[浙教版八上同步练习]2.4等腰三角形的判定定理（含答案）

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[浙教版八上同步练习]
2.4等腰三角形的判定定理
一、单选题
1．一个三角形具备下列条件仍不是等边三角形的是（　　）
A．一个角的平分线是对边的中线或高线
B．两边相等，有一个内角是60°
C．两角相等，且两角的和是第三个角的2倍
D．三个内角都相等
2．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿BC方向平移2个单位后得到△DEF，连接DC，则DC的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，在△ABC中，AB=3cm、AC=4cm、BC=5cm，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画的条数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．下列条件中，不能得到等边三角形的是（　　）
A．有两个内角是60°的三角形 B．三边都相等的三角形
C．有一个角是60°的等腰三角形 D．有两个外角相等的等腰三角形
5．如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B=30°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点且OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP．其中正确的为（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②③④
二、填空题
6．等腰三角形的一个角是60°，其中一边的长为a，这个三角形的周长为　 　．
7．小敏设计了一种衣架，如图，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可，衣架杆 ，若衣架收拢时， ，则 、 的距离为　 　 ．
8．在中，已知，则当　 　时，是等腰三角形.
9．如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是　 　（填序号）．
10．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠BCF的度数为　 　.
三、计算题
11．如图， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长.
四、解答题
12．如图，点D在线段BC上，∠B＝∠ADB，∠BAD＝∠CAE，∠C＝∠E.求证：AC＝AE.
13．如图，在 中， .分别延长 至点 使 ，连接 求 的度数.
14．△ABC的三边长分别为a，b，c，且2a+ab＝2c+bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形，还是直角三角形？并说明理由．
五、综合题
15．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
16．如图，AB∥CD，直线 EF 分别交 AB、CD于 点 E、F，EG 平分∠AEF，
（1）求证：△EGF 是等腰三角形．
（2）若∠1=40°，求∠2 的度数．
17．在△ABC中，AC=5，BC=2，且AB长为奇数．
（1）求△ABC的周长；
（2）判定△ABC的形状．
六、实践探究题
18．
（1）【初步感知】
如图1，已知为等边三角形，点为边上一动点点不与点，点重合以为边向右侧作等边，连接．
求证：≌；
（2）【类比探究】
如图，若点在边的延长线上，随着动点的运动位置不同，猜想并证明：与的位置关系为：　 　；线段、、之间的数量关系为：　 　；
（3）【拓展应用】
如图，在等边中，，点是边上一定点且，若点为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接、请问：是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定
2．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；平移的性质
3．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
4．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
6．【答案】3a
【知识点】等边三角形的判定与性质
7．【答案】18
【知识点】等边三角形的判定与性质
8．【答案】40或70或100
【知识点】等腰三角形的判定
9．【答案】②
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
10．【答案】30°
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
11．【答案】（1）证明：∵ ，
∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE，
即∠DAE=∠BAC，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA）；
（2）解：由（1）得△ABC≌△ADE，
∴AE=AC，
∵∠CAE=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE=CE=5.
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
12．【答案】证明：∵∠B＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
∴AC＝AE.
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定（AAS）
13．【答案】解：∵△ABC满足∠A=86°，∠B=42°，
∴∠ACB=180°-86°-42°=52°，
∴∠DCE=52°，
∵CD=CE，
∴∠E=（180°-52°）÷2=64°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
14．【答案】解：由原式可得，a（2+b）=c（2+b），
∵2+b≠0，a、b、c不等于0，
∴a=c，
∴ΔABC是等腰三角形.
【知识点】因式分解的应用；等腰三角形的判定
15．【答案】（1）解：设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+12=2x，
解得：x=12
（2）解：设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，
AM=t×1=t，AN=AB﹣BN=12﹣2t，
∵三角形△AMN是等边三角形，
∴t=12﹣2t，
解得t=4，
∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN
（3）解：当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN=AM，
∴∠AMN=∠ANM，
∴∠AMC=∠ANB，
∵AB=BC=AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C=∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵ ，
∴△ACM≌△ABN，
∴CM=BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM=y﹣12，NB=36﹣2y，CM=NB，
y﹣12=36﹣2y，
解得：y=16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
16．【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠1=∠AEG，
∵EG平分∠AEF，
∴∠AEG=∠FEG，
∴∠1=∠FEG，
∴FE=FG，
即△EGF是等腰三角形；
（2）解：∵∠1=40°，∠1=∠AEG=∠FEG，
∴∠AEF=40°+40°=80°，
∴∠2=180°-80°=100°．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定
17．【答案】（1）解：由题意得：5﹣2＜AB＜5+2，
即：3＜AB＜7，
∵AB为奇数，
∴AB=5，
∴△ABC的周长为5+5+2=12
（2）解：∵AB=AC=5，
∴△ABC是等腰三角形．
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的判定
18．【答案】（1）证明：和是等边三角形，
，，，
，
即
在和中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）平行；
（3）解：有最小值，
在BD延长线上截取，连接EM，
在和中，
，
∴，
，，
是等边三角形，
，
即点在角平分线上运动，
作点关于对称点，
连接与交于点，
此时点与点重合，
，
最小值为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
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