浙教版八年级数学下册 5.3正方形 同步练习题（含解析）

年浙教版八年级数学下册《5.3正方形》同步练习题
一、单选题
1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
2．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是正方形 B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形 D．有一对邻角相等的平行四边形是正方形
3．如图，在正方形外侧，作等边，则为（　　）
A．75° B．55° C．15° D．25°
4．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形的顶点A的坐标为，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正方形中，对角线是上任意一点，过M作，垂足分别为，则的值为（ ）
A．20 B．10 C．15 D．5
6．如图，正方形的边上有一点E，连接交对角线于点F，连接． 若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A、O、E在同一直线l上，且，，给出下列结论：①；②；③；④四边形的面积与正方形的面积相等．其中正确的结论为（　　）

A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①③④
8．如图，在正方形中，是延长线上一点，在上取一点，使点关于直线的对称点落在上，连接交于点，连接交于点，连接．现有下列结论：①；②；③；④若，，则，其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
二、填空题
9．在四边形中，，，试补充一个条件 ，使四边形是正方形．
10．如图，已知正方形ABCD，点E在边DC上，DE=4，EC=2，则AE的长为 ．
11．如图，在正方形中，以对角线为边作菱形，则 ．
12．用四根长度相等的木条制作学具，先制作图（1）所示的正方形，测得，活动学具成图（2）所示的四边形，测得，则图（2）中的长是 ．
13．如图，边长为4的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是 ．
14．如图，正方形的边长为4，E为边上一点，，连接，过D作的垂线交于点F，交于点G，则的长为 ．

15．如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，F为对角线上一动点，连接，，则的最小值为 ．

16．在正方形中，，点是上一点，过点作于，于，连结，当的长度取得最小值时， ．
三、解答题
17．如图，正方形的边长为4，点在上，且，于点，，交于点．
(1)求证：；
(2)求的长．
18．如图，中，，，外角平分线交于点A，过点A分别作直线，的垂线，B，D为垂足．

(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，求的长．
19．如图所示，在正方形中，点F在边上，射线交于点E，交的延长线于点G．
(1)求证：；
(2)若点H是上的中点，连接和，求证：．
20．已知正方形如图所示，连接其对角线，的平分线交于点，过点作于点，交于点，过点作，交延长线于点．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长为，求的面积；
(3)求证：．
21．已知正方形中，E，F为平面内两点．
【探究建模】
（1）如图1，当E在边上时，，且B，C，F三点共线，求证：；
【探究建模】
（2）如图2，当E在正方形外部时，，且E，C，F三点共线，猜想并证明线段之间的数量关系；
【探究建模】
（3）如图3，当E在正方形外部时，且，且D，F，E三点共线，与相交于G点．若，则 ．（直接写出答案）
参考答案
1．解：由题意知，对角线相等是矩形、正方形具有的性质，故A不符合要求；
对角线互相平分是矩形、菱形、正方形都具有的性质，故B符合要求；
对角线互相垂直是菱形、正方形具有的性质，故C不符合要求；
对角线平分对角是菱形、正方形具有的性质，故D不符合要求；
故选：B．
2．解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，不符合题意；
C、对角线相等的菱形是正方形，正确，符合题意；
D、有一对邻角相等的平行四边形是矩形，故错误，不符合题意，
故选C．
3．解：四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
在中，，，
∴，
，
故选：．
4．解：如图：过点分别作轴，轴，
∵四边形是正方形
∴
∵
∴
∵轴，轴，
∴
∴
∴
∵点C的坐标在第一象限，
∴点C的坐标为
故选：C
5．解：由四边形是正方形，则，由，，
，
是等腰三角形
，
．
故选：D．
6．解：∵四边形是正方形，
∴，，，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
7．解：过点D作于点N，延长交直线于M，连接，

四边形、四边形是正方形，
，，
，故①正确；
，
，
又，，
，
，，
又，
，
，故②正确；
四边形是正方形，
是等腰直角三角形，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，，
在中，，
，故③正确；
，，
，
，
四边形的面积与正方形的面积不相等，故④不正确；
正确的有①②③，
故选：C．
8．解：如图1中，过点作于．
，关于对称，
，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，，
，
，，
，，
，
，，故①正确，
，
过点作于，于，于．
，
，
，
，
，
，
，故②正确，
如图2中，过点作于，交于．
，关于对称，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，故③错误，
，，
，，，
，故④正确，
故选：D．
9．解：补充条件：；
证明：∵在四边形ABCD中，AB =CD ，，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴是菱形，
∵
∴菱形ABCD是正方形，
故答案为.
10．解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠D=90°，
∵DE=4，EC=2，
∴AD=CD=6，
在RT△ADE中，∵∠D=90°，AD=6．DE=4，
∴AE== == ．
故答案为．
11．解：在正方形中，
在菱形中，，
∴，
在中，，
解得．
故答案为：
12．解：如图（1）中，
四边形是正方形，
，
如图（2）中，连接交于O，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
故答案为：．
13．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝CO，∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴S△AEO＝S△CFO，
∴S△AOD＝S△DEO+S△CFO，
∵S正方形ABCD＝42＝16，
∴S△AOD＝S正方形ABCD＝4，
∴阴影部分的面积为4．
故答案为：4．
14．解：四边形为正方形，且边长为4，
，，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
由三角形的面积得：，
，
，
，
．
故答案为：．
15．解：如图，连接交于一点F，连接，
∵四边形是正方形，
∴点A与点C关于对称，
∴，
∴，此时最小，
∵正方形的边长为4，
∴，
∵点E在上，且，
∴，即的最小值为
故答案为：．

16．解：连接，过作于，如图所示：
四边形是正方形，为对角线，
，，，
，
在和中，
∵，
∴，
∴，
，，
四边形是矩形，
，
当时，最小，即如图长，
此时点与点重合，则有最小值，
当点与点重合时，
的面积，
，
；
故答案为：．
17．（1）证明：，，
，
，
四边形是正方形，
且，
，
，
，
在和中，
，
，
，
（2）在中，，，根据勾股定理得，，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，，
根据勾股定理得，，
．
18．（1）证明：过A作，交于点M，
，，，即，
四边形是矩形，
，
，
，外角平分线交于点A，
，，
又,
，，
，
矩形是正方形；
（2）四边形是正方形，
，
，即，
，
，，，
，同理可得，
，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
．
19．（1）证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
；
（2）证明：如图，
≌，
，
在中，点是上的中点，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，
．
20．（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．（1）证明：如图1中，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：猜想：．
理由：如图2中，
∵四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3中，∵四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
．