6.2反比例函数的图象和性质-2023-2024学年浙教版八年级下 同步分层作业（含解析）

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6.2反比例函数的图象和性质 同步分层作业
基础过关
1. 反比例函数的图象一定经过的点是（　　）
A．（3，﹣2） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣6，﹣1） D．（1，6）
2. 若反比例函数的图象经过点A（a，b），则下列结论中不正确的是（　　）
A．点A位于第二或四象限 B．图象一定经过（﹣a，﹣b）
C．在每个象限内，y随x的增大而减小 D．图象一定经过（﹣b，﹣a）
3. 若点A（x1，﹣1），B（x2，1）C（x3，5）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3大小关系是（　　）
A．x3＜x2＜x1 B．x2＜x1＜x3 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x3＜x1
4,以下函数在自变量的取值范围内随的增大而减小的是（　　）
A．y＝2x﹣1 B． C． D．
5. 若反比例函数的图象在第二、四象限，则a的值可以为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6. 已知反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 　　．
7. 若点（x1，y1），（x2，y2）都在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2，则y1　　y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
8. 已知反比例函数 的图象经过点（﹣1，2），那么在每个象限内，y随x的增大而 　　.（填“增大”或“减小”）
9. 已知关于x的反比例函数y＝．
（1）若该函数的图象经过点A（2，﹣2），求k的值，并在图中所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）当x＞0时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
10.已知反比例函数的图象经过点P（2，4）．
（1）求k的值，并写出该函数的表达式；
（2）判断点A（﹣2，﹣4），B（3，5）是否在这个函数图象上；
（3）这个函数的图象位于哪些象限？如果点A（x1，y1），B（x2，y2）是该函数图象上的两点，且x1＜x2＜0，比较y1，y2的大小．
11.如图，正比例函数和反比例函数的图象交于点A（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线OA向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与的图象交于点C，求C点的坐标．
题组B 能力提升练
12.已知k1＜0＜k2，则是函数y＝和y＝k2x﹣1的图象大致是（　　）
A．B． C． D．
13. 若反比例函数的图象分别在第二、四象限，则一次函数y＝k（x﹣1）的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14. 已知反比例函数同一象限内的图象上有两个点A（x1，y1），B（x2，y2），且满足（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0 则直线y＝kx﹣k不经过第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
15. 函数y＝﹣（k≠0，k为常数）的图象上有三点（﹣3，y1），（﹣2，y2），（4，y3），则函数值的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2
16. 函数y＝a（x﹣2b）与函数y＝﹣在同一直角坐标系中的大致图象不可能是（　　）
A． ．C．D．
17. 已知点P（1，2）在反比例函数y＝的图象上，当x＜1时，y的取值范围是 　　．
18. 已知点P（2，2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上．
（1）当x＝﹣2时，求y的值；
（2）如果自变量x的取值范围是1≤x≤3，求y的取值范围；
（3）如果函数值y的取值范围是y≥3，则自变量x的取值范围．
19．若A、B两点关于y轴对称，且点A在双曲线上，点B在直线y＝x+3上，设点A的坐标为（a、b），求的值．
20.点P，Q在y＝﹣的图象上．
（1）若P（1，a），Q（2，b），比较a，b的大小；
（2）若P（﹣1，a），Q（﹣2，b），比较a，b的大小；
（3）你能从中发现y随x增大时的变化规律吗？
（4）若P（x1，y1），Q（x2，y2），x1＜x2，你能比较y1与y2的大小吗？
21.如图所示，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣2x+b与的图象相交于P，Q两点，已知点P的坐标为（1，4）．
（1）求函数y＝﹣2x+b与的解析式；
（2）求点Q的坐标；
（3）求△OPQ的面积．
22.如图，一次函数y＝﹣2x+8的图象与反比例函数的图象交于点A（m，6），B（3，n），交x轴于C，交y轴于D．
（1）求m、n的值及反比例函数的表达式；
（2）求△OAB的面积；
（3）将直线y＝﹣2x+8向下平移t个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求t的值．
23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（﹣2，4），B（，a﹣3）两点．
（1）求k的值．
（2）求一次函数的表达式．
（3）若点M在x轴上，当S△OAM＝时，求点M的坐标．
题组C 培优拔尖练
24. 已知点（a﹣1，y1），（a，y2）都在反比例函数的图象上，若y2＜0＜y1，则a的取值范围是 　　．
25. 设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0）．
（1）当1≤x≤2时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣2，求a和k的值；
（2）设m≠0且m≠1，当x＝m时，y2＝p；当x＝m﹣1时，y2＝q，芳芳说：“p一定大于q”．你认为芳芳的说法正确吗？为什么？
26.给出函数．
（1）写出自变量x的取值范围；
（2）请通过列表、描点、连线画出这个函数的图象；
①列表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ ﹣ ﹣ 1 2 3 4 …
y … …
②描点（在下面给出的直角坐标系中描出上表对应的各点）：
③连线（将上图中描出的各点用平滑曲线连接起来，得到函数图象）
（3）观察函数图象，回答下列问题：
①函数图象在第 　　象限；
②函数图象的对称性是（ 　　）
A．既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．只是轴对称图形，不是中心对称图形
C．不是轴对称图形，而是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
③在x＞0时，当x＝　　时，函数y有最 　　（大，小）值，且这个最值等于 　　；
在x＜0时，当x＝　　时，函数y有最 　　（大，小）值，且这个最值等于 　　；
④在第一象限内，x在什么范围内，y随着x增大而减小，x在什么范围内，y随x增
大而增大；
（4）方程是否有实数解？说明理由．
答案与解析
基础过关
1. 反比例函数的图象一定经过的点是（　　）
A．（3，﹣2） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣6，﹣1） D．（1，6）
【点拨】根据k＝xy对各选项进行逐一判断即可．
【解析】解：反比例函数中k＝﹣6，
A、∵3×（﹣2）＝﹣6，∴此点在函数图象上，故本选项符合题意；
B、∵﹣2×（﹣3）＝6≠﹣6，此点不在函数图象上，故本选项不符合题意；
C、∵﹣6×（﹣1）＝6≠﹣6，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；
D、∵1×6＝6≠﹣6，∴此点不在函数图象上，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k＝xy为定值是解答此题的关键．
2. 若反比例函数的图象经过点A（a，b），则下列结论中不正确的是（　　）
A．点A位于第二或四象限 B．图象一定经过（﹣a，﹣b）
C．在每个象限内，y随x的增大而减小 D．图象一定经过（﹣b，﹣a）
【点拨】先求出k的值，再根据反比例函数的性质解答即可．
【解析】解：∵反比例函数的图象经过点A（a，b），
∴ab＝（﹣a） （﹣b）＝6，故选项B、D正确，不符合题意；
∵k＝6＞0，
∴图象位于第一、三象限，故选项A不正确，符合题意；
在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项C正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
3. 若点A（x1，﹣1），B（x2，1）C（x3，5）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3大小关系是（　　）
A．x3＜x2＜x1 B．x2＜x1＜x3 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x3＜x1
【点拨】先确定反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，再根据增减性判断即可．
【解析】解：∵反比例函数中，k＝﹣5＜0，
∴反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点A（x1，﹣1）在第四象限，
∴x1＞0，
∵1＜5，
∴x2＜x3＜x1，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是关键．
4,以下函数在自变量的取值范围内随的增大而减小的是（　　）
A．y＝2x﹣1 B． C． D．
【点拨】利用反比例函数及一次函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解析】解：A．y＝2x﹣1中k＝2＞0，y随着x的增大而增大；
B．y＝x中k＝＞0，y随着x的增大而增大；
C．y＝﹣中k＝﹣3＜0，在x＜0时y随着x的增大而增大；
D．y＝（x＞0）中k＝6＞0，在x＞0时y随着x的增大而减小；
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质及反比例函数的性质，解题的关键是了解两种函数的性质，属于基础题，难度不大．
5. 若反比例函数的图象在第二、四象限，则a的值可以为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【点拨】根据反比例函数图象的性质得2﹣a＜0，然后解不等式即可．
【解析】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，
∴2a﹣6＜0，
∴a＜3．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大
6. 已知反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 　m＞5　．
【点拨】根据反比例函数的增减性得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解析】解：∵反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴m﹣5＞0，
解得m＞5．
故答案为：m＞5．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解题的关键．
7. 若点（x1，y1），（x2，y2）都在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2，则y1　＜　y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
【点拨】根据k＝2024＞0可知反比例函数图象分布在第一、三象限，据此解答即可．
【解析】解：∵反比例函数中的k＝2024＞0，
∴反比例函数图象分布在第一、三象限，
∵x1＜0＜x2，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象分布是关键．
8. 已知反比例函数 的图象经过点（﹣1，2），那么在每个象限内，y随x的增大而 　增大　.（填“增大”或“减小”）
【点拨】根据题意，先确定k＜0，再依据反比例函数性质解答本题即可．
【解析】解：∵反比例函数 的图象经过点（﹣1，2），
∴k＜0，反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
故答案为：增大．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质是解答本题的关键．
9. 已知关于x的反比例函数y＝．
（1）若该函数的图象经过点A（2，﹣2），求k的值，并在图中所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）当x＞0时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
【点拨】（1）根据题意，把A（2，﹣2）代入到反比例函数中，进而求解；
（2）根据x＞0时，y随x的增大而减少，可知k+1＞0，进而求出k的取值范围．
【解析】解：（1）∵点A（2，﹣2）在这个函数的图象上，
∴，
解得k＝﹣5．
∴反比例函数的解析式为，
列表，
x ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4
y 1 2 4 ﹣4 ﹣2 ﹣1
描点，连线，函数图象如图，
；
（2）在函数图象上，当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴k+1＞0，
∴k＞﹣1．
故答案是：k＞﹣1．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是关键．
10.已知反比例函数的图象经过点P（2，4）．
（1）求k的值，并写出该函数的表达式；
（2）判断点A（﹣2，﹣4），B（3，5）是否在这个函数图象上；
（3）这个函数的图象位于哪些象限？如果点A（x1，y1），B（x2，y2）是该函数图象上的两点，且x1＜x2＜0，比较y1，y2的大小．
【点拨】（1）将点P（2，4）代入解析式即可求解；
（2）将两点的坐标代入解析式，判断两边是否相等即可；
（3）先判断函数图象位于第一、三象限，得出在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小，即可解答．
【解析】解：（1）根据题意得：，
解得：k＝8，
∴该函数的表达式为：；
（2）当x＝﹣2时，，
当x＝3时，，
∴点A（﹣2，﹣4）在这个函数图象上，点B（3，5）不在这个函数图象上；
（3）这个函数图象位于第一、三象限，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小，
∵x1＜x2＜0，
∴y1＞y2．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的特征以及反比例函数的性质，解题关键是熟悉反比例函数的特征及性质．
11.如图，正比例函数和反比例函数的图象交于点A（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线OA向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与的图象交于点C，求C点的坐标．
【点拨】（1）先把A（m，2）代入正比例函数y1＝x，求出m的值即可得出A点坐标，再代入反比例函数y2＝的解析式，求出k的值即可；
（2）求出直线OA向上平移3个单位后的函数解析式，再与（1）中反比例函数的解析式联立求出交点坐标即可．
【解析】解：（1）∵正比例函数过点A（m，2），
∴m＝2，
解得m＝4，
∴A（4，2），
∵反比例函数的图象过点A（4，2），
∴＝2，
解得k＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵将直线OA向上平移3个单位，
∴平移后的函数解析式为y＝x+3，
∴，
解得或（负值舍去），
∴C（2，4）．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意得出m的值是解题的关键．
题组B 能力提升练
12.已知k1＜0＜k2，则是函数y＝和y＝k2x﹣1的图象大致是（　　）
A．B． C． D．
【点拨】直接利用反比例函数以及一次函数图象的性质分别分析得出答案．
【解析】解：∵k1＜0＜k2，函数y＝和y＝k2x﹣1在同一坐标系中，
∴反比例函数的图象分布在二四象限，一次函数图象经过一三象限，且过（0，﹣1）点，
∴只有选项B符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象以及一次函数图象，正确掌握各函数图象分布规律是解题关键．
13. 若反比例函数的图象分别在第二、四象限，则一次函数y＝k（x﹣1）的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【点拨】根据反比例函数与一次函数的性质解答即可．
【解析】解：∵反比例函数的图象分别在第二、四象限，
∴k＜0，
∴一次函数y＝k（x﹣1）＝kx﹣k，
∴一次函数不经过第三象限，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的性质，熟练掌握两个函数性质是关键．
14. 已知反比例函数同一象限内的图象上有两个点A（x1，y1），B（x2，y2），且满足（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0 则直线y＝kx﹣k不经过第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【点拨】首先根据题意得出反比例函数同一象限内y随x的增大而增大，即可确定反比例函数中k的符号，然后再确定一次函数y＝kx﹣k的图象所在象限．
【解析】解：∵反比例函数同一象限内的图象上有两个点A（x1，y1），B（x2，y2），且满足（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，
∴同一象限内y随x的增大而增大，
∴k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、二、四象限，
∴不经过第三象限，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象与系数的关系，解决此题的关键是确定k的符号．
15. 函数y＝﹣（k≠0，k为常数）的图象上有三点（﹣3，y1），（﹣2，y2），（4，y3），则函数值的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2
【点拨】分析题意，由﹣|k|＜0可知函数图象为二、四象限，根据图象在第二象限时，y值随x的增大而增大即可判断出y1，y2的大小关系；图象在第四象限时，所有的y值都小于0，据此可得y3＜0．
【解析】解：因为﹣|k|＜0，所以函数y＝﹣图象在第二、四象限．
由于在第二象限，y值随x的增大而增大，
（﹣3，y1），（﹣2，y2）在第二象限的双曲线的分支上，
因为﹣3＜﹣2，
所以y1＜y2，且y1，y2都是正数．
在第四象限双曲线中的点，对应的y值小于0，
而点（4，y3）在第四象限的双曲线的分支上，则y3＜0，
所以大小关系是y3＜y1＜y2．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的相关知识，解题的关键是熟记反比例函数的图象与性质．
16. 函数y＝a（x﹣2b）与函数y＝﹣在同一直角坐标系中的大致图象不可能是（　　）
A．B．
C． D．
【点拨】根据一次函数和反比例函数的图象与系数的关系即可判断．
【解析】解：y＝a（x﹣2b）＝ax﹣2ab，
A、当a＞0，b＞0时，函数y＝﹣图象在第二、四象限，则2ab＞0，﹣2ab＜0，一次函数函数y＝a（x﹣2b）图象经过第一、三、四象限，选项A不符合题意；
B、当a＞0，b＜0时，函数y＝﹣图象在第一、三象限，则2ab＜0，﹣2ab＞0，一次函数函数y＝a（x﹣2b）图象经过第一、二、三象限，选项B不符合题意；
C、当a＜0，b＞0时，函数y＝﹣图象在第一、三象限，则2ab＜0，﹣2ab＞0，一次函数函数y＝a（x﹣2b）图象经过第一、二、四象限，选项C不符合题意；
D、当a＜0，b＜0时，函数y＝﹣图象在第一、三象限，则2ab＞0，﹣2ab＜0，一次函数函数y＝a（x﹣2b）图象经过第一、三、四象限，选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．
17. 已知点P（1，2）在反比例函数y＝的图象上，当x＜1时，y的取值范围是 　y＞2或y＜0　．
【点拨】根据点A（1，2）在反比例函数y＝的图象上，求出k的值，得到反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质求出y的取值范围．
【解析】解：根据题意，反比例函数y＝的图象在第一象限，y随x的增大而减小；
∵其图象过点（1，2）；
∴当0＜x＜1时，y的取值范围时y＞2；当x＜0时，y＜0．
故答案为：y＞2或y＜0．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数的性质，求出反比例函数解析式是解题的关键．
18. 已知点P（2，2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上．
（1）当x＝﹣2时，求y的值；
（2）如果自变量x的取值范围是1≤x≤3，求y的取值范围；
（3）如果函数值y的取值范围是y≥3，则自变量x的取值范围．
【点拨】（1）先根据点P的坐标利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再代值计算即可．
（2）分别求出当x＝1时，当x＝3时y的值，再根据其增减性求出如果自变量x的取值范围是1≤x≤3，y的取值范围；
（3）先求出y＝3时对应的x的值，再根据反比例函数图象特征写出y≥3时，自变量x的相应的取值范围．
【解析】解：（1）将P（2，2）代入y＝（k≠0），得k＝4．
故该曲线所表示的函数的解析式y＝．
当x＝﹣2时，y＝＝﹣2；
（2）当x＝1时，y＝4；
当x＝3时，y＝；
又当x＞0时，y随x的增大而减小，
所以y的取值范围≤y≤4；
（3）函数值y的取值范围是y≥3，则自变量x的取值范围0＜x≤．
【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式和反比例函数的增减性，以及从点入手思考自变量的取值范围．
19．若A、B两点关于y轴对称，且点A在双曲线上，点B在直线y＝x+3上，设点A的坐标为（a、b），求的值．
【点拨】先把A点坐标代入反比例函数的解析式即可得出ab的值，再根据A、B两点关于y轴对称求出B点坐标，由点B在直线y＝x+3上可得出a+b的值，再把a+b与ab的值代入所求代数式进行计算即可．
【解析】解：∵点A（a，b）在双曲线y＝上，
∴b＝，
∴ab＝；
∵A、B两点关于y轴对称，
∴B（﹣a，b），
∵点B在直线y＝x+3上，
∴b＝﹣a+3，
∴a+b＝3，
∴+＝＝＝＝16．
【点睛】本题考查的是反比例函数及一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出ab及a+b的值是解答此题的关键．
20.点P，Q在y＝﹣的图象上．
（1）若P（1，a），Q（2，b），比较a，b的大小；
（2）若P（﹣1，a），Q（﹣2，b），比较a，b的大小；
（3）你能从中发现y随x增大时的变化规律吗？
（4）若P（x1，y1），Q（x2，y2），x1＜x2，你能比较y1与y2的大小吗？
【点拨】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点P、Q的坐标分别代入反比例函数的解析式，分别求得a，b的值；然后再来比较一下它们的大小即可；
（2）解法同（1）；
（3）根据（1）、（2）计算结果进行归纳总结规律；
（4）利用（3）的结果进行解答．
【解析】解：反比例函数y＝﹣的图象如图所示．
（1）根据题意，得
a＝﹣＝﹣3，即a＝﹣3；
b＝﹣，
∵﹣3＜﹣，
∴a＜b；
（2）根据题意，得
a＝﹣＝3，即a＝3；
b＝﹣＝，
∵3＞，
∴a＞b；
（3）根据（1）、（2）计算结果知，在同一象限内，反比例函数y＝﹣的图象是y随x增大而增大；
（4）由（3）知，①若x1＜x2，且x1、x2在同一个象限内，则y1＜y2；
②若x1＜x2，且x1、x2不在同一个象限内，则y1＞y2．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．
21.如图所示，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣2x+b与的图象相交于P，Q两点，已知点P的坐标为（1，4）．
（1）求函数y＝﹣2x+b与的解析式；
（2）求点Q的坐标；
（3）求△OPQ的面积．
【点拨】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）联立两个函数解析式求出点Q坐标即可；
（3）设直线PQ与y轴交于点A，则A（0，6）即OA＝6，利用S△POQ＝S△QAO﹣S△PAO代入数据计算即可．
【解析】解：（1）∵点P（1，4）是两个函数的交点，
∴4＝﹣2+b，即b＝6，k＝4，
∴一次函数解析式为：y＝﹣2x+6，反比例函数解析式为y＝；
（2）联立两个函数解析式得：
，解得，，
∴Q（2，2），
（3）设直线PQ与y轴交于点A，则A（0，6）即OA＝6，
∴S△POQ＝S△QAO﹣S△PAO＝＝3．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
22.如图，一次函数y＝﹣2x+8的图象与反比例函数的图象交于点A（m，6），B（3，n），交x轴于C，交y轴于D．
（1）求m、n的值及反比例函数的表达式；
（2）求△OAB的面积；
（3）将直线y＝﹣2x+8向下平移t个单位，若直线与反比例函数的图象有唯一交点，求t的值．
【点拨】（1）将A（m，6），B（3，n）代入y＝﹣2x+8求出mn的值，再把A点坐标代入反比例函数，求出k的值即可；
（2）先求出OC的长，再利用S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC即可得出结论；
（3）先得出直线平移后的解析式，再与反比例函数的解析式联立得出关于x的一元二次方程，由直线与反比例函数的图象有唯一交点得出t的值，再由x＞0即可得出结论．
【解析】解：（1）将A（m，6），B（3，n）代入y＝﹣2x+8得，
﹣2m+8＝6，n＝﹣6+8，
解得m＝1，n＝2，
将A（1，6）代入，得k＝6，即；
（2）y＝﹣2x+8，当y＝0时，x＝4，
∴C（4，0）即CO＝4，
，
，
∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝8；
（3）∵直线y＝﹣2x+8向下平移t个单位得新直线y＝﹣2x+8﹣t，
与联立得，
消y得，化简得2x2﹣（8﹣t）x+6＝0，
∵直线与反比例函数的图象有唯一交点，
∴Δ＝（8﹣t）2﹣48＝0，
解得或，
∵，
∴（舍去），
即．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键．
23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（﹣2，4），B（，a﹣3）两点．
（1）求k的值．
（2）求一次函数的表达式．
（3）若点M在x轴上，当S△OAM＝时，求点M的坐标．
【点拨】（1）利用待定系数法即可求得k的值；
（2）利用反比例函数的解析式求得B点的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的表达式；
（3）设点M的坐标为（m，0），由一次函数的解析式求得点C的坐标，利用S△AOB＝S△AOC+S△BOC求得△AOB的面积，然后利用S△OAM＝，得到 ，解得．
【解析】解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象过A（﹣2，4），
∴k＝（﹣2）x4＝﹣8；
（2）∵反比例函数y＝﹣的图象过B（，a﹣3）点，
∴，解得a＝1，
∴点B的坐标为（4，﹣2），
设一次函数的表达式为 y＝kx+b，
把 （﹣2，4）和 （4，﹣2）代入得，
，
解得，
∴一次函数的表达式为 y＝﹣x+2；
（3）设点M的坐标为（m，0）．
当y＝0时，由y＝﹣x+2得x＝2．
设直线y＝﹣x+2与x轴交于点C，即点C的坐标为（2，0），
∴OC＝2．
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝＝6，
∵M在x轴上，
∴S△AOM＝＝2|m|，
又S△OAM＝＝×6＝，
∴，
∴
∴点M的坐标为 或 ．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
24. 已知点（a﹣1，y1），（a，y2）都在反比例函数的图象上，若y2＜0＜y1，则a的取值范围是 　0＜a＜1　．
【点拨】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论：①当点（a﹣1，y1 ）、（a，y2 ）在图象的同一支上时，y1 与y2 同正或同负，无解；
②当点（a﹣1，y1 ）、（a，y2 ）在图象的两支上时，a﹣1＜0，a＞0，解得：0＜a＜1．
【解析】解：∵k＝﹣1＜0，
∴在图象的每一支上，y随x的增大而增大，
①当点（a﹣1，y1 ）、（a，y2 ）在图象的同一支上时，y1 与y2 同正或同负，与y2＜0＜y1 相矛盾，∴无解；
②当点（a﹣1，y1 ）、（a，y2 ）在图象的两支上时，∵y2＜0＜y1，∴a﹣1＜0，a＞0，解得：0＜a＜1．
故答案为：0＜a＜1．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握当k＜0时，在图象的每一支上，y随x的增大而增大．
25. 设函数y1＝，y2＝﹣（k＞0）．
（1）当1≤x≤2时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣2，求a和k的值；
（2）设m≠0且m≠1，当x＝m时，y2＝p；当x＝m﹣1时，y2＝q，芳芳说：“p一定大于q”．你认为芳芳的说法正确吗？为什么？
【点拨】（1）由反比例函数的性质可得k＝a①；﹣k＝a﹣2②；可求a的值和k的值；
（2）设m＝m0，且0＜m0＜1，则m0＞0，m0﹣1＜0，代入解析式，可求p和q，即可判断．
【解析】解：（1）∵k＞0，1≤x≤2，
∴y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，
∴当x＝1时，y1最大值为k＝a①；y2最小值为﹣k＝a﹣2②；
由①，②得：a＝1，k＝1；
（2）芳芳的说法不正确，
理由如下：设m＝m0，且0＜m0＜1，
则m0＞0，m0﹣1＜0，
∴当x＝m0时，p＝y2＝﹣＜0，
当x＝m0﹣1时，q＝y2＝﹣＞0，
∴q＞0＞p．
∴芳芳的说法不正确．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质是本题的关键．
26.给出函数．
（1）写出自变量x的取值范围；
（2）请通过列表、描点、连线画出这个函数的图象；
①列表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ ﹣ ﹣ 1 2 3 4 …
y … …
②描点（在下面给出的直角坐标系中描出上表对应的各点）：
③连线（将上图中描出的各点用平滑曲线连接起来，得到函数图象）
（3）观察函数图象，回答下列问题：
①函数图象在第 　一三　象限；
②函数图象的对称性是（ 　C　）
A．既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．只是轴对称图形，不是中心对称图形
C．不是轴对称图形，而是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
③在x＞0时，当x＝　1　时，函数y有最 　小　（大，小）值，且这个最值等于 　2　；
在x＜0时，当x＝　﹣1　时，函数y有最 　大　（大，小）值，且这个最值等于 　﹣2　；
④在第一象限内，x在什么范围内，y随着x增大而减小，x在什么范围内，y随x增
大而增大；
（4）方程是否有实数解？说明理由．
【点拨】（1）x在分母，那么x不能为0；
（2）根据所给的自变量的值得到相应的函数值，进而描点，连线即可得到相应图形；
（3）①观察所得图象看在哪两个象限即可；
②由图象可得两个函数图象只关于原点成中心对称；
③找到每个象限内图象的最低点或最高点所对应的自变量和函数值即可；
④应根据函数最低点自变量的取值判断相应变化；
（4）在同一平面直角坐标系中作出直线y＝﹣2x+1，看有没有交点即可．
【解析】解：（1）自变量x的取值范围是x≠0；
（2）①列表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ ﹣ ﹣ 1 2 3 4 …
y … ﹣ ﹣2 2 …
②描点、③连线：
（3）观察函数图象，回答下列问题：
①函数图象在第一、三象限；
②两个函数图象关于原点对称，那么对称性为：不是轴对称图形，而是中心对称图形；故选C．
③在x＞0时，当x＝1时，函数y有最小值，且这个最值等于2；
在x＜0时，当x＝﹣1时，函数y有最大值，且这个最值等于﹣2；
④在第一象限内，当x＜1时，
y随着x增大而减小；
当x＞1时，y随x增大而增大．
（4）
方程没有实数解，
与y＝﹣2x+1在同一平面直角坐标系中无交点．
【点睛】用到的知识点为：分式有意义，分母不为0；函数在某个范围内的最值，看最低点或最高点所对应的自变量与函数值；两个函数解析式组成的方程无解，那么这两个函数的图象在同一坐标系中没有交点．
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