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5.3正方形的判定与性质 提升练习
一．选择题（共15小题）
1．（2023秋 东明县期末）正方形有而矩形不一定有的性质是
A．四个角都是直角 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
2．（2023秋 达州期末）如图，正方形的边长为2，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为
A． B． C．0.5 D．1
3．（2023春 志丹县期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是
A． B． C． D．平分
4．（2023秋 西安期末）如图，在边长为6的正方形中，是对角线上一点，作于点，连接，若．则的长为
A． B． C．4 D．2.5
5．（2023秋 遂川县期末）如图，在正方形中，点，分别在和边上，，，，则的面积为
A．6 B．8 C．12 D．16
6．（2023秋 商河县期末）如图，正方形中，点、、分别在、、上，，经过对角线的中点，若，则一定等于
A． B． C． D．
7．（2023秋 金东区期末）如图，已知等腰直角三角形纸板中，．现要从中剪出一个尽可能大的正方形，则能剪出的最大正方形的面积是
A． B． C．25 D．50
8．（2023秋 太谷区期末）如图，和是菱形的对角线，若再补充一个条件能使其成为正方形，下列条件：①；②；③；④．其中符合要求的是
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
9．（2023春 南谯区期末）如图，正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接．若，则的度数是
A． B． C． D．
10．（2023秋 保定期末）我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，，则四边形的面积减少了
A． B． C． D．
11．（2023秋 运城期末）小明用正方形制作了一个七巧板如图1所示，又用这副七巧板拼成了一个平行四边形如图2，若正方形的对角线长是2，则该平行四边形的对角线的长是
A． B． C． D．
12．（2023秋 安庆期末）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为，小正方形地砖的面积为，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形．则正方形的面积为
A． B． C． D．
13．（2023秋 漳州期末）如图，在中，，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，当取最大值时，的长是
A．4 B． C． D．
14．（2023春 确山县期末）演示课上，王林用四根长度都为的木条制作了图1所示正方形，而后将正方形的边固定，平推成图2的图形，并测得，则在此变化过程中结论错误的是
A．长度不变，为
B．长度变小，减少4
C．长度变大，增大4
D．面积变小，减少
15．（2023秋 福田区校级期末）如图，分别以的三边，，为边向外侧作正方形，正方形，正方形，连接，，，再过作于，延长交于点．①；②；③；④当，，时，，其中正确的结论共有 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共6小题）
16．（2023秋 遂川县期末）若正方形的周长为8，则对角线的长为 ．
17．（2023春 北京期末）如图，矩形的对角线，相交于点，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是 （写出一个条件即可）．
18．（2023秋 崇川区期末）如图，是的高，分别以线段，，，为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为 ．
19．（2023秋 建邺区期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为2，，则点的坐标为 ．
20．（2023秋 南充期末）如图，直线经过正方形的顶点，分别过该正方形的顶点、作于，于．若，，则的长为 ．
21．（2023春 顺义区期末）如图，在矩形中，，，，分别是边，上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若，两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中，
①存在四边形是矩形；
②存在四边形是菱形；
③存在四边形是矩形；
④存在四边形是正方形；
所有正确结论的序号是 ．
三．解答题（共9小题）
22．（2023春 安庆期末）如图，在正方形中，是对角线上的点．
（1）连接，，求证：．
（2）过点作，，垂足分别是点，，求证：四边形是矩形．
23．（2023秋 宿松县期末）如图，以的边、为边分别向外作正方形和正方形，连接，试判断与面积之间的关系，并说明理由．
24．（2023秋 简阳市期末）如图，中，过点作，，交的延长线点；过点作，交的延长线于点，交于点，连接，．
（1）求的长；
（2）求证：四边形为正方形．
25．（2023秋 埇桥区期末）如图，在中，，，垂足为点，是外角的平分线，，垂足为点．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）当满足什么条件时，四边形是一个正方形？请给出证明．
26．（2023秋 武侯区期末）如图，在正方形中，延长至点，使得，连接，，交于点．
（1）试探究的形状；
（2）求的度数．
27．（2023秋 青山湖区期末）如图，在正方形中，点是对角线上一动点，连接，作交于点，以和为邻边作矩形．
（1）猜想：，的位置关系是 ；
（2）求证：．
28．（2023秋 绥棱县期末）如图，在正方形中，，为对角线上任意一点（不与、重合），连接，过点作，交线段于点．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
29．（2023春 来凤县期末）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作．交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．
①求证：矩形是正方形；
②探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
30．（2022春 商丘期末）如图，中，，，外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足．
（1） （直接写出结果不写解答过程）；
（2）①求证：四边形是正方形．
②若，求的长．
（3）如图（2），在中，，高，，则的长度是 （直接写出结果不写解答过程）．
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5.3正方形的判定与性质 提升练习
一．选择题（共15小题）
1．（2023秋 东明县期末）正方形有而矩形不一定有的性质是
A．四个角都是直角 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【答案】
【解析】、正方形和矩形的四个角都是直角，故本选项错误；
、正方形和矩形的对角线相等，故本选项错误；
、正方形和矩形的对角线互相平分，故本选项错误；
、正方形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分但不一定垂直，故本选项正确．
故选．
2．（2023秋 达州期末）如图，正方形的边长为2，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为
A． B． C．0.5 D．1
【答案】
【解析】正方形的边长为2，
，
，
，
，故选．
3．（2023春 志丹县期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是
A． B． C． D．平分
【答案】
【解析】要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可：
（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等，即或，故选．
4．（2023秋 西安期末）如图，在边长为6的正方形中，是对角线上一点，作于点，连接，若．则的长为
A． B． C．4 D．2.5
【答案】
【解析】边长为6的正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理，得．故选．
5．（2023秋 遂川县期末）如图，在正方形中，点，分别在和边上，，，，则的面积为
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】
【解析】四边形是是正方形，
，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
的面积．故选．
6．（2023秋 商河县期末）如图，正方形中，点、、分别在、、上，，经过对角线的中点，若，则一定等于
A． B． C． D．
【答案】
【解析】四边形是正方形，
，
在中，，
为的中点，
，
，
，
，故选．
7．（2023秋 金东区期末）如图，已知等腰直角三角形纸板中，．现要从中剪出一个尽可能大的正方形，则能剪出的最大正方形的面积是
A． B． C．25 D．50
【答案】
【解析】从一个等腰直角三角形纸板中剪一个尽可能大的正方形是以两直角边、斜边中点和直角顶点为正方形四个顶点，
．
这个正方形的边长为5，
能剪出的最大正方形的面积是25．故选．
8．（2023秋 太谷区期末）如图，和是菱形的对角线，若再补充一个条件能使其成为正方形，下列条件：①；②；③；④．其中符合要求的是
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】
【解析】设对角线和交于点，
四边形为菱形，
，，，，
①对角线相等的菱形是正方形；
补充条件，可以使四边形成为为正方形，
②菱形的对角线具有，
补充条件，不能使四边形成为为正方形，
③，
，
菱形为正方形，
补充条件，可以使四边形成为为正方形，
④当时，，
又，
，
为等边三角形，
，
补充条件，不能使四边形成为为正方形．
综上所述：当补充的条件①③时，可以使四边形成为为正方形．故选．
9．（2023春 南谯区期末）如图，正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接．若，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】四边形是正方形，
，，
在和中，，
，
，
平分，四边形是正方形，
，，
，
，故选．
10．（2023秋 保定期末）我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，，则四边形的面积减少了
A． B． C． D．
【答案】
【解析】四边形是正方形，，
正方形的面积，，
由题意知，
四边形是菱形，
，
过点于，
，
，
菱形的面积，
正方形的面积菱形的面积，
四边形的面积减少了．故选．
11．（2023秋 运城期末）小明用正方形制作了一个七巧板如图1所示，又用这副七巧板拼成了一个平行四边形如图2，若正方形的对角线长是2，则该平行四边形的对角线的长是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】过作交延长线于，如图：
图1正方形的对角线为2，
图1正方形的边长为，
图2中，，
根据图1知，图2中，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
；故选．
12．（2023秋 安庆期末）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为，小正方形地砖的面积为，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形．则正方形的面积为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图，连接，，
，
，
，，
，
，
，
正方形的面积．故选．
13．（2023秋 漳州期末）如图，在中，，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，当取最大值时，的长是
A．4 B． C． D．
【答案】
【解析】连接，，如图：
四边形，四边形是正方形，
，，，
，
，
，
当最大时，最大，
四边形是正方形，，
，
，
当，，共线时，取最大值，此时最大，
如图，过作于，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；故选．
14．（2023春 确山县期末）演示课上，王林用四根长度都为的木条制作了图1所示正方形，而后将正方形的边固定，平推成图2的图形，并测得，则在此变化过程中结论错误的是
A．长度不变，为
B．长度变小，减少4
C．长度变大，增大4
D．面积变小，减少
【答案】
【解析】连接，，
四边形是正方形，
，，，，
，正方形面积，
，
在菱形中，连接，，过作于点，
，，，
，
是等边三角形，
，，，
，，
菱形面积，故选项不符合题意；
，故选项不符合题意；
，故选项不符合题意；
，故选项符合题意；
故选．
15．（2023秋 福田区校级期末）如图，分别以的三边，，为边向外侧作正方形，正方形，正方形，连接，，，再过作于，延长交于点．①；②；③；④当，，时，，其中正确的结论共有 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【解析】①由正方形的性质可得：，，
不一定是直角，
不一定成立，故结论①不正确；
②如图，过点作于，过点作于，
则，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，，
，
，
同理可得：，
，
在和中，，
，
，故结论②正确；
③如图，过点作交的延长线于，
则，，
在和中，，
，
，，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，故结论③正确；
④，，，
，
如图，分别过点、、作于，于，于，于，于，
同理可得，，
，
，
，故结论④错误；
故选．
二．填空题（共6小题）
16．（2023秋 遂川县期末）若正方形的周长为8，则对角线的长为 ．
【答案】．
【解析】设正方形的边长为，
正方形的周长为8，
，即，
对角线．故答案为：．
17．（2023春 北京期末）如图，矩形的对角线，相交于点，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是 （写出一个条件即可）．
【答案】（答案不唯一）．
【解析】这个条件可以是（答案不唯一），
理由：四边形是矩形，，
四边形是正方形，
故答案为：（答案不唯一）．
18．（2023秋 崇川区期末）如图，是的高，分别以线段，，，为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为 ．
【答案】2．
【解析】由图形得，，，，
是的高，
，
即，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
第四个正方形的面积为2，故答案为：2．
19．（2023秋 建邺区期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为2，，则点的坐标为 ．
【答案】，．
【解析】过点作轴，轴，如图：
正方形的边长为2，，
，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
点的坐标为：，．故答案为：，．
20．（2023秋 南充期末）如图，直线经过正方形的顶点，分别过该正方形的顶点、作于，于．若，，则的长为 ．
【答案】9．
【解析】正方形，
，
，且，
，
在和中，，
，
即，，
．故答案为：9．
21．（2023春 顺义区期末）如图，在矩形中，，，，分别是边，上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若，两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中，
①存在四边形是矩形；
②存在四边形是菱形；
③存在四边形是矩形；
④存在四边形是正方形；
所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③．
【解析】在矩形中，，，
，，，
①当点与重合，点与重合时，存在四边形是矩形；故①正确；
②，，
四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形，
设，则，，
，
，
，解得，
故当时，四边形是菱形；故②正确；
③当时，四边形是矩形，
，
，
当时，四边形是矩形，故③正确；
④不存在四边形是正方形，
理由：当，则，
，
，
，
不存在四边形是正方形，
故答案为：①②③．
三．解答题（共9小题）
22．（2023春 安庆期末）如图，在正方形中，是对角线上的点．
（1）连接，，求证：．
（2）过点作，，垂足分别是点，，求证：四边形是矩形．
【解析】（1）证明：为正方形的对角线，
，
在和中，，
，
．
（2）证明：四边形是正方形，，，
，
四边形为矩形．
23．（2023秋 宿松县期末）如图，以的边、为边分别向外作正方形和正方形，连接，试判断与面积之间的关系，并说明理由．
【解析】和的面积相等．
理由：过作于，过作交延长线于，则，
，
四边形和四边形是正方形，
，，，
，
，
在和中，，
，
，
，，，
和的面积相等．
24．（2023秋 简阳市期末）如图，中，过点作，，交的延长线点；过点作，交的延长线于点，交于点，连接，．
（1）求的长；
（2）求证：四边形为正方形．
【解析】（1）解：在中，，
，
，
四边形中是平行四边形，
，
，
，，
，即的长为2；
（2）证明：由（1）得，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是菱形，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是正方形．
25．（2023秋 埇桥区期末）如图，在中，，，垂足为点，是外角的平分线，，垂足为点．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）当满足什么条件时，四边形是一个正方形？请给出证明．
【解析】（1）证明：，，
．
是外角的平分线，
，
，
，
，
，，
，
四边形为矩形．
（2）解：答案不唯一，如：当时，四边形是一个正方形．
证明：，
，
，
，
，
四边形为矩形，
矩形是正方形．
故当时，四边形是一个正方形．
26．（2023秋 武侯区期末）如图，在正方形中，延长至点，使得，连接，，交于点．
（1）试探究的形状；
（2）求的度数．
【解析】（1）是等腰三角形，理由如下：
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2），
，
，
，
，
，
．
27．（2023秋 青山湖区期末）如图，在正方形中，点是对角线上一动点，连接，作交于点，以和为邻边作矩形．
（1）猜想：，的位置关系是 ；
（2）求证：．
【解析】（1）解：，
理由：如图所示，过点作于，于，
四边形是正方形，
．
，，
．
，
四边形是矩形．
．
四边形是矩形，
．
．
，
．
．
矩形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）证明：作于，于，于，于，
，，
，
，
，
，，
，
在和中，，
．
28．（2023秋 绥棱县期末）如图，在正方形中，，为对角线上任意一点（不与、重合），连接，过点作，交线段于点．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
【解析】证明：（1）如图①，过分别作交于，交于，
则四边形是平行四边形，
四边形是正方形，
，，
，
是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
由（1）知：是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，，
；
29．（2023春 来凤县期末）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作．交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．
①求证：矩形是正方形；
②探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【解析】①证明：过作于点，过作于点，如图所示：
正方形，
，，
，
且，
四边形为正方形，
四边形是矩形，
，，
，
又，
在和中，，
，
，
矩形为正方形；
②解：的值为定值，理由如下：
矩形为正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，，
，
，
，
是定值．
30．（2022春 商丘期末）如图，中，，，外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足．
（1） （直接写出结果不写解答过程）；
（2）①求证：四边形是正方形．
②若，求的长．
（3）如图（2），在中，，高，，则的长度是 （直接写出结果不写解答过程）．
【解析】（1），
，
，
平分，平分，
，，
，
，故答案为：45；
（2）①作于，如图1所示：
则，
，，
，
四边形是矩形，
，外角平分线交于点，
，，
，
四边形是正方形；
②设，
，
，
由①得四边形是正方形，
，
在与中，，
，
，
同理，，
在中，，
即，
解得：，
的长为2；
（3）解：如图2所示：
把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，
由（1）（2）得：四边形是正方形，，，，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，解得：，即；
故答案为：．
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