八年级下每日一题61-65二次根式综合应用（含解析）

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每日一题61 二次根式综合应用
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61．阅读材料：
已知a，b为非负实数，，
，当且仅当“”时，等号成立．
这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．
例：已知，求代数式最小值．
解：令，，则由，得．
当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4．
根据以上材料解答下列问题：
(1)已知，则当________时，代数式到最小值，最小值为______；
(2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？
(3)已知，则自变量x取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？
(4)若x为任意实数，代数式的值为m，则m范围为________．
每日一题62 二次根式综合应用
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62．阅读理解：由 得，；如果两个正数 ，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当 时，取到等号．
例如：已知，求式子 的最小值．
解：令 ，，则由 ，得 ，
当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
(1)当，式子 的最小值为 ；
(2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？

(3)如图2，四边形 的对角线 相交于点 ，的面积分别是6和12，求四边形 面积的最小值．

每日一题63 二次根式综合应用
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63．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“南双区间”为，如，所以的“南双区间”为．
(1)无理数的“南双区间”是 ；
(2)若，求的“南双区间”；
(3)实数满足，求的算术平方根的“南双区间”．
每日一题64 二次根式综合应用
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64．材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简．
例如化简：，
因为且，
，
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
(1)填空：=　　，=　　；
(2)化简：；
(3)计算：．
每日一题65 二次根式综合应用
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65．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明：
左边右边．
阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，，∴，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据阅读材料解答下列问题
(1)若正数x，则的最小值为______．
(2)若正数a，b满足，，n为的最小值，求；
(3)若正数a，b满足，若不等式恒成立，求实数m的取值范围．
每日一题61 二次根式综合应用 答案
【详解】（1）解：∵，∴，
当且仅当时，取等号，
∴当时，函数取到最小值，最小值为．故答案为：，；
（2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，
根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园，则矩形的宽为米，
∴，
当且仅当时，取等号，即当时，函数有最小值，最小值为40，
∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米；
（3）∵，∴，又∵，
当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为6，
∴此时有最大值，最大值为，
∴自变量时，函数取最大值，最大值为．
（4）①，， 又，
当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为，
此时m有最大值，最大值为，
又，结果分母都为正数，，
②时，
③，，
又，
当且仅当时，即当时，取最大值，最大值为，
此时m有最小值，最小值为，
又，结果的分母为负数，，，
每日一题62 二次根式综合应用 答案
（1）解：令 ，，则由 ，得 ，
当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为6．
（2）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，
则，∴，∴所用篱笆的长为米，
∵当且仅当时，的值最小，最小值为20，∴或（舍去）．
∴这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米．
（3）解：设点B到的距离为，点D到的距离为，
又∵、的面积分别是6和12，
∴，，∴，
∴∵．
∴当且仅当时，取等号，即的最小值为，
∴四边形面积的最小值为．
每日一题63 二次根式综合应用 答案
【详解】（1）解：∵，∴，
即：无理数的“南双区间”是；故答案为：；
（2）∵，∴，∴，
∴，∵，∴，∴，
∴的“南双区间”为；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
联立：，
解得：，
∴的算术平方根为，
∵，
∴；
∴的算术平方根的“南双区间”为．
每日一题64 二次根式综合应用 答案
【详解】（1）因为且，
，
，
故答案为：；
因为且，
，
，
故答案为：；
（2）
因为且，
，
，
；
（3），
，，
，
，
．
每日一题65 二次根式综合应用 答案
【详解】（1）解：∵
∴的最小值为
故答案为：．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）∵正数a，b满足，
∴
∵不等式恒成立，
∴
∴①或②
∴解不等式组①无解，解不等式组②得
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