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5.2 菱形的判定与性质 提升练习
一．选择题（共15小题）
1．（2023春 漳州期末）如图，菱形中，，，则菱形的面积为
A．48 B．40 C．24 D．20
2．（2023秋 华安县校级期末）下列选项中，菱形不具有的性质是
A．四边相等 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角
3．（2023秋 武侯区校级期末）如图，对角线，交于点，请添加一个条件：____使得是菱形
A． B． C． D．
4．（2023秋 昌图县期末）如图，菱形中，、分别是、的中点，若，则菱形的周长为
A．24 B．18 C．12 D．9
5．（2023秋 南山区期末）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是
A． B．
C． D．
6．（2023春 渝中区期末）如图，菱形中，交于点，于点，连接，若，则
A． B． C． D．
7．（2023秋 白银期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，边在轴上，若点的坐标为，则点的坐标为
A． B． C． D．
8．（2023秋 榆林期末）如图所示，已知，，将沿边翻转，得到的与原拼成四边形，则能直接判定四边形是菱形的依据是
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
9．（2023春 临沭县期末）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为
A．3 B．4 C．4.8 D．5
10．（2023秋 城阳区期末）如图，四边形中，，，，连接，的角平分线交，分别于点、，若，，则的长为
A．4 B． C． D．
11．（2023秋 福山区期末）如图，点，分别是菱形边，的中点，交的延长线于点．若，则的度数是
A． B． C． D．
12．（2023秋 莱西市期末）如图，在菱形中，，．是边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为
A．2.4 B．3 C．4.8 D．4
13．（2023秋 潍坊期末）如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：
甲：连接，作的中垂线交、于、，则四边形是菱形．
乙：分别作与的平分线、，分别交于点，交于点，则四边形是菱形．
则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为
A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
14．（2023秋 梅县区期末）如图，在菱形中，，垂足为，，，是的中点．现有下列四个结论：①；②四边形的面积等于9；③；④．其中正确结论的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．（2023秋 莱州市期末）如图，菱形的对角线，相交于点，，分别是，边上的中点，连接、．若，，则下列结论中，正确的个数为
①四边形是平行四边形；
②菱形的周长为；
③与互相垂直平分；
④的面积是．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共5小题）
16．（2023秋 简阳市期末）已知一个菱形的周长为，一条对角线长为，则另一条对角线长
为 ．
17．（2023春 齐齐哈尔期末）如图，在平行四边形中，过中点的直线分别交边，于点，，连接，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
18．（2023秋 海淀区校级期末）小方在学习菱形时，发现可以利用菱形纸片拼出著名的“赵爽弦图”：
把如图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，这四个直角三角形可以拼出如图2所示的面积为7的正方形，和如图3所示的边长为1的正方形，则图1中菱形的边长为 ．
19．（2023秋 达州期末）如图，菱形的边长为26，对角线的长为48，延长至，平分，点是上任意一点，则的面积为 ．
20．（2023春 太康县期末）如图，在矩形中，，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，直线分别交，于点，．下列结论：
①四边形是菱形；
②；
③；
④若平分，则．其中正确结论的有 ．（填写正确结论的序号）
三．解答题（共10小题）
21．（2023秋 朝阳区校级期末）如图，在中，平分，，．
求证：四边形是菱形．
22．（2023秋 济阳区期末）如图，菱形中，过点分别作边，上的高，，求证：．
23．（2022春 济源期末）【问题原型】如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线交于点，交于点，交于点．求证：四边形是菱形．
【甲同学的证法】：
证明：是的垂直平分线，
，（第一步），（第二步）
四边形是平行四边形．（第三步）
（第四步）
平行四边形是菱形（第五步）
【老师评析】甲同学想先利用对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直证明它是菱形，可惜有一步错了．
【挑错改错】：
（1）甲同学的证明过程在第 步出现了错误．
（2）请你根据甲同学的证题思路写出此题的正确解答过程．
24．（2023秋 渭滨区校级期末）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，求的长．
25．（2017秋 丹东期末）如图，菱形对角线交于点，，，与交于点．
（1）求证：；
（2）若菱形的边长为10，，求：菱形的面积．
26．（2023秋 青岛期末）一张矩形纸，将点翻折到对角线上的点处，折痕交于点．将点翻折到对角线上的点处，折痕交于点，折叠出四边形．
（1）求证：；
（2）当 度时，四边形是菱形？说明理由．
27．（2019春 梁园区期末）将两张完全相同的矩形纸片、按如图方式放置，为重合的对角线．重叠部分为四边形，
（1）试判断四边形为何种特殊的四边形，并说明理由；
（2）若，，求四边形的面积．
28．（2023春 宽城县期末）如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接、．
（1）求证：；
（2）当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由．
29．（2023秋 莱西市期末）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时点从点出发向点运动，运动到点即停止．点、的速度的速度都是，连接，，，设点、运动的时间为．
（1）当为何值时，四边形是矩形？
（2）当为何值时，四边形是菱形？
（3）分别求出（2）中菱形的周长和面积．
30．（2023秋 巴彦县校级期末）如图1，已知四边形是菱形，点，在对角线上，．
（1）求证：；
（2）如图2，若，点为的中点，连接交于点，连接并延长交于点，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中等于线段的倍的四条线段．中小学教育资源及组卷应用平台
5.2 菱形的判定与性质 提升练习
一．选择题（共15小题）
1．（2023春 漳州期末）如图，菱形中，，，则菱形的面积为
A．48 B．40 C．24 D．20
【答案】
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可得答案．
【解析】菱形的面积为，
故选．
2．（2023秋 华安县校级期末）下列选项中，菱形不具有的性质是
A．四边相等 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角
【答案】
【分析】根据菱形的性质可判断．
【解析】菱形不具有的性质是对角线相等，
选项符合题意，故选．
3．（2023秋 武侯区校级期末）如图，对角线，交于点，请添加一个条件：____使得是菱形
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由菱形的判定可直接求解．
【解析】当时，是菱形，
故选．
4．（2023秋 昌图县期末）如图，菱形中，、分别是、的中点，若，则菱形的周长为
A．24 B．18 C．12 D．9
【答案】
【分析】由三角形的中位线定理可得，即可求解．
【解析】、分别是、的中点，
，
四边形是菱形，
，
菱形的周长，
故选．
5．（2023秋 南山区期末）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质及菱形的判定定理求解即可．
【解析】根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形，
故不符合题意；
根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线互相垂直，即可判定该平行四边形是菱形，
故不符合题意；
一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形，
故符合题意；
根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个的角，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形，
故不符合题意；
故选．
6．（2023春 渝中区期末）如图，菱形中，交于点，于点，连接，若，则
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据直角三角形的斜边中线性质可得，根据菱形性质可得，从而得到度数，再依据即可．
【解析】四边形是菱形，
为中点，．
，
在中，，
．
．
故选．
7．（2023秋 白银期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，边在轴上，若点的坐标为，则点的坐标为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】在中，利用勾股定理求出即可解决问题．
【解析】，
，，
四边形是菱形，
，
在中，，
．
故选．
8．（2023秋 榆林期末）如图所示，已知，，将沿边翻转，得到的与原拼成四边形，则能直接判定四边形是菱形的依据是
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【答案】
【分析】翻折后得到的四边形的四条边都相等．
【解析】由，将沿边翻折可得，所以根据“四边相等的四边形是菱形”可得四边形是菱形．
故选．
9．（2023春 临沭县期末）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为
A．3 B．4 C．4.8 D．5
【答案】
【分析】根据菱形的面积公式：对角线乘积的一半，求出菱形的对角线的长，再利用菱形的性质和勾股定理求出菱形的边长，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解．
【解析】四边形是菱形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
故选．
10．（2023秋 城阳区期末）如图，四边形中，，，，连接，的角平分线交，分别于点、，若，，则的长为
A．4 B． C． D．
【答案】
【分析】连接，因为，，，可证四边形为菱形，从而得到、的长，进而解答即可．
【解析】连接．
在直角三角形中，，，根据勾股定理，得．
，平分，
，
垂直平分，．
．
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
由勾股定理得出，
，
故选．
11．（2023秋 福山区期末）如图，点，分别是菱形边，的中点，交的延长线于点．若，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】连接，由菱形的性质推出，，判定，得到，求出，由三角形中位线定理推出，得到，即可求出．
【解析】连接，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
，
故选．
12．（2023秋 莱西市期末）如图，在菱形中，，．是边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为
A．2.4 B．3 C．4.8 D．4
【答案】
【分析】连接，由菱形的性质得，，，利用勾股定理可以求得的长为5，又因为，，可证四边形为矩形，根据矩形的对角线相等的性质可得，当时，最短，再利用面积法求出的长即可求解的最小值．
【解析】连接，
四边形是菱形，
，，，
由勾股定理得，
又，，
四边形为矩形，
，
当时，值最小，
此时，，
，
的最小值为2.4．
故选．
13．（2023秋 潍坊期末）如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下：
甲：连接，作的中垂线交、于、，则四边形是菱形．
乙：分别作与的平分线、，分别交于点，交于点，则四边形是菱形．
则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的为
A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
【答案】
【分析】首先证明，可得，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定判定四边形是平行四边形，再由，可根据对角线互相垂直的四边形是菱形判定出是菱形；四边形是平行四边形，可根据角平分线的定义和平行线的定义，求得，所以四边形是菱形．
【解析】甲的作法正确；四边形是平行四边形，
，
，
是的垂直平分线，
，
在和中，，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
乙的作法正确；
，
，，
平分，平分，
，，
，，
，，
，且，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形．故选．
14．（2023秋 梅县区期末）如图，在菱形中，，垂足为，，，是的中点．现有下列四个结论：①；②四边形的面积等于9；③；④．其中正确结论的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【分析】可设，则，，，从而求出边长及高，计算面积；连接、，根据勾股定理可求对角线的长度；
作于点，则，比较与的大小．
【解析】设，则，，，
，．故①正确；
，故②正确；
，，．
又，
，
，
．
．故③正确；
作于点．
，，，
．
又，
．故④错误．
所以①②③正确．
故选．
15．（2023秋 莱州市期末）如图，菱形的对角线，相交于点，，分别是，边上的中点，连接、．若，，则下列结论中，正确的个数为
①四边形是平行四边形；
②菱形的周长为；
③与互相垂直平分；
④的面积是．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【分析】由菱形的性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积分别对各个结论进行判断即可．
【解析】四边形是菱形，
，
、分别是、边上的中点，
是的中位线，
，，
，
四边形是平行四边形，故①正确；
四边形是菱形，
，，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
菱形的周长，故②正确；
如图，设交于点，
，，
，，
是边上的中点，
，
，
，
是的中位线，
，
，
，
与互相垂直平分，故③正确；
，是边上的中点，
，故④正确；
综上所述，正确的个数为4个，故选．
二．填空题（共5小题）
16．（2023秋 简阳市期末）已知一个菱形的周长为，一条对角线长为，则另一条对角线长为 ．
【答案】12
【分析】根据菱形的性质，四条边相等且对角线互相平分且互相垂直，由勾股定理得出的长，进而得其对角线的长．
【解析】如图：四边形是菱形，对角线与相交于点，
菱形的周长为，
，
一条对角线的长为，当，
，
在中，，
，故答案为12．
17．（2023春 齐齐哈尔期末）如图，在平行四边形中，过中点的直线分别交边，于点，，连接，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】证，得，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．
【解析】只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是：，理由如下：
四边形是平行四边形，
，
，，
是的中点，
，
在和中，，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形，
故答案为：（答案不唯一）．
18．（2023秋 海淀区校级期末）小方在学习菱形时，发现可以利用菱形纸片拼出著名的“赵爽弦图”：
把如图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，这四个直角三角形可以拼出如图2所示的面积为7的正方形，和如图3所示的边长为1的正方形，则图1中菱形的边长为 ．
【答案】2．
【分析】将菱形中的直角三角形的直角边设出来，列出关于直角边的方程组，求出直角边即可．
【解析】设菱形中的直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，
则：，
化简得：，
，
菱形的边长，故答案为：2．
19．（2023秋 达州期末）如图，菱形的边长为26，对角线的长为48，延长至，平分，点是上任意一点，则的面积为 ．
【答案】240．
【分析】连接交于点，根据菱形的性质可得与互相垂直平分，再根据平分，平分，可以证明，根据平行线间的距离处处相等可得，进而可得．
【解析】如图，连接交于点，
四边形是菱形，
与互相垂直平分，
，
，
，
，
平分，
，
平分，
，
，
，
，
，
则的面积为240．故答案为：240．
20．（2023春 太康县期末）如图，在矩形中，，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，直线分别交，于点，．下列结论：
①四边形是菱形；
②；
③；
④若平分，则．其中正确结论的有 ．（填写正确结论的序号）
【答案】①②④
【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解．判断③，根据角平分线的性质和菱形的对角线平分每一组对角求出，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，由即可求解．
【解析】如图，设与的交点为，
根据作图可得，且平分，
，
四边形是矩形，
，
，
又，，
，
，
四边形是平行四边形，
垂直平分，
，
四边形是菱形，故①正确；
②，
，
；故②正确；
③由菱形的面积可得，故③不正确，
④四边形是菱形，
，
又，
四边形是矩形，
，
，
，
，
．故④正确；
综上所述：正确的结论是①②④．故答案为：①②④．
三．解答题（共10小题）
21．（2023秋 朝阳区校级期末）如图，在中，平分，，．
求证：四边形是菱形．
【分析】证四边形是平行四边形，再证，然后由菱形的判定即可得出结论．
【解析】证明：平分，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是菱形．
22．（2023秋 济阳区期末）如图，菱形中，过点分别作边，上的高，，求证：．
【分析】由菱形的性质得到，，根据全等三角形的定理证得，由全等三角形的性质可得．
【解析】证明：四边形是菱形，
，，
，分别边，上的高，
，
在和中，，
，
．
23．（2022春 济源期末）【问题原型】如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线交于点，交于点，交于点．求证：四边形是菱形．
【甲同学的证法】：
证明：是的垂直平分线，
，（第一步），（第二步）
四边形是平行四边形．（第三步）
（第四步）
平行四边形是菱形（第五步）
【老师评析】甲同学想先利用对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直证明它是菱形，可惜有一步错了．
【挑错改错】：
（1）甲同学的证明过程在第 步出现了错误．
（2）请你根据甲同学的证题思路写出此题的正确解答过程．
【分析】（1）由是对角线的垂直平分线得，，即可得出结论；
（2）证，得，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．
【解析】（1）解：甲同学的证明过程在第二步出现了错误，
故答案为：二；
（2）证明：四边形是平行四边形，
．
，
是的垂直平分线，
，，
又，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
．
平行四边形是菱形．
24．（2023秋 渭滨区校级期末）如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，求的长．
【分析】（1）根据题意先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形；
（2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答．
【解析】（1）证明：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，对角线，交于点，
，，，
，
在中，，
，
，
，
在中，，为中点，
．
25．（2017秋 丹东期末）如图，菱形对角线交于点，，，与交于点．
（1）求证：；
（2）若菱形的边长为10，，求：菱形的面积．
【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，再证明是矩形可得，又因为，所以，问题得证；
（2）根据菱形的面积的面积的面积的面积计算即可．
【解析】（1）证明：，，
四边形是平行四边形．
又菱形对角线交于点，
．
即
四边形是矩形．
．
在菱形中，，
．
（2）解：由（1）知四边形是矩形．
．
，
．
在中，，，
，．
．
菱形的面积的面积的面积
的面积
．
26．（2023秋 青岛期末）一张矩形纸，将点翻折到对角线上的点处，折痕交于点．将点翻折到对角线上的点处，折痕交于点，折叠出四边形．
（1）求证：；
（2）当 度时，四边形是菱形？说明理由．
【分析】（1）证出，即可得出；
（2）证出四边形是平行四边形，再证出，即可得出四边形是菱形．
【解析】（1）证明：四边形为矩形，
，
，
由翻折知，，，
，
；
（2）解：当时四边形为菱形，理由如下：
四边形是矩形，
，，
由（1）得：，
四边形是平行四边形，
，
．
，
由折叠的性质得，
，
，
四边形是菱形；
故答案为：30．
27．（2019春 梁园区期末）将两张完全相同的矩形纸片、按如图方式放置，为重合的对角线．重叠部分为四边形，
（1）试判断四边形为何种特殊的四边形，并说明理由；
（2）若，，求四边形的面积．
【分析】（1）由四边形、是完全相同的矩形，可得出，进而可得出，根据矩形的性质可得、，即四边形是平行四边形，再根据平行线的性质结合，即可得出，由等角对等边可得出，由此即可证出是菱形；
（2）设，则，在中，利用勾股定理即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再根据菱形的面积公式即可求出菱形的面积．
【解析】（1）四边形是菱形．理由如下：
四边形、是完全相同的矩形，
，，．
在和中，，
，
．
，，
四边形是平行四边形，，
，
，
是菱形．
（2）由（1），设，则，
在中，，即，
解得：，即，
菱形的面积为．
28．（2023春 宽城县期末）如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接、．
（1）求证：；
（2）当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由．
【分析】（1）先求出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形是平行四边形，求出，根据菱形的判定推出即可．
【解析】（1）证明：，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
为中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，为中点，
，
四边形是菱形．
29．（2023秋 莱西市期末）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时点从点出发向点运动，运动到点即停止．点、的速度的速度都是，连接，，，设点、运动的时间为．
（1）当为何值时，四边形是矩形？
（2）当为何值时，四边形是菱形？
（3）分别求出（2）中菱形的周长和面积．
【分析】（1）当四边形是矩形时，，据此求得的值；
（2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间；
（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长，面积矩形的面积个直角三角形的面积．
【解析】（1）当四边形是矩形时，，即：，
解得．
答：当时，四边形是矩形；
（2）设秒后，四边形是菱形
当，即时，四边形为菱形．
解得：．
答：当时，四边形是菱形；
（3）当时，，则周长为：，
面积为：．
30．（2023秋 巴彦县校级期末）如图1，已知四边形是菱形，点，在对角线上，．
（1）求证：；
（2）如图2，若，点为的中点，连接交于点，连接并延长交于点，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中等于线段的倍的四条线段．
【分析】（1）根据菱形的性质和等边对等角得到，，又由已知即可证明，结论得证；
（2）利用菱形的性质和直角三角形的性质得到是等边三角形得到，进一步得到，则，由勾股定理得到，则，再证明是等边三角形，垂直平分，则，得到，即可得到结论．
【解析】（1）证明：四边形是菱形，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
是直角三角形，
点为的中点，
，
，
是等边三角形，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，，
是等边三角形，
，，
又，
垂直平分，
，
，
综上可知，图2中等于线段的倍的四条线段分别是、、、．
