八年级下每日一题76-80平行四边形的性质的性质与判定综合（含解析）

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每日一题76 平行四边形的性质与判定综合
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76．在四边形中，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若点为线段上的动点点不与点重合，连接，过点作交直线于点．
①如图2，当点为线段的中点时，请直接写出，的数量关系；
②如图3，当点在线段上时，求证：．
每日一题77 平行四边形的性质与判定综合
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77．如图1，在中，，，，点P，Q分别是上的动点，P从C出发以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，Q从A出发以每秒8个单位长度的速度向终点B运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为t秒．过点Q作于点M．
(1)______，______．（用含t的代数式表示）
(2)如图2，已知点D为中点，连接，以为邻边作平行四边形．
①当时，求的长；
②在运动过程中，是否存在某一时刻，使得平行四边形的一边落在的某边上？若存在，求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
每日一题78 平行四边形的性质与判定综合
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78．（1）【问题探究】如图，已知是的中线，延长至点E，使，连接，可得四边形，求证：四边形是平行四边形．
请你完善以下证明过程：
∵是的中线
∴______=______
∵
∴四边形是平行四边形
（2）【拓展提升】如图2，在的中线上任取一点M（不与点A重合），过点M、点C分别作，，连接．
求证：四边形是平行四边形．
（3）【灵活应用】如图，在中，，，，点D是的中点，点M是直线上的动点，且，，当取最小值时，求线段的长．
每日一题79 平行四边形的性质与判定综合
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79．如图，以的三边为边在BC的同侧作等边、、，请回答下列问题：
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形：
（2）当满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在，并说明理由：
（3）如图（2），若，，AB和AC的长为一元二次方程的两个根，求四边形ADEF的面积．
每日一题80 平行四边形的性质与判定综合
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80．如图，在四边形中，，，，，，动点N从点D出发，以每秒的速度在射线上运动到C点返回，动点M从点A出发，在线段上，以每秒的速度向点B运动，点M，N分别从点A，D同时出发．当点M运动到点B时，点N随之停止运动，设运动时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，四边形是平行四边形．
（2）是否存在点N，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由．
每日一题76 答案
76.【详解】（1）证明：，，
，，
，，，
，，，，，
，四边形是平行四边形；
（2）解：①，
理由如下：连接，如图所示：
由（1）知是等腰直角三角形，当点为线段的中点时，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②证明：过点作交于点，如图所示：
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，则，
，
．
每日一题77 答案
77．【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴，
∵P从C出发以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，Q从A出发以每秒8个单位长度的速度向终点B运动，∴，
∴，
∵，∴，
又∵，∴，
故答案为：，；
（2）解：①∵，∴，解得，
∴，∴，
在中，由勾股定理得，
∵点D为中点，∴，
∴，
在中，由勾股定理得；
②如图2-1所示，当落在上时，则，∴，
∴此时点D与点M重合，∴，
在中，由勾股定理得，
∴，解得或（舍去）；
如图2-2所示，当落在上时，延长到H使得，连接，∵，
∴，∴，∴，
∵四边形是平行四边形，∴，
∴四边形是平行四边形，∴，
∴，解得；

如图2-3所示，当点Q运动到点B时，此时在上，
∴；
综上所述，t的值为或2或3．

每日一题78 答案
78.【详解】（1）解：∵是的中线，∴，
∵，∴四边形是平行四边形．
故答案为：，；
（2）证明：如图，延长至点F，使，连接CF，BF，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（3）解：如图所示，连接AE，BM，延长DM至点N，使，连接CN，BN．
∵点D是的中点，
∴，
又∵，，
∴．
同（2）可证，四边形是平行四边形，
∴，
∴当MC取最小值时，取最小值，
∵，
∴时，MC取最小值．
同（1）可证四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴，
又∵在中，，，
∴．
故线段CE的长为．
每日一题79 答案
79.【详解】解：（1）∵△ABD，△EBC都是等边三角形．
∴AD=BD=AB，BC=BE=EC，∠DBA=∠EBC=60°
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．∴∠DBE=∠ABC．
在△DBE和△ABC中，∵BD=BA，∠DBE=∠ABC，BE=BC，
∴△DBE≌△ABC（SAS）．∴DE=AC．
又∵△ACF是等边三角形，∴AC=AF．∴DE=AF．
同理可证：AD=EF，∴四边形ADEF平行四边形；
（2）当∠BAC=60°时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在；理由如下：
∵∠BAC=60°，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠DAF=360°-∠DAB-∠BAC-∠CAF=180°，∴点D、A、F共线，
∴以D、A、E、F为顶点的四边形不存在；
（3）过点A作AH⊥DE于点H，
∵AB和AC的长为一元二次方程的两根，
∴，①
，②
①+②，得：，
在Rt△ABC中，∵BC=，∴，AB+AC==10，
∴有，解得：m=24，
∴原方程为，
解得：，，
若AB=6，AC=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DE∥AF，DE=AF=AC=4，AD=EF=AB=6，
∴∠ADE+∠DAF=180°，
∵∠DAF=360°-60°-60°-90°=150°，
∴∠ADE=30°，∴AH=AD=3，
∴S平行四边形ADEF=DE×AH=12；
若AB=4，AC=6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DE∥AF，DE=AF=AC=6，AD=EF=AB=4，
∴∠ADE+∠DAF=180°，
∵∠DAF=360°-60°-60°-90°=150°，
∴∠ADE=30°，∴AH=AD=2，
∴S平行四边形ADEF=DE×AH=12；
综上：四边形ADEF的面积为12．
每日一题80 答案
80.【详解】解：（1）设运动时间为t秒．
∵四边形MNCB是平行四边形，∴MB=NC，
当N从D运动到C时，
∵BC=13cm，CD=21cm，∴BM=AB-AM=16-t，CN=21-2t，
∴16-t=21-2t，解得t=5，
当N从C运动到D时，∵BM=AB-AM=16-t，CN=2t-21
∴16-t=2t-21，解得t=，∴当t=5秒或秒时，四边形MNCB是平行四边形；
（2）△NMB是等腰三角形有三种情况，
Ⅰ．当NM=NB时，作NH⊥AB于H，则HM=HB，
当N从D运动到C时，∵MH=HB=BM=（16-t），
由AH=DN得2t＝(16 t)+t，解得t＝秒；
当点N从C向D运动时，观察图象可知，只有由题意：42-2t=（16-t）+t，
解得t=秒．
Ⅱ．当MN=MB，当N从D运动到C时，
MH=AH-AM=DN-AM=2t-t=t，BM=16-t，
∵MN2=t2+122，∴（16-t）2=122+t2，解得t＝（秒）；
Ⅲ．当BM=BN，当N从C运动到D时，
则BH=AB-AH=AB-DN=16-2t，
∵BM2=BN2=NH2+BH2=122+（16-2t）2，
∴（16-t）2=122+（16-2t）2，
即3t2-32t+144=0，
∵△＜0，
∴方程无实根，
综上可知，当t=秒或秒或秒时，△BMN是等腰三角形．
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