6.3反比例函数的应用-2023-2024学年浙教版八年级下 同步分层作业（含解析）

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6.3反比例函数的应用 同步分层作业
基础过关
1. 如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数的图象交于点A（1，2），B（﹣2，﹣1）．则关于x的不等式的解集是（　　）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣1或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或x＞2
2. 已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则蓄电池的电压是（　　）
A． B． C．18V D．36V
3. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若某杠杆的阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，则它的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（　　）
A．B．C．D．
4．已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示下列说法不正确的是（　　）
A．当I≤10A时，R≤4Ω B．蓄电池的电压是40V
C．当R＝8Ω时，I＝5A D．函数的表达式
5. 如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若△POM的面积等于5，则k的值等于（　　）
A．2.5 B．10 C．﹣10 D．﹣5
6. 在温度不变的条件下，气体所产生的压强p（kPa）与气体的体积V（mL）成反比例，如图是某种气体压缩后，气体产生的压强p关于气体的体积V的函数图象．若压强由100kPa减压到80kPa，则气体体积增加了 　　mL．
7. 已知一次函数y1＝﹣x+7与反比例函数y2＝图象交于A、B两点，且A的横坐标是﹣1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出y1＞y2，满足的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
8. 某科研小组进行野外考察、利用铺垫木板的方式通过一片湿地，根据物理知识，当人和木板对湿地地面的压力一定时，湿地地面所受压强p（Pa）与受力面积S（m2）的关系如下表所示．
湿地地面所受压强p/Pa 400 600 800 1200 1500
受力面积S/m2 1.5 1 0.75 0.5 a
（1）根据数据，当人和木板对湿地地面的压力一定时，求湿地地面所受压强p（Pa）与受力面积S（m2）之间的函数表达式及a的值．
（2）若木板的长、宽分别为0.5m，0.4m，该湿地地面能承受的最大压强为4000Pa，请你判断站在这块木是否安全？并说明理由．
9.已知反比例函数是常数，k≠0）与一次函数y2＝﹣x+k图象有一个交点的横坐标是﹣4．
（1）求k的值；
（2）求另一个交点坐标；
（3）直接写出y1＞y2时x的取值范围．
题组B 能力提升练
10. 当温度不变时，某气球内的气压p（kPa）与气体体积V（m2）成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压p＞120kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积V应满足的条件是（　　）
A．不大于 B．大于 C．不小于 D．小于
11. 如图所示的是反比例函数y1＝（x＞0）和一次函数y2＝mx+n的图象，则下列结论正确的是（　　）
A．反比例函数的解析式是y1＝ B．一次函数的解析式为y2＝﹣x+6
C．当x＞6时，y1最大值为1 D．若y1＜y2，则1＜x＜6
12. 若一次函数y＝kx+b和反比例函数的图象交于点A（﹣3，y1），B（1，y2），则不等式kx2+bx﹣m＞0的解集是（　　）
A．x＞1或x＜﹣3 B．0＜x＜1或x＜﹣3
C．﹣3＜x＜0或x＞1 D．﹣3＜x＜0或0＜x＜1
13.如图，反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象与正比例函数y2＝mx（m为常数，且m≠0）的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为﹣1．若y2＜y1＜0，则x的取值范围是（　　）
A．﹣1＜x＜0 B．x＜﹣1 C．x＞1 D．﹣1＜x＜0或x＞1
14.如图，直线y＝kx+b与双曲线相交于A（2，3），B（a，﹣4）两点，则关于x的不等式的解集为 　　．
15.如图，一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点A，与y轴交于点C，与x轴交于点B，C为AB的中点，S△AOC＝4．
（1）求k2的值；
（2）当OB＝2，y1＞y2＞0时，求x的取值范围．
16.设函数y1＝k1x+b，函数（k1，k2，b是常数，k1＞0，k2＞0，b＞0）．已知函数y1的图象与y轴交于点A，与函数y2的图象的一个交点为点B（1，m）．
（1）若k2＝3，m＝b+1．
①求函数y1的表达式．
②当2＜y1＜y2时，直接写出x的取值范围．
（2）设点A关于x轴的对称点为点C，将点C向左平移2个单位得到点D．若点D恰好也是函数y1，y2图象的交点，试写出k1，k2之间的等量关系，并说明理由．
17. 某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中AB段为渐消毒阶段，BC段为深消毒阶段，CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）第3分钟时消毒效果为 　　效力；
（2）求深消毒阶段和降消毒阶段中y与x之间的函数关系式；
（3）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？
题组C 培优拔尖练
18.如图，直线y＝k1x+b与x轴、y轴相交于P，Q两点，与y＝的图象相交于A（﹣2，m），B（1，n）两点，连接OA，OB．下列结论：①k1+k2＜0；②不等式k1x+b＞的解集是x＞﹣2或0＜x＜1；③S△AOP＝S△BOQ；④m+n＝0．其中正确的结论是（　　）
A．①③ B．②③④ C．①③④ D．②④
19. 如图，点A（2，12）在反比例函数的图象上，AB，AC分别垂直于x轴、y轴，点D在位于AB右侧的反比例函数的图象上，DE，DF分别垂直于x轴、AB于E，F两点，若四边形DEBF为正方形，则这个正方形的面积等于（　　）
A．24 B．18 C．16 D．12
20. 如图所示，小亮设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，右侧用一个弹簧测力计向下拉，改变弹簧测力计与支点O的距离x（cm），观察弹簧测力计的示数y（N）的变化情况．实验数据记录如下表：
x（cm） …… 10 15 20 25 30 ……
y（N） …… 45 30 22.5 18 15 ……
下列说法不正确的是（　　）
A．弹簧测力计的示数y（N）与支点O的距离x（cm）之间关系的图象如图
B．y与x的函数关系式为
C．当弹簧测力计的示数为12.5N时，弹簧测力计与O点的距离是37.5
D．随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小
21. 如图，过点P（4，5）分别作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，PC、PD分别交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点A、B，则四边形BOAP的面积为 　　．
22．如图，在反比例函数（x＞0）的图象上有P1，P2，P3，…等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，S2024，则S1+S2+S3+…+S2024＝　　．
23. 如图，已知反比例函数和一次函数y2＝kx+b（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，3），B（3，a）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）将一次函数y2向下平移5个单位长度后得到直线y3，当y2＞y1＞y3时，求x的取值范围．
24. 如图，在平面直角坐标系中放置一块45°角的三角板ABC，∠BAC＝90°，A，B两点分别落在x轴和y轴上，直线AB的解析式为y＝﹣2x+2，AB右侧有一条直线l到AB的距离为．
（1）求AC的长．
（2）用尺规作出直线l（保留作图痕迹，不写作法）．
（3）若直线l与BC边交于点D，双曲线经过点D，求出k的值．
25．根据以下素材，探索完成任务．
素材1 如图，果农计划利用已有的一堵长为36m的墙，用篱笆围成一个面积为600m2的矩形种植基地ABCD，边AD的长不超过墙的长度．设AB＝x，AD＝y．
素材2 现有80m长的塑料薄膜可用于覆盖在篱笆的外围．（其中薄膜宽度与篱笆高度相同，薄膜与篱笆的间隙忽略不计）
任务1 求y关于x的函数表达式；
任务2 若塑料薄膜用了74m，求AB的长；
任务3 若x、y都是整数，请设计一个塑料薄膜用料最省的围建方案．
答案与解析
基础过关
1. 如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数的图象交于点A（1，2），B（﹣2，﹣1）．则关于x的不等式的解集是（　　）
A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣1或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣1＜x＜0或x＞2
【点拨】依据题意，直接利用图象法由一次函数图象在反比例函数图象上方的部分对应的自变量即为所求，进而得解．
【解析】解：由题意，∵点A（1，2），B（﹣2，1），
∴不等式ax+b＞的解集是一次函数y＝ax+b的图象在反比例函数y＝图象上方的部分对应的自变量的取值范围．
∴结合图象，﹣2＜x＜0或x＞1．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解题时要能根据图象找到对应的自变量是关键．
2. 已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则蓄电池的电压是（　　）
A． B． C．18V D．36V
【点拨】根据题意，先列出反比例函数解析式I＝，根据函数图象过（9，4）代入计算出U值即可．
【解析】解：∵电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，
∴I＝，
由图象可知，当R＝9时，I＝4，
∴U＝I R＝4×9＝36（v）．
答：蓄电池的电压是36v．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是关键．
3. 阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若某杠杆的阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，则它的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（　　）
A．B．C．D．
【点拨】直接利用阻力×阻力臂＝动力×动力臂，进而得出动力F关于动力臂l的函数关系式，从而确定其图象即可．
【解析】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，且阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，
∴动力F关于动力臂l的函数解析式为：1000×0.6＝Fl，
即F＝，是反比例函数，
又∵动力臂l＞0，
反比例函数F＝的图象是双曲线，且在第一象限．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解本题的关键．
4．已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示下列说法不正确的是（　　）
A．当I≤10A时，R≤4Ω B．蓄电池的电压是40V
C．当R＝8Ω时，I＝5A D．函数的表达式
【点拨】根据函数图象可设，再将（4，10）代入即可得出函数关系式，从而解决问题．
【解析】解：设，
∵图象过（4，10），
∴U＝40，故选项B正确，不符合题意，
∴，故选项D正确，不符合题意；
当R＝8Ω时，I＝5A，选项C正确，不符合题意；
根据函数图象可得当I≤10A时，R≥4Ω，选项A错误，符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式．
5. 如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若△POM的面积等于5，则k的值等于（　　）
A．2.5 B．10 C．﹣10 D．﹣5
【点拨】利用反比例函数k的几何意义得到|k|＝5，然后根据反比例函数的性质和绝对值的意义确定k的值．
【解析】解：∵PM⊥x轴，△POM的面积等于5，
∴|k|＝5，
而图象在第二象限，k＜0，
∴k＝﹣10，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质．
6. 在温度不变的条件下，气体所产生的压强p（kPa）与气体的体积V（mL）成反比例，如图是某种气体压缩后，气体产生的压强p关于气体的体积V的函数图象．若压强由100kPa减压到80kPa，则气体体积增加了 　15　mL．
【点拨】设这个反比例函数的解析式为p＝，求得p＝，当P＝80kPa时，求得V＝75mL，当P＝100kPa时求得，V＝60mL，于是得到结论．
【解析】解：设这个反比例函数的解析式为p＝，
∵V＝100时，p＝60，
∴k＝pV＝100×60＝6000，
∴p＝，
当P＝80时，V＝＝75，
当P＝100时，V＝＝60，
∴75﹣60＝15（mL），
∴气体体积增大了15mL，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意，得出反比例函数的解析式是解本题的关键．
7. 已知一次函数y1＝﹣x+7与反比例函数y2＝图象交于A、B两点，且A的横坐标是﹣1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）直接写出y1＞y2，满足的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
【点拨】（1）把x＝﹣1代入y1＝﹣x+7可确定A点坐标为（﹣1，8），然后利用待定系数法可确定反比例函数解析式；
（2）根据图象求得即可．
（3）解析式联立，解方程组求得B的坐标，然后确定C点坐标，再利用△AOB的面积＝S△AOC+S△BOC进行计算即可．
【解析】解：（1）把 x＝﹣1 代入yr＝﹣x+7 得：y＝1+7＝8
∴A（﹣1，8）
把A（﹣1，8）f代入 ，
得：，
解得 k＝﹣8，
∴反比例函数的解析式为 ．
（2）x＜﹣1或0＜x＜8；
（3）设：y＝﹣x+7 与y轴交于点C（0，7）
∴OC＝7
解 得或
∴B（8，﹣1），
．S△AOB＝S△AOC+S△BOC
＝；
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
8. 某科研小组进行野外考察、利用铺垫木板的方式通过一片湿地，根据物理知识，当人和木板对湿地地面的压力一定时，湿地地面所受压强p（Pa）与受力面积S（m2）的关系如下表所示．
湿地地面所受压强p/Pa 400 600 800 1200 1500
受力面积S/m2 1.5 1 0.75 0.5 a
（1）根据数据，当人和木板对湿地地面的压力一定时，求湿地地面所受压强p（Pa）与受力面积S（m2）之间的函数表达式及a的值．
（2）若木板的长、宽分别为0.5m，0.4m，该湿地地面能承受的最大压强为4000Pa，请你判断站在这块木是否安全？并说明理由．
【点拨】（1）用待定系数法可得函数关系式即可；
（2）算出S，即可求出P，比较可得答案．
【解析】解：（1）由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，
故压强P是受力面积S的反比例函数，
设，将（600，1）代入，
解得 k＝600×1＝600，
∴，
当P＝1500时，，
解得S＝0.4，即a＝0.4；
（2）S＝0.5×0.4＝0.2m2，
∴，
∵3000＜4000，
∴站在这块木是安全的．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．
9.已知反比例函数是常数，k≠0）与一次函数y2＝﹣x+k图象有一个交点的横坐标是﹣4．
（1）求k的值；
（2）求另一个交点坐标；
（3）直接写出y1＞y2时x的取值范围．
【点拨】（1）根据反比例函数是常数，k≠0）与一次函数y2＝﹣x+k图象有一个交点的横坐标是﹣4．代入两式可得k值；
（2）联立方程组求出两组解，写出另一个交点即可；
（3）根据交点横坐标以及各函数的增减性，可直接写出x的取值范围．
【解析】解：（1）联立方程组可得：＝﹣x+k，将x＝﹣4代入得，
﹣k＝4+k，即k＝﹣2．
（2）y1＝﹣，y2＝﹣x﹣2，
联立：解得：
，，
∴另一个交点坐标为（2，﹣4）．
（3）y1＞y2，就是反比例函数图象在一次函数图象上边时，自变量的取值范围．
即：x＞2或﹣4＜x＜0．
【点睛】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题．求交点坐标，联立方程是关键．
题组B 能力提升练
10. 当温度不变时，某气球内的气压p（kPa）与气体体积V（m2）成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压p＞120kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积V应满足的条件是（　　）
A．不大于 B．大于 C．不小于 D．小于
【点拨】根据图象可知，函数图象是反比例函数，且过点（1.6，60），将点（1.6，60）代入反函数解析式即可求得k的值，从而得出函数解析式，再根据p的范围即可得出答案．
【解析】解：∵函数图象是双曲线的一条分支，且过点（1.6，60），
∴k＝1.6×60＝96，
则，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】题考查反比例函数的应用，解题的关键是根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式．
11. 如图所示的是反比例函数y1＝（x＞0）和一次函数y2＝mx+n的图象，则下列结论正确的是（　　）
A．反比例函数的解析式是y1＝ B．一次函数的解析式为y2＝﹣x+6
C．当x＞6时，y1最大值为1 D．若y1＜y2，则1＜x＜6
【点拨】求得反比例函数解析式即可判断A；求得直线的解析式即可判断B；根据交点坐标结合图象即可判断C、D．
【解析】解：A、∵反比例函数y1＝（x＞0）的图象过点（1，5），
∴k＝1×5＝5，
∴反比例函数的解析式是y1＝，故结论错误；
B、把x＝6代入y1＝得，y＝，
∴反比例函数y1＝（x＞0）和一次函数y2＝mx+n的图象另一个交点为（6，），
把点（1，5），（6，）分别代入y2＝mx+n，
得，解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+，故结论错误；
C、由图象可知当x＞6时，0＜y1＜，故结论错误；
D、由函数图象知，双曲线在直线下方时x的范围是1＜x＜6，
∴若y1＜y2，则1＜x＜6，故结论正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查直线和双曲线交点的问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式、函数图象与不等式组的关系是解题的关键．
12. 若一次函数y＝kx+b和反比例函数的图象交于点A（﹣3，y1），B（1，y2），则不等式kx2+bx﹣m＞0的解集是（　　）
A．x＞1或x＜﹣3 B．0＜x＜1或x＜﹣3
C．﹣3＜x＜0或x＞1 D．﹣3＜x＜0或0＜x＜1
【点拨】分两种情况讨论，观察一次函数y＝kx+b（k≠0）图象和反比例函数y＝（m＜0）的图象，即可求得x的取值范围．
【解析】解：∵m＜0，
∴反比例函数y＝（m＜0）的图象在第二、四象限，如图，
当x＞0时，
∵kx2+bx﹣m＞0，
∴kx+b＞，
由函数图象可知，当一次函数y＝kx+b（k≠0）图象在反比例函数y＝（m＜0）的图象上方时，x的取值范围是：0＜x＜1，
当x＜0时，
∵kx2+bx﹣m＞0，
∴kx+b＜，
由函数图象可知，当一次函数y＝kx+b（k≠0）图象在反比例函数y＝（m＜0）的图象下方时，x的取值范围是：0＞x＞﹣3，
∴不等式kx2+bx﹣m＞0的解集是：0＜x＜1或0＞x＞﹣3，
故选：D．
【点睛】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．
13.如图，反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象与正比例函数y2＝mx（m为常数，且m≠0）的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为﹣1．若y2＜y1＜0，则x的取值范围是（　　）
A．﹣1＜x＜0 B．x＜﹣1 C．x＞1 D．﹣1＜x＜0或x＞1
【点拨】根据反比例函数的中心对称性质，点B的横坐标为1，结合函数图象和y2＜y1＜0，可得自变量x的取值范围．
【解析】解：根据反比例函数的中心对称性质，点B的横坐标为1，
根据函数图象结合y2＜y1＜0，
自变量x的取值范围为：x＞1．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握反比例函数中心对称性质是关键．
14.如图，直线y＝kx+b与双曲线相交于A（2，3），B（a，﹣4）两点，则关于x的不等式的解集为 　x＜﹣　．
【点拨】先求得点B的坐标，然后根据图象即可求解．
【解析】解：∵直线y＝kx+b与双曲线相交于A（2，3），B（a，﹣4）两点，
∴m＝2×3＝﹣4a，
∴a＝﹣，
∴B（﹣，﹣4），
∴关于x的不等式的解集为x＜﹣，
故答案为：．
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的数学思想，数形结合思想是数学中重要的思想方法，学生做题时注意灵活运用．
15.如图，一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点A，与y轴交于点C，与x轴交于点B，C为AB的中点，S△AOC＝4．
（1）求k2的值；
（2）当OB＝2，y1＞y2＞0时，求x的取值范围．
【点拨】（1）过点A作y轴的垂线，垂足为D，证明△ADC≌△BOC进而求出结论；
（2）先求出A（2，8），根据图象写出结论即可．
【解析】解：（1）过点A作y轴的垂线，垂足为D．
∵点C为AB的中点，
∴BC＝AC，
又∠BOC＝∠ADC＝90°；∠BCO＝∠ACD，
∴△ADC≌△BOC，
∴DC＝OC，
设A（x，y），点A在第一象限，
则，即xy＝16，
∴k2＝16．
（2）因为OB＝2，
所以B（﹣2，0），
由△ADC≌△BOC，得AD＝OB＝2，
所以，A（2，8）．
当y1＞y2＞0时，x的取值范围是：x＞2．
【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
16.设函数y1＝k1x+b，函数（k1，k2，b是常数，k1＞0，k2＞0，b＞0）．已知函数y1的图象与y轴交于点A，与函数y2的图象的一个交点为点B（1，m）．
（1）若k2＝3，m＝b+1．
①求函数y1的表达式．
②当2＜y1＜y2时，直接写出x的取值范围．
（2）设点A关于x轴的对称点为点C，将点C向左平移2个单位得到点D．若点D恰好也是函数y1，y2图象的交点，试写出k1，k2之间的等量关系，并说明理由．
【点拨】（1）①利用待定系数法求解即可；
②画出图象，根据求2＜y1＜y2时，x的取值范围，即求函数y1的图象位于直线y＝2的图象上方时，位于函数y2的图象下方时x的取值范围，再结合图象即可解答；
（2）利用一次函数解析式求出点A的坐标，再根据轴对称和平移的性质得出点D的坐标．由点D是函数y1，y2图象的交点，即说明点D的坐标满足两个函数的解析式，从而即可解答．
【解析】解：（1）①若k2＝3，则函数．
∵点B（1，m）在函数y2的图象上，
∴，
∴B（1，3），b+1＝3，
∴b＝2，
∴函数y1＝k1x+2．
∵点B（1，3）在函数y1的图象上，
∴3＝k1+2，
解得：k1＝1，
∴函数y1的表达式为y1＝x+2；
②根据两函数解析式可画出图象如下，
∵求2＜y1＜y2时，x的取值范围，即求函数y1的图象位于直线y＝2的图象上方时，位于函数y2的图象下方时x的取值范围，
∵由图象可知当0＜x＜1时，函数y1的图象位于直线y＝2的图象上方，位于函数y2的图象下方，
∴当2＜y1＜y2时，x的取值范围是0＜x＜1；
（2）k2＝2k1．
理由：对于y1＝k1x+b，令x＝0，则y1＝b，
∴A（0，b）．
∵点A关于x轴的对称点为点C，
∴C（0，﹣b）．
∵将点C向左平移2个单位得到点D，
∴D（﹣2，﹣b）．
∵点D恰好也是函数y1，y2图象的交点，
∴﹣b＝﹣2k1+b，，
∴k1＝b，k2＝2b，
∴k2＝2k1．
【点睛】本题考查次函数与反比例函数的交点，掌握函数图象上的点的坐标满足该函数解析式是解题关键．
17. 某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中AB段为渐消毒阶段，BC段为深消毒阶段，CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）第3分钟时消毒效果为 　0.9　效力；
（2）求深消毒阶段和降消毒阶段中y与x之间的函数关系式；
（3）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？
【点拨】（1）求得线段AB所在直线的解析式后代入x＝3求得y的值即可；
（2）设BC段的函数解析式为y＝kx+b，把（10，3）和（30，6）代入得求得BC段的函数解析式为y＝x+，设CD段的函数解析式为y＝，把（30，6）代入求得CD段的函数解析式为y＝；
（3）把y＝4分别代入y＝x+和y＝得到x＝或x＝45，于是得到结论．
【解析】解：（1）设线段AB所在直线的解析式为y＝kx，
∵经过（10，3），
∴10k＝3，
解得：k＝，
∴解析式为y＝x，
当x＝3时，y＝×3＝0.9，
故答案为：0.9．
（2）设BC段的函数解析式为 y＝kx+b，
把（10，3）和（30，6）代入得，
解得：，
∴BC段的函数解析式为 y＝（4≤x≤30），
设CD段的函数解析式为 ，把（30，6）代入得 ，
∴m＝180，
∴CD段的函数解析式为 （x≥30）；
（2）把y＝4分别代入 和 得， 和x＝45，
∵，
∴本次消毒有效．
【点睛】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答．
题组C 培优拔尖练
18.如图，直线y＝k1x+b与x轴、y轴相交于P，Q两点，与y＝的图象相交于A（﹣2，m），B（1，n）两点，连接OA，OB．下列结论：①k1+k2＜0；②不等式k1x+b＞的解集是x＞﹣2或0＜x＜1；③S△AOP＝S△BOQ；④m+n＝0．其中正确的结论是（　　）
A．①③ B．②③④ C．①③④ D．②④
【点拨】根据一次函数的性质和反比例函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解析】解：由图象可得，
k1＜0，k2＜0，则k1+k2＜0，故①正确；
∵直线y＝k1x+b与y＝的图象相交于A（﹣2，m），B（1，n）两点，
∴不等式k1x+b＞的解集是x＜﹣2或0＜x＜1，故②错误；
∵y＝的图象过A（﹣2，m），B（1，n）两点，
∴﹣2m＝n，
∴2m+n＝0，
∴m+n＝0，故④正确；
∵直线y＝k1x+b过A（﹣2，m），B（1，n）两点，
∴，
解得，
∵﹣2m＝n，
∴k1＝﹣m，b＝﹣m，
∴直线y＝﹣mx﹣m＝﹣m（x+1），
∴当x＝﹣1时，y＝0，当x＝0时，y＝﹣m，
∴点P的坐标为（﹣1，0），点Q的坐标为（0，﹣m），
∴S△AOP＝＝，S△BOQ＝＝，
∴S△AOP＝S△BOQ，故③正确；
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、反比例函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19. 如图，点A（2，12）在反比例函数的图象上，AB，AC分别垂直于x轴、y轴，点D在位于AB右侧的反比例函数的图象上，DE，DF分别垂直于x轴、AB于E，F两点，若四边形DEBF为正方形，则这个正方形的面积等于（　　）
A．24 B．18 C．16 D．12
【点拨】设正方形的边长为m，则D（2+m，m），由点A、D在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，得出m（2+m）＝2×12，解得m＝4，进一步求得这个正方形的面积＝4×4＝16．
【解析】解：设正方形的边长为m，
∵点A（2，12），
∴D（2+m，m），
∵点A、D在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴m（2+m）＝2×12，
解得m＝4或m＝﹣6（舍去），
∴这个正方形的面积＝4×4＝16，
故选：C．
【点睛】】本题考查了比例函数系数k的几何意义，在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
20. 如图所示，小亮设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，右侧用一个弹簧测力计向下拉，改变弹簧测力计与支点O的距离x（cm），观察弹簧测力计的示数y（N）的变化情况．实验数据记录如下表：
x（cm） …… 10 15 20 25 30 ……
y（N） …… 45 30 22.5 18 15 ……
下列说法不正确的是（　　）
A．弹簧测力计的示数y（N）与支点O的距离x（cm）之间关系的图象如图
B．y与x的函数关系式为
C．当弹簧测力计的示数为12.5N时，弹簧测力计与O点的距离是37.5
D．随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小
【点拨】仔细观察表格，在坐标系中分别描出各点，并平滑曲线连接这些点，即可画出函数图象；观察所画图形，回想常见几种函数的图象特征，即可判断出函数类型，利用待定系数法求出函数关系式；把y＝12.5N代入上面所得关系式求解，并根据函数的性质判断弹簧秤与O点的距离不断增大时的弹簧测力计示数变化情况．
【解析】解：由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数．
所以设y＝（k≠0），
把x＝10，y＝45代入求得k＝450，
∴y＝，
将其余各点代入验证均适合，
∴y与x的函数关系式为y＝（x＞0），
把y＝12.5代入y＝，得x＝36，
∴当弹簧测力计的示数为12.5N时，弹簧测力计与O点的距离是36cm，
随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小．
故选：C．
【点睛】此题考查的是反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
21. 如图，过点P（4，5）分别作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，PC、PD分别交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点A、B，则四边形BOAP的面积为 　12　．
【点拨】根据阴影部分的面积等于矩形OCPD的面积减去一个k值即可．
【解析】解：∵矩形面积＝4×5＝20，
S△BDO+S△AOC＝k＝8．
∴S阴影＝20﹣8＝12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义，反比例函数的k值就是图形上任意一点与坐标轴围成的长方形的面积．
22．如图，在反比例函数（x＞0）的图象上有P1，P2，P3，…等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，S2024，则S1+S2+S3+…+S2024＝　　．
【点拨】根据题意阴影矩形的一边长都为1，将面积为S2、S3、S4、 ，S2024的矩形向左平移到S1下方，则有：S1+S2+S3+ +S2024＝S矩形DABP1，最后利用S阴影＝25﹣＝即可．
【解析】解：∵P1，P2，P3，…，P2024等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，
∴阴影矩形的一边长都为1，如图：P1D⊥y轴，P1C⊥x轴，P2024A⊥y轴，交P1C于点B，
将面积为S2、S3、S4、 ，S2024的矩形向左平移到S1下方，则有：
S1+S2+S3+ +S2024＝S矩形DABP1，
当x＝2024时，y＝，即OA＝，
∴S矩形OABC＝OA OC＝，
根据反比例函数k值的几何意义得：S矩形OCP1D＝25，
∴S阴影＝25﹣＝＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值几何意义是关键．
23. 如图，已知反比例函数和一次函数y2＝kx+b（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，3），B（3，a）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）将一次函数y2向下平移5个单位长度后得到直线y3，当y2＞y1＞y3时，求x的取值范围．
【点拨】（1）将点A的坐标代入反比例函数的表达式求出c即可；然后再将点B的坐标代入反比例函数的解析式求出点B的坐标，进而可用待定系数法求出一次函数的表达式；
（2）先根据平移求出直线y3的表达式，然后画出直线y3，观察函数的图象即可得出x的取值范围．
【解析】解：（1）将A（﹣2，3）代入，得：c＝﹣6，
∴反比例函数的表达式为：，
对于，当x＝3时，y＝﹣2，
∴点B的坐标为（3，﹣2），
设一次函数的表达式为：y2＝kx+b，
将A（﹣2，3）、B（3，﹣2）代入y2＝kx+b，得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y2＝﹣x+1，
（2）将一次函数y2＝﹣x+1向下平移5个单位长度后得到直线y3＝﹣x﹣4，
画出直线y3＝﹣x﹣4，
∵点A（﹣2，3），点B（3，﹣2），
∴由函数的图象可知：当y2＞y1＞y3时，x的取值范围是：x＜﹣2或0＜x＜3．
【点睛】此题主要考查了一次函数与反比例函数的图象，交点，一次函数的平移等，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的表达式；难点是根据函数性质，结合函数的图象求不等式的解集．
24. 如图，在平面直角坐标系中放置一块45°角的三角板ABC，∠BAC＝90°，A，B两点分别落在x轴和y轴上，直线AB的解析式为y＝﹣2x+2，AB右侧有一条直线l到AB的距离为．
（1）求AC的长．
（2）用尺规作出直线l（保留作图痕迹，不写作法）．
（3）若直线l与BC边交于点D，双曲线经过点D，求出k的值．
【点拨】（1）根据直线解析式求出点A、B坐标，利用勾股定理求出AB长，AC＝AB即可；
（2）根据题意做出线段AC的垂直平分线即可；
（3）利用一线三直角证明△ABO≌△CAF继而可求出点C坐标，再根据中点坐标公式求出D点坐标，即可求出双曲线中的k值．
【解析】解：（1）由题意可知，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，
在直线y＝﹣2x+2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝1，
∴A（1，0），B（0，2），
∴AC＝AB＝＝，
（2）∵AC＝，AB⊥AC，AB右侧有一条直线l到AB的距离为．
∴作线段AC的垂直平分线即可，如图示：
（3）如图，作CF⊥x轴，垂足为F，
在△ABO和△CAF中，
，
∴△ABO≌△CAF（AAS），
∴OA＝CF＝1，OB＝AF＝2，
∴C（3，1），
根据（2）作图可知，直线l∥AB，
∴点D为线段BC的中点，
∴xD＝＝，yD＝＝，
∴D（，），
∵点D（，）在双曲线y＝图象上，
∴k＝＝．
【点睛】本题考查了反比例函数综合应用，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键．
25．根据以下素材，探索完成任务．
素材1 如图，果农计划利用已有的一堵长为36m的墙，用篱笆围成一个面积为600m2的矩形种植基地ABCD，边AD的长不超过墙的长度．设AB＝x，AD＝y．
素材2 现有80m长的塑料薄膜可用于覆盖在篱笆的外围．（其中薄膜宽度与篱笆高度相同，薄膜与篱笆的间隙忽略不计）
任务1 求y关于x的函数表达式；
任务2 若塑料薄膜用了74m，求AB的长；
任务3 若x、y都是整数，请设计一个塑料薄膜用料最省的围建方案．
【点拨】任务一：根据矩形的面积公式即可作答；
任务二：根据篱笆的周长列出关于x的方程式即可，然后再检验；
任务三：根据已知条件找到符合条件的x值，再进行比较即可．
【解析】解：任务一：∵xy＝600，
∴y＝（x≥16），
故y关于x的函数表达式为y＝（x≥16）．
任务二：2x+y＝74，
即2x+＝74，
解得：x1＝12，x2＝25，
经检验x1＝12，x2＝25是原分式方程的解，
当x1＝12，BC＝74﹣12×2＝50m＞36m，不符合题意，舍去，
x2＝25，BC＝74﹣25×2＝24m＜36m，
故AB的长度为25m．
任务三：∵x、y都是整数，x≥16且y＝，
∴x可以为20、24、25、30、50、60、75、150、300，
又∵2x+y≤80，
即2x+≤80，
∴x可以为20、24、25、30，
∴共有四种围建方案，
方案一：AB＝20m，BC＝30m，此时塑料薄膜用料为70m，
方案一：AB＝24m，BC＝25m，此时塑料薄膜用料为73m，
方案一：AB＝25m，BC＝24m，此时塑料薄膜用料为74m，
方案一：AB＝30m，BC＝20m，此时塑料薄膜用料为80m，
∴塑料薄膜用料最省的围建方案为AB＝20m，BC＝30m．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，找到不等关系是解题的关键．
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