长线与x轴正半轴交于点C．若点B是线段的中点，的面积是6，则k的值为（ ）
A．8 B． C．16 D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握反比例函数值的几何意义是关键．
设点的坐标为，利用中点坐标公式建立方程，求出值即可．
【详解】解：设点的坐标为，
∵是的中点，
，
，
代入中，
，
，
，
代入中，
，
，
∵是的中点，
即，
，
，
故选：A．
6．如图，在平面直角坐标系中，在第一象限内，边与轴平行，点，均在函数的图象上．若，两点的纵坐标分别为，，且，的面积为，则值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用三角形的面积求得的长度是解题的关键．
过点作于点，根据，两点的纵坐标分别为，，可得出横坐标，即可求得，的长，根据的面积为，求得的长，即可求得的长，在中，利用勾股定理即可得出的值．
【详解】解：过点作于点，
点，均在函数的图象上，且纵坐标分别为，，
，，
，，
，
的面积为，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
7．如图，在平面直角坐标中，点在函数的图象上，轴于点，点在轴正半轴上，且，点在线段上，且，点为的中点，若的面积为3，则的值为（ ）
A．8 B．6 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数综合题，由，的面积为3，得到的面积为1，则的面积为4，设点坐标为，则，，，，利用得到的值，即为的值．点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式；利用三角形的面积公式和梯形的面积公式建立等量关系是解决问题的关键．
【详解】解：连，如图，
∵，的面积为3，
∴的面积为1，
∴的面积为4，
设点坐标为，则，，而点为的中点，
∴．
∵，
∴，
∴，
把代入双曲线，
∴．
故选：C．
8．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与边长是的正方形的两边，分别相交于，两点，的面积为，若动点在轴上、则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题考查了反比例函数的系数的几何意义，正方形的性质，由正方形的边长是，得到点坐标为、点坐标为，根据三角形的面积列方程即可，根据题意找到面积之间的关系是解题的关键．
【详解】
解：正方形的边长为，
点坐标为，点坐标为，点坐标为，
、在反比例函数的图象上，
点坐标为点坐标为，
，
，
，
，
，
解得：，舍去，
故选：．
9．如图，双曲线（，）经过的对角线交点P，已知边在y轴上，且，若的面积是12，则k的值是（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，在反比例函数图像中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图像上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
求出的面积，根据反比例函数k的几何意义即可解答；
【详解】解：∵，面积为12，
∴的面积，
∵，
∴，即，
∵反比例函数图像在第一象限，
∴，
∴．
故选：B．
10．矩形中，，，以为原点，分别以，所在直线为轴和轴，建立如图所示的直角坐标系，双曲线的图象分别交，于点，，连接，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义和矩形的性质，正确利用面积的和差计算不规则图形的面积是解答本题的关键．
根据已知条件，得到，，，再由双曲线，得到，，进而得到，由图中关系，得到，又，整理得：，由此得到答案．
【详解】解：矩形中，，，
，，，
双曲线的图象分别交，于点，，
，，
，
根据图示：，
，
，
又 ，
，
整理得：，
或（不合题意，舍去），
故选：．
【题型2 利用其他条件求反比例系数】
11．如图，菱形的边在x轴上，边交y轴于点D，点B的横坐标为1，，点C在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A．12 B． C．15 D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理的应用，求得点C的坐标是解题关键．过点B作于点E，由菱形的性质得出，，根据点B的横坐标为1，，得出，设菱形的边长为a，则，利用勾股定理求得菱形的边长，即可求得点C的坐标为，所以．
【详解】解：过点B作于点E，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵点B的横坐标为1，，
∴，
∴，
∴，
设菱形的边长为a，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，
∴ ．
故选：B．
12．如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若点坐标为，反比例函数恰好经过点，则的值是（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：过点作轴于点，如图所示
，，，，
，，
在中，，即，
，
在中，，即，
，，，
，
点，
．
故选：C．
13．如图，在平面直角坐标系中，，将沿y轴向上平移3个单位长度至，连接，若反比例函数的图象恰好经过点A及的中点D，则k值等于（ ）
A．6 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数与几何综合，延长，交轴于点，有轴，根据平移的特点证明四边形为菱形，得到，设，则，，由与都在反比例函数图象上，建立等式，求得值，再利用勾股定理求得值，即可解题．
【详解】解：延长，交轴于点，由题意知，轴，
沿y轴向上平移3个单位长度至，且，
，，
四边形为菱形，
，
设，则，
，且点D为的中点，
，
与都在反比例函数图象上，
，解得，即，
，
，即，
，即．
故选：B．
14．如图，反比例函数的图像经过平行四边形顶点C，D，若点A、点B、点C的坐标分别为，，，且，则k的值是（ ）
A．9 B．10 C．12 D．15
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质、反比例函数与几何综合，根据平行四边形的性质可得点D坐标为，再根据反比例函数的图像经过点C，D，进而可得，进而可得，再根据已知可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
可由平移得到，
点、点、点C的坐标分别为，，,
点D坐标为，
反比例函数的图像经过点C，D，
，
，
，
，，
，
故选A．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点D，且，，反比例函数的图像经过点E，若 ，，则k的值是（ ）
A．6 B． C．12 D．18
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，k的计算，求得点E的坐标是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
连接，交于F，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴与互相垂直平分，
∵，，
∴，
点E到原点的距离为，
∴点E坐标为：．
∵反比例函数的图像经过点E，
∴，
故选：D．
16．如图，边长为1的正方形的顶点C，D在y轴上，反比例函数的图像经过点B和的中点E，则k的值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数图像及性质．根据题意设点，则，再将两点代入反比例解析式中即可求得本题答案．
【详解】解：∵边长为1的正方形的顶点C，D在y轴上，反比例函数的图像经过点B和的中点E，
∴设点，则，
∵点的纵坐标还可表示为：，
∴，
∴，
故选：A．
17．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，垂足为、顶点在第二象限，顶点在轴正半轴上，反比例函数的图象同时经过点、．若点的横坐标为5，，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、勾股定理等知识．由点C的横坐标为5，可知菱形的边长为5，设，则，在中，根据勾股定理可求出，再设出点C的纵坐标，表示点C、D的坐标，代入反比例函数关系式求出k的值．
【详解】解：由题意得，，
设，则，
在中，由勾股定理得∶，
即，
解得（舍去），，
即，
设点，则，
∵反比例函数的图象同时经过点C、D．
∴，
解得：，
∴，
故选：A
18．如图，是坐标原点，菱形的顶点的坐标为，顶点在轴的负半轴上，函数的函数图象经过顶点，则的值为（ ）
A． B．32 C． D．16
【答案】A
【分析】本题考查了反比例数的性质，菱形的性质，勾股定理；根据勾股定理求得，进而根据菱形的性质求得点的坐标，进而待定系数法求解析式即可求解．
【详解】解：由点的坐标，
得，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴点的坐标为．
∵点在反比例函数的图象上，
∴．
故选：A．
19．如图，在中，，，轴，点D是的中点，点C、D在的图象上，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形性质，设，根据题意，由于点C、D在的图象上，即可得到，解得．
【详解】解：设，根据题意，
∵点D是的中点，
∴，
∵点C、D在的图象上，
∴，
解得，
∴，
故选：D．
20．如图，的顶点A，C的坐标分别为，，，函数的图象经过点B，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理，等腰三角形判定与性质，根据A、C的坐标分别是可知，进而可求出，由，又可求，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点B的坐标，再求出k的值．
【详解】解：过点B作轴，垂足为D，
∵A、C的坐标分别是，
，
在中，，
又，
，
又，
，
，
，
，
代入得：，
故选：D．
【题型3 求其他参数】
21．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点恰好落在双曲线上，现将正方形沿轴向右平移个单位，可以使得顶点落在双曲线上，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，正确求得平移后的坐标是关键．依据题意，作轴于，可证，从而求得的坐标，代入反比例函数解析式求出，由正方形向右平移落在双曲线上，利用的纵坐标不变代入反比例函数解析式进而求出此时横坐标，平移前后的横坐标的差可以得出的值．
【详解】解：如图，作轴于，
在中，令，解得：，
即的坐标是．
令，解得：，
即的坐标是．
则，．
，
，
又直角中，，
．
又，，
．
，．
．
把代入，
．
反比例函数解析式为．
为，
正方形向右平移个单位，
平移后为．
由平移后在双曲线上，
．
．
故选：D．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点恰好落在双曲线，现将正方形向下平移个单位，可以使得顶点落在双曲线上，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】B
【分析】先求出点，，过点作轴于；过点作轴于，轴于，可证和全等从而得，，据此可求出点，同理可求出点，据此可求出双曲线的解析式，设与双曲线交于点，则，据此可得点，最后将点代入双曲线的解析式即可求出的值．此题主要考查了反比例函数的图象，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定方法，难点是在解答时，理解与双曲线交点之间的距离就是向下平移的长度单位．
【详解】解：对于，当时，，当时，，
点，点，
，，
过点作轴于；过点作轴于，轴于，
四边形为正方形，
，，
，
又，
，
在和中，
，
，
，，
，
点的坐标为，
同理可证：，
，，
，
点的坐标为，
点在双曲线上，
，
双曲线的解析式为：，
设与双曲线交于点，
将正方形向下平移个单位，使顶点落在双曲线上，
点就落在点处，即平移后点与点重合，
，
，
点的坐标为，
点在双曲线上，
，解得：．
故选：B．
23．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点的坐标为，将菱形向右平移个单位，使点刚好落在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，勾股定理，菱形的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
过作轴于点，利用勾股定理求出菱形的边长，再求出的坐标后，代入反比例函数解析式求出的值，利用平移的性质得到点的坐标后，代入反比例函数解析式中运算求解即可．
【详解】解：过作轴于点，如图所示：
∴，
∵点的坐标为，
∴，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴把代入可得：，
∴，
又∵点向右平移个单位后的坐标为：，
∴把，代入可得：，
解得：，
故选：C．
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点．正方形的顶点在第一象限，顶点在反比例函数的图象上．若正方形向左平移个单位后，顶点恰好落在反比例函数的图象上，则的值是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质以及全等三角形判断和性质，根据坐标求出线段的长是解决问题的关键，合理的转化是常用的方法．由一次函数的关系式可求出与轴，轴的交点坐标，即求出、的长，由正方形的性质、三角形全等可以求出、、、的长，进而求出的坐标，最后求出的长就是的值．
【详解】解：过、分别作轴，轴，垂足分别为、，交反比例函数的图象于，
把和分别代入得：和，
，，
，；
是正方形，
，
，
，
，
，
同理可证得：，
，，
，，
把，代入得，，
把代入得，，即，
，即，
故选：B
25．如图，已知，．以线段为边，在第一象限内作正方形，点C落在函数的图象上，将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度，使点D恰好落在函数的图象上的点处，则a的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据三角形全等得出C点坐标，进而求出反比例函数的解析式，进而确定D点的坐标和点的坐标，即可确定出a的值．
【详解】解：如图，过点C作轴，交x轴于点E，过A作轴，过点D作于点F，
，，
，，
四边形为正方形，
，，
，，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
把C坐标代入反比例函数解析式得：，
反比例函数解析式为，
同理可证
，
，
把代入反比例函数解析式，解得：，即，
则将正方形沿x轴负方向平移2个单位长度，使点D恰好落在函数的图象上的点处，
，
故选：C．
【点睛】此题属于反比例综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，正方形的性质，待定系数法确定反比例函数解析式，以及平移性质，熟练掌握各个性质是解本题的关键．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，以为边在第二象限作正方形，点D在双曲线上，将正方形沿x轴正方向平移a个单位长度后，点C恰好落在此双曲线上，则a的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】作轴于点，交双曲线于点作轴于点，易证，求得A、的坐标，根据全等三角形的性质可以求得、的坐标，从而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得平移后的点的坐标，则的值即可求解．
【详解】解：作轴于点，交双曲线于点，作轴于点．
在中，令，解得：，
的坐标是．
令，解得：，
的坐标是．
，．
∵四边形是正方形，
∴，，
，
又直角中，，
，
在和中，
，
，
同理可证，
，，
的坐标是，的坐标是．
点在双曲线上，
，
反函数的解析式是：．
把代入得：．
．
故选：B．
【点睛】本题考查正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，正确求得、的坐标是关键．
27．如图，在y轴的右侧作正方形，其对角线交点在第一象限，反比例的图像经过点A和I，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别过、作轴的垂线，垂足为、，过点作轴的平行线，交于，交于，过点作轴于点，连接，，证得，则，，同理，，由点的坐标可得出，，所以，所以，得到方程，即可求解．
【详解】解：如图，分别过、作轴的垂线，垂足为、，过点作轴的平行线，交于，交于，过点作轴于点，连接，，
，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，，
同理，，
，
四边形是正方形，
点是正方形的对角线的交点，
是等腰直角三角形，
，，
，
反比例的图象经过点和，
，
，即，
或（舍）．
故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上的点的特征，三角形全等的判定和性质，正方形的性质等内容，由点的坐标，得出点的坐标是解题关键．
28．如图，在x轴的上方作正方形，其对角线的交点在第一象限，反比例函数经过点N和点I，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，过作于，过作于，证明，则，，由对角线的交点，可得，则，即，解得，，可得，由反比例函数经过点N和点I ，可得，整理得，，两边同时除以得，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：如图，过作于，过作于，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵对角线的交点，
∴，
∴，即，解得，，
∴，
∵反比例函数经过点N和点I ，
∴，整理得，，
两边同时除以得，，解得，（舍去），
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数与几何综合，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
29．如图，已知正方形的面积为4，它的两个顶点B，D是反比例函数的图象上两点，若点D的坐标是，则的值为( )
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】利用正方形的性质求得点B坐标是，根据点D、点B在反比例函数上，列式计算即可求解．
【详解】解：∵正方形的面积等于4，
∴，
∵轴，轴，又点D坐标是，
∴点A坐标是，点B坐标是，
∵点D、点B在反比例函数上，
∴，
∴，
∴，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，正方形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
30．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且AB＝2，AD＝4，点A的坐标为（2，6）．将矩形向下平移，若矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，则矩形的平移距离a的值为（ ）
A．a＝2.5 B．a＝3 C．a＝2 D．a＝3.5
【答案】B
【分析】平移后只能A、C同时落在反比例函数图象上，平移后A（2，6-a） C（6，4-a），列得a=2（6-a）=6（4-a），计算可得．
【详解】解：平移后只能A、C同时落在反比例函数图象上，
平移后A（2，6-a），C（6，4-a），
∴a=2（6-a）=6（4-a），
∴a=3，
故选：B．
【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标符合解析式的特点，正确理解点平移的规律列得方程是解题的关键．
【题型4 求点的坐标】
31．如图，等腰的斜边在x轴上，顶点A在反比例函数的图像上，连接，若，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、 反比例函数图象上点的坐标特征以及解分式方程， 解题的关键是找出，解决该题型题目时， 根据线段间的关系找出关于的分式方程是关键．
【详解】解：过点作轴于点，如图所示 ．
设点的坐标为，．
为等腰直角三角形，
，
，
解得：，或（舍 去） ，
经验证是方程的解 ．
点的坐标为．
故答案为：．
32．如图，在平面直角坐标系中，对角线的交点为坐标原点O，点B在第一象限，点、D均在反比例函数的图象上，则点D的坐标为 ．
【答案】
【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，先求出，然后利用平行四边形的性质求解即可．
【详解】解：∵点、在反比例函数的图象上，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∵对角线的交点为坐标原点O，是中心对称图形，
∴点B与点D关于原点中心对称，
∴点D的坐标为，
故答案为：．
33．如图，在中，轴，，，反比例函数的图象经过点，且与交于点．若，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形、平行四边形的性质及反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握相关性质是解题关键．设，则，根据平行四边形的性质，结合点、坐标可得，，根据反比例函数图像上点的坐标特征得出，解方程求出值即可得答案．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∵在中，轴，，，
∴，，，
∵反比例函数的图象经过点，点，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：
34．如图，正方形的顶点在坐标轴上，点在上，点在函数的图象上，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】此题考查了正方形及反比例函数的性质，以及求解一元二次方程等知识，设出点B、E的坐标，然后利用点B、E在反比例函数图像上，列出方程求解即可．
【详解】解：设正方形的边长是a，则，
∵点B在函数的图象上，
∴，
解得（负值舍去），
设正方形的边长是b，则，
∵点E在函数的图象上，
∴，
解得（负值舍去），
经检验，是分式方程的解，
∴，
∴点的坐标是．
故答案为：．
35．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，垂足为，，分别与反比例函数的图象相交于，两点．若为的中点，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】此题考查了反比例函数的图象及性质，过点作轴，垂足为，求出点的坐标为，则的面积为，从而求出的值，代入即可，解题的关键是熟练掌握反比例函数系数的几何意义．
【详解】过点作轴，垂足为，
由题可知，
∵为的中点，点的坐标为，
∴点的坐标为，
∴的面积为，
∴，解得：，
∴反比例函数的表达式为，
当时，，
∴点的坐标为，
故答案为：．
36．如图①，已知点，，的边与轴交于点，且为的中点，双曲线经过两点．点在双曲线上，点在轴上，若以点为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为 ．
【答案】；；
【分析】先求出反比例函数解析式，分类讨论，①当为边时：第一种情况：如图所示，若为平行四边形，过点作轴于点；第二种情况：如图2所示，若为平行四边形；②当为对角线时：如图3所示；根据平行四边形的性质，全等三角形的性质等知识即可求解．
【详解】解：∵，，
∵为中点，且点的横坐标为，设点的横坐标为，
∴，
∴，设，
又∵四边形是平行四边形，且，
如图所示，过点作轴于点，过点作于点，
∴轴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵点，都在双曲线的图像上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在双曲线上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∵点在双曲线上，点在轴上，，，
∴设，，
①当为边时：
第一种情况：如图所示，若为平行四边形，过点作轴于点，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点的横坐标为，
∴，，
∴；
第二种情况：如图所示，若为平行四边形，
∵点在轴上，且，
∴轴，
∴点的横坐标相同，即，
此时，
∴，
∵，
∴；
②当为对角线时：如图所示，
∵，且，
∴点的横坐标相同，即，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上所述点Q的坐标为：；；．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形变换的综合，平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，掌握待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识是解题的关键．
37．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A 在 x 轴的正半轴上，反比例函数的图像经过点．则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据自变量与函数值的对应关系可得C点坐标，再根据勾股定理可得的长，根据菱由菱形的性质可得与的关系、与的关系，根据线段的和差即可解答．
【详解】解：∵反比例函数的图像经过点，
∴．
∴,
∵菱形，
∴,
∴点的横坐标为，点的纵坐标为4，
∴点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征和菱形的性质，利用点C的坐标求出菱形的边长是解题的关键．
38．如图所示，为等腰直角三角形，点A的坐标为，动点B在x轴上，当点C在双曲线上，则点C的坐标为
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的特征，过点作轴于点，证明得，设，则，得代入得，求出的值（取正）即可得出点的坐标
【详解】解：过点作轴于点，如图，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵点C在上，
∴，
解得，或（舍去），
∴，
故答案为：．
39．如图，点、、在反比例函数的图像上，点D在直线上，四边形是平行四边形，则点D的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查反比例函数和平行四边形的性质，利用待定系数法求得反比例函数解析式，再结合平行四边形的性质找到对应边之间的关系，列出方程组解一元二次方程即可．
【详解】解：将代入，
得．
∴反比例函数的表达式为，
将代入，
得：，
∴，
∵点D在直线上，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴设点D的坐标为
∵在反比例函数的图像上，点D在直线上，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
则．
40．如图，反比例函数的图象经过A、两点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足为点C，D，过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足为点E、F、若四边形和四边形不重合部分的面积和为6，则点A的坐标为 ．
【答案】
【分析】由的坐标求出反比例函数的解析式，设，根据题意得，求解进而求出答案；
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及矩形面积求法等知识，正确利用数形结合是解题关键．
【详解】由题意可知，将其代入
得：
解得：
反比例函数的解析式为
设,
四边形和四边形不重合部分的面积和为6，
，
解得，
∴点的坐标为
故答案为：．
【题型5 求面积】
41．如图，过点作轴，垂足为C，轴，垂足为D．，分别交反比例函数 （）的图象于点A，B，则阴影部分的面积是 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，求阴影部分的面积，先根据点的坐标求出矩形的面积，再根据k的几何意义求出和，最后根据得出答案．
【详解】∵点，
∴，，
∴．
∵反比例函数，
∴，
∴．
故答案为：6．
42．如图，A，B是反比例函数 的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是1和4，点C是x轴负半轴上一点，且其横坐标是方程的一个根，则的面积是 ．
【答案】21
【分析】本题考查了反比例与几何的综合．解一元二次方程求得，求得点C的坐标为，利用，列式计算即可求解．
【详解】解：作轴，轴，垂足分别为，如图，
解方程，得或，
∵点C是x轴负半轴上一点，∴点C的坐标为，
当时，；当时，；
∴，，，，，∴
．
故答案为：21．
43．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（其中）相交于，两点，过点B作轴，交y轴于点P，则的面积是 ．
【答案】
【分析】把代入到可求得的值，再把代入双曲线函数的表达式中，可求得的值，进而利用三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】∵直线与双曲线（其中）相交于，两点，
∴
∴，
∴双曲线的表达式为：，，
∵过点作轴，交轴于点，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键．
44．如图，已知点A是一次函数的图像上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图像过点B，C，若的面积为14，则的面积是 ．
【答案】7
【分析】过作轴于，交于，设，根据直角三角形斜边中线是斜边一半得：，设，则，，因为、都在反比例函数的图象上，列方程可得结论．
【详解】解：如图，过作轴于，交于．
轴，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
设，则，，
，在反比例函数的图象上，
，
解得，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、三角形面积，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键．
45．如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的中点P，与交于E、F两点，则四边形的面积是 ．
【答案】6
【分析】设P点的坐标为，根据矩形性质求得的坐标，根据反比例函数的几何意义可得，根据，即可求解．
【详解】解：四边形是矩形，
轴，轴，
∵在反比例函数图象上，
，
设P点的坐标为，而点P在反比例函数图像上，则，
又∵矩形对角线的中点为P，
，，，
，
，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的性质，中点坐标公式，设点的坐标求解是解题的关键．
46．如图，已知点是反比例函数图象上的动点，轴，轴，分别交反比例函数（）的图象于点、，交坐标轴于点、，连接．则的面积是 ．
【答案】/
【分析】设点A的坐标为，可得点B的坐标为，点C的坐标为，，从而得到，即可求解．
【详解】解：设点A的坐标为，
∵轴，轴，分别交反比例函数（）的图象于点、，
∴点B的坐标为，点C的坐标为，，
∴，
∴的面积是．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
47．如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上的一个点，以点为顶点作等边，使A，B落在轴上点在点的左边若点坐标为，则的面积是 ．
【答案】
【分析】设等边的边长为，则点，则，解得：，即可求解．
【详解】解：设等边的边长为，则点，
则，
解得：负值已舍去，
，
故答案是：．
【点睛】本题考查的是反比例函数系数的几何意义，本题的重点是确定点的坐标，利用，即可求解．
48．点A、M在函数图象上，点B、N在函数图象上，分别过A、B作x轴的垂线，垂足为D、C，再分别过M、N作线段的垂线，垂足为Q、P，若四边形与四边形均为正方形，则正方形的面积是 ．
【答案】/
【分析】设点，，，，根据正方形的性质找到a、b之间的等量关系；m、n之间的等量关系．再根据正方形面积公式求解即可．
【详解】解：设点，，，，那么
∵四边形为正方形，
∴，
解得，
∴．
∵四边形为正方形，
∴，
由①，得③，
把③代入②并整理，得
，
解得：（不符合题意，舍去）；．
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了反比例函数的性质和正方形的性质，解题的关键是熟练运用上述知识，数形结合找出等量关系．
49．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的顶点A在反比例函数的图像上，顶点B在反比例函数的图像上，顶点C在x轴的正半轴上，则的面积是 ．
【答案】
【分析】延长交轴于点，过点作轴于点，轴于点，利用反比例函数系数的几何意义求得，然后根据平行四边形的性质即可求出．
【详解】解：延长交轴于点，过点作轴于点，轴于点，
的顶点在反比例函数的图像上，顶点在反比例函数的图像上，
，，
，
在平行四边形中，，
，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义与平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质以及反比例函数的几何意义是解决本题的关键．
50．如图，A是双曲线上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是 ．
【答案】4
【分析】根据点C是OA的中点，根据三角形中线的可得S△ACD = S△OCD, S△ACB = S△OCB,进而可得S△ABD = S△OBD,根据点B在双曲线上，BD⊥ y轴，可得S△OBD=4，进而即可求解．
【详解】点C是OA的中点，
∴S△ACD = S△OCD, S△ACB = S△OCB,
∴S△ACD + S△ACB = S△OCD + S△OCB,
∴S△ABD = S△OBD,
点B在双曲线上，BD⊥ y轴，
∴S△OBD=×8=4,
∴S△ABD =4,
答案为：4.
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
