八年级下每日一题81—85平行四边形存在性探究（含解析）

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每日一题81 平行四边形存在性问题探究
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81．已知，平行四边形中，一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．
(1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
(2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，求的面积．
(3)如图③，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
每日一题82 平行四边形存在性问题探究
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82．如图，在中，，，在射线上取一点，使得．当点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点．在线段上取点，使得，连接，记．
(1)①______（用含的式子表示）；
②若，求的长．
(2)若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请求出的值．
每日一题83 平行四边形存在性问题探究
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83．已知，在四边形中，．
(1)如图1，求的长．
(2)如图2，点在的延长线上，连接，若，且的面积为9，求的长度．
(3)如图3，在（2）的条件下，动点从点出发以每秒0.5个单位长度的速度向终点匀速运动，动点从点出发以每秒3.5个单位长度的速度沿线段向终点匀速运动，点和点同时出发，当点到达终点停止运动时点也随之停止运动，当运动时间（秒）为何值时，以四点为顶点的四边形是平行四边形？此时取点为中点，并求线段的长．
每日一题84 平行四边形存在性问题探究
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84.如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A 的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段的中点．
(1)A点坐标为____________ ，B点坐标为 ________________
(2)求直线的函数解析式．
(3)在直线上找一点P，使得，请直接写出点P的坐标．
(4)在坐标平面内是否存在点C，使以A、B、M、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
每日一题85 平行四边形存在性问题探究
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85．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，满足：．
(1)求：的值；
(2)为延长线上一动点，以为直角边作等腰直角，连接，求直线与轴交点的坐标；
(3)在（2）的条件下，当时，在坐标平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．
每日一题81 答案
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠DPC＝∠PCB
∵CP平分∠BCD， ∴∠PCD＝∠PCB，
∴∠DPC＝∠DCP， ∴DP＝DC．
∵CD＝CP， ∴PC＝CD＝PD，
∴△PDC是等边三角形
∴∠D＝∠B＝60° ；
（2）解：如图②中，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，BCAD，，
∴，
∴
∴
∴，
∵△PCD为等边三角形，
∴PD=CD=8cm，PD边上的高为=，
∴；
（3）解：解：四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，
∴PDBC
若要使四边形PDQB是平行四边形，则PD＝BQ，
设运动时间为t秒，
①当0＜t≤3时，PD＝12-t，BQ＝12-4t，
∴12-t＝12-4t，解得t＝0，不合题意，舍去；
②当3＜t≤6时，PD＝12-t，BQ＝4（t-3）=4t-12，
∴12-t＝4t-12，解得t＝4.8；
③当6＜t≤9时，PD＝12-t，BQ＝12-4（t-6）=36-4t，
∴12-t＝36-4t，解得t＝8；
④当9＜t≤12时，PD＝12-t，BQ＝4（t-9）=4t-36，
∴12-t＝4t-36，解得t＝9.6；
综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形．
每日一题82 答案
【详解】（1）解：①∵，
∴，．
∵四边形为平行四边形，
∴．
∵当点P从点A匀速运动到点D时，点Q恰好从点C匀速运动到点E，
∴点P与点Q的速度比为，
∵，∴，∴，故答案为：．
②过点A作于点M，设交于点G，如下图，
∵，，，
∴，，为等腰直角三角形，
∴，．
∵四边形为平行四边形，∴，∴．
∵，∴．
∴和为等腰直角三角形．
∴，．
∴．
∵，，，∴，∴．解得：．
∴；
（2）①当点Q，F在线段上时，如下图，
若四边形为平行四边形，则，
∵，∴，解得：；
②当点Q，F在线段的延长线上时，如下图，
若四边形为平行四边形，则，
∵，∴，解得：；
综上，当或6时，以A，B，F，P为顶点的四边形是平行四边形；
每日一题83 答案
【详解】（1）
，，
，，
四边形是平行四边形，；
（2）如图，过点D作，设，
，，
，，
，
，
，，
的面积为9，，
，，
中，，
，，
在中，，
，，，
（3）如图，当点Q在线段上时，

由题意得：，
，只要使，四边形是平行四边形，
解得：， 此时；
如图，当点Q在线段上时，过点M作，

由题意得：，
， 只要使，四边形是平行四边形，
，，
解得：， ，
，，
；
综上所述：，或，．
每日一题84 答案
【详解】（1）解：∵函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴令，得，即：，令，得，即：，
故答案为：，；
（2）解：∵点M为线段的中点，，∴，
设直线的函数解析式，
将和代入得：，解得：，
∴直线的函数解析式：；
（3）解：∵，∴，
设，∴，
∵，∴，解得：，∴，
∵点关于点的对称点为，
∴满足条件的点坐标为：和；
（4）解：存在点，使以A、B、M、C为顶点的四边形是平行四边形，
∵，，，
①以为对角线，
根据平移的性质，点，
②以为对角线，
根据平移的性质，点，
③以为对角线，
根据平移的性质，点，
综上所述：点的坐标为或或．
每日一题85 答案
【详解】（1）解：∵，，，
∴，解得：，
∴，，∴，，
∴，∴的值为；
（2）如图所示，过点作轴于，∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，∴，，
∴，
∴，
在和中，
，∴，
∴，，
设，∴，
∴，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，过点，，
，解得：，
∴直线的解析式为，∴当时，，
∴直线与轴的交点坐标为；

（3）存在，点的坐标为，，．
∵，，∴，
又∵以、、、为顶点的四边形是平行四边形，且，，
设，当为对角线时，
得：，解得：，∴；
当为对角线时，得：，解得：∴，
当为对角线时，
得：，解得：，∴，
综上所述，点的坐标为，，．
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