八年级下每日一题86—90矩形的折叠问题探究（含解析）

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每日一题86 矩形的折叠问题探究
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86．（2023·西宁中考）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
【操作】如图1，在矩形中，点M在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．
【猜想】
【验证】请将下列证明过程补充完整：
∵矩形纸片沿所在的直线折叠
∴
∵四边形是矩形
∴（矩形的对边平行）
∴ （ ）
∴ （等量代换）
∴（ ）
【应用】
如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为．
（1）猜想与的数量关系，并说明理由；
（2）若，，求的长．
每日一题87 矩形的折叠问题探究
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87．（2023·广西中考）【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
【动手操作】如图1，将矩形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，点B，E的对应点分别为，，展平纸片，连接，，．

请完成：
(1)观察图1中，和，试猜想这三个角的大小关系；
(2)证明（1）中的猜想；
【类比操作】如图2，N为矩形纸片的边上的一点，连接，在上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕；折叠纸片，使点B，P分别落在，上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为，，展平纸片，连接，．
请完成：
(3) 证明是的一条三等分线．
每日一题88 矩形的折叠问题探究
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88．（2023·山东烟台中考）【问题背景】
如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形进行如下操作：①分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接；②将沿翻折，点的对应点落在点处，作射线交于点．

【问题提出】
在矩形中，，求线段的长．
【问题解决】
经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：
方案一：连接，如图2．经过推理、计算可求出线段的长；
方案二：将绕点旋转至处，如图3．经过推理、计算可求出线段的长．
请你任选其中一种方案求线段的长．
每日一题89 矩形的折叠问题探究
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89．（八下·台州期末）如图1，在矩形中，，，点E，F分别在，上，将矩形沿直线折叠，使点B落在边上的处，点A落在处，连接．

(1)如图2，若点与点D重合，连接．
①请你判断四边形的形状，并证明；
②求的长；
(2)如图3，P为中点，连接．
①当时，求的长；
②直接写出的取值范围．
每日一题90 矩形的折叠问题探究
班级 姓名 学号
90.（八下·宁波期末）【问题初现】
（1）如图1，矩形OABC顶点O坐落在平面直角坐标系的原点上，C点的坐标为，，D是BC边上的点，且D的坐标是，求线段BD的长．
【问题延伸】
（2）在（1）的情况下，F为AB边上的一点，将沿直线DF折叠，若B点刚好落在x轴上的E点处，求E点的坐标．
【问题拓展】
（3）如图2，将上述情况变更为任意矩形，设B点坐标为、D点坐标为 ，在折叠过程中，折痕所在直线DF与y轴交于点G，当时，试判断线段OE与CD之间的数量关系，并给出证明．
每日一题86 答案
解：【验证】∵矩形纸片沿所在的直线折叠
∴
∵四边形是矩形
∴（矩形的对边平行）
∴ （两直线平行，内错角相等）
∴（等量代换）
∴（等角对等边 ）
【应用】（1）
理由如下：
∵由四边形折叠得到四边形
∴
∵四边形是矩形
∴（矩形的对边平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
∴
∴（等角对等边）
∵
∴ 即；
（2）∵矩形沿所在直线折叠
∴，，．
设
∴
在中，
∴（勾股定理）
∴ 解得
∴.
每日一题87 答案
（1）解：由题意可知；
（2）证明：由折叠的性质可得：，，，，
∴，，
∴是等边三角形，
∵，，
∴，
∵四边形是矩形，∴，
∴，∴；
（3）证明：连接，如图所示：
由折叠的性质可知：，，，
∵折痕，，∴，
∵四边形为矩形，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，∴，
∴，∴是的一条三等分线．
每日一题88 答案
解：方案一：连接，如图2．
∵四边形是矩形，
∴，，
由作图知，
由翻折的不变性，知，，
，
∴，，又，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，即，
解得， ∴线段的长为；
方案二：将绕点旋转至处，如图3．

∵四边形是矩形，
∴，，
由作图知，
由旋转的不变性，知，，，
则，∴共线，
由翻折的不变性，知，
∴，∴，
设，则，，
在中，，即，
解得，∴线段的长为．
每日一题89 答案
（1）①四边形为菱形
理由如下：由折叠可知，是的垂直平分线，
∴，，由折叠可知EF平分，
∴，
∵矩形ABCD，∴，∴，∴，
∴，∴，∴四边形为菱形．
②∵，，，∴，
设，则在中，，
∴，解得．
∵菱形，记EF与的交点为O，∴，，，
∴，∴．
（2）①如图1，过点B作于点H
由矩形折叠可知，，，
∴，∴，
∵矩形ABCD，∴，∴∴，
∵，，∴，
∴，，∴，∴
②
解析：方法一：如图1，∵
∴PH取最小值时，BP最小，PH取最大值时，BP最大，
∵，∴
方法二：如图2，取AB的中点，连接
由折叠可知， ，
∵，∴，∴，
∵是定点，在CD上，
∴，∴

每日一题90 答案
解：（1）∵C的坐标为∴，
∵，∴
在矩形OABC中，
∵D点坐标为
∴ ∴
（2）如图1，过D作DH⊥OA于H，则
∵四边形ABCO是矩形，∴
∴，
∴四边形OHDC是矩形 ∴OH=CD=3，DH=OC=4
由折叠可得DE=BD=5
在中，
∴ ∴E点坐标为
（3），理由如下：
如图2，设直线DF与x轴交于I点，
∵B点坐标为、D点坐标为
∴，
∴
由折叠可得，，
∵轴， ∴
∴， ∴
∵，，
∴， ∴
∴
∴
∴．
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